3.把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打20
个字。 打这份书稿平均每分钟打多少个字,
- 4 -
五年级数学奥数培训资料
第3讲 长方形、正方形的周长
一、知识要点
同学们都知道，长方形的周长= (长，宽)×2.正方形的周长=边长×4。长方
形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正 方形的周长。如何应用所学
知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应 用已
学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的
周长。
二、精讲精练
【例题1】 有5张同样大小的纸如下图(a)重叠着，每张纸都是边长6厘 米的
正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。

【思路导航】 根据题意，我们可以把每个正
方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移(如
图b)，转化成一个大正方形，这个大正方形的周长
和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因

此，所求周长是18×4=72厘米。
练习1:
1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，
求这个图形的周长。
2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形
的周长。

【例题2】 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉
的面 积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米,
【思路导航】 把截掉的192平方厘米分 成A、B、C三块(如图)，其中AB的面
积是192,4×4=176(平方厘米)。把A和B移到一 起拼成一个宽4厘米的长方形，
而

此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。176?4=44(厘
米)，现在这块木板的周长是44×2=88(厘米)。
练习2:

1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原

来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。
2.有两个相同 的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，
这个图形的周长是多少,
3 .有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分
仍是长方形，且周长为28 0米。求划去的绿化带的面积是多少平方米,
【例题3】 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少,

【思路导航】 从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围
成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是(a，b)×2.三
- 5 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
条竖着的线段和是b×2。所以，整个图形的周长是(a，b)×2，b×2.即2a，
4b。
练习3:
1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的
正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。

2.一个长12 厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图(1)所示长方
形，求所拼长方形的周长。
3.求下面图形(图2)的周长(单位:厘米)。

图,1, 图,2,

【例题4】 下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
【思路导航】 我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移到左边，其和
正好是4厘米。再 把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。因此，阴
影部分的周长与边长是4厘米的正方形的 周长是相等的。
练习4:
1.求下面图形的周长(单位:厘米)。
2.在( )里填上“,”、“,”或“=”。甲的周长( )乙的周长
3.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。

【例题5】 如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长
方形的周长。
< br>【思路导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为
BC=EF，CF=DE， 所以，AB，BC，CF=AB，FE，ED=9，6=15(厘米)，这正好是最大长
方形周长的一半 。因此，最大长方形的周长是(9，6)×2=30(厘米)。
练习5:
1.下面三个 正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的
周长发生了什么变化,(单位:厘米)

2.下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5
厘米，零件长35厘米，高30厘米。这个零件的周长是
多少厘米,
3.有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的
周长。

- 6 -
五年级数学奥数培训资料
- 7 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第4讲 长方形、正方形的面积
一、知识要点
长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边 长。掌握并能运用这两个面积
公式，就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习过程中，我 们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比
较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要 我们切实掌握有关概

念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化 为普通的求长
方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
二、精讲精练
【例题1】 已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面
积大40平方厘 米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米,

【思路导航】从图中可以看出，大正方形 的面积比小正方形的面积大出的40
平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40 平方厘米减去
阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以
2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常
简单了。
练习1:

1.有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条 宽2米的小
路，求小路的面积。
2.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18 厘米，结果得到一个与
原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米,
3. 把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形
多181平方分米的正方形。 求这个正方形的边长是多少分米,
【例题2】 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四 个较小的长方
形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

【思路导航】因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6?14=15。
练习2:
1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平
方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
2.下面一个长方形被分成六 个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示(单
位:平方厘米)，求A和B的面积。
3. 下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘
米，求整个图形的面积。

【例题3】 把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知
两个 正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米,

【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行
分析。两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两

- 8 -
五年级数学奥数培训资料
部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和 B正好组成
一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40?20=2(分米)，
即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是
(20+2)?2=11( 分米)，面积是11×11=121(平方分米)。
练习3:
1.一块正方形，一边划 出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原
来减少了1350平方米。这块地原来的面积是 多少平方米,

2.一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95 平方
厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米,
3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修 建一米宽的小路，路面面积是80平
方米。求草坪的面积。
【例题4】 有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并
画出来。

【 思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画
正方形的边长或面积。我们可 以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的
四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中 虚线部分，显然，虚线表示的
正方形的面积就是原正方形面积的2倍。

练习4:
1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形， 如果大、小正
方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。
2.正图 的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。如果此图
的周长是56厘米，那么，这个图 形的面积是多少,
3.正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。

【例题5】 有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼
成的 。一个正方形的面积是多少平方厘米,
【思路导航】三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长 是原正方形边长
的8倍，正方形的边长为72?8=9(厘米)，一个正方形的面积就是9×9=81( 平方厘
米)。
练习5:1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是3 6厘
米，求每个正方形的面积是多少平方厘米,
2.有一张长方形纸，长12厘米，宽10 厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方
形后，剩下部分的周长是多少厘米,

3. 有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD(如下图)，已知
大长方形的面积是35 平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。求原来
小长方形的面积。

- 9 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第5讲 分类数图形
一、知识要点
我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但
是在数图形的个数 的
时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从
而有秩序、有 条理并且正
确地数出图形的个数。
二、精讲精练
【例题1】 下面图形中有多少个正方形,

【思路导航】图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小 正方形组成的有
6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。 因此图中
共有18，10，4=32个正方形。
练习1:
1.下图中共有多少个正方形,
2.下图中共有多少个正方形,
3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形,

【例题2】 下图中共有多少个三角形,
【思路导航】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后 再把
数出的各类三角形的
个数相加。

(1)图中共有6个小三角形;
(2)由两个小三角形组合的三角形有3个;
(3)由三个小三角形组合的三角形有4个;
(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6，3，4，1=14个三角形。
练习2:
1.下面图中共有多少个三角形,
2.数一数，图中共有多少个三角形。
3.数一数，图中共有多少个三角形,

【例题3】 数出下图中所有三角形的个数。
【思路导航】和三 角形AFG一样形状的三角形有5个;和三角形ABF一样形状
的三角形有10个;和三角形ABG一样 形状的三角形有5个;和三角形ABE一样形的
三角形有5个;和三角形AMD一样形状的三角形有5个 ，共35个三角形。
练习3:
- 10 -
五年级数学奥数培训资料 数出下面图形中分别有多少个三角形。

【例题4】 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方
形，这样的正方形有多

少个,
【思路导航】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出: (1)
最小的正方形有6个;

(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个;
(3)中间还可围成2个正方形。
所以共有6，2，2=10个。
练习4:
1.下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方
形, 2.下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三
角形, 3.下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个
梯形,

【例题5】 数一数，下图中共有多少个三角形,
【思路导航】我们可以分类来数:

1.单一的小三角形有16个;2.两个小三角形组合的有10个;
3.四个小三角形组合的有8个;4.八个小三角形组合的有2个。 所以，图中一
共有16，10，8，2=36个三角形。
练习5:
1.图中共有( )个三角形。
2.图中共有( )个三角形。
3.图中共有( )个正方形。

- 11 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第6讲 尾数和余数
一、知识要点
自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中，被除数减去商 与除数积的差叫
做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无
从下手的问题。
二、精讲精练
【例题1】 写出除213后余3的全部两位数。

【思路导航】因为213=210，3.把210分解质因数:210=2×3×5×7 ，所以，符
号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7 =35，
2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。
练习1:
1.写出除109后余4的全部两位数。
2.178除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些,
3.写出除1290后余3的全部三位数。
【例题2】 (1)125×125×125ׄ„×125[100个25]积的尾数是几,
(2)(21×2 6)×(21×26)ׄ„×(21×26)[100个(21×26)]积的尾数是几,
【思路 导航】(1)因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相
乘，个位还是5; (2)每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数
是几就行了。 因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个(21×26)连
乘，积的个位还是6。
练习2:
1.21×21×21ׄ„×21[50个21]积的尾数是几,
2.1.5×1.5×1.5ׄ„×1.5[200个1.5]积的尾数是几,
3.(1 2×63)×(12×63)×(12×63)ׄ„×(12×63)[1000个(12×63)]积的尾数
是几,
【例题3】 (1)4×4×4ׄ×4[50个4]积的个位数是几,
(2)9×9×9ׄ×9[51个9]积的个位数是几,
【思路导航】(1)我们先列举 前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个
位就是4;4×4的个位是6;4×4×4的个位是4 ;4×4×4×4的个位是6„„由此可

见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复 出现。50?2=25没有余数，说明50
个4相乘，积的个位是6。
(2)用上面的方法 可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字
不断重复，51?2=25„„1.余数 是1.说明51个9本乘积的个位是9。
练习3:
1.24×24×24ׄ×24[2001个24]，积的尾数是多少,
2.1×2×3ׄ×98×99，积的尾数是多少,
3.94×94×94ׄ×94[ 102个94],49×49ׄ×49[101个49]，差的个位是多
少,
【例题4】 把17化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少,
【思路导航】因为17?0.7„„ ，化成的小数是一个无限循环小数，
循环节“142857”共有6个数字。由于100?6=16„„ 4，所以，小数点后面的第100
位是第17个循环节的第4个数字，是8。
练习4:
1.把111化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2.57写成循环小数后，小数点后第50个数字是几,
3.有一串数:5、8、13、2 1、34、55、89„„，其中，从第三个数起，每个数恰
好是前两个数的和。- 12 -
五年级数学奥数培训资料 在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多
少,
【例题5】 555„55[2001个5]?13.当商是整数时，余数是几,
【思路导 航】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一
看余数在按怎样的规

律变化。
从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5 这六个数字不断重复出现。
2001?6=333„„3.
所以，当商是整数时，余数是4。
练习5:
1.444„4?6[100个4]，当商是整数时，余数是几,
2.当商是整数时，余数各是几,
(1)666„6?4[100个6]
(2)444„4?74[200个4]
(3)888„8?7[200个8]
(4)111„1?7[50个1]
- 13 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第7讲 一般应用题(一)

一、知识要点
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一 起，有的已知条
件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用
题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示
意图、直观演示手段 帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出
发，逐步推出所求问题(综合法);也可以从 问题出发，找出必须的两个条件(分析
法)。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方 法。
二、精讲精练
【例题1】 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加 少先队活
动，剩下的同学相当于原来4个班的人数。原来每班多少人,
【思路导航】从每班 选16人参加少先队活动，6个班共选16×6=96(人)。剩
下的同学相当于原来4个班的人数，那 么，96人就相当于原来(6,4)个班人人数，
所以，原来每班96?2=48(人)。
练习1:
1.五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同< br>学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款多少,
2.把一堆货物平均分给6个小 组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走了
这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱,
3.老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的树苗
正好是原来每队分得的棵 数。这批树苗一共有多少棵,
【例题2】 某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56 个零件。这
样，不仅提前3天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120个零件。这个
车间实际加工了多少个零件,

【思路导航】如果按原计划的天数加工，加工的零件就 会比原计划多56×3，
120=288(个)。为什么会多加工288个呢,是因为每天多加工了56 ,50=6(个)。因
此，原计划加工的天数是288?6=48(天)，实际加工了50×48，12 0=1520(个)零
件。
练习2:
1.汽车从甲地开往乙地，原计划每小时 行40千米，实际每小时多行了10千
米，这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千 米,
2.小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因下
雨，他 每分钟只能行120米，结果迟到了5分钟。他家离学校有多远,
3.加工一批零件，原计划每天加 工80个，正好按期完成任务。由于改进了生
产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4天完成 加工任务，而且还多加工
了100个。他们实际加工零件多少个,
【例题3】 甲、乙二人 加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了
15天没有加工。40天后，乙所加工的零件个数正 好是甲的一半。这时两人各加工
了多少个零件,
【思路导航】甲工作了40天，而乙停止了 15天没有加工，乙只加工了25
天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和 乙25天加工
的零件同样多。由于甲每天比乙多加工6个，20天一共多加工6×20=120(个)。 这
120个零件相当于乙25-20=5(天)加工的个数，乙每天加工120?(25-20)=24 (个)。
乙一共加工了24×25=600(个)，甲一共加工了600×2=1200(个)
练习3:
1.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事休息了5< br>天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个,
- 14 -

五年级数学奥数培训资料
2.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出 ，甲车每小时比乙车多行20千米。途
中乙因修车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行 了甲车所行路程
的一半。A、B两地相距多少千米,
3.甲、乙两人承包一项工程，共得工 资1120元。已知甲工作了10天，乙工作
了12天，且甲5天的工资和乙4天的工资同样多。求甲、 乙每天各分得工资多少
元,
【例题4】 服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。 实际每天比计划
多加工60件，照这样做了15天，就超过原计划件数350件。原计划加工上衣多少< br>件,
【思路导航】由于每天比计划多加工60件，15天就比原计划的15天多加工
60×15=900(件)，这时已超过计划件数350件，900件中去掉这350件，剩下的件
数就 是原计划(20,15)天中的工作量。所以，原计划每天加工上衣
(900,350)?(20,15 )=110(件)，原计划加工110×20=2200(件)。
练习4:
1.用汽车 运一堆煤，原计划8小时运完。实际每小时比原计划多运1.5吨，这
样运了6小时就比原计划多运了3 吨。原计划8小时运多少吨煤,
2.汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比原计 划多行15千
米，行了8小时后，发现已超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米,
3. 小明看一本书，原计划8天看完。实际每天比原计划少看了4页。这样，用
10天才看完了这本书。这本 书一共有多少页,
【例题5】 王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结
果提前5在完成任务。王师傅一共做了多少个零件,

【思路导航】按实际做 法再做5天，就会超产(60，20)×5=400(个)。为什么
会超产400个呢,是因为每天多生 产了20个，400里面有几个20，就是原计划生产
几天。400?20=20(天)，因此，王师傅 一共做了60×20=1200(个)零件。
练习5:
1.食堂准备了一批煤，原计划 每天烧0.8吨，实际每天比原计划节约了0.1
吨，这样比原计划多烧了2天。这批煤一共有多少吨,
2.造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实际每天比原计划多生产1.5
吨，结果提 前2.5天完成了任务。实际用了多少天,
3.机床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际 每天生产18台，这样比
原计划提前3天完成了任务。这批机床一共有多少台,
- 15 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第8讲 一般应用题(二)
一、知识要点
较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量 关系交织在一起，但
是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此，我们在解答一< br>般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。
二、精讲精练
【例题1】 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，用短管
子铺需要35根 。已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米,
【思路导航】因为每根长管子比每根短管 子长2米，25根长管子就比25根短
管子长50米。而这50米就相当于(35,25)根短管子的长 度。因此，每根短管子的
长度就是50?(35,25)=5(米)，这段排水管道的长度应是5×35 =175(米)。
练习1:

1.生产一批零件，甲单独生产要用6小时 ，乙单独生产要用8小时。如果甲每
小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个,
2.一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每组人数
太少便重新分组，正好每 组9人，这样比原来减少了2组。参加游戏的小朋友一共
有多少人,
3.甲、乙二人同时从 A地到B地，甲经过10小时到达了B地，比乙多用了4
小时。已知二人的速度差是每小时5千米，求甲 、乙二人每小时各行多少千米,
【例题2】 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲 、乙都比丙
多拿24千克。结帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元,
【思路 导航】三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。
24×2?3=16(千克)，也就是丙少拿1 6千克苹果，所以得到24×2=48元。每千克苹
果是48?16=3(元)。
练习2:
1.甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙
拿了7支，因此 ，甲又给了乙6角钱。每支铅笔多少钱,
2.春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午 发现小红没有带食
品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。每个面< br>包多少元,
3.“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英买来了和红纸< br>同样价格的5张黄纸。老师把这些纸平均分给了小华、小英和另外两名同学，结果
另外两名同学共 付给老师9元钱。老师把9元钱怎样分给小华和小英,
【例题3】 甲城有177吨货物要跑一趟运 到乙城。大卡车的载重量是5吨，小
卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5 升。用多少辆
大卡车和小卡车来运输时耗油最少,

【思路导航】大汽车一次 运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油10?5=2(升);
小汽车一次运2吨，耗油5升，平均运1 吨货耗油5?2=2.5(升)。显然，为耗油量
最少应该尽可能用大卡车。177?5=35(辆)„ „2吨，余下的2吨正好用小卡车运。因
此，用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最少。
练习3:
1.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整< br>数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少分,
2.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多
少张, < br>3.某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打乒
乓球。可以 肯定至少- 16 -
五年级数学奥数培训资料
有多少人四项都会,
【例题4】 有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报
纸，其中北京日 报34份，江海晚报30份，电视报22份。那么订江海晚报和电视
报的共有多少家,
【思 路导航】这栋楼共订报纸34+30+22=86(份)，因为每家都订2份不同的报
纸，所以一共有8 6?2=43家。在这43家居民中，有34家订了北京日报，剩下的9
家居民一定是订了江海晚报和电 视报。
练习4:
1.五(1)班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全 班共带了三
种水果，其中苹果40个，梨32个，桔子26个。那么，带梨和桔子的有多少个同
学,

2.在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿两种颜色
的气球，共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有56只，黄色的有60只，绿色的有
46只。那 么，手拿红、绿两种气球的有多少个同学,
3.学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小 队的同学们每人都参加
了其中的两个小组，其中9人参加球类小组，6人参加美术小组，7人参加音乐小
组的活动。参加美术和音乐小组活动的有多少个同学,
【例题5】 一艘轮船发生漏水事故 ，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进
水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽 水14桶，50分钟把水
抽完。每分钟进水多少桶,
【思路导航】50分钟内，两台抽水机 一共能抽水(18，14)×50=1600(桶)。
1600桶水中，有800桶是开始抽之前就漏进 的，另800桶是50分钟又漏进的，因
此，每分钟漏进水800?50=16(桶)。
练习5:
1.一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20
分钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水管每分钟放水
多少吨,
2.某工地原有水泥120吨。因工程需要，又派5辆卡车往工地送水泥，平均每
辆卡车每天送 25吨，3天后工地上共有水泥101吨。这个工地平均每天用水泥多
少吨,
3.一堆货物 重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时运完。如果让两队
同时合运，几小时运完,
- 17 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第9讲 一般应用题(三)

一、知识要点
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行:
1.弄清题意，找出已知条件和所求问题;
2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径;
3.拟定解答计划，列出算式，算出得数;
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
二、精讲精练
【例题1】 甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。由于改
进技术，甲每 天多生产100个，乙的日产量提高了1倍，这样二人一天共生产
1020个。甲、乙原计划每天各生产 多少个零件,
【思路导航】二人实际每天比原计划多生产1020,700=320(个)。这32 0个零件
中，有100个是甲多生产的，那么320,100=220(个)就是乙日产量的1倍，即乙 原
来的日产量，甲原来每天生产700,220=480(个)。
练习1:
1 .工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后，1号锅炉每月
节约1吨煤，2号锅炉每 月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。原来两个
锅炉每月各烧煤多少吨,
2.甲 、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。由于更换了机器，
甲每天多做40个，乙每天生产 的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300
个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件,
3.甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因有人请
假，每天比计划少挖 15米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的2倍，这
样两队每天一共挖了150米。求两队原计 划每天各挖多少米,

【例题2】 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将 竹竿倒转过来插
入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的长。
【思路 导航】因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿了
40厘米，所以湿了的部分是40 ×2=80(厘米)。这时，湿的部分比它的一半长13厘
米，说明竹竿的长度是(80,13)×2= 134(厘米)。
练习2:
1.有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做 一个长8厘米，宽6
厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米,
2.有一根竹竿，两头 各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘
米。这根竹竿原来长多少厘米,
3 .两根电线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根
是第二根长度的4倍。两 根电线原来各长多少米,
【例题3】 将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长 5
米。长8米的总长度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米,
【思路导航】设这 15段中有X段是8米长的，则有(15,X)段是5米长的。然
后根据“8米的总长度比5米的总长度 多3米”列出方程，并进行解答。
练习3:
1.某人过一个小山坡共用了20分钟，他 上坡每分钟走80米，下坡每分钟走
102米。上坡路比下坡- 18 -
五年级数学奥数培训资料
路少220米。这段小坡路全长多少米,
2.食堂里 买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知
买回的大米比面粉多165千克， 求买回大米、面粉各多少千克,

3.老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅 笔每支0.4元，圆珠笔每支
1.2元，买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱 ,
【例题4】 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此
前4小 时甲比乙少做400个零件。又同时加工4小时后，甲总共加工的零件反而比
乙多4200个。甲、乙每 小时各加工零件多少个,
【思路导航】(1)在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400 =4600(个)零
件，甲每小时比乙多加工4600?4=1150个零件。
(2)在前 4小时内，甲实际只加工了4,2.5=1.5小时，甲1.5小时比乙1.5小
时应多做1150×1 .5=1725个零件，因此，1725，400=2125个零件就是乙2.5小时
的工作量，即乙每 小时加工2125?2.5=850个，甲每小时加工850，1150=2000个。
练习4:
1.甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙邻先于
甲4千米。又经 过3小时，甲反而领先了乙17千米。求二人的速度。
2.师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早 2小时开工，当师傅生产了2小时
后，发现自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了2小时，师傅反而 比徒弟多生
产了10个。师傅每小时生产多少个零件,
3.甲每小时生产12个零件，乙每 小时生产8个零件。一次，二人同时生产同
样多的零件，结果甲比乙提前5小时完成了任务。问:甲一共 生产了多少个零件,
【例题5】 加工一批零件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。已
知甲每小时比乙少做3个零件，这批零件一共有多少个,
【思路导航】因为甲每小时比乙少 做3个零件，8小时就比乙少做3×8=24(个)
零件，所以，24个零件就是甲(10,8)小时的 工作量。甲每小时加工
24?(10,8)=12(个)，这批零件一共有12×10=120(个)。
练习5:

1.快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4小时 ，而慢车用了
6.5小时。已知快车每小时比慢车多行25千米。甲、乙两地相距多少千米,
2.妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。已知每千
克梨比每千克苹果便 宜0.7元，妈妈一共带了多少钱,
3.师徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小 时加工的零件相
等。如果师傅每小时比徒弟多加工3个零件，那么，徒弟每小时加工多少个零件,
- 19 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第10讲 数 阵
一、知识要点
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏 ，由幻方演变出来的数阵问题，
也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法:一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母(或符 号)表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这
些字母(或符号)应具备的条件，为解答数阵问题提供 方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理
和试验 法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
二、精讲精练
【例题1】 把5、 6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横
行三个数的和与竖行三个数的和都是21 。

【思路导航】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题
意可知:A，B，C，D，E=35，A，E，B，C，E，D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=42,35=7，即中间填7。然后再根据5，9=6，8便
可把五个数填进方格，如图b。
练习1:
1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和
都是12。
2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都
是13。
3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相
等。

【例题2】 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是
30。 < br>【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1，2，3，
„„，10，a， b=30×2.即55，a，b=60，a，b=5。在1——10这十个数中1，4=5，
2，3=5 。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是(2.6，8，9)和(3.5，
7，10);当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为(1.5，9，10)和
(4，6，7，8)。
练习2:
1.把1——8八个数分别填入下图的?内，使每个大圆上五个?内数的和相等。
2.把1 ——10这十个数分别填入下图的?内，使每个四边形顶点的?内四个数的
和都相等，且和最大。 < br>3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四
格、中间四格以及 对角线四格内四个数的和都是18。

- 20 -
五年级数学奥数培训资料

【例题3】 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内
数的和相等、且最大。

【思路导航】设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、
b、c都被计 算了两次，根据题意可知:1，2，3，4，5，6，(a，b，c)除以3没有
余数。1，2，3，4 ，5，6=21.21?3=7没有余数，那么a，b，c的和除以3也应该
没有余数。在1——6六个 数中，只有4，5，6的和最大，且除以3没有余数，因
此a、b、c分别为4、5、6。(1，2，3 ，4，5，6，4，5，6)?3=12.所以有下面的
填法:
练习3:
1.将1——6六个数分别填入下图的?内，使每边上的三个?内数的和相等。
2.将1——9九个数分别填入下图?内，使每边上四个?内数的和都是17。
3.将1——8八个数分别填入下图的?内，使每条安上三个数的和相等。

【例题4】 将1——7分别填入下图的7个?内，使每条线段上三个?内数的和
相等。

【思 路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心?内的数是a，那么，三条线段
上的总和是1，2，3，4， 5，6，7，2a=28，2a，由于三条线段上的和相等，所以
(28，2a)除以3应该没有余数。 由于28?3=9„„1.那么2a除以3应该余2.因此，a
可以为1、4或7。当a=1时，(28 ，2×1)?3,1=9，即每条线段上其他两数的和是
9，因此，有这样的填法。
练习4:
1.将1——9填入下图的?中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
2.将1——11这十一个数分别填进下图的?里，使每条线上3个?内的数的和相
等。 < br>3.将1——8这八个数分别填入下图?内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和
以及横行、竖行 上四个数的和都等于18。

【例题5】 如下图(a)四个小三角形的顶 点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中
分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上 的数的和相
等。问这六个质数的积是多少,

- 21 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
【思路导航】设 每个小三角形三个顶点处?内数的和为X。因为中间的小三角形
顶点处的数在求和时都用了三次，所以， 四个小三角形顶点处数的总和是4X=20，
2X，解方程得X=10。由此可知，每个小三角形顶点处 的三个质数的和是10，这三
个质数只能是2、3、5。因此这6个质数的积是2×2×3×3×5×5 =900。如图
(b)。
练习5:
1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数
的积都相等。
2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每
条边上五个数的 和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少,
3.将1——9九个数分别填入下图?内，使外 三角形边上?内数之和等于里面三
角形边上?内数之和。

- 22 -
五年级数学奥数培训资料
- 23 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第11讲 周期问题
一、知识要点
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续
两次出现所经过的 时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而
且平时解题时也常常碰到与周期现象有关 的问题。这些数学问题只要我们发展某种
周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相 对应，就能找到解
题关键。
二、精讲精练
【例题1】 流水线上生产小木球涂 色的次序是:先5个红，再4个黄，再3个
绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2 黑、1白„„如此涂下
去，到2001个小球该涂什么颜色,
【思路导航】根据题意可知， 小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1
白，即5，4，3，2，1=15个球为一个周期，不 断循环。因为2001?15=133„„6，也
就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是 黄的，所以第2001个球涂黄
色。
练习1:

1.跑道上的彩 旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插
什么颜色,
2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是
什么颜色,
3.17=0.7„„，小数点后面第100个数字是多少,
【例题2】 有47盏灯，按 二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最
后一盏灯是什么颜色的,三种颜色的灯各占总数的几分 之几,
【思路导航】(1)我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，
47 ?9=5(组)„„2(盏)，余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯
是红灯;
(2)由于47?9=5(组)„„2(盏)，所以红灯共有2×5，2=12(盏)，占总数的124 7;
蓝灯共有4×5=20(盏)，占总数的2047;黄灯共有3×5=15(盏)，占总数的
1547。
练习2:
1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着， 这些彩旗中，红
旗占黄旗的几分之几,
2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着:?? ??????????„„，第2000颗珠子是
什么颜色的,其中，黑珠共有多少颗,
3 .在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先
两个女生，再一个男生的 规律站立着。这些同学中共有多少个女生,
【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几,
【思路导航】一个星期是7 天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是
第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星 期一。计算天数时为了方便，
我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用(8,1)?7=1 .没有余数说明8

号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日 ，要经过92天，
92?7=13„„1.余1天就是从星期一往后数一天，即星期二。
练习3:
1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几,
2.如果今天是星期五，再过80天是星期几, A B C D E
3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几,
1 3 5 7 【例题4】 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、
15 13 11 9 D、E为代表，问:2001所在的列以哪个字母为代表,
17 19 21 23
- 24 - 31 29 27 25
… … … …
… … … …
五年级数学奥数培训资料
【思路导航】这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这 一列数中的第
1001个数，1001?8=125„„1.即2001是这列数中第126组的第一个 数，所以它所在
的那一列是以字母B为代表的。
练习4:
1.将偶数2、4、6、8、„„按下图依次排列，2014出现在哪一列,
2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列,
A B C D E A B C D
8 6 4 2 1 2 3
10 12 14 16 6 5 4
24 22 20 18 7 8 9
26 28 30 32 12 11 10

… … … … … … …
… … … … … … …

3.
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为(小热)，第二组为(学爱)。求第460组是什么,
【例题5】 888„„8[100个8]?7，当商是整数时，余数是几,

【思路导航】
从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、0不断
重复出现。我们可 以用100除以6，观察余数就知道所求问题了。100?6=16„„4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。
练习5:

1.444„„4[100个4]?3当商是整数时，余数是几,
2.444„„4[100个4]?6当商是整数时，余数是几,
3.111„„1[1000个1]?7当商是整数时，余数是几,
- 25 -
五年级数学奥数培训资料 姓名:__________________
第12讲 盈亏问题
一、知识要点
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定 的对象，如果
按某种标准分，则分配后会有剩余(盈);按另一种标准分，分配后又会有不足
( 亏)，求物品的数量和分配对象的数量。例如:把一代饼干分给小班的小朋友，每
人分3块，多12块; 如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人,饼干有多少块,这
种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标 准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是:(盈，亏)?两次所分之差=人数;还有一些非标准的
盈亏问题，它们被分为四类:1.两盈:两次分配都有多余;2.两不足:两次分配都不
够;3 .盈适足:一次分配有余，一次分配够分;4，不足适足:一次分配不够，一次分
配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记
住:
1.“两亏”问题的数量关系是:两次亏数的差?两次分得的差=参与分配对象总
数;
2.“两盈”问题的数量关系是:两次盈数的差?两次分得的差=参与分配对象总
数;
3.“一盈一亏”问题的数量关系是:盈与亏的和?两次分得的差=参与分配对象
总数。

二、精讲精练
【例题1】 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生， 增加一名男生，则
男生为总数的一半;如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生,
【思路导航】(1)由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人 数的一半”
可知:女生比男生多2人;(2)“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多
2，2=4人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。原来女生有
8,1=7人， 男生有7,2=5人，共有7，5=12人。
练习1:1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如 果白粉笔减少10盒，彩色
粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多;如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就 是彩色
粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒,
2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加8 0吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样
重;苦甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。 两堆货物一共有多
少吨,
3.五(1)班的优秀学生中，苦增加2名男生，减少1名女生， 则男、女生人数
同样多;苦减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。这些优秀学生中
男、女生各多少人,
【例题2】 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少4 个;
如果每个小朋友只发给4个，则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友,共有多
少个苹果 ,
【思路导航】如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数大于4;如果每
个小朋友 只发给4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿4，
4=8个苹果。因为小朋友人数大 于4，所以，一定是每人少拿1个，有8?1=8个小
朋友，有8×4，4=36个苹果。