我的祖国妈妈-水浒传读书笔记

第一讲 整除问题初步





从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．
什么是数论呢？
人类 从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很
多奇妙的数学规律，正 是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现
了数论这门学科．
确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．
我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．
数论在数学中的地位是独 特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数
论是数学的皇冠”．


一、 整除的定义

如果整数a除以整数b（
b0
），除得 的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，
也可以说b能整除a，记作
b|a
．
如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a．

二、 整除的一些基本性质：
1． 尾数判断法
（1） 能被2，5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除．
（2）能被4，25整除的数的特征：末两位能被4或25整除．
（3）能被8，125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．
2． 数字求和法
能被3，9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除．
3． 奇偶位求差法
能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除．
．．．．．．
我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数
的第2、4、 6位，……，统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，
把“偶数位上的数字之 和”简称为“偶位和”．
下面我们来看一下如何运用这些性质．

例题1. 判断下面11个数的整除性：
23487，3568，8875，6765，5880，7538，1 98954，6512，93625，864，407
（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？
（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？
（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？
（4）哪些数能被11整除？
【分 析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不
妨根据整除特 性判断一下．


练习1. 在数列3124、312、3823、45235、5 289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，
哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？

如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得 到的结果还能被3整除；同样的，
如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被 11整除．从中我们可
以总结出如下规律：
和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，那它们的和与差也都能被a
整除．

例题2.
173
是一个四位数．文老师说：“我在其中的方框内先后填入 3个数字，得到3
个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之 和是
多少？
【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析．需要分别用到9、11和8的整除特性．



练习2. 在
23
5整除．



上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题．下面我们再来看
一看，涉 及多个数的整除问题应该如何解决．

例题3. 牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数 记在一张纸上．但是记账的那张纸破了
两个洞，上面只剩下“
67
的方框内先后填上3 个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、
8
”，其中方框表示破了的洞．牛叔叔记 得每名工人的工
资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除．我们没有学过被45
整除的数的特 征．但注意到
4559
，于是
67
先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？

练习3. 四位数
3


8
应该能同时被5和9 整除，那么
3
能被36整除，那么这个四位数可能是多少？

在例
3
中，我们并不知道
45
的整除特征，但是
4559
，能被
45
整除的数，也能被
5
和
9
整除， 那么只需考虑
5
和
9
的整除特征即可．

请同学们注意，虽然
45315

，但是在考虑能否被
45整除时，不能只考虑被
3
和
15
整除．你能想明白为什么吗？




例题4.
一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话． 服务人员告诉他，目前只有形如
“
123468
”的号码可以申请．也就是说，在申请 号码时，方框内的两个数字可以
随意选择，而其余数字不得改动．王经理打算申请一个能同时被8和11 整除的号码．请
问：他申请的号码可能是多少？
【分析】要被8整除，说明号码的后三位
6
唯一的吗？



练习4. 七位数
22



有时候满足题目条件的答案会 非常多．如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从
极端情况考虑即可．


例题5. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？
【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、…．如
果想让五位数 尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？

8
是8的倍数．想一下，这样的三位数 是
333
能被44整除，那么这个七位数是多少？
例题6.
由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多
少？
【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数．那么奇位和与偶位
和的和 又是什么呢？

课
堂 内 外
天才未必事事都聪明 牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾
了，大人让牛顿在粮仓 的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老
猫，小的给小猫．
其实在整除性的 问题当中也有类似情况．比如要在
200
的方框中填入两个数
字使得这个五位数同时能 被4、5、8整除，实际根本不用考虑4，只要考虑5和8即
可，因为能被8整除的也必然能被4整除． 如果你还要再考虑4的整除性，那就多
此一举了．

作业
1.

下面有
9
个自然数：
48
，
75
，
90
，
122
，
650，
594
，
4305
，
7836
，
4100< br>．其中能被
4
整
除的有哪些？能被
25
整除的有哪些？

2.

有如下
5
个自然数：
12345
，189
，
72457821
，
333666
，
5428 9
．其中能被
9
整除的有哪
些？

3.

有如下
5
个自然数：
3124
，
3823
，
452 35
，
5289
，
5588
．其中能被
11
整除的 有哪些？

4.

125
是一个四位数．王老师说：“我在其中的方 框内先后填入
3
个数字，得到
3
个四
11
，
8整除．位数，依次能被
9
，”问：王老师在方框中先后填入的
3
个数字之 和是多少？

5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总 价数字也不
全，只能认出：
















11.4
元（表示不明数字）．请问总价应该是多少？

第一讲 整除问题初步

例题1. 答案：（1）能被4整除的有3568、5880、6512、8 64；能被8整除的有3568、5880、
6512、864．（2）能被25整除的有8875、9 3625；能被125整除的有8875、93625．（3）
能被3整除的有23487、6765、 5880、198954、864；能被9整除的有198954、864．（4）
能被11整除的有4 07、6765、6512．

例题2. 答案：21
详解：要想让四位数能被9 整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7．要想让四位数
能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11 的倍数，空格中要填8．要想让四位数能被
8整除，需要后三位即
73

例题3. 答案：67680或67185
详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时 被5和9整除，个位只能是0或5，
对应的百位是6或1．

是8的倍数，空格中要填6．三个数字之和是21．

例题4. 答案：12345608、12341648、12348688
详解：末三位被8整除，十位数字只 能是0、4、8．要满足号码能被11整除对应的千
位数字只能是5、1、8．

例题5. 答案：10395；98730
详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也 得是9的倍数．那么五位数的末尾只
能是0或5．先来看最小的数．要让前面数位上的数字尽量小，可以 是
105
．要满
足它是9的倍数且最小，应该是10395．再来看最大，要让前面数 位上的数字尽量大，
可以是
98

例题6. 答案：875413
详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数．这六个数字的和是28，
而最大的三个 数的和是20，也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20，所以只
能把28分成两个14，偶位 为8、5、1，奇位为7、4、3．

练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312 、5588；能被3整除的数有312、5289、7314；
能被11整除的数有3124、5588 ．
5
或
980
．要满足它是9的倍数且最大，应该是98730．

练习2. 答案：本题的答案不止一种，要想被3整除，空格中可以填1、4、7．要想 被4整
除，空格中可填2或6．要想被5整除，空格中可填0或5．

练习3. 答案：3132或3636
简答：要想被36整除，这个四位数要既是4的倍数，也是9的倍数．要想 是4的倍数，
个位上的空格中可填2或6．要想满足四位数是9的倍数，百位上的空格对应要填1或6．

练习4. 答案：2213332或2283336
简答：这个七位数 既是4的倍数，也是11的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中
可填2或6，剩下的空格中对应可填 1或8．


作业1. 答案：
48
，
7836
，
4100
；
75
，
650
，
4100
简答：
4
和
25
看末两位．


作业2. 答案：
189
，
72457821
，
333666
简答：被
9
整除看数字和．


作业3. 答案：
3124
，
5588
简答：被
11
整除看奇位和与偶位和的差．


作业4. 答案：
11
简答：填入的三个数字分别为
1
，
4
，
6
，数字和为
11
．


作业5. 答案：811.44元
简答：
7289
，分别考虑8和9的整除特性．