抗战纪念日-社区活动体会

第一课 巧算加减法

教学目标：
1、学会“化零为整”的思想。
2、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
3、加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或
者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们 的和不变。
教学重点：加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使
每组 的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。
教学难点：有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。
教学过程
学习例1：凑整法
23＋54＋18＋47＋82；
解：23＋54＋18＋47＋82
＝(23＋47)＋(18＋82)＋54
＝70＋100＋54＝224；
学习例2：借数凑整法
有些题目直观上凑 整不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976＋85，
可在85中借出24，即把85拆分成24 ＋61，这样就可以先用976加上24，
“凑”成1000，然后再加61。
(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)。
解：(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)
＝1350＋49＋68＋51＋32+1650
＝(1350＋1650)＋(49＋51)＋(68＋32)
＝3000＋100＋100＝3200
学习例3：分组凑整法
计算：(1)875-364-236；
(2)1847-1928＋628-136-64；
解：(1)875-364-236
=875-(364＋236)
=875-600=275；
(2)1847-1928＋628-136-64
=1847-(1928-628)-(136＋64)
=1847-1300-200＝347；
4.加补凑整法
学习例4计算：(1)512-382；
(2)6854-876-97；
解：(1)512-382=(500＋12)-(400-18)
1

=500+12-400+18
＝(500-400)＋(12＋18)
＝100＋30＝130；
(2)6854-876-97
=6854-(1000-124)-(100-3)
=6854-1000＋124-100＋3
=5854+24+3＝5881；
习题：
1.(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)。
2.4993＋3996＋5997＋848。
3.1348-234-76＋2234-48-24。
4.397-146＋288-339。


第二课 和倍问题

教学目标：
1、学会运用画图线的方法表示和倍关系中两个量，以更方便的找到解题的
思路。
2、熟练掌握解答和倍问题的方法，理解和倍问题中各个量之间的关系。
教学重点：运用画图线的方法，准确分析各量之间的关系。
教学难点：能够理解和倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。
教学过程：
学习例 1：甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和
乙班各有图书多少本？
集体讨论：甲班和已班各占多少分，你能不能画出倍数图线？
分析与解答：设乙班的图书本 数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班
和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以 理解为4份的数量是
160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.
用下图表示它们的关系：




解：乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）
或 160-40=120（本）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
2

这道应用题解答完了，怎样验算呢？
可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本
数除以乙班本数， 看是不是等于3倍.如果与条件相符， 表明这题作对了.注
意验算决不是把原式再算一遍。
验算：120＋40=160（本）
120÷40=3（倍）。
学习例2： 甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班
的图书是乙班图书的2倍？
集体讨论：你能画出图线来表示题中甲班和已班的倍数的关系吗？




分析与解答：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件
中得出 ，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两
班图书总和是不变的量.最后要求 甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班
图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方 法， 先求出乙班现
有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见
上图）。
解：①甲、乙两班共有图书的本数是：
30＋120=150（本）
②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：
2＋1＝3（倍）
③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）
④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）
综合算式：
（30＋120）÷（2+1）=50（本）
50-30=20（本）
答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。
验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）
（120-20）+（30+20）＝150 （本）。
习题：
1.小明和小强共有图书120本，小强的图书本数是小明的2倍，他们两人
各有图书多少本？
2.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20
棵，两种树各种了 多少棵？


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第三课 差倍问题

教学目标：
1、进一步掌握运用画图线的方法表示差倍关系中的两个量。
2、比较和倍问题的阶梯方法的基础上，熟练掌握解答差倍问题的方法，理
解和倍问题中各个量之间的 关系。
教学重点：运用画图线的方法，准确分析差倍关系中各量之间的关系。
教学难点：能够理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。
教学过程：
前面讲 了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、
形象，使我们能比较顺利地解答此类应 用题.下面我们再来研究与“和倍”问题
有相似之处的“差倍”应用题。“差倍问题”就是已知两个数的 差和它们的倍
数关系，求这两个数。
学习例1： 甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，
甲班和乙班各有图书多少本？




分析与解答:
上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍， 那么甲
班的图书本数比乙班 多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80
本相对应，可以理解为2倍是80本，这样 可以算出1倍是多少本.最后就可以
求出甲、乙班各有图书多少本。
解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）
②甲班的本数： 40×3=120（本）
或40＋80=120（本）。
验算：120-40＝80（本）
120÷40=3（倍）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
学习例2： 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千
克，剩下 的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？





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分析与解答：
这样想： 根据“菜 站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看
作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千 克后，剩下两种蔬菜的重量正好相
等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克） .从上图中清楚地看到
这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多 少
千克，再求运来的白菜是多少千克。
解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）
②运来白菜： 750×3=2250（千克）
验算：
2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）
750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）
答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。
学习例3： 有两根同样长的绳子，第 一根截去12米，第二根接上14米，这时
第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？






分析与解答：
上图， 两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子
又接上14米后，第二根的长度是第 一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看
作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子 剩下的长度的2倍.所以，
当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有 长
度也就可以求出来了。
解：①第一根截去12米剩下的长度：
（12+14）÷（3-1）＝13（米）
②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）
答：两根绳子原来各长25米。
自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳
子原来各有多长.
小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应
关系.用除法求出 1倍数， 也就是较小的数，再求几倍数。
解题规律：
差÷倍数的差=1倍数（较小数）
1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）
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或：较小的数+差=较大的数。
学习例4： 三（1）班与三（2）班原有 图书数一样多.后来，三（1）班又买来
新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小 同学，这时，三
（1）班图书是三（2）班的3倍，
求两班原有图书各多少本？





分析与解答：
两个班原有图书一样多.后来三 （1）班又买新书74本，即增加了74本；
三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学， 则图书减少了96本.
结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170< br>（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图
书是三（2） 班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的
3-1=2倍，三（2）班所剩图书 本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求
出来了（见上图）。
解：①后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？
74＋96=170（本）
②三（2）班剩下的图书是多少本？
170÷（3-1）=85（本）
③三（2）班原有图书多少本？
85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）
综合算式：
（74＋96）÷（3-1）＋96
＝170÷2+96
＝85＋96
=181（本）
验算：181+74=255（本）
181-96=85（本）
255÷85=3（倍）
答：两班原来各有图书181本。

习题：
1.一只大象的体重比一头牛重4500千克， 又知大象的重量是一头牛的10
倍，一只大象和一头牛的重量各是多少千克？
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2.果园里的桃树比杏树多90棵，桃树的棵数是杏树的3倍，桃树和杏树各
有多少棵 ？




第四课 和差问题
教学目标：
1：学会运用画图线的方法表示倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思
路。
2：更熟练掌握解答差倍问题的方法，理解差倍问题中各个量之间的关系。
教学重点：更加熟练的运用画图线方法，更准确分析各量之间的关系。
教学难点：能够更好的理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量的关系。
教学过程：
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的
应用题。
为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题
目明确给了两个数的差，而有 些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗
藏的差叫“暗差”。
学习例1： 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多
少千克？
分析与解答： 我们可以这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重
150＋8＝158（千克）；假设第一筐 重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142
（千克）.





解法1：①第二筐重多少千克？
（150-8）÷2=71（千克）
②第一筐重多少千克？
71＋8=79（千克）
或 150-71=79（千克）
解法2：①第一筐重多少千克？
（150+8）÷2＝79（千克）
②第二筐重多少千克？
79-8=71（千克）
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或150-79=71（千克）
答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。
学习例2：今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多
少岁？




分析与解答： 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是 已知两人今年的年
龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是
保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问
题的解题思路 就能解此题。
解：①爸爸的年龄：
[58＋（35-7）]÷2
=[58＋28]÷2
=86÷2
=43（岁）
②小强的年龄：
58-43＝15（岁）
答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。
学习例3 ： 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8
分，问语文和数学各得了几分？
分析与解答： 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩
之差是8分，但 是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了
两科的平均成绩是94分，这就可以求得 这两科的总成绩.




解：①语文和数学成绩之和是多少分？
94×2＝188（分）
②数学得多少分？
（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）
③ 语文得多少分？
（188-8）÷2=180÷2=90（分）
或 98-8=90（分）
答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.

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练习：
1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少
棵？
2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶
油重量相等，问甲、乙两 桶原有多少油？



第五课 鸡兔同笼问题
教学目标：
1：使学生在解题时初步掌握用假设法解决鸡兔同笼问题。
2：进一步熟练差倍和倍及平均数问题的解题方法。
教学重点：如何掌握用简单的假设的方法解题，灵活运用差倍和倍方法解。
教学过程：
学习例1：（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析与解答： 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128
只脚相比多了184-12 8=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2
（只）脚.那么，46只兔里应该换进 几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？
显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行 了.所以，鸡的只数就是
28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于 是根据鸡兔的总
只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相
比 较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以
算出共有多少只鸡.我们称 这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题
的基本关系式是：
鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚
数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡。
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学习例2：鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
分析与解答： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，
而是给出了它们 脚数的差.这又如何解答呢？ 假设100只全是鸡，那么脚的总
数是2×100=200（只）这时兔 的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡
脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多 了（200-80）=120
（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增 加2
只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加 （2+4） =6 （只） ，
所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
学习例3：红英小学三年级有3个班共135人，二班比 一班多5人，三班比二班
少7人，三个班各有多少人？
分析与解答： 我们设想，如果条件 中三个班人数同样多，那么，要求每班有多
少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人 数同样多来分析求
解。 结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准， 则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，
请你算一算， 假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多
少？





解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
分析2 假设一、 三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5
人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人 数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3
=147÷3
=49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
想一想：根据解法1、解法2的思路，还可以怎样假设？怎样求解？
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学习例4： 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
分析与解答： 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把
小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人， 多出的18人是把18÷2=9 （条）
小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条）
10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
练习：
1.小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张， 问两种邮票各买多
少张？
2.有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？



第六课 复习课

复习：巧算加减法 、和倍问题、差倍问题、和差问题、鸡兔同笼问题

练习题
1用简便方法计算下列各题。
（1）45+38+55
（2）442-196+158
（3）2+4+6+....+100
2.一个长方形的周长是48厘米，长是宽的3倍，求长方形的面积。
3.甲乙两人共加工零 件100个，甲加工的零件个数是乙加工零件个数的2
倍少20个，求甲乙两个人各加工多少个零件。
4.妈妈的年龄比小明大24岁，今年妈妈的年龄正好是小明的4倍，今年妈
妈和小明的年龄各 是多少。
5.某校男生、女生男生人数比女生人数多74人，男生女生各多少人。
6.小丽数学和语文平均分是95分，语文比数学多2分，求小丽语文和数学
各是多少分。
7.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只，鸡兔各有多少只。

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第七课 归一问题

教学目标：
1、 让学生初步了解归一化问题，并掌握解决正归一问题，反规一问题
的方法。
2、 通过老师讲解，使学生掌握分析归一问题的方法。
3、 熟悉并掌握归一应用题的解题步骤。
教学重点：会分析归一应用题，使之转化为数学问题，并运用数学方法解决。
教学难点：反归一问题的计算。
教学过程：
归一问题有两种基本类型.一种是正归 一，也称为直进归一.如：一辆汽车3
小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归 一，也称为返回
归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？
正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量； 不同点在第二
步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。
学习例1 ： 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？
集体讨论：一只小蜗牛6分钟爬行12分米，那么蜗牛一分钟爬行多远？
分析与解答： 为 了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分
米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要 求算出结果。
解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）
② 1小时爬几米？1小时=60分。
2×60=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
小结 还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时 间与时间）的倍数
（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。
解：1小时=60分钟
12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）
或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
学习例2： 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这
样计 算，磨完剩下的面粉还要几小时？
集体讨论：加工厂一小时磨多少千克面粉？
分析与解答：
方法1：
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通过3小时磨6000千克， 可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要
几小时，所以剩下的量除 以1小时磨的数量，得到问题所求。
解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）
答：磨完剩下的面粉还要7小时。
学习例3： 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足 球和5个篮球共花了281
元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共 花多
少元？
分析与解答 要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球
和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，
而篮球相差7- 5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的
价钱，从而可以求出一个 篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问
题得解。
解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5） =37元
②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）
③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）
答：买5个足球，4个篮球共花308元。
学习例4： 一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水
管.单开进 水管8小时可以把空池注满； 单开排水管6小时可把满池水排空.两
管齐开需多少小时把满池水排空？
分析与解答 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水
速度和排水速度 .当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，
即单位时间内排出的水等于进水与排水速 度差.解决了这个问题，又知道总水
量，就可以求出排空满池水所需时间。
解：①进水速度：480÷8=60（吨小时）
②排水速度：480÷6=80（吨小时）
③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）
列综合算式：
480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）
答：两管齐开需24小时把满池水排空。
学习例5： 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨， 要求5
趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？
分析与解答：
方法1：
要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运
完560吨沙 土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。
解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？
336÷6÷7=56÷7=8（吨）
② 560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？
13

560÷5＝112（吨）
③需要增加同样的卡车多少辆？
112÷8-7＝7（辆）
列综合算式：560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）
答：需增加同样的卡车7辆。
方法2：
在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：
336÷6÷7 ① ， 336÷7÷6. ② 算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨
数，再除以7求出每辆卡车的 载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运
的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量。 在求560吨沙土5次运完需要多
少辆卡车时，有以下几
种不同的计算方法：

求出一共用车14辆
后，再求增加的辆数就容易了。
学习例6： 某车间要加工一 批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5
天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可 是又要增加6人.求每天加
班工作几小时？
分析与解答： 我们把1个工人工作1小时， 作为1个工时.根据已知条件，加
工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知 道了工
作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，
仍然按照 原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出
要加班的工时数，问题就解决了。
解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：
8×18×7.5=1080（工时）
②增加6人后每天工作几小时？
1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）
③每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时）
答：每天要加班工作3.25小时。


练习：
1. 花果山上桃树多，6只小猴分180棵.现有小猴72只，如数分后还余90
棵，请算出桃树有几棵？
2. 5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加
几箱蜜蜂？


14

第八课 盈亏问题

教学目标：
1、让学生初步了解盈亏问题，并掌握解决盈亏问题的方法。
2、通过老师讲解，使学生掌握分析盈亏问题的方法。
3、熟悉并掌握盈亏应用题的解题步骤。
教学重点：关键求出总差数，以及两次分配的数量之 差，然后按照公式求出人
数，在求物品的数量。
教学难点：比较法计算。
教学过程：
学习例1：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7< br>块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少
块？
分析 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：
每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差
5-4=1（块）。
第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9
（块）
每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。
共有砖：4×9＋7＝43（块）。
解：（7+2）÷（5-4）=9（人）
4×9+7=43（块）或 5×9-2=43（块）
答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。
如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先
队员，有多少块砖吗？
由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不
同搬法产生的总差 数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对
这题来说就是搬砖的人数.
学习例2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4
个，要多出48个苹果；如果每 天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹
果有多少个？计划吃多少天？
分析 题 中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹
果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数 的变化就能看出，由每天吃4个变为每天
吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个， 也就是所需的苹
果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面< br>含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有
15

多少个苹果了。
解：（48+8）÷（6-4）
=56÷2
=28（天）
6×28-8=160（个）或 4×28＋48=160（个）
答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。
如果 条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，
则还多出8个”，问苹果应该有多 少个，计划吃多少天？
分析 改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变 ，
苹果总数由原来多出48个变为多出8个.那么所需苹果总数要相差：48-8=40
（个）
解：（48-8）÷（6-4）
=40÷2
＝20（天）
4×20＋48=128（个）或 6×20＋8=128（个）
答：有苹果128个，计划吃20天.
学习例3 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每 分种走60米，可提
早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
分析 小明每分钟走60米，可提早10分钟 到校，即到校后还可多走60×
10=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校 后还可多走50
×8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50＝10（米），就 可
以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。

解：①10分种走多少米？60×10＝600（米）
② 8分种走多少米？50×8＝400（米）
③需要多长时间？
（600+400）÷（60-50）=20（分钟）
④由家到校的路程：
60×（20-10）=600（米）
或：50×（20-8）=600（米）
答：小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。
学习例4 学校为新 生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间
住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新 生有多少人？
分析 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房
间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加
5-3=2（人）. 两次安排人数总共相差23+15＝38（人），因此，房间总数是：
38÷2=19（间），学生总数是：3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80
16

（人）。
解：（23+5×3）÷（5-3）
＝（23＋15）÷2
＝38÷2
＝19（间）
3×19+23=80（人）或 5×19-5×3＝80（人）。
答：有19间宿舍，新生有80人。
学习例5 少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没 人种；如果其中2
人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植
树，一共种多少树苗？
分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上 ：如
果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种
种树的情况 ——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情
况，让每人都种6棵，那么，就可以 多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问
题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种； 如果每人种6棵树
苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？
解：[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）
5×7+3＝38（棵）
或6×7-4＝38（棵）
答：有7个少先队员，一共种38棵树。

练习：
1. 红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人，则有5人不能乘上
车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
2.三年级一班 少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；
如果每人搬5块，则多1块砖.这个班少先 队有几个人？要搬的砖共有多少块？

第九课 寻规律填数

教学目标：
1、让学生初步了解数列问题。
2、通过老师讲解，使学生掌握求数列规律问题的方法。
教学重点：掌握常见数列的规律
（1）数列的各项只与项数有关，或只与前一项有关
（2）前后几项为一组，以组为单位观察规律
（3）数列比较复杂，分步找规律。
教学难点：难点：培养学生观察能力，发现规律．
教学过程：
17

学习例1：
找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数
(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；
(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；
(3) 3，7，10，17，27，( )；
(4) 1，2，2，4，8，32，( )。
解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
(1)把数列每两项分为一组，1，2， 2，3，3，4，不难发现其规律是：前一
组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。
(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的
商都是2，且由5 ，6，7的次序知，应填8，4。
(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填
( 17+27=)44。
(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×
32=)256。
学习例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)18，20，24，30，( )；
(2)11，12，14，18，26，( )；
(3)2，5，11，23，47，( )，( )。
解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列
2 ，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故
a5=8+30=38。
(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26- 18=8，组成一新数列1，2，4，
8，…按此规律，8后面为16。因此，a6-a5＝a6-26 =16，故a6＝16+26=42。
(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以
a6=2a5+1＝2×47+1＝95，
a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
练习：
1. 12，15，17，30， 22，45，( )，( )；
2. 2，8，5，6，8，4，( )，( )。


第十课 年龄问题

教学目标：
年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已 知两个人或若干个人的年
龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差
18

等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。
教学重点：
大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个< br>特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。
教学难点：
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。
教学过程：
学习例1 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸
爸妈妈二人各多少岁？
分析 五年后，爸比妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁.它是一个不变量.所
以爸爸、妈妈 现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈
的年龄和是72岁，他们的年龄差是6 岁，求二人各是几岁”的和差问题。
解：①爸爸年龄：（72+6）÷2=39（岁）
②妈妈的年龄：39-6=33（岁）
答：爸爸的年龄是39岁，妈妈的年龄是33岁。
学习例2 在一个家庭里，现在所有成员的年 龄加在一起是73岁.家庭成员
中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子 大2岁.
四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？
分析 根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，可以求出到现在每
个人长4岁以后的实际年龄和 是58+4×4=74（岁）。
但现在实际的年龄总和只有73岁，可见家庭成员中最小的一个 儿子今年只
有3岁.女儿比儿子大2岁，女儿是3+2=5（岁）.现在父母的年龄和是73-3-5=65（岁）.又知父母年龄差是3岁，可以求出父母现在的年龄。
解：①从四年前到现在全家人的年龄和应为：
58+4×4=74（岁）
②儿子现在几岁？ 4-（74-73）=3（岁）
③女儿现在几岁？3+2=5（岁）
④父亲现在年龄：（73-3-5+3）÷2=34（岁）
⑤母亲现在年龄： 34-3=31（岁）
答：父亲现在34岁，母亲31岁，女儿5岁，儿子3岁。
学习例3 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5
倍？
分析 父女年龄差是50-14=36（岁）.不论是几年前还是几年后，这个差是
不变的.当父亲的年 龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36
岁是父亲比女儿多的5-1=4（倍）所对 应的年龄。
解：（50-14）÷（5-1）=9（岁）
19

当时女儿9岁，14-9=5（年），也就是5年前。
答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍.
练习
1 . 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问：母亲
今年多少岁？
2. 10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍.15年后，吴昊的年龄是他儿子
的2倍.现在父子俩人的年龄 各是多少岁？




第十一课 植树问题

教学目标： 1、使学生掌握直线上植树问题的三种类型。
2、培养学生观察能力。
教学重难点：分析植树问题类型。
教学过程：
学习 例1：植树节到了，同学们要给一条长100米的小路的一边栽树，每
隔5米栽一棵，小路的一端栽树， 另一端不栽，需要栽多少棵树？
思路解析：首先让学生判断是否为上述类型。让后根据段数与棵 数相
等，段数=总距离÷棵距，就可求出棵树。
100÷5=20（棵）
答：需要栽20棵树。
学习例2：一条河堤长400米，从头到尾栽了101棵柳树，每隔几米栽一棵
柳树？
思路解析：“从头到尾栽了101棵柳树”说明是第二种类型（两端都植
树），棵树=段 数+1，栽了101棵树，就有（101-1）=100（段），根据总距
离÷段数=棵距。
400÷（101-1）
=400÷100
=4（米）
答：每隔4米栽一棵柳树。
学习例3：一根木头锯成4段要9分钟，如果每次锯的时间相同，那么锯成
7段要多少分钟？
思路解析：把一根木头锯成4段要锯3次，可求出锯一次要3分钟。而
锯成7段，就是要 锯6次，就需18分钟。
9÷（4-1）=3（分钟）
3×（7-1）=18（分钟）
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答：锯成7段要18分钟。
练习：
1.同学们排队做操，40人平均排成2队，两人之间间隔1米，队伍有多长？
2.广告公司在 高速公路的两个收费站之间竖广告牌（两个收费站不竖），这
两个收费站相隔200千米，如果路的两边 每隔1千米竖1个，一共能竖多少个
广告牌？





第十二课 有趣的数谜

教学目标：
1、 总结理解解数谜的方法，学会结数谜的技巧。
2、 培养学生学习奥数的兴趣和自信心。
教学过程：
一、导入语：
数字谜和填算式一样，也是一 种锻炼我们思维的体操，他的特点是给
出运算式子，但式子中某些数字用字母或汉字代替，要求我们进行 恰当
的运算和推想，从而确定解出这些数字问题。对于我们学习数学，提高
分析问题的能力是非 常有益的。
二、教学过程：
1、教学例3：
A B 8 B
－ A 9 C 求出A= B= C=
8 8 8
学生自己尝试练习。
解题思路：灵活运用 差＋除数＝被除数
888＋A9C=AB8B A=1; 看百位，8＋1＋1＝10，B＝0，
C＝2。
2、教学例4：
a b c
+ a b c
3 2 6
请求出abc＝ 。
21

解题思路：从个位入手2c＝6 所以c＝3，再求十位，百位，特别注意百
位上是数是3，所以十位必须是向百位进了1。
3、教学例5：
盼 奥 运
× 会 求出“奥运会：代表那些数字？
2 0 0 8
解题： 盼奥运＝251 会＝8
4、解数字谜的技巧：
（1） 数字只有0、1、2……9这十个数字，最高位不是0。
（2） 退位要留意，要大胆试验。
（3） 相同的字母表示相同的数字，从个位和高位入手，或从有数字多的入
手。
练习：
1、 香港
香港归
＋ 庆香港归
1 9 9 7

2、 好学习 求出好＝ 学＝ 习＝
－ 学习好
好学

3、 “未来杯”小学数学竞赛试题：
好 未 来 杯 赛
× 好
赛 1 9 9 9 赛 求出：好未来杯赛＝







22

第十三课 操作问题
教学目标：
1、所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换， 这种
变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以
2。这就是一 次操作，是可以具体执行的。
2、使学生理解操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。
教学过程：
例1 对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时 ，
除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能
出现100 ？为什么？
讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到

这个过程 还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到
100。当然，连续操作下去会发现， 数字一旦重复出现后，这一过程就进入循
环，这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长，所以 这不是好方法。
解：因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数，所以不可能出现。
由例1看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍
门。
23

例2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一
次变 换。如对18和42可进行这样的连续变换：
18， 42—→ 18， 24—→ 18， 6—→ 12， 6—→ 6， 6。直到两
数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连 续变换，最后得到的两
个相同的数是几？
分析与解：如果两个数的最大公约数是a，那么这两 个数之差与这两个数中
的任何一个的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公< br>约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为
12345和5432 1的最大公约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。
注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。
例3 右图是一个圆盘，中 心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所
对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动9 0°的任意整数倍，圆
盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？

解：不可能。因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四
个数之和永远是10的整数倍。 999×4=3996，不是10的倍数，所以黑板上的
四个数不可都是999。
例4 在左 下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减
1，这算作一次操作。经过若干次操作后， 左下图变为右下图。问：右下图中A
格中的数字是几？
24

< br>分析与解：每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜
色（见右图）。因为每次 操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加1或减1，
所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之 和的差保持不变。因为原题
左图的这个差是13，所以原题右图的这个差也是13。由（A＋12）-1 2=13解得
A=13。
例5 将1～10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面 的数大于后
面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的
数为止 。当1～10十个数如下排列时，需交换多少次？
8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。
分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如，从最大的
数10开始交换，将1 0交换到它应在的位置后，再依次对9，8，7，…实施交
换，直至按从小到大排列为止。
因 为10后面有5个比它小的数，所以对10连续交换5次，10到了最右
边，而其它各数的前后顺序没有 改变；再看9，9后面有3个比它小的数，需交
换3次，9到了右边第二位，排在10前面；再依次对8 ，7，6，…实施这样的
交换。
10后面有5个比它小的数，我们说10有5个逆序；9后面 有3个比它小的
数，我们说9有3个逆序；类似地，8，7，6，5，4，3，2依次有7，3，3，< br>4，1，0，1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换
5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）。
25

例6右图是 一个5×6的方格盘。先将其中的任意5个方格染黑。然后按以
下规则继续染色：
如果某个格 至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。这样操作
下去，能否将整个方格盘都染成黑色？

分析与解：以一个方格的边长为1，开始时5个黑格的总周长不会超过4×
5=20 。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边，所以染黑后
所有黑格的总周长不会增加。左 下图中，A与4个黑格有公共边，染黑后，黑格
的总周长将减少4；下中图中，A与3个黑格有公共边， 染黑后，黑格的总周长
将减少2；右下图中，A与2个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也< br>就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周长永远不会超过20，而5×6方格盘
的周长是 22，所以不能将整个方格盘染成黑色。


练习：
1.黑板上写着1 ～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的
和减1。例如，擦掉5和11，要写上15 。经过若干次后，黑板上就会只剩下一
个数，这个数是几？
26

2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最
小自然数替换这个数，称为一 次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会
出现2？
3.口袋里装有101张小纸片，上 面分别写着1～101。每次从袋中任意摸出
5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个 和的后两位数写在一
张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张
纸片上的数是几？


第十四课 算式迷
同学们，你玩过电脑游戏 “24点”吗？说起来，它还真有趣呢。任意抽出
四张牌，按上面的数，运用加减乘除（也可以用括号） 计算得出24。在这个游
戏中，我们每个人都能展示不同的创造力，快来试试吧！
思路展示：
例[1]：运用各种符号把三个相同的数连起来,使结果等于0、2、4。
⑴ 4 4 4 = 0 ⑵ 4 4 4 = 2 ⑶ 4 4 4 = 4

（1）这道题的结果为0，联想到：“两个相同的数之差为0。”“零乘以任 何数积为0”。“零

除以非零数商为零”等结论。用三个4凑0可以有以下几种情况：（4- 4）×4=0，（4-4）÷4=0
（2）这三个4的计算结果为2，就要把三个4分成两部分，使其结果等于2。（4+4）÷4=2
（3）这三个4的计算结果为4,就想1乘4还得4。把前两个数得1，即（4÷4）×4=4


例[2]：如果用四个4进行计算可以得出规定的结果吗？试一试：
① 4 4 4 4 = 1 ② 4 4 4 4 = 2 ③ 4 4 4
4 = 3
④ 4 4 4 4 = 4 ⑤ 4 4 4 4 = 5




（1）联想：相同两个数的商为1；1乘1积为1等结论。有44÷44=1 4÷4×4÷4=1 等。
（2）联想：1加1和为2。有4÷4+4÷4=2 4×4÷（4+4）=2等。
（3）联想：用三个相同数之和除以这个数得3。有（4+4+4）÷4=3
（4）等号左侧有四个4,保留一个4即为得数。想办法让三个数得0，有如下办法：
4+（4-4）×4=4 4+（4-4）÷4= 0
（5） 题的结果为5，可以想 “4加1得5”，如果保留一个4，用后三个4凑1，这办不到。又联
想：20除以4商得5。我们就前 三个4凑20。（4+4×4）÷4=5
27

例[3]：填上+、-、×、÷、（）使等式成立。
①1 2 3 4 5= 10
②1 2 3 4 5= 10
③1 2 3 4 5= 10

（1）如 果5前面是+号的话，填上适当的运算符号后，1，2，3，4的运算结果应该是5。如果4前

面也是+号的话，前面1，2，3的结果应该是1。答案有：（1+2）÷3+4+5=10
（2）如果5前面是“-”号，1，2，3，4的运算结果应是15，恰好1+2+3×4=15 则有答案：

1+2+3×4-5=10
（3）如果5前面是“×”号，填上适当的 运算符号后，1，2，3，4的运算结果应是2。很明显

练习：
1、在○里填上+、-、×或÷号使等式成立。
①3○2○1=1
②5○4○3○2○1=1
2、你能填上+、-或×、÷号，使得数一样吗？
①2 2 2= 2
②2 2 2= 2
③2 2 2= 2
3、在下面算式中合适的地方填上+、-、×、÷和（）使算式成立。
① 5 5 5 5 5=0
② 5 5 5 5 5=1
③ 5 5 5 5 5=2
④ 5 5 5 5 5=3
⑤ 5 5 5 5 5=4
⑥ 5 5 5 5 5=5






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第十五课 列表法

教学目标：
1、使学生明白对于一些计算比较简单，而且多次重复计算的问题，使 用列表
法，表达简洁，不易出错，如例1；有些问题，条件不断变化，不便统一列式计
算，也应 采用列表法。
2、如例2、例3；还有些问题，无法列式计算，只能采用列表推演，如例4、
例5。总之，使用列表法可以解决许多复杂而有趣的问题。
例1 一个运动队进行翻山训练，往返于一 座山两侧山脚下的A，B两地。从A
地出发，上山路长3000米，每分钟行75米；下山每分钟行10 0米，用42分钟到
达B地。如果上、下山的速度不变，那么从A地到B地，再从B地返回A地，共需< br>多长时间？
分析与解：这是一道很简单的题目，只需利用时间、路程、速度的关系，就可
以得到结果。因为从A地到B地，要先上山再下山，从B地返回A地，又要先上山
再下山，中间经过四 次变化。为了减少计算错误，可以利用列表法。
先将已知的数据填入下表：

再根 据时间、路程、速度的关系，从上到下，由已知的两个求出另一个，边计
算边填表，得到下表：

由上表得到往返所需时间为
40＋42＋56＋30＝168（分）=2时48分。
例2 有100个人，第一位带了3元9角钱 ，以后每位都比前一位多带1角
钱。每人把自己的钱全部用来买练习本。练习本有每本8角与每本5角的 两种。如
果每人尽可能买5角一本的，那么这100人共买了多少本每本8角的练习本？
分析 与解：因为每人带的钱数不同，所以不可能统一列式计算。可以采用列表
法，然后从表中发现规律。填表 计算时注意，一要尽量多买5角一本的，二要把钱
用完。
29

由于44角比39角多5角，所以可多买1本5角的，而8角1本的买的数量相
同。类似地，4 5角比40角多5角等等。由此看出，所买8角一本的本数随钱数增
加呈周期规律，一个周期内有五个数 ：3，0，2，4，1（本）。所以100个人共买
8角一本的
（3＋0＋2＋4＋1）×（100÷5）=200（本）。
例3 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分 钟内甲的速度是6.6米秒，乙的速度
是2.9米秒。以后每分钟内的速度，甲总是前一分钟的2倍，乙 总是前一分钟的
3倍。问：出发后多长时间乙追上甲？
分析与解：因为两人的速度都在变化，不好统一列式计算，我们可以列一个表
观察一下。

由上表看出，乙在出发后3分多钟追上甲。从3分钟后开始计算，乙追上甲还
需
（2772-2262）÷（2.9×33-6.6×23）
＝510÷25.5=20（秒）。
所以，出发后3分20秒乙追上甲。
例4 一只大桶装 了10升水，另外有恰好能装3升和7升水的桶各一只。怎样
才能只利用这三只桶把这10升水平均分为 两份？
分析与解：这道“桶分液体”的古题根本无法列式计算，就是找到了正确方
法，叙述整 个倒水过程也很繁杂不便。我们列表来表示具体倒法，其中箭头表示从
箭头尾部的桶中将水倒入箭头指向 的桶中。列表使倒水的过程一目了然，既有利于
对问题的思考，又简化了文字叙述。
30

在例4中，始终按从大桶向7升桶倒水，从7升桶向3升桶倒水，从3升桶向
大桶倒水的方向操作。如果在倒水的过程中，出现从这桶倒向那桶，又从那桶倒回
这桶（这两步 不一定挨着），那么这个操作毫无意义，肯定可以简化掉。
例5甲、乙、丙三只盘子里分别盛着6个苹果。小明按下面的方法搬动5次：
第1次，把1个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第2次，把2个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第3次，甲盘不动，把3个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第4次，乙盘不动，把4个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第5次，丙盘不动，把5个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去。
最后发现，甲、乙、丙三只盘子里依次盛有4，6，8个苹果。你知道小明是怎
样搬动的吗？
分析与解：关键在于确定每次搬动是从哪只盘子里搬到哪只盘子里。前两次搬
动，每次可以有6 种不同选择；后三次搬动，因为固定了一只盘子，所以每次只有
2种不同选择。显然，从后向前逆推比较 容易。逆推过程见下页表，其中圈起来的
数字是题目条件规定不动的，箭头表示从哪只盘子里搬到哪只盘 子里。

因为第五次丙盘不动，由搬动后甲盘中只有4个苹果，它不可能是接受5个苹
果的，所以第五次是从甲盘中搬走5个苹果到乙盘。于是得到下表中“第四次”后
的情况。
第四次乙盘不动，或者从甲盘搬到丙盘，或者从丙盘搬到甲盘。若是从甲盘搬
到丙盘，因为搬完后甲盘有 9个苹果，搬前应有9＋4=13（个）苹果，可是甲盘初
始时有6个苹果，就是前三次搬动的苹果都给 甲盘，也只有6+1+2＋3=12（个）苹
果，与13个苹果矛盾。所以第四次是从丙盘搬4个苹果到 甲盘。于是得到下表中
“第三次后”的情况。
31

类似地可以得到“第二次后”的情况。
最后，为满足“初始状态”各盘都是6个苹果，可得到第一次、第二次搬动的
情况。


习题：
1.小明骑自行车从A地到B地去送信，先走了一段上坡路，用了14分 钟，又
走了一段3000米长的平路，最后下坡用了11分40秒。已知小明骑车上坡、走平
路 、下坡时的速度分别为2.5米秒、4米秒、6米秒，求小明从A地到B地，再
返回A地所用的时间。
2.北京、上海、天津、山东、江苏、广东六个足球队进行单循环比赛，即每个
队都与其他各队 赛一场。请将下面的比赛日程表补全：






第十六课 运筹学初步

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、 场地设置问题等。这些
都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快
好省地办事，就是这讲涉及的问题。当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步
探索一下。
1.统筹安排问题
例1 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟 ，洗
脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要
10分钟 。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？
分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要 95分钟。要想节
约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40
分钟内擦玻璃和收 拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。
32

例1 告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的
时间完成较多的事情。
2.排队问题
例2 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的< br>发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这
五人理 发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？
分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的 等待时间尽量短，应让理发
所需时间少的人先理。甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后2 4分钟
的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。甲给需10分钟的人理发时，有
2人 等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有
1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无
人等待。
甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙 理发的两个人，共用（12
×2＋20）分。总的占用时间为
（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。
按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 10＋15＋24＝
49（分） 。如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么
做个调整，甲依次给需10，1 2，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理
发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全 部理完所用时间为
10＋12＋20＝42（分）。
例3 车间里有五台车床同时出现 故障，已知第一台到第五台修复时间依次为
18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造 成经济损失5元。现有两名工
作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？
分析与解：因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），经过组合，一人修需
1 8，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55
分钟。
上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济损失少，就要使总停产时间
尽量短，显然应先修理修 复时间短的。第一人按需17，18，20分钟的顺序修理，
第2人按需25，30分钟的顺序修理，经 济损失为
5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］=935（元）。
3.最短路线问题
33

例4 右图是一张道路示意图，每段路上 的数字表示小明走这段路所需要的时
间（单位：分）。小明从A到B最快要几分钟？

分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。
从A到O有两条路，A→C→O用6分 钟，A→F→O用7分钟，排除后者，可将
FO抹去，但AF不能抹去，因为从A到B还有其它路线经过 AF，简化为左下图。

从A到E还剩两条路，A→C→G→E用12分钟，A→C→O→E 用10分钟，排除
前者，可将CG，GE抹去，简化为右上图。
从A到D还剩两条路，A→C →O→D用12分钟，A→H→D用13分钟，排除后
者，可将AH，HD抹去，简化为左下图。

从A到B还剩两条路，A→C→O→E→B用17分钟，A→C→O→D→B用16分
钟，排除前者，可将OE，EB抹去，简化为右上图。
小明按A→C→O→D→B走最快，用16分钟。
4.场地设置问题
例5 下图是 A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上
学的学生人数，道路上的数表示两村 之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之
中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最 短，试确定最合理的方
案。

34

分析与解：我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比较 A和
C，若设在 A村，则在 C村一侧将集结 20＋20＋35＋50=125（人），这些人都要
走 AC这段路；若设在C村，则只有40人走A C这段路。对这两种方案，走其余各
段路的人数完全相同，所以设在C村比设在A村好。
从上 面比较A和C的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，
只需比较两个场地集结的人数多 少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。
同理，经比较得到C比B好，D比E好。最后比较C和D。若设在 C村，则在
D村一侧将集结 35＋ 50= 85（人）；若设在 D村，则在C村一侧将集结 40＋20
＋20=80（人）。因为在D村集结的人数比C村多，所以设在D村比C村好。
经过上面的比较，最合理的方案是设在D村。
不难发现，本题的解法与第27讲例2的解法十分类似。
例6 某天然气站要安装天然气管道 通往位于一条环形线上的A～G七个居民
区，每两个居民区间的距离如下图所示（单位：千米）。管道有 粗细两种规格，粗
管可供所有7个居民区用气，每千米8000元，细管只能供1个居民区用气，每千< br>米3000元。粗、细管的转接处必须在居民区中。问：应怎样搭配使用这两种管
道，才能使费用 最省？

分析与解：在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于2根细管的费用，小于
3根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于2个，这一段
就应选用粗管。从天 然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线
路的后面至多有两个居民区由细管通达，共 有7个居民区，所以至少有3个居民区
由粗管通达。因为长度相同时，2根或1根细管的费用都低于1根 粗管的费用，所
以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部
份的距离越长越好。经过计算比较，得到最佳方案：
（1）天然气站经G，F，E到D安装粗管，D到C安装2根细管，C到B安装1
根细管；
（2）天然气站到A安装1根细管。
此时总费用最少，为
8000×（3+12+ 8+6）+3000×2×5+3000×（9+10）=319000（元）。


35

练习：

1.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要 15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶
要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟 。如果灶具上只
有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？
2.甲、乙 、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加
工所需时间分别为4，5，6，6， 8，9，9分钟，三人同时开始工作。问：加工完七
个零件最少需多长时间？
3.车间里有5 台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为
15，8，29，7，10分钟，每台车床 停产一分钟造成经济损失5元。问：（1）如果
只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失 最少？（2）如果有两名
修理工，那么修复时间最少需多少分钟？

36

第一课 巧算加减法

教学目标：
1、学会“化零为整”的思想。
2、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
3、加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或
者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们 的和不变。
教学重点：加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使
每组 的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。
教学难点：有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。
教学过程
学习例1：凑整法
23＋54＋18＋47＋82；
解：23＋54＋18＋47＋82
＝(23＋47)＋(18＋82)＋54
＝70＋100＋54＝224；
学习例2：借数凑整法
有些题目直观上凑 整不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976＋85，
可在85中借出24，即把85拆分成24 ＋61，这样就可以先用976加上24，
“凑”成1000，然后再加61。
(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)。
解：(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)
＝1350＋49＋68＋51＋32+1650
＝(1350＋1650)＋(49＋51)＋(68＋32)
＝3000＋100＋100＝3200
学习例3：分组凑整法
计算：(1)875-364-236；
(2)1847-1928＋628-136-64；
解：(1)875-364-236
=875-(364＋236)
=875-600=275；
(2)1847-1928＋628-136-64
=1847-(1928-628)-(136＋64)
=1847-1300-200＝347；
4.加补凑整法
学习例4计算：(1)512-382；
(2)6854-876-97；
解：(1)512-382=(500＋12)-(400-18)
1

=500+12-400+18
＝(500-400)＋(12＋18)
＝100＋30＝130；
(2)6854-876-97
=6854-(1000-124)-(100-3)
=6854-1000＋124-100＋3
=5854+24+3＝5881；
习题：
1.(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)。
2.4993＋3996＋5997＋848。
3.1348-234-76＋2234-48-24。
4.397-146＋288-339。


第二课 和倍问题

教学目标：
1、学会运用画图线的方法表示和倍关系中两个量，以更方便的找到解题的
思路。
2、熟练掌握解答和倍问题的方法，理解和倍问题中各个量之间的关系。
教学重点：运用画图线的方法，准确分析各量之间的关系。
教学难点：能够理解和倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。
教学过程：
学习例 1：甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和
乙班各有图书多少本？
集体讨论：甲班和已班各占多少分，你能不能画出倍数图线？
分析与解答：设乙班的图书本 数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班
和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以 理解为4份的数量是
160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.
用下图表示它们的关系：




解：乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）
或 160-40=120（本）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
2

这道应用题解答完了，怎样验算呢？
可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本
数除以乙班本数， 看是不是等于3倍.如果与条件相符， 表明这题作对了.注
意验算决不是把原式再算一遍。
验算：120＋40=160（本）
120÷40=3（倍）。
学习例2： 甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班
的图书是乙班图书的2倍？
集体讨论：你能画出图线来表示题中甲班和已班的倍数的关系吗？




分析与解答：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件
中得出 ，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两
班图书总和是不变的量.最后要求 甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班
图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方 法， 先求出乙班现
有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见
上图）。
解：①甲、乙两班共有图书的本数是：
30＋120=150（本）
②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：
2＋1＝3（倍）
③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）
④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）
综合算式：
（30＋120）÷（2+1）=50（本）
50-30=20（本）
答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。
验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）
（120-20）+（30+20）＝150 （本）。
习题：
1.小明和小强共有图书120本，小强的图书本数是小明的2倍，他们两人
各有图书多少本？
2.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20
棵，两种树各种了 多少棵？


3

第三课 差倍问题

教学目标：
1、进一步掌握运用画图线的方法表示差倍关系中的两个量。
2、比较和倍问题的阶梯方法的基础上，熟练掌握解答差倍问题的方法，理
解和倍问题中各个量之间的 关系。
教学重点：运用画图线的方法，准确分析差倍关系中各量之间的关系。
教学难点：能够理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。
教学过程：
前面讲 了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、
形象，使我们能比较顺利地解答此类应 用题.下面我们再来研究与“和倍”问题
有相似之处的“差倍”应用题。“差倍问题”就是已知两个数的 差和它们的倍
数关系，求这两个数。
学习例1： 甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，
甲班和乙班各有图书多少本？




分析与解答:
上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍， 那么甲
班的图书本数比乙班 多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80
本相对应，可以理解为2倍是80本，这样 可以算出1倍是多少本.最后就可以
求出甲、乙班各有图书多少本。
解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）
②甲班的本数： 40×3=120（本）
或40＋80=120（本）。
验算：120-40＝80（本）
120÷40=3（倍）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
学习例2： 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千
克，剩下 的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？





4

分析与解答：
这样想： 根据“菜 站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看
作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千 克后，剩下两种蔬菜的重量正好相
等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克） .从上图中清楚地看到
这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多 少
千克，再求运来的白菜是多少千克。
解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）
②运来白菜： 750×3=2250（千克）
验算：
2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）
750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）
答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。
学习例3： 有两根同样长的绳子，第 一根截去12米，第二根接上14米，这时
第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？






分析与解答：
上图， 两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子
又接上14米后，第二根的长度是第 一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看
作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子 剩下的长度的2倍.所以，
当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有 长
度也就可以求出来了。
解：①第一根截去12米剩下的长度：
（12+14）÷（3-1）＝13（米）
②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）
答：两根绳子原来各长25米。
自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳
子原来各有多长.
小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应
关系.用除法求出 1倍数， 也就是较小的数，再求几倍数。
解题规律：
差÷倍数的差=1倍数（较小数）
1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）
5

或：较小的数+差=较大的数。
学习例4： 三（1）班与三（2）班原有 图书数一样多.后来，三（1）班又买来
新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小 同学，这时，三
（1）班图书是三（2）班的3倍，
求两班原有图书各多少本？





分析与解答：
两个班原有图书一样多.后来三 （1）班又买新书74本，即增加了74本；
三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学， 则图书减少了96本.
结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170< br>（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图
书是三（2） 班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的
3-1=2倍，三（2）班所剩图书 本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求
出来了（见上图）。
解：①后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？
74＋96=170（本）
②三（2）班剩下的图书是多少本？
170÷（3-1）=85（本）
③三（2）班原有图书多少本？
85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）
综合算式：
（74＋96）÷（3-1）＋96
＝170÷2+96
＝85＋96
=181（本）
验算：181+74=255（本）
181-96=85（本）
255÷85=3（倍）
答：两班原来各有图书181本。

习题：
1.一只大象的体重比一头牛重4500千克， 又知大象的重量是一头牛的10
倍，一只大象和一头牛的重量各是多少千克？
6

2.果园里的桃树比杏树多90棵，桃树的棵数是杏树的3倍，桃树和杏树各
有多少棵 ？




第四课 和差问题
教学目标：
1：学会运用画图线的方法表示倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思
路。
2：更熟练掌握解答差倍问题的方法，理解差倍问题中各个量之间的关系。
教学重点：更加熟练的运用画图线方法，更准确分析各量之间的关系。
教学难点：能够更好的理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量的关系。
教学过程：
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的
应用题。
为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题
目明确给了两个数的差，而有 些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗
藏的差叫“暗差”。
学习例1： 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多
少千克？
分析与解答： 我们可以这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重
150＋8＝158（千克）；假设第一筐 重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142
（千克）.





解法1：①第二筐重多少千克？
（150-8）÷2=71（千克）
②第一筐重多少千克？
71＋8=79（千克）
或 150-71=79（千克）
解法2：①第一筐重多少千克？
（150+8）÷2＝79（千克）
②第二筐重多少千克？
79-8=71（千克）
7

或150-79=71（千克）
答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。
学习例2：今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多
少岁？




分析与解答： 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是 已知两人今年的年
龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是
保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问
题的解题思路 就能解此题。
解：①爸爸的年龄：
[58＋（35-7）]÷2
=[58＋28]÷2
=86÷2
=43（岁）
②小强的年龄：
58-43＝15（岁）
答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。
学习例3 ： 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8
分，问语文和数学各得了几分？
分析与解答： 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩
之差是8分，但 是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了
两科的平均成绩是94分，这就可以求得 这两科的总成绩.




解：①语文和数学成绩之和是多少分？
94×2＝188（分）
②数学得多少分？
（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）
③ 语文得多少分？
（188-8）÷2=180÷2=90（分）
或 98-8=90（分）
答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.

8

练习：
1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少
棵？
2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶
油重量相等，问甲、乙两 桶原有多少油？



第五课 鸡兔同笼问题
教学目标：
1：使学生在解题时初步掌握用假设法解决鸡兔同笼问题。
2：进一步熟练差倍和倍及平均数问题的解题方法。
教学重点：如何掌握用简单的假设的方法解题，灵活运用差倍和倍方法解。
教学过程：
学习例1：（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析与解答： 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128
只脚相比多了184-12 8=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2
（只）脚.那么，46只兔里应该换进 几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？
显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行 了.所以，鸡的只数就是
28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于 是根据鸡兔的总
只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相
比 较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以
算出共有多少只鸡.我们称 这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题
的基本关系式是：
鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚
数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡。
9

学习例2：鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
分析与解答： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，
而是给出了它们 脚数的差.这又如何解答呢？ 假设100只全是鸡，那么脚的总
数是2×100=200（只）这时兔 的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡
脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多 了（200-80）=120
（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增 加2
只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加 （2+4） =6 （只） ，
所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
学习例3：红英小学三年级有3个班共135人，二班比 一班多5人，三班比二班
少7人，三个班各有多少人？
分析与解答： 我们设想，如果条件 中三个班人数同样多，那么，要求每班有多
少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人 数同样多来分析求
解。 结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准， 则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，
请你算一算， 假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多
少？





解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
分析2 假设一、 三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5
人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人 数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3
=147÷3
=49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
想一想：根据解法1、解法2的思路，还可以怎样假设？怎样求解？
10

学习例4： 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
分析与解答： 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把
小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人， 多出的18人是把18÷2=9 （条）
小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条）
10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
练习：
1.小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张， 问两种邮票各买多
少张？
2.有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？



第六课 复习课

复习：巧算加减法 、和倍问题、差倍问题、和差问题、鸡兔同笼问题

练习题
1用简便方法计算下列各题。
（1）45+38+55
（2）442-196+158
（3）2+4+6+....+100
2.一个长方形的周长是48厘米，长是宽的3倍，求长方形的面积。
3.甲乙两人共加工零 件100个，甲加工的零件个数是乙加工零件个数的2
倍少20个，求甲乙两个人各加工多少个零件。
4.妈妈的年龄比小明大24岁，今年妈妈的年龄正好是小明的4倍，今年妈
妈和小明的年龄各 是多少。
5.某校男生、女生男生人数比女生人数多74人，男生女生各多少人。
6.小丽数学和语文平均分是95分，语文比数学多2分，求小丽语文和数学
各是多少分。
7.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只，鸡兔各有多少只。

11

第七课 归一问题

教学目标：
1、 让学生初步了解归一化问题，并掌握解决正归一问题，反规一问题
的方法。
2、 通过老师讲解，使学生掌握分析归一问题的方法。
3、 熟悉并掌握归一应用题的解题步骤。
教学重点：会分析归一应用题，使之转化为数学问题，并运用数学方法解决。
教学难点：反归一问题的计算。
教学过程：
归一问题有两种基本类型.一种是正归 一，也称为直进归一.如：一辆汽车3
小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归 一，也称为返回
归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？
正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量； 不同点在第二
步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。
学习例1 ： 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？
集体讨论：一只小蜗牛6分钟爬行12分米，那么蜗牛一分钟爬行多远？
分析与解答： 为 了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分
米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要 求算出结果。
解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）
② 1小时爬几米？1小时=60分。
2×60=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
小结 还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时 间与时间）的倍数
（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。
解：1小时=60分钟
12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）
或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
学习例2： 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这
样计 算，磨完剩下的面粉还要几小时？
集体讨论：加工厂一小时磨多少千克面粉？
分析与解答：
方法1：
12

通过3小时磨6000千克， 可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要
几小时，所以剩下的量除 以1小时磨的数量，得到问题所求。
解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）
答：磨完剩下的面粉还要7小时。
学习例3： 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足 球和5个篮球共花了281
元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共 花多
少元？
分析与解答 要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球
和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，
而篮球相差7- 5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的
价钱，从而可以求出一个 篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问
题得解。
解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5） =37元
②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）
③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）
答：买5个足球，4个篮球共花308元。
学习例4： 一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水
管.单开进 水管8小时可以把空池注满； 单开排水管6小时可把满池水排空.两
管齐开需多少小时把满池水排空？
分析与解答 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水
速度和排水速度 .当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，
即单位时间内排出的水等于进水与排水速 度差.解决了这个问题，又知道总水
量，就可以求出排空满池水所需时间。
解：①进水速度：480÷8=60（吨小时）
②排水速度：480÷6=80（吨小时）
③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）
列综合算式：
480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）
答：两管齐开需24小时把满池水排空。
学习例5： 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨， 要求5
趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？
分析与解答：
方法1：
要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运
完560吨沙 土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。
解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？
336÷6÷7=56÷7=8（吨）
② 560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？
13

560÷5＝112（吨）
③需要增加同样的卡车多少辆？
112÷8-7＝7（辆）
列综合算式：560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）
答：需增加同样的卡车7辆。
方法2：
在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：
336÷6÷7 ① ， 336÷7÷6. ② 算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨
数，再除以7求出每辆卡车的 载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运
的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量。 在求560吨沙土5次运完需要多
少辆卡车时，有以下几
种不同的计算方法：

求出一共用车14辆
后，再求增加的辆数就容易了。
学习例6： 某车间要加工一 批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5
天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可 是又要增加6人.求每天加
班工作几小时？
分析与解答： 我们把1个工人工作1小时， 作为1个工时.根据已知条件，加
工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知 道了工
作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，
仍然按照 原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出
要加班的工时数，问题就解决了。
解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：
8×18×7.5=1080（工时）
②增加6人后每天工作几小时？
1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）
③每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时）
答：每天要加班工作3.25小时。


练习：
1. 花果山上桃树多，6只小猴分180棵.现有小猴72只，如数分后还余90
棵，请算出桃树有几棵？
2. 5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加
几箱蜜蜂？


14

第八课 盈亏问题

教学目标：
1、让学生初步了解盈亏问题，并掌握解决盈亏问题的方法。
2、通过老师讲解，使学生掌握分析盈亏问题的方法。
3、熟悉并掌握盈亏应用题的解题步骤。
教学重点：关键求出总差数，以及两次分配的数量之 差，然后按照公式求出人
数，在求物品的数量。
教学难点：比较法计算。
教学过程：
学习例1：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7< br>块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少
块？
分析 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：
每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差
5-4=1（块）。
第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9
（块）
每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。
共有砖：4×9＋7＝43（块）。
解：（7+2）÷（5-4）=9（人）
4×9+7=43（块）或 5×9-2=43（块）
答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。
如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先
队员，有多少块砖吗？
由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不
同搬法产生的总差 数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对
这题来说就是搬砖的人数.
学习例2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4
个，要多出48个苹果；如果每 天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹
果有多少个？计划吃多少天？
分析 题 中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹
果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数 的变化就能看出，由每天吃4个变为每天
吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个， 也就是所需的苹
果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面< br>含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有
15

多少个苹果了。
解：（48+8）÷（6-4）
=56÷2
=28（天）
6×28-8=160（个）或 4×28＋48=160（个）
答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。
如果 条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，
则还多出8个”，问苹果应该有多 少个，计划吃多少天？
分析 改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变 ，
苹果总数由原来多出48个变为多出8个.那么所需苹果总数要相差：48-8=40
（个）
解：（48-8）÷（6-4）
=40÷2
＝20（天）
4×20＋48=128（个）或 6×20＋8=128（个）
答：有苹果128个，计划吃20天.
学习例3 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每 分种走60米，可提
早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
分析 小明每分钟走60米，可提早10分钟 到校，即到校后还可多走60×
10=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校 后还可多走50
×8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50＝10（米），就 可
以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。

解：①10分种走多少米？60×10＝600（米）
② 8分种走多少米？50×8＝400（米）
③需要多长时间？
（600+400）÷（60-50）=20（分钟）
④由家到校的路程：
60×（20-10）=600（米）
或：50×（20-8）=600（米）
答：小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。
学习例4 学校为新 生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间
住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新 生有多少人？
分析 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房
间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加
5-3=2（人）. 两次安排人数总共相差23+15＝38（人），因此，房间总数是：
38÷2=19（间），学生总数是：3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80
16

（人）。
解：（23+5×3）÷（5-3）
＝（23＋15）÷2
＝38÷2
＝19（间）
3×19+23=80（人）或 5×19-5×3＝80（人）。
答：有19间宿舍，新生有80人。
学习例5 少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没 人种；如果其中2
人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植
树，一共种多少树苗？
分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上 ：如
果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种
种树的情况 ——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情
况，让每人都种6棵，那么，就可以 多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问
题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种； 如果每人种6棵树
苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？
解：[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）
5×7+3＝38（棵）
或6×7-4＝38（棵）
答：有7个少先队员，一共种38棵树。

练习：
1. 红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人，则有5人不能乘上
车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
2.三年级一班 少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；
如果每人搬5块，则多1块砖.这个班少先 队有几个人？要搬的砖共有多少块？

第九课 寻规律填数

教学目标：
1、让学生初步了解数列问题。
2、通过老师讲解，使学生掌握求数列规律问题的方法。
教学重点：掌握常见数列的规律
（1）数列的各项只与项数有关，或只与前一项有关
（2）前后几项为一组，以组为单位观察规律
（3）数列比较复杂，分步找规律。
教学难点：难点：培养学生观察能力，发现规律．
教学过程：
17

学习例1：
找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数
(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；
(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；
(3) 3，7，10，17，27，( )；
(4) 1，2，2，4，8，32，( )。
解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
(1)把数列每两项分为一组，1，2， 2，3，3，4，不难发现其规律是：前一
组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。
(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的
商都是2，且由5 ，6，7的次序知，应填8，4。
(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填
( 17+27=)44。
(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×
32=)256。
学习例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1)18，20，24，30，( )；
(2)11，12，14，18，26，( )；
(3)2，5，11，23，47，( )，( )。
解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列
2 ，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故
a5=8+30=38。
(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26- 18=8，组成一新数列1，2，4，
8，…按此规律，8后面为16。因此，a6-a5＝a6-26 =16，故a6＝16+26=42。
(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以
a6=2a5+1＝2×47+1＝95，
a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
练习：
1. 12，15，17，30， 22，45，( )，( )；
2. 2，8，5，6，8，4，( )，( )。


第十课 年龄问题

教学目标：
年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已 知两个人或若干个人的年
龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差
18

等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。
教学重点：
大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个< br>特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。
教学难点：
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。
教学过程：
学习例1 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸
爸妈妈二人各多少岁？
分析 五年后，爸比妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁.它是一个不变量.所
以爸爸、妈妈 现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈
的年龄和是72岁，他们的年龄差是6 岁，求二人各是几岁”的和差问题。
解：①爸爸年龄：（72+6）÷2=39（岁）
②妈妈的年龄：39-6=33（岁）
答：爸爸的年龄是39岁，妈妈的年龄是33岁。
学习例2 在一个家庭里，现在所有成员的年 龄加在一起是73岁.家庭成员
中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子 大2岁.
四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？
分析 根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，可以求出到现在每
个人长4岁以后的实际年龄和 是58+4×4=74（岁）。
但现在实际的年龄总和只有73岁，可见家庭成员中最小的一个 儿子今年只
有3岁.女儿比儿子大2岁，女儿是3+2=5（岁）.现在父母的年龄和是73-3-5=65（岁）.又知父母年龄差是3岁，可以求出父母现在的年龄。
解：①从四年前到现在全家人的年龄和应为：
58+4×4=74（岁）
②儿子现在几岁？ 4-（74-73）=3（岁）
③女儿现在几岁？3+2=5（岁）
④父亲现在年龄：（73-3-5+3）÷2=34（岁）
⑤母亲现在年龄： 34-3=31（岁）
答：父亲现在34岁，母亲31岁，女儿5岁，儿子3岁。
学习例3 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5
倍？
分析 父女年龄差是50-14=36（岁）.不论是几年前还是几年后，这个差是
不变的.当父亲的年 龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36
岁是父亲比女儿多的5-1=4（倍）所对 应的年龄。
解：（50-14）÷（5-1）=9（岁）
19

当时女儿9岁，14-9=5（年），也就是5年前。
答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍.
练习
1 . 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问：母亲
今年多少岁？
2. 10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍.15年后，吴昊的年龄是他儿子
的2倍.现在父子俩人的年龄 各是多少岁？




第十一课 植树问题

教学目标： 1、使学生掌握直线上植树问题的三种类型。
2、培养学生观察能力。
教学重难点：分析植树问题类型。
教学过程：
学习 例1：植树节到了，同学们要给一条长100米的小路的一边栽树，每
隔5米栽一棵，小路的一端栽树， 另一端不栽，需要栽多少棵树？
思路解析：首先让学生判断是否为上述类型。让后根据段数与棵 数相
等，段数=总距离÷棵距，就可求出棵树。
100÷5=20（棵）
答：需要栽20棵树。
学习例2：一条河堤长400米，从头到尾栽了101棵柳树，每隔几米栽一棵
柳树？
思路解析：“从头到尾栽了101棵柳树”说明是第二种类型（两端都植
树），棵树=段 数+1，栽了101棵树，就有（101-1）=100（段），根据总距
离÷段数=棵距。
400÷（101-1）
=400÷100
=4（米）
答：每隔4米栽一棵柳树。
学习例3：一根木头锯成4段要9分钟，如果每次锯的时间相同，那么锯成
7段要多少分钟？
思路解析：把一根木头锯成4段要锯3次，可求出锯一次要3分钟。而
锯成7段，就是要 锯6次，就需18分钟。
9÷（4-1）=3（分钟）
3×（7-1）=18（分钟）
20

答：锯成7段要18分钟。
练习：
1.同学们排队做操，40人平均排成2队，两人之间间隔1米，队伍有多长？
2.广告公司在 高速公路的两个收费站之间竖广告牌（两个收费站不竖），这
两个收费站相隔200千米，如果路的两边 每隔1千米竖1个，一共能竖多少个
广告牌？





第十二课 有趣的数谜

教学目标：
1、 总结理解解数谜的方法，学会结数谜的技巧。
2、 培养学生学习奥数的兴趣和自信心。
教学过程：
一、导入语：
数字谜和填算式一样，也是一 种锻炼我们思维的体操，他的特点是给
出运算式子，但式子中某些数字用字母或汉字代替，要求我们进行 恰当
的运算和推想，从而确定解出这些数字问题。对于我们学习数学，提高
分析问题的能力是非 常有益的。
二、教学过程：
1、教学例3：
A B 8 B
－ A 9 C 求出A= B= C=
8 8 8
学生自己尝试练习。
解题思路：灵活运用 差＋除数＝被除数
888＋A9C=AB8B A=1; 看百位，8＋1＋1＝10，B＝0，
C＝2。
2、教学例4：
a b c
+ a b c
3 2 6
请求出abc＝ 。
21

解题思路：从个位入手2c＝6 所以c＝3，再求十位，百位，特别注意百
位上是数是3，所以十位必须是向百位进了1。
3、教学例5：
盼 奥 运
× 会 求出“奥运会：代表那些数字？
2 0 0 8
解题： 盼奥运＝251 会＝8
4、解数字谜的技巧：
（1） 数字只有0、1、2……9这十个数字，最高位不是0。
（2） 退位要留意，要大胆试验。
（3） 相同的字母表示相同的数字，从个位和高位入手，或从有数字多的入
手。
练习：
1、 香港
香港归
＋ 庆香港归
1 9 9 7

2、 好学习 求出好＝ 学＝ 习＝
－ 学习好
好学

3、 “未来杯”小学数学竞赛试题：
好 未 来 杯 赛
× 好
赛 1 9 9 9 赛 求出：好未来杯赛＝







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第十三课 操作问题
教学目标：
1、所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换， 这种
变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以
2。这就是一 次操作，是可以具体执行的。
2、使学生理解操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。
教学过程：
例1 对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时 ，
除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能
出现100 ？为什么？
讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到

这个过程 还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到
100。当然，连续操作下去会发现， 数字一旦重复出现后，这一过程就进入循
环，这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长，所以 这不是好方法。
解：因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数，所以不可能出现。
由例1看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍
门。
23

例2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一
次变 换。如对18和42可进行这样的连续变换：
18， 42—→ 18， 24—→ 18， 6—→ 12， 6—→ 6， 6。直到两
数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连 续变换，最后得到的两
个相同的数是几？
分析与解：如果两个数的最大公约数是a，那么这两 个数之差与这两个数中
的任何一个的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公< br>约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为
12345和5432 1的最大公约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。
注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。
例3 右图是一个圆盘，中 心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所
对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动9 0°的任意整数倍，圆
盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？

解：不可能。因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四
个数之和永远是10的整数倍。 999×4=3996，不是10的倍数，所以黑板上的
四个数不可都是999。
例4 在左 下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减
1，这算作一次操作。经过若干次操作后， 左下图变为右下图。问：右下图中A
格中的数字是几？
24

< br>分析与解：每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜
色（见右图）。因为每次 操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加1或减1，
所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之 和的差保持不变。因为原题
左图的这个差是13，所以原题右图的这个差也是13。由（A＋12）-1 2=13解得
A=13。
例5 将1～10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面 的数大于后
面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的
数为止 。当1～10十个数如下排列时，需交换多少次？
8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。
分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如，从最大的
数10开始交换，将1 0交换到它应在的位置后，再依次对9，8，7，…实施交
换，直至按从小到大排列为止。
因 为10后面有5个比它小的数，所以对10连续交换5次，10到了最右
边，而其它各数的前后顺序没有 改变；再看9，9后面有3个比它小的数，需交
换3次，9到了右边第二位，排在10前面；再依次对8 ，7，6，…实施这样的
交换。
10后面有5个比它小的数，我们说10有5个逆序；9后面 有3个比它小的
数，我们说9有3个逆序；类似地，8，7，6，5，4，3，2依次有7，3，3，< br>4，1，0，1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换
5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）。
25

例6右图是 一个5×6的方格盘。先将其中的任意5个方格染黑。然后按以
下规则继续染色：
如果某个格 至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。这样操作
下去，能否将整个方格盘都染成黑色？

分析与解：以一个方格的边长为1，开始时5个黑格的总周长不会超过4×
5=20 。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边，所以染黑后
所有黑格的总周长不会增加。左 下图中，A与4个黑格有公共边，染黑后，黑格
的总周长将减少4；下中图中，A与3个黑格有公共边， 染黑后，黑格的总周长
将减少2；右下图中，A与2个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也< br>就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周长永远不会超过20，而5×6方格盘
的周长是 22，所以不能将整个方格盘染成黑色。


练习：
1.黑板上写着1 ～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的
和减1。例如，擦掉5和11，要写上15 。经过若干次后，黑板上就会只剩下一
个数，这个数是几？
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2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最
小自然数替换这个数，称为一 次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会
出现2？
3.口袋里装有101张小纸片，上 面分别写着1～101。每次从袋中任意摸出
5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个 和的后两位数写在一
张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张
纸片上的数是几？


第十四课 算式迷
同学们，你玩过电脑游戏 “24点”吗？说起来，它还真有趣呢。任意抽出
四张牌，按上面的数，运用加减乘除（也可以用括号） 计算得出24。在这个游
戏中，我们每个人都能展示不同的创造力，快来试试吧！
思路展示：
例[1]：运用各种符号把三个相同的数连起来,使结果等于0、2、4。
⑴ 4 4 4 = 0 ⑵ 4 4 4 = 2 ⑶ 4 4 4 = 4

（1）这道题的结果为0，联想到：“两个相同的数之差为0。”“零乘以任 何数积为0”。“零

除以非零数商为零”等结论。用三个4凑0可以有以下几种情况：（4- 4）×4=0，（4-4）÷4=0
（2）这三个4的计算结果为2，就要把三个4分成两部分，使其结果等于2。（4+4）÷4=2
（3）这三个4的计算结果为4,就想1乘4还得4。把前两个数得1，即（4÷4）×4=4


例[2]：如果用四个4进行计算可以得出规定的结果吗？试一试：
① 4 4 4 4 = 1 ② 4 4 4 4 = 2 ③ 4 4 4
4 = 3
④ 4 4 4 4 = 4 ⑤ 4 4 4 4 = 5




（1）联想：相同两个数的商为1；1乘1积为1等结论。有44÷44=1 4÷4×4÷4=1 等。
（2）联想：1加1和为2。有4÷4+4÷4=2 4×4÷（4+4）=2等。
（3）联想：用三个相同数之和除以这个数得3。有（4+4+4）÷4=3
（4）等号左侧有四个4,保留一个4即为得数。想办法让三个数得0，有如下办法：
4+（4-4）×4=4 4+（4-4）÷4= 0
（5） 题的结果为5，可以想 “4加1得5”，如果保留一个4，用后三个4凑1，这办不到。又联
想：20除以4商得5。我们就前 三个4凑20。（4+4×4）÷4=5
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例[3]：填上+、-、×、÷、（）使等式成立。
①1 2 3 4 5= 10
②1 2 3 4 5= 10
③1 2 3 4 5= 10

（1）如 果5前面是+号的话，填上适当的运算符号后，1，2，3，4的运算结果应该是5。如果4前

面也是+号的话，前面1，2，3的结果应该是1。答案有：（1+2）÷3+4+5=10
（2）如果5前面是“-”号，1，2，3，4的运算结果应是15，恰好1+2+3×4=15 则有答案：

1+2+3×4-5=10
（3）如果5前面是“×”号，填上适当的 运算符号后，1，2，3，4的运算结果应是2。很明显

练习：
1、在○里填上+、-、×或÷号使等式成立。
①3○2○1=1
②5○4○3○2○1=1
2、你能填上+、-或×、÷号，使得数一样吗？
①2 2 2= 2
②2 2 2= 2
③2 2 2= 2
3、在下面算式中合适的地方填上+、-、×、÷和（）使算式成立。
① 5 5 5 5 5=0
② 5 5 5 5 5=1
③ 5 5 5 5 5=2
④ 5 5 5 5 5=3
⑤ 5 5 5 5 5=4
⑥ 5 5 5 5 5=5






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第十五课 列表法

教学目标：
1、使学生明白对于一些计算比较简单，而且多次重复计算的问题，使 用列表
法，表达简洁，不易出错，如例1；有些问题，条件不断变化，不便统一列式计
算，也应 采用列表法。
2、如例2、例3；还有些问题，无法列式计算，只能采用列表推演，如例4、
例5。总之，使用列表法可以解决许多复杂而有趣的问题。
例1 一个运动队进行翻山训练，往返于一 座山两侧山脚下的A，B两地。从A
地出发，上山路长3000米，每分钟行75米；下山每分钟行10 0米，用42分钟到
达B地。如果上、下山的速度不变，那么从A地到B地，再从B地返回A地，共需< br>多长时间？
分析与解：这是一道很简单的题目，只需利用时间、路程、速度的关系，就可
以得到结果。因为从A地到B地，要先上山再下山，从B地返回A地，又要先上山
再下山，中间经过四 次变化。为了减少计算错误，可以利用列表法。
先将已知的数据填入下表：

再根 据时间、路程、速度的关系，从上到下，由已知的两个求出另一个，边计
算边填表，得到下表：

由上表得到往返所需时间为
40＋42＋56＋30＝168（分）=2时48分。
例2 有100个人，第一位带了3元9角钱 ，以后每位都比前一位多带1角
钱。每人把自己的钱全部用来买练习本。练习本有每本8角与每本5角的 两种。如
果每人尽可能买5角一本的，那么这100人共买了多少本每本8角的练习本？
分析 与解：因为每人带的钱数不同，所以不可能统一列式计算。可以采用列表
法，然后从表中发现规律。填表 计算时注意，一要尽量多买5角一本的，二要把钱
用完。
29

由于44角比39角多5角，所以可多买1本5角的，而8角1本的买的数量相
同。类似地，4 5角比40角多5角等等。由此看出，所买8角一本的本数随钱数增
加呈周期规律，一个周期内有五个数 ：3，0，2，4，1（本）。所以100个人共买
8角一本的
（3＋0＋2＋4＋1）×（100÷5）=200（本）。
例3 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分 钟内甲的速度是6.6米秒，乙的速度
是2.9米秒。以后每分钟内的速度，甲总是前一分钟的2倍，乙 总是前一分钟的
3倍。问：出发后多长时间乙追上甲？
分析与解：因为两人的速度都在变化，不好统一列式计算，我们可以列一个表
观察一下。

由上表看出，乙在出发后3分多钟追上甲。从3分钟后开始计算，乙追上甲还
需
（2772-2262）÷（2.9×33-6.6×23）
＝510÷25.5=20（秒）。
所以，出发后3分20秒乙追上甲。
例4 一只大桶装 了10升水，另外有恰好能装3升和7升水的桶各一只。怎样
才能只利用这三只桶把这10升水平均分为 两份？
分析与解：这道“桶分液体”的古题根本无法列式计算，就是找到了正确方
法，叙述整 个倒水过程也很繁杂不便。我们列表来表示具体倒法，其中箭头表示从
箭头尾部的桶中将水倒入箭头指向 的桶中。列表使倒水的过程一目了然，既有利于
对问题的思考，又简化了文字叙述。
30

在例4中，始终按从大桶向7升桶倒水，从7升桶向3升桶倒水，从3升桶向
大桶倒水的方向操作。如果在倒水的过程中，出现从这桶倒向那桶，又从那桶倒回
这桶（这两步 不一定挨着），那么这个操作毫无意义，肯定可以简化掉。
例5甲、乙、丙三只盘子里分别盛着6个苹果。小明按下面的方法搬动5次：
第1次，把1个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第2次，把2个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第3次，甲盘不动，把3个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第4次，乙盘不动，把4个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；
第5次，丙盘不动，把5个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去。
最后发现，甲、乙、丙三只盘子里依次盛有4，6，8个苹果。你知道小明是怎
样搬动的吗？
分析与解：关键在于确定每次搬动是从哪只盘子里搬到哪只盘子里。前两次搬
动，每次可以有6 种不同选择；后三次搬动，因为固定了一只盘子，所以每次只有
2种不同选择。显然，从后向前逆推比较 容易。逆推过程见下页表，其中圈起来的
数字是题目条件规定不动的，箭头表示从哪只盘子里搬到哪只盘 子里。

因为第五次丙盘不动，由搬动后甲盘中只有4个苹果，它不可能是接受5个苹
果的，所以第五次是从甲盘中搬走5个苹果到乙盘。于是得到下表中“第四次”后
的情况。
第四次乙盘不动，或者从甲盘搬到丙盘，或者从丙盘搬到甲盘。若是从甲盘搬
到丙盘，因为搬完后甲盘有 9个苹果，搬前应有9＋4=13（个）苹果，可是甲盘初
始时有6个苹果，就是前三次搬动的苹果都给 甲盘，也只有6+1+2＋3=12（个）苹
果，与13个苹果矛盾。所以第四次是从丙盘搬4个苹果到 甲盘。于是得到下表中
“第三次后”的情况。
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类似地可以得到“第二次后”的情况。
最后，为满足“初始状态”各盘都是6个苹果，可得到第一次、第二次搬动的
情况。


习题：
1.小明骑自行车从A地到B地去送信，先走了一段上坡路，用了14分 钟，又
走了一段3000米长的平路，最后下坡用了11分40秒。已知小明骑车上坡、走平
路 、下坡时的速度分别为2.5米秒、4米秒、6米秒，求小明从A地到B地，再
返回A地所用的时间。
2.北京、上海、天津、山东、江苏、广东六个足球队进行单循环比赛，即每个
队都与其他各队 赛一场。请将下面的比赛日程表补全：






第十六课 运筹学初步

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、 场地设置问题等。这些
都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快
好省地办事，就是这讲涉及的问题。当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步
探索一下。
1.统筹安排问题
例1 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟 ，洗
脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要
10分钟 。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？
分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要 95分钟。要想节
约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40
分钟内擦玻璃和收 拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。
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例1 告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的
时间完成较多的事情。
2.排队问题
例2 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的< br>发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这
五人理 发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？
分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的 等待时间尽量短，应让理发
所需时间少的人先理。甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后2 4分钟
的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。甲给需10分钟的人理发时，有
2人 等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有
1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无
人等待。
甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙 理发的两个人，共用（12
×2＋20）分。总的占用时间为
（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。
按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 10＋15＋24＝
49（分） 。如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么
做个调整，甲依次给需10，1 2，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理
发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全 部理完所用时间为
10＋12＋20＝42（分）。
例3 车间里有五台车床同时出现 故障，已知第一台到第五台修复时间依次为
18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造 成经济损失5元。现有两名工
作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？
分析与解：因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），经过组合，一人修需
1 8，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55
分钟。
上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济损失少，就要使总停产时间
尽量短，显然应先修理修 复时间短的。第一人按需17，18，20分钟的顺序修理，
第2人按需25，30分钟的顺序修理，经 济损失为
5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］=935（元）。
3.最短路线问题
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例4 右图是一张道路示意图，每段路上 的数字表示小明走这段路所需要的时
间（单位：分）。小明从A到B最快要几分钟？

分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。
从A到O有两条路，A→C→O用6分 钟，A→F→O用7分钟，排除后者，可将
FO抹去，但AF不能抹去，因为从A到B还有其它路线经过 AF，简化为左下图。

从A到E还剩两条路，A→C→G→E用12分钟，A→C→O→E 用10分钟，排除
前者，可将CG，GE抹去，简化为右上图。
从A到D还剩两条路，A→C →O→D用12分钟，A→H→D用13分钟，排除后
者，可将AH，HD抹去，简化为左下图。

从A到B还剩两条路，A→C→O→E→B用17分钟，A→C→O→D→B用16分
钟，排除前者，可将OE，EB抹去，简化为右上图。
小明按A→C→O→D→B走最快，用16分钟。
4.场地设置问题
例5 下图是 A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上
学的学生人数，道路上的数表示两村 之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之
中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最 短，试确定最合理的方
案。

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分析与解：我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比较 A和
C，若设在 A村，则在 C村一侧将集结 20＋20＋35＋50=125（人），这些人都要
走 AC这段路；若设在C村，则只有40人走A C这段路。对这两种方案，走其余各
段路的人数完全相同，所以设在C村比设在A村好。
从上 面比较A和C的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，
只需比较两个场地集结的人数多 少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。
同理，经比较得到C比B好，D比E好。最后比较C和D。若设在 C村，则在
D村一侧将集结 35＋ 50= 85（人）；若设在 D村，则在C村一侧将集结 40＋20
＋20=80（人）。因为在D村集结的人数比C村多，所以设在D村比C村好。
经过上面的比较，最合理的方案是设在D村。
不难发现，本题的解法与第27讲例2的解法十分类似。
例6 某天然气站要安装天然气管道 通往位于一条环形线上的A～G七个居民
区，每两个居民区间的距离如下图所示（单位：千米）。管道有 粗细两种规格，粗
管可供所有7个居民区用气，每千米8000元，细管只能供1个居民区用气，每千< br>米3000元。粗、细管的转接处必须在居民区中。问：应怎样搭配使用这两种管
道，才能使费用 最省？

分析与解：在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于2根细管的费用，小于
3根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于2个，这一段
就应选用粗管。从天 然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线
路的后面至多有两个居民区由细管通达，共 有7个居民区，所以至少有3个居民区
由粗管通达。因为长度相同时，2根或1根细管的费用都低于1根 粗管的费用，所
以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部
份的距离越长越好。经过计算比较，得到最佳方案：
（1）天然气站经G，F，E到D安装粗管，D到C安装2根细管，C到B安装1
根细管；
（2）天然气站到A安装1根细管。
此时总费用最少，为
8000×（3+12+ 8+6）+3000×2×5+3000×（9+10）=319000（元）。


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练习：

1.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要 15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶
要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟 。如果灶具上只
有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？
2.甲、乙 、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加
工所需时间分别为4，5，6，6， 8，9，9分钟，三人同时开始工作。问：加工完七
个零件最少需多长时间？
3.车间里有5 台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为
15，8，29，7，10分钟，每台车床 停产一分钟造成经济损失5元。问：（1）如果
只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失 最少？（2）如果有两名
修理工，那么修复时间最少需多少分钟？

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