高斯小学奥数五年级上册含答案_环形路线

温柔似野鬼°
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2020年08月04日 08:10
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清明节手抄报简单-实习单位鉴定意见


第四讲 环形路线






为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢?同学们可能已经想清楚了,这是因为跑道
是一个圆.今天我们就来学习一下环形路线问题.
顾名思义,环形路线的运动路径是一个封闭的曲线, 这就意味着从一个点出发,跑完一
圈之后会回到出发点,这是完全不同于直线运动的.同样的,环形中的 相遇问题与直线形问
题也是略有不同的.如图所示,从一个点出发,背向而行的两人,会在圆周上的一点 相遇.这
时他们走过的路程和为一个圆周.而如果他们从同一个点出发同向而行,慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上.这时他们走过的路程之差是一个圆周.
相向而行 同向而行



起点
路程和是跑道的周长

起点
路程差是跑道的周长
追及时间=周长 ÷(乙速-甲速)

相遇时间=周长 ÷(甲速+乙速)
这里要特别说明,在圆周上两点之间的距离是这样定义:
两点间较短一段圆弧的长度.如右图,AB两点间的距离就是
AB间粗实线的长度.









B
A


例题1. 黑、白两只小猫沿着周长为300
米的湖边跑,黑猫的 速度为每秒5米,白猫
的速度为每秒7米.若两只小猫同时从同一
点出发,背向而行,那么多少 秒后第1次相
遇?如果它们继续不停跑下去,2分钟内一共
会相遇多少次?最后一次相遇时距离 出发点多远?

「分析」请同学们在右边的圆上,画出两只猫运动的过程.
两只小猫第一次相遇需要多长时间?第二次相遇需要多长
时间?那两分钟之内相遇多少次呢?




练习
1. 在420米的圆形跑道上,甲、乙两 人从同一点出发,背向而行.甲的速度是8米
秒,乙的速度是6米秒,那么两人第8次相遇时,距离出发 点多远?
从例题1可以看出,两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒.第一次相遇时两只小猫
在一起,继续出发的话,到下一次相遇仍然需要25秒.由此可见,环形路线上的相遇问题
也具有周期 性.同样的,环形路线上的追及问题也具有周期性.若甲、乙两人同地同向出发,
甲快乙慢,那么甲第一 次追上乙时,恰好比乙多跑一整圈;从此刻开始,甲想要再次追上乙,
就必须再多跑一整圈.如此反复不 断地追下去,甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈,所以每
次追及的路程差是一样的.如果两人的速度差保 持不变,那每次追上的时间也就相同了.
在环形路线问题中,善用周期性会使一些问题变得简单,特别 是一些多次相遇和多次追
及的问题.
例题2. 有一个周长是40米的圆形水池.甲沿着水池 散步,每秒钟走1米;乙沿着水
池跑步,每秒跑3.5米,甲、乙从同一地点同时出发,同向而行.当乙 第8次追上甲时,他
还要跑多少米才能回到出发点?
「分析」在环形路线上,快的每追上一次 慢的,就要多跑一圈.本题乙第8次追上甲时,


就比甲多跑了8圈,这时怎么确定两人的 位置?

练习:
2. 环形跑道周长400米,甲、乙两名运动员同时顺时针自起 点出发,甲每分钟跑300
米,乙每分钟跑275米.甲第4次追上乙时距离起点多少米?
如果不是同地出发,这样的环形路线问题还具有周期性吗?
例题3. 甲、乙两人在400米 长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑
出.1分钟后,乙以每分钟280米的速度从 起点同向跑出.请问:甲出发后多少分第一次追
上乙?如果追上后他们的速度保持不变,甲还需要再过多 少分钟才能第10次追上乙?
「分析」从乙出发到甲第一次追上乙,跟从甲第一次追上乙到第二次追上 乙,间隔的时
间一样吗?从第几次追上开始就具有周期性了?


练习:
3. 周长为400米的圆形跑道上,有相距100米的A,B两点.甲、乙两人分别从A、B
两点同时相背而跑,速度分别是3米秒和2米秒.多少秒后两人第一次相遇?如果相遇后
两人的速度保持 不变,再过多少秒两人第10次相遇?

总的来说,环形上的行程问题比直线上的情况变化更 多,更繁琐.在运动过程较复杂的
题目中,我们必须认真画图,仔细分析每一段运动过程.

例题4. 如图,甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点开始,同时匀速反向绕此圆
形路线 运动.当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相
遇.求此圆形场地 的周长.
「分析」题目中的已知条件很少,只知道两个与路程有关的
量,我们很难直接计算周 长,先画图分析一下运动过程.
观察你所画出的示意图,题目给出的100米和60米是图中的
哪一段?如何利用这两段长度?


练习
4. 如图,有一个环形跑道,甲、乙二人分别从A、B两地 出
发相向而行,第一次相遇在距离A点100米处的C点,第二次相
遇在距离B点200米处的 D点.已知AB长是跑道总长的四分之
一,请问跑道周长为多少米?



例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步,小鹿比小山羊稍快.如果从同一起
点出发 背向而行,1小时后正好第5次相遇;如果从同一起点出发同向而行,那么经过1小
时才第一次追上.请 问,小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间?
【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少.想一想 ,跑道的周长是一个确定的数吗?
如果不是,如果周长的取值不同,对于结果有没有影响?

D
B
C
A
例 题
6
如图,一个正方形 房屋的边长为12米.阿呆、阿瓜两人
分别从房屋的两个墙角出发,阿呆每秒钟行5米,阿瓜每
秒钟行3米.问:阿呆第一次看见阿瓜时,阿瓜距离出发
点多少米?


【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候,一定是刚到达某个墙角的时候.应该是哪个墙角呢?


华罗庚爷爷的故事
温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。人只有经过苦难磨 练才有望获得成
功!我国著名的数学家华罗庚爷爷的成功就得益于他的坎坷经历。少年时代的华
罗庚家境贫寒,疾病缠身。18岁那年,华罗庚初中时代的王老师从外国学成归来,
出任金坛中学校长。 华罗庚是他得意的门生。他一心要接济华罗庚。不久,经王
校长介绍,华罗庚到金坛中学做了个勤杂工, 负责收发信件、报纸做杂务。华罗
庚做勤杂工时,手脚勤快,每天忙忙碌碌地干完事就捧起数学课本学习 。王校长
看在眼里,喜在心里。他为这位勤奋肯学的年轻人而感到骄傲。真是天有不测风
雨。华 罗庚被一场伤寒病拖垮,医生作出“无法医救”的诊断。全家人悲痛万分,
王校长更是觉得十分惋惜。但 是死神终究没有把他拽走,他又奇迹般地活了过来,
只是左腿僵硬,落下了终身残疾。华罗庚一瘸一跛地 又去上工了,做的还是老本
勤杂工。一天的劳累,双腿已疼痛难忍,但是他咬咬牙,仍然沉浸在数学王国 的
遨游中,把疼痛抛到九霄云外去了。对华罗庚来说,枯燥无味的阿拉伯数字就象
一组奇妙无比 的音符,草稿纸的运算符号好比音乐演奏一样,给他带来了无穷的
乐趣。他坚信,只要顽强地坚持下去, 自学也能摘取数学王冠。由于他信心百倍
地不懈努力,终于有一天,他的一篇数学论文发表了。机遇垂青 这位下苦工夫的
热心人。清华大学的数学教授熊庆来得知华罗庚的研究成果和不幸遭遇后,邀请
华罗庚到清华大学工作,这就是为他成为数学家提供了广阔舞台。这就是至今成
为人们美谈的熊庆来睿智 识英才的故事。1985年,75岁的华罗庚爷爷带着一丝微
笑和欣慰离开了他追求了一生的数学事业。 他曾叮嘱人们不要忘记他曾是一位勤
杂工。


作业:
1.

甲、乙两人在
600
米长的环行跑道上以各自不变的速度慢跑 .如果两人同时从同地
相背而跑,
4
分钟后两人第一次相遇.已知甲跑一周需
6
分钟,那么乙跑一周需多少分钟?

2.

甲、乙两人在一个周 长为
180
米的圆形跑道上跑步.甲每秒跑
5
米,乙每秒跑
4
米.如果两人从同一点同时出发反向跑步,多少秒后第一次相遇?再过多少秒,两人第二次
相遇?在< br>10
分钟内两人相遇多少次?


3.

有一个圆形 跑道,甲、乙二人同时从同一点沿同一方向出发.当甲跑完
7
圈到达出
发点时恰好第二 次追上乙.如果甲的速度是
14


秒,那么乙每秒跑多少米?


4. 有一个周长是80米的圆形水池.甲沿着水池散步,速度为1
米秒
; 乙沿着水池
跑步,速度为2.2
米秒
,并且与甲的方向相反.如果他俩从同一点同时出 发,那么当乙第
8次遇到甲时,还要跑多少米才能回到出发点?

5. 甲、乙两人 分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始,同时匀速反向绕此圆形路
线运动.当甲走了160米以后, 他们第一次相遇;在乙走过A后20米的D处又第二次相遇.求
此圆形场地的周长.
A

B


D







第四讲 环形路线

例题1. 答案:25秒;4次;100米
详解:如图所示.两只小猫的速度和是
5712米秒.两只小猫跑
过的路程和是环形路线的周长,所以它们一共跑了
3001225
秒,
以后每隔25秒相遇一次.由于2分钟共120秒,
120254LL20

因此2分钟内两只小猫一共相遇4次.最后一次相遇是在100秒
的时候,此时黑猫跑过了< br>5100500
米,距离出发点100米.
第一次相遇
黑猫
白猫
白猫
第一次相遇
黑猫
第二次相遇


例题2. 答案:32米
解答:乙第8次追上甲时,比甲多跑了
408320< br>米.两人的速度
差是
3.512.5米秒
,因此从出发到乙第8次追上甲, 一共经过了
3202.5128
秒.这段时间内乙一共跑了
3.512844 8
4484011LL8
可知,则乙一共跑了
40832
米才回到出 发点.
米.而由
11圈还多8米,那么还要跑


例题3. 答案:6分钟,180分钟
详解:乙出发时,甲已经跑了300米,距离出发点只剩100米.追上乙需要
100

300280

5
分钟,算上
甲先跑的一分钟,共6分钟.接下来
甲每追上乙一次都要比乙多跑一圈,
需要
400

300280

20
分,到第10次
追上乙 共180分.

例题4. 答案:480米
详解:如图所示,乙第二阶段用的时间 是第一阶段的2倍,所以
他第二阶段所走的路程也是第一阶段所走路程的2倍,也就是说
CD是 BC的2倍.所以
CD1002200
米.那么乙一共走了
1001002 300
米.从图看出,这段路程比场地的半周长多
D
A

C

B
60米,
那么场地的周长就是

30060
2480
米.




例题5. 答案:20分钟;30分钟
详解:背向而行时,它们1小时合走了5圈,速度和是
51=5
(圈
时);同向而行时,小鹿1小时比小山羊多走1圈,速度差是
111
(圈时);因此小鹿的速度是3圈时,跑一圈需要20分钟;小山


羊的速度是2圈时,跑 一圈需要30分钟.

例题6. 答案:21.6
详解:阿呆要见到阿瓜,他至少 要比阿瓜多走一条边长,即12米;
多走一个边长所需时间是
12

53

6



,此时阿呆走了30米,阿
瓜走了1 8米;两人不在顶点上,因此阿呆还要走到下一个顶点才
能见到阿瓜,总路程是36米;此时阿瓜走了< br>36
3
21.6




5

练习1. 答案:180米
简答:每次相遇需要
420

86

30
秒,那么8次相遇的时候共用了
240秒,甲走了
240 81920
米.可知此时,甲距离出发点180米.

练习2. 答案:0米 < br>简答:每次追上需要
400

300275

16分,第4次追上时需要64
分.这时甲跑了19200米,正好是48圈.这时他距离起点0米.

练习3. 答案:60秒,720秒
简答:由于是相背而行,两人需要共跑300 米才能相遇,需要
300

32

60
秒.接下来每 相遇一次,两人都要共跑一圈,需要
400

32

80秒.那么从第1次相遇到第10次相遇,共需要720
秒.


练习4. 答案:1200米
简答:从出发到第一次相遇,两人共行跑道周长 的四分之一.从
第一次相遇到第二次相遇,两人共行一个周长,是前面的4倍.由
此可知DC是 AC的4倍,长400米.那么BD长为200米,AB
长为300米.跑道周长为1200米.




作业1.
答案:12分钟
简答:先计算出甲的速度,然后计算出速度和,即可计算出乙的速度.
作业2.
答案:20秒;20秒;30次
简答:如果反向跑,那么他们是相遇运动,所以过
1 80

45

20
秒相遇;每相遇一次,两人合
跑一 圈,所以第二次相遇又过了20秒;10分钟等于30个20秒,所以10分钟内相遇30次.

作业3.
答案:10米
简答:甲跑7圈第二次追上乙,说明这段时间内乙跑了5圈 ,所以甲的速度是乙的1.4倍,乙每秒跑
141.410
米.

作业4.
答案:40米
简答:乙第8次遇到甲,两人一共跑了8圈,共640米. 需要
640

12.2

200
秒.这段时间乙跑了
2.2200440
米,
440805L

40
,所以乙还要跑
804040
米才能回到出发点.
C
作业5.
答案:500米
简答:如图,设第一次相遇于C,第二次相遇于D.甲第 一次相遇走了
160米,而第二次相遇的总路程是第一次相遇总路程的3倍,所以从出
发到第二 次相遇甲走了480米.而AD段长20米,也就是周长为

A

B
48020500
米.


D

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