小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 (2)
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小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
(2).DOC
数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课
题;也是小学数学竞
赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识
1.整除——约数和倍数
例如：15÷3=5;63÷7=9
一般地;如a、b、
c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;
除得的商c正好是整数而没有
余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或
者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a
不能被b整除;（或b不能整除a）;记作
ba。
如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约
数。
2.数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。
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例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）;
并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜
a;c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。
例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1,
那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。
即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。
例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6
、8的整数.“特征”包含两
方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;
另一方面;能被
2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
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②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：186
4=1800＋64;因为100是4与25的倍数;所以1800是4与25的倍
数.又因为4｜64
;所以1864能被4整除.但因为2564;所以1864不能被25整除.
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
例如：29375＝
29000＋375;因为1000是8与125的倍数;所以29000是8与
125的倍数.又因为
125｜375;所以29375能被125整除.但因为8375;所以829375。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字
之和的差（大减小）是1
1的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
3
6
解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25;偶数
位上的数字之和是8
＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5;又因为115;所以。
再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的
差是：（4＋5＋1）-（7＋
3）＝0.因为0是任何整数的倍数;所以11｜0.因此13574是
11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位
以前的数
字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两个数
.因为1059-282＝777;又7｜777;所
以7｜1059282.因此1059282是7
的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3
546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分
为2和821两个数;因为
821—2＝819;又13｜819;所以13｜2821;进而13｜
3546725.
能被30以下质数整除的数的特征
大家知道;一个整数能被2整除;那么它的个位数
能被2整除;反过来也对;也就是一个数的个
位数能被2整除;那么这个数本身能被2整除。因此;我们
说“一个数的个位数能被2整除”
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是“这个数
能被2整除”的特征。在这一讲中;我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导
出能被这些质数整除的特
征。
为了叙述起见;我们把讨论的数N记为：
我们已学过同余;用mod 2表示除以2取余数;有公式：
①
N≡a0（mod 2）
② N≡a1a0(mod 4)
③
N≡a2a1a0(mod 8)
④ N≡a3a2a1a0(mod 16)
这几个公式表明一个数被2（4;8;16）整除的特性;而且表明了不能整除时;如何求余数。
此外;被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。我们借用同余
记号及一些运算性质来重新推证一下。如（mod 9）;如果：
N= a3a2a1a0
= a3×1000＋a2×100＋a1×10＋a0
=
a3×(999＋1)＋a2×(99＋1)＋a1×(9＋1)＋a0
=
(a3＋a2＋a1＋a0)＋(a3×999＋a2×99＋a1×9)
那么;等式右边第二个括号中的数是9的倍数;从而有
N≡a3＋a2＋a1＋a0(mod 9)
对于mod
3;理由相仿;从而有公式：
⑤ N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod
9)
N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod 3)
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