五年级奥数题：图形的计数(B)
下雨的声音-诺贝尔奖华人
图形的计数作业
一、填空题
1.
如下左图中长方形（包括正方形）总个数是_____.
2.
如上右图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.
3. 如下左图中共出现了_____个长方形.
4.
如上右图先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角
形.
5. 如下左图图形中有_____个三角形.
6．如上右图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色
,两个有公共边
的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_
____
个.
7.如下左图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有____个小立方体.
8.
如上右图中共有_____个正方形.
9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1
张；标有数码“2”的有2张；标
有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸
片如下左图所示放置在
一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果M位上放置标有数码“3”
的纸片，
一共有_____种不同的放置方法.
M
10. 如上右图,在2×2方格
中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线
最多可穿过5个方格.那么10×1
0方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格.
二、解答题
11. 把一条长15c
m的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多
少个不同的三角形？（当且仅当
两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是
相同的.）
12. 有一批长度分
别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从
中适当
选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多
少个不同的三角
形?
13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个
),
以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有
同样大小面积的有多少个?
14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭
成一个大
的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方
体?
———————————————答
案——————————————————————
1. 90
利用例1和例4公式可直接计算:
(5+4+3+2+1)×(3+2+1)
=15×6
=90(个)
[注]注意,由长方形、正方形的意义可知，正方形一定
是长方形，但反之不然.故求长方形个数时,不
必把正方形分开考虑.
2. 3个正方形;
18个三角形; 6个平行四边形; 8个梯形.
3. 18
根据这个图形的特点,我们
先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1)×(2+1)=9个；然后在
图(1)的内部添上一个长
方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1)×(2+1)=9个.至此已将
图(1)还原为题
图,同时题图中的长方形已全部数完.因此,原图中共有长方形.
(2+1)×(2+1)+
(2+1)×(2+1)=18(个).
(1) (2)
4. 16 <
br>具体分法如下图所示.基中小三角形有8个,由两个小三角形组成的三角形有4个,由四个
小三角
形组成的三角形有4个,所以共有三角形8+4+4=16(个).
5. 72
把图中最小三角形作为基数,然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.
含一个基数的三角
形,共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四个基数的三角
形，共有20个；含八个基数的
三角形，共有8个；含十六个基数的三角形，共有4个.因此,
整个图形中共有16+24+20+8+
4=72(个)三角形.
6. 6
图中的三角形可分成两种,一种是尖头向上的,一种是
尖头向下的.从图上可以看出,每种
三角形必须涂成同一颜色.为了使涂红色的三角形比涂蓝色的三角形
多,尖头向上的三角形要
涂红色.
每一横排,尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个
,共有6排,因此,涂红色的比
涂蓝色的三角形多6个.
7. 38
将原立体图形从左至右分类计算,共有16+9+5+7+1=38个.
8.
115
单独的一个4×4的方格中有1
2
+2
2
+3
2<
br>+4
2
=30个正方形,两个4×4的方格如原图重叠后,
重叠部分有5个正方
形.所以原图中一共有30×4-5×3=115个正方形.
9. 6
根据标有相同数码
的纸片不许靠在一起的条件，当M位置上放标有数码“3”的纸片时，
其余两个标有数码“3”的纸片，
只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下图所示.
4
2
3
4
M
2
1
4
3
这样圆
圈绕M圆紧接着M的六个圈旋转一周,回到初始状态,可知共有六种不同的放置方法.
10.
19
如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11个交点,与竖边至多9个
交点,共20个交点.
如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生10个交点
,与竖边至
多产生10个交点,共20个交点.
20个交点,将直线分成21部分,其中在大正方形有内有19部分,故至多穿过19个方格.
[注]穿过一个方格,在直线上截出一条线段,线段由直线上的交点决定,关键是求交点个数.
对小学生来说,通常总是从简单情况入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情况,归纳出一般<
br>的规律,从而得出10×10方格的结果.请同学们用归纳法试一试!
11. 最大边为7时
,另两边之和为8,可构成4个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最
大边为6时，另
两边之和为9，可构成2个（3+6，4+5）不同的三角形;最大边为5时,可构
成1个(5+5)不
同的三角形.所以一共可组成7个不同的三角形.
12. 由三角形的一边为11厘米,及其他边长
必为1,2,.…，11厘米，根据三角形两边之
和大于第三边的性质，可知两边之和应介于12厘米和
22厘米之间（包含12厘米和22厘米）.
这样,共可围成36个不同的三角形.
12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；
13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；
14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；
15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；
16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；
17:(6,11),(7,10),(8,9)；
18:(7,11),(8,10),(9,9)；
19:(8,11),(9,10)；
20:(9,11),(10,10)；
21:(10,11)；
22:(11,11)
所以，一共可以围成36个不同的三角形.
13. 为方
便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面
1
积是×2×3
=3.所求的三角形可分两种情形:
2
(1)三角形的一边长为2,这边上的高是3.这时,
长为2的边只能在原正方形的边上,这样
的三角形有2×4×4=32(个)；
(2)三角形
的一边长为3,这边上的高是2.这时长为3的边是原正方形的一边或平行于一
边的分割线.其中与(1
)重复的三角形不再算入,这样的三角形有8×2=16(个).
因此,所求的三角形共32+16=48(个)(包括图中开始给的三角形.)
14.
最多可以穿透7个小立方体.提示:仿题10.