小学五年级奥数 容斥原理(二)
上海东海学院-文明礼貌伴我行
容斥原理（二）
【例2】(★★★★)
【例1】(★★★)
某班人数60人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的
唐僧西天取经共经历了81难，其中单独度过了3难，与孙悟空一起度过
有41人，数学及格
的有39人，化学及格的有42人；英语、数学两科
了77难，与猪八戒一起度过了65难，与沙和尚一
起度过了62难，同时与
不及
孙悟空和猪八戒一起度过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起度过了
格的有14人，数学、
化学两科不及格的有13人，英语、化学两科不
61难，同时与猪八戒和沙和尚一起度过了60难。请问
：师徒四人共同
及
度过的有多少难？
格的有11人，有两科或两科以上不及格的人数为20人，则：
⑴三科都不及格的有几人？
⑵至少有一科不及格的有几人？
⑶三科都及格的人数有几人？
【例3】(★★★★)
【例4】(★★★)
五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有
六年级⑴班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参
加语
24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加
文竞赛，其中参加了数学和英语的有12人，参加了英语和语文的有14
语文小组的有10人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺
人，参加了数学和语文的有10人，那么六年级⑴班全班至少有多少
. ， ，
人？
也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺
小组的人数。
【例5】(★★★)
甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事。已知甲读了
85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。请问：甲、乙、丙
三人
共同读过的故事最少有多少个？
1
【例6】(★★★★★)
在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲
浇了30
盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个
一、本讲重点知识回顾
1．基本原理
人
⑴二者容斥
浇过的花最少有多少盆？
⑵三者容斥
【例7】 (★★★)
中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有
20名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训
练长跑的男运动员有多少名？
C
A
C
A
A
B
B
C
A
B
C
B
B
C
A
C
2．口诀：奇层加，偶层减
3．解题技巧：画图——文氏图，线段图
方程
列表
高斯记号应用——取整运算
答案
【例1】59
难
【例3】 21
人
【例2】 ⑴9人 ⑵29人 ⑶31
人
【例4】 47
二、本讲经典例题
容斥原理㈠：例1，例2，例5，例6
容斥原理㈡：例１，例３，例６，例7
【例5】
个
【例6】
盆
【例7】
17
15
3名
2
人