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第二讲 圆与扇形进阶







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自然界中，圆与方是最基本的两种图形．古 人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大

锅盖在一个方形的棋盘上．中国古代的建筑 也会经常采用圆形和正方形的图案．而在面积计
算中，圆与正方形也有很大的关系．
关于正方形和圆，有以下的面积关系：
方中圆：正方形面积:内切圆面积=4:π
圆中方：圆面积:内接正方形面积=π:2
由此我们可以进一步推断：圆外切正方形面积是内 接正方形面积的______倍；正方形外接圆
面积是内切圆面积的______倍．






方中圆 圆中方

圆的外切正方形 正方形的外接圆

与内接正方形

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例题1．
（1）左图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（
π
取3.14）
（2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（
π
取3.14）
分析：利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解．







练习1．
如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积．（
π
取3.14）










与内切圆

例题2．
计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小．（
π
取3.14）
分析：利用方中圆的比例关系可以轻松求解．



2
4


8

4


练习2．
如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（
π
取3.14）
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小故事
圆与方
有一天，圆形和方形碰到了一起，它们一见面就吵了个面红耳赤，不管谁劝都不听．圆
形说：“我们圆形就是比你们方形用处大，人们日常生活中用的锅呀、碗呀，体育中的蓝球、
排 球，水果里的苹果、桔子，大到汽车轮胎、自行车轮胎，都是我的家族．瞧，我们是不是
比你们用处大！ ”圆形得意洋洋地说完．
方形“哼”了一声说：“我们方形家族才是无处不在呢，人们用的电器、冰箱 、彩电、
电脑，就连学生用的课本都是我们方形的哟！”方形也自豪地说．
它们谁也无法说服 谁，都来到大街上．望着街上的车，方形对着圆形的车轮喊了声：“变！”
转眼间车轮变成了方形．正当 方形喜笑颜开时，人群出现了混乱，汽车开不了，自行车也只
能扛着了，大家都在说：“这是谁干的呀！ 真是害人呀！”而圆形来到一座刚建好的大楼前，
望着由一块块方形红砖盖成的大楼，圆形生气地大声 喊了声“变！”呀，方形红砖变成圆
形了．圆形还没来及高兴呢，就听“轰”一声大楼倒了下来．
看到这个情景，圆形呆住了：“这是怎么回事？”
只见混乱的人群里走出了一位老人，他来到 方形和圆形面前对它们说：“其实你们都很
棒，只是你们分工不同而已，只要你们齐心协力，一定会为人 类作更大的贡献．




在上一讲中，我们主要使用割补的方法来 计算不规则图形的面积．而对于一些比较特殊

的形状，我们可以把它看成是一些基本图形 的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积．
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例题3．
如图，求下面各图中阴影部分的面积．（π取3.14）




2
2




分析：阴影部分可以看成是哪些图形的重叠部分？




练习3．
已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）









在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等．这些物体在运动的过程中，扫
过的图形都是曲线 形．这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢？

例题4．图中正方形的边长是4厘米，圆形 的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回
到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）
分析：要求扫过的面积，关键在于弄清扫过的区域；而要弄清扫过的区域，
关键在于弄清区域的 边界．你能通过合理动态想象，画出边界来吗？

练习4．
如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米．当 圆形绕正方形滚动一周又回到
原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）





例题5．
如图，求阴影部分的面积．（π取3.14） < br>分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应
该怎么 计算扇形的面积呢？


2

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例题6．
（1）如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处， 四周都是空地．绳
长8米．小狗的活动范围是多少平方米？
（2）如果小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方
米？
（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）
分析：如果没有建筑物的阻挡，小 狗的活动范围应该是一个圆．有建筑物的话，活动范围会
受到什么样的影响呢？




A
B

含有“圆”字的成语
圆首方足：出自《淮南子·精神训》：“头之圆也象天，足之方也象地．”用来代指人
类． < br>戴圆履方：出自《淮南子·本经训》：“戴圆履方，抱表怀绳．”履：踩着；圆、方：
古人以为天 圆地方．头顶着天，脚踩着地．指生活在人间．
方枘圆凿：出自战国时楚国宋玉的《九辨》：“圆凿而 方枘兮，吾固知其龃龉而难入．”
凿：榫眼；枘：榫头．方枘装不进圆凿．比喻格格不入，不能相合．
这三个成语之外，还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字，如圆孔方木、圆颅
方趾、外 圆内方等．这说明古人对于圆和方的认识非常深刻，已经将其应用到了生活中的很
多方面．而我们在圆与 扇形的学习中，也要注意圆形与正方形之间的联系．元方，你怎么看？
破镜重圆：这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的．
杨素，字 处道，在辅佐隋文帝杨坚结束割据，统一天下，建立隋朝江山方面立下了汗马
功劳．他不仅足智多谋，才 华横溢，而且文武双全，风流倜傥．在朝野上下都声势显赫，颇
著声名．隋开皇九年（公元589年）杨 素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚，
其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻，也就 是陈国的乐昌公主．由于杨素破陈有功，
加之乐昌公主才色绝代，隋文帝就乱点鸳鸯，将乐昌公主送进杨 素中，赐为杨素小妾．杨素
既仰慕乐昌公主的才华，又贪图乐昌公主的美色，因此就更加宠爱，还为乐昌 公主专门营造
了宅院．然而乐昌公主却终日郁郁寡欢，默无一语．原来，乐昌公主与丈夫徐德言两心相知 ，
情义深厚．陈国将亡之际，徐德言曾流着泪对妻子说：“国已危如累卵，家安岂能保全，你
我 分离已成必然．以你这般容貌与才华，国亡后必然会被掠入豪宅之家，我们夫妻长久离散，
名居一方，唯 有日夜相思，梦中神会．倘若老天有眼，不割断我们今世的这段情缘，你我今
后定会有相见之日．所以我 们应当有个信物，以求日后相认重逢．”说完，徐德言把一枚铜
镜一劈两半，夫妻二人各藏半边．徐德言 又说：“如果你真的被掠进富豪人家，就在明年正
月十五那天，将你的半片铜镜拿到街市去卖，假若我也 幸存人世，那一天就一定会赶到都市，
通过铜镜去打问你的消息．”
一对恩爱夫妻，在国家山 河破碎之时，虽然劫后余生，却受尽了离散之苦．好容易盼到
第二年正月十五，徐德言经过千辛万苦，颠 沛流离，终于赶到都市大街，果然看见一个老头
在叫卖半片铜镜，而且价钱昂贵，令人不敢问津．徐德言 一看半片铜镜，知妻子已有下落，
禁不住涕泪俱下．他不敢怠慢，忙按老者要的价给了钱，又立即把老者 领到自己的住处．吃
喝已罢，徐德言向老者讲述一年前破镜的故事，并拿出自己珍藏的另一半铜镜．颤索 索两半
铜镜还未吻合，徐德言早已泣不成声……卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶．他答
应徐德言，一定要在他们之间传递消息，让他们夫妻早日团圆．徐德言就着月光题诗一首，
托老人带给 乐昌公主．诗这样写道：

镜与人俱去，镜归人不归．
无复嫦娥影，空留明月辉．
乐昌公主看到丈夫题诗，想到与丈夫咫尺天涯，难以相见，更是大 放悲声，终日容颜凄
苦，水米不进．杨素再三盘问，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打 动．他
立即派人将徐德言召入府中，让他夫妻二人团聚．府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公
杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已．在欢庆的感激之情．宴罢，夫妻二人携手同归江南
故里．这段 佳话被四处传扬，所以就有了破镜重圆的典故，一直流传至今．

作业1. 如图，图中较小圆的面积是3.14，较大圆的面积是多少？
作业2. 如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？（
π
取3.14）
作业3. 如 图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周
都很空旷．绳长刚好够山 羊走到三角形建筑物外的任一位置，山羊的活动范围有多少平
方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略 不计，
π
取3）
作业4. 如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A
、
B
、
C
、
D为圆心，以AD
、
BE
、< br>CF
、
DG为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（
π
取3.14）

E
A
F
B
D
C
H
G
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图

作业
5.
如图，长方形的长为
6
厘米，宽为
2
厘 米，圆形的半径是
1
厘米．当圆形绕长方形
滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有 多大？（
π
取
3.14
）

第二讲 圆与扇形进阶

例题1. 答案：（1）6.28；（2）25.12
详解：（1）方中圆，方与圆的比为4:π，可求出圆的面 积是6.28；（2）圆中方，圆与方的面积之比是
π:2，可求出圆的面积是25.12．

例题2.

例题3. 答案：（1）2.28；（2）2.28
详解：（ 1）可利用重叠求出阴影部分面积，阴影面积等于两个圆心角为90°、半径为2的扇形面积减
去边长为 2的正方形面积．即
S
n

1


2
2
2222.28
；（2）将四个半径为1厘米的半圆叠加
4
答案：面 积都是12.56
详解：左图中阴影部分的面积为
4π1
2
12.5 6
，右图中阴影部分的面积为
π2
2
12.56
．
起 来，恰好将每块阴影各算了两遍，每块空白各算了一遍．所以阴影部分面积等于4个半径为1厘米
1的半圆面积之和减去边长为2厘米的正方形面积，即
4

1
2222

42.28
平方厘米．
2

例题4. 答案：44.56
详解：扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4个长为 4厘米、
宽为2厘米的长方形，4块半径为2厘米、圆心角为90度的扇形（恰好
拼成一个圆） ．所以扫过的面积是
424π2
2
44.56
平方厘米．





例题5. 答案：2.28
详解：阴 影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个整圆．圆的直径等
l
2
于正方形的对角线．设正方形对角线为l，圆的直径为d，则
4
，
l
2
8
，
d
2
8
，圆的面积为
2
S

d
2
4
2

6.28
．
S
n
=6.284=2.28
．

例题6. 答案：（1）175.84平方米；（2）163.28平方米
详解：（1）如下左图，小狗的活动范 围为圆心角为270°、半径为8米的扇形，和两个圆心角为90°、
31
半径为4米的扇形． 总大小为


8
2


4
2
256

175.84
平方米．（2）如下右图，小狗的
44
活动范围为半径是8米的半圆，和两个圆心角为90°、半径为6米的扇形，以及两个圆心角为90°、
111
半径为2米的扇形．总大小为


8
2

6
2
2

2
2
252

163.28
平方米．
244

A
B


练习1. 答案：6.28，3.14
简答：方中圆，方和圆的面积比 为4:π，可求出小圆的面积是3.14．大圆的面积是小圆面积的2倍，
是6.28．

练习2. 答案：2.58
简答：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中 圆，方和圆的面积比为4:π，可求
出小圆的面积是1.5π．那么阴影部分的面积是
121 .5π22.58
．

练习3. 答案：9.12
1
简答：

π

4
2

2

16

9.12
．
4

练习4. 答案：28.56
简答： 扫过的区域如图所示．正方形的边长是2厘米，四个正方形的面积
之和是16平方厘米．四个扇形正好可 以拼成一个半径为2厘米的圆，圆
的面积是12.56平方厘米．最后的结果是28.56平方厘米．



作业
1.
答案：
6.28
简答 ：较大圆、正方形和较小圆之间的比是
2π
：
4
：
π
，即较 大圆的面积是较小圆的
2
倍．

作业2. 答案：4.56
简答： 四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积．四个半圆可以拼成两个相同的
圆．而这个圆 和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是6.28．那么阴影部分的面积就是
6.282 84.56
．

作业3. 答案：98
6米，面积为简答：山羊的活 动范围如图所示，绳长为
30012098π

π

6
2< br>
2

π

2
2

98
平方米．
3603603

作业4. 答案：23.55
111
3.142
2
3.143
2


444
简答：阴影部分的面积是
3.141
2

3.1 44
2

1
23.55
平方厘米．
4
作业
5.
答案：
44.56
简答：扫过的区域如图所 示，面积为
226222π2
2
44.56
平方厘米．