南京应天学院-同学录留言

一、基本概念和知识
1.质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做
素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因
数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝2
2
×3，2、3都叫做12的质因数。
二、例题
例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
解：∵210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：
40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。

例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？
解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合
数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？
解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么 显然其中最多有
4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九 个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合
数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必 只有一个个位数是5，
因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇
数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14
（=2×7）放在第一组，那么7和6 （=2×3）只能放在第二组，继而
15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个 是它们的平均数，且三
数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析 先大概估计一下，3 0×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝
64000，远大于42560 .因此，要求的三个自然数在30～40之间。
解：42560=26×5×7×19
＝25×（5×7）×（19×2）
＝32×35×38（合题意）
要求的三个自然数分别是32、35和38。

例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，
a×c＝10.求a×b×c是多少？
解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。
（a×b）×（b×c）×（a×c）
=（2×3）×（3×5）×（2×5）
∴a
2
×b
2
×c
2
=2
2
×3
2
×5
2

∴（a×b×c）
2
＝（2×3×5）
2

a×b×c=2×3×5＝30
在例7中有a2＝2
2
，b
2
=3
2
，c
2
=5
2
，其中2
2
=4，3
2
＝9，5
2
＝25，像4、9、
25这样的数，推及一般情况，我 们把一个自然数平方所得到的数叫做完
全平方数或叫做平方数。
如.1
2
=1，2
2
＝4，3
2
＝9，4
2
=16，„，112
=121，12
2
=144，„其中1，4，
9，16，„，121， 144，„都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的
指数有什么特征。
例如：把下列各完全平方数分解质因数：
9，36，144，1600，275625。
解：9=3
2
36=2
2
×3
2

144=3
2
×2
4

1600=2
6
×5
2
275625=3
2
×5
4
×7
2

可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质 因数之后，各个质因数的指数都是偶
数，那么这个自然数一定是完全平方数。
如上例中， 36＝6
2
，144=12
2
，1600=40
2
，275 625=525
2
。
例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平
方数。
分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。
解：∵1080×a=2
3
×3
3
×5×a，
又∵1080=2
3
×3
3
×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，
∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。
∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。
答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。
例9 问360共有多少个约数？
分析 360=2
3
×3
2
×5。
为了求360有多 少个约数，我们先来看3
2
×5有多少个约数，然后再
把所有这些约数分别乘以1、2 、2
2
、2
3
，即得到2
3
×3
2
×5（ =360）的所有
约数.为了求3
2
×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数， 然后再把
这些约数分别乘以1、3、3
2
，即得到3
2
×5的所有约 数。
解：记5的约数个数为Y
1
，
3
2
×5的约数个数为Y
2
，
360（=2
3
×3
2
×5）的约数个数为Y
3
.由上面的分析可知：
Y
3
=4×Y
2
，Y
2
＝3×Y
1
，
显然Y
1
=2（5只有1和5两个约数）。
因此Y
3
＝4×Y
2
=4×3×Y
1
=4×3×2=24。
所以360共有24个约数。
说明：Y
3
=4×Y
2中的“4”即为“1、2、2
2
、2
3
”中数的个数，也就是
其 中2的最大指数加1，也就是360＝2
3
×3
2
×5中质因数2的个数加1 ；
Y
2
=3×Y
1
中的“3”即为“1、3、3
2
”中数的个数，也就是2
3
×3
2
×5中质
因数3的个数加1；而Y
1
=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即2
3
×
3
2
×5中质因数5的个数加1.因此
Y
3
＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。
对于任何一个合数，用类 似于对2
3
×3
2
×5（=360）的约数个数的讨
论方式，我们可 以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数
（即指数）加1的连乘的积。
例10 求240的约数的个数。
解：∵240＝2
4
×3
1
×5
1
，
∴240的约数的个数是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？
习题二
1.边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？
2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列
的棋子数多1个.这个长方 阵每一横行有多少个棋子？
3.五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。
4.自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。
5.求10500的约数共有多少个？
习题二解答
1.∵105=3×5×7，
105=1×105=3×35=5×21=7×15，
∴共有4种。
2.分析
每一横行棋子数比每一竖列棋子数多1个。
横行数与竖列数应是两个相邻的自然数.
解：11112222=3333×3334
答案为3334。

3.7、8、9、10、11。
4.分析
∵自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，
∴a与338的积分解质因数以后，每个质因数的个数之和都是偶数。
解：∵338=2×13×13，
∴a＝2，b＝2×13＝26。
5.解：∵10500=2
2
×3×5
3
×7，
又∵（2＋1）×（1+1）×（3+1）×（1+1）=48。
∴10500的约数共有48个.