00.小学数学奥数基础教程(五年级)--高斯求和
离职报告-爱国人物的故事
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基础教程
)-
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们
计算：
1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小
高斯却很快算出答案等于5050。高斯
为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝„＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题
巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差
数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，
最后一项
称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为
公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，„，100；
（2）1，3，5，7，9，„，99；
（3）8，15，22，29，36，„，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为
1的等差数列；（2）是首项为1，末
项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71
，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1. 1＋2＋3＋„＋1999＝？
分析与
解：这串加数1，2，3，„，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有
1999个数。
由等差数列求和公式可得
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原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数
列。
例2.
11＋12＋13＋„＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，„，31是等差数列，首项
是11，末项是31，共有
31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了
然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-
首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3.
3＋7＋11＋„＋99＝？
分析与解：3，7，11，„，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4. 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关
的问题。
例5. 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米
2
，边长是1根火柴棍。
问：
（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
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分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目
如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋„＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米
2
）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+„+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米
2
，整个图形由108根火柴摆成。
例6. 盒
子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只
球后放回盒子里；第二次又
从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子
里„„第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各
变成3只球后放回到盒子里。这时盒子
里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，
实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2
×2只球„„第十次多了2×10只球。因此拿了
十次后，多了
2×1＋2×2＋„＋2×10
＝2×（1＋2＋„＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：（3-1）×（1＋2＋„＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
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举一反三★巩固练习
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋„＋200；
（2）17＋19＋21＋„＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋„＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋„＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟
一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
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★五年级奥数以前知识★
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