汪国真诗集-医院营销策划

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
T同步课堂
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第14讲——组合图形的面积

P实战演练 S归纳总结
① 掌握三角形的面积计算公式；
② 学会使用拆补法求解三角形面积；
③ 通过题目中给定比例关系求解面积比。
授课日期及时段

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

知识梳理


计算平面图形 的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无
从下手。这时， 如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知
识，适当添 加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的
面积计 算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合
理 的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
典例分析

2
例1、已知图12－1中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD= BC，求阴影部分的面积。
3
【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直 接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S
△
AEF
=S
△
EDF
（等底等高），采用移补的方法，
将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
2
因为BD= BC，所以S
△
BDF
＝2S
△
D CF
。又因为AE＝ED，所以S
△
ABF
＝S
△
3
BDF
＝2S
△
DCF
。因此，S
△
ABC
＝5 S
△
DCF
。由于
A
F
E
B
D
12－1
S
△
ABC
＝8平方厘米，所以S
△
C
，则阴影部分的面积为：
DCF
＝8÷5＝1.6（平方厘米）
1.6×2＝3.2（平方厘米）。
例2、在△ABC中（图12-2），BD=DE=EC，CF： AC=1：3。若△ADH的面积比△HEF的面积多24平方厘
米，求三角形ABC的面积是多少平方 厘米？

【解析】△ADH的面积比△HEF的面积多24平方厘米，
则三角形ADE的面积比三角形FDE的面积多24平方厘米，
又因三角形FDE和三角形FEC的面积相等，
也就是说三角形AEC比三角形FEC的面积多24平方厘米，
又因多出的24平方厘米,是三角形AEC的面积的23，
所以三角形AEC的面积是24÷23=36平方厘米，
则三角形ABC的面积是36÷13=108(平方厘米)，
答：三角形ABC的面积是108平方厘米。

例3、两条对角线把梯形ABCD分 割成四个三角形，如图12－3所示，已知两个三角形的面积，求另两个三
角形的面积各是多少？ 【解析】已知S
△
BOC
是S
△
DOC
的2倍，且高相 等，可知：BO＝2DO；
从S
△
ABD
与S
△
ACD相等（等底等高）可知：S
△
ABO
等于6，而△ABO
与△AOD的高 相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为：
6÷2＝3。
答：△
AOD
的面积是3。

例4、四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平 方厘米。求四边形ABCD
的面积（如图12－4所示）。
【解析】由于E、F三等分BD， 所以三角形ABE、AEF、AFD是等底
等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CE F、CFD的面
积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，
三角形 BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD
的面积是四边形AECF面积的3倍 。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。


例5、如图12－5所示，BO＝ 2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。
那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
【解析 】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底
等高面积相等的性质，可知S
△
DBC
＝S
△
CDA
；S
△
COB
＝S
△
DOA
＝4，类推可
B
12－5
E
C
A
D
O
B
12－4
E
C
A
F
D
B
A
O
12
12-3
C
6
D
12-2

得每个三角形的面积。所以：
S
△
CDO
＝4÷2＝2（平方厘米）
S
△
DAB
＝4×3＝12平方厘米
S
梯形
ABCD
＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。

例6、如图18－17所示，长方形A DEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求
三角形ABC的面积。
【解析】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看 出：三角形ADE的面积等于长方形面积的
一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积 为
5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因
此可知三角形AEC与三角形AC F等底等高，C为EF的中
点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC
12－ 6
的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2. 5＝6.5。

例7、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四 个部分。△AOB的面积是2平方千
米，△COD的面积是3平方千米，公园陆地面积为6.92平方千 米，那么人工湖的面积是多少平方千米？
【解析】由△BOC与△DOC等高h
1
， △BOA与△DOA等高h
2
，
113
利用面积公式：
BOg h
1
2
，
DOgh
1
3
，得BO：DO=2： 3， 即
DOBO
，
2221
又
BOgh
2
1

2
11323
得
DOgh
2
gBOghgBOgh
2

。
22232
则湖的面积为：
123

C
3
6.920.58
（平方千米）
2
B
O
D
A
P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

➢ 课堂狙击
1、如图所示，AE＝ED，BC=3BD，S
△
ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。
【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连 接DF，可知S
△
AEF
=S
△
EDF
（等底等高），采用 移补的方法，
将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
30÷5×2＝12平方厘米


1
2、如图所示，DE＝ AE，BD＝2DC，S
△
EBD
＝5平 方厘米。求三角形ABC
2
的面积。
【解析】


21
5×3÷ ＝22 平方厘米
32

B
B
D

C
F
E
A
A
E
F
C
D
3、两条对角线把梯形ABCD分割 成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面
积是多少？
【解析】
4÷2＝2
8÷2＝4

B
4
A
O
8
C
D
4、如图所示，已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为 15平方厘米。求四边
形ABCD的面积。
【解析】
15×4＝60平方厘米




A
E
F
B
·
G
C
D
5、如图所示， AD=6，CG=4；求阴影部分的面积。（ABCD为正方形）
6
A
【解析】
6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米
6×2÷4＝3平方厘米
（6+3）×6÷2＝27平方厘米

B
D
G
4
C
E

6、如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。
【解析】
4×2＝8平方厘米
8×2＝16平方厘米
16+8+8+4＝36平方厘米


7、如图18－18所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF 的面积为5平方厘米，三角形ABE
的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。
【解析】
F
20÷2－7＝3
1
3× ＝1.5
2
20－7－5－1.5＝6.5


➢ 课后反击
1
1、如图所示，AE=ED，DC＝ BD，S
△
ABC
＝21平方厘米。求阴影部分的面积。
3
【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE =ED,连接DF，可知S
△
AEF
=S
△
EDF
（等底等 高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF
的面积。
21÷7×3＝9平方厘米
E

B

2、已知三角形AOB的 面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。
求梯形ABCD的面积。
【解析】
15×3＝45
15+5+15+45＝80



B
C
A
O
D
D
C
A
F
B
E
C
A
D
B
C
A
O
D

3、已知S
△
AOB
＝6平方厘米。OC＝3AO ，求梯形的面积（如图所示）。
【解析】
6×（3+1）＝24
6÷3＝2
24+6+2＝32


4 、如图18－19所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S
△
ABE
＝4平方 厘米，S
△
AFD
＝6平方厘米，求三
角形AEF的面积。
【解析】
20÷2＝10
10－6
2
（10－4）× ＝2
105
23
20－6－4－2 ＝7
55

5、底边长为6厘米，高为9厘米的等腰三角形20个，迭放如下图：
每两个等腰三角形有等距离的间隔，底边迭合在一起的长度是44厘米．回答下列问题：
（1）两个三角形的间隔距离；
（2）三个三角形重迭（两次）部分的面积之和；
（3）只有两个三角形重迭（一次）部分的面积之和；
（4）迭到一起的总面积．
【解析】
（1）从图中可看出，有（20-1=）19个间隔，每个间隔距离是（44-6）÷19=2（厘米） ．
（2）观察三个三角形的迭合．画横行的两个三角形重叠画井线是三个三角形重叠
B
E
A
D
F
C
B
C
A
D
O
9
6
44
2
2
2
6
部分，
它是 与原来的三角形一般模样，但底边是原来三角形底的（2厘米），高也是原来三角形高的（3厘米），
所 以面积为
1
3
1
3
1
323
（cm
2
）．每三个连着的三角形重叠产生这样的一个小三角形，每增加一个大三角形，
2