赞美老师的名言名句-滨才留学

质数与合数
一、质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个 数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和
它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0 和1不是质数，也不是合数。常用
的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、2 3、29、31、37、41、43、47、53、59、
61、67、71、73、79、83、89 、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，
其余的质数个位数字只能是1，3，7 或9.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注
意.
二、判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)， 使得q能够整除p，那么p就不是
质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的 计算量很大，对于不太
大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数 ，再列出所有不大于K的质数 ，用这些质
数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近 ，根据整除的性质149不能
被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.
1. 判断质数、合数
例：下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同 切磋；
杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中
的质 数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．
解：按要求编号排序，并画出质数号码：
美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多；
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握；
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌．
1

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．
2. 质数的个位性质
例：哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：16 8是哪两个
两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数宇是1?
解：个位数字是1的两位质 数有：11，31，41，61，71，其中168－11＝157，168－31＝137，
168－ 41＝127 168－61＝107，都不是两位数，
只有168－71＝97是两位数．而且是质数．所以168＝71＋97是唯一的解
3. 偶质数2
例：7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？
解：因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，
因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列
的，所 以
g2
.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样
d7< br>.
4. 质数5
例：已知
n
，
n6
，
n84
，
n102
，
n218
都是质数，那么
n< br> 。
解：由于
6
，
84
，
102
，
218
除以
5
的余数分别为
1
，
4，
2
，
3
所以
n
，
n6
，
n84
，
n102
，
n218
这
5
个数除 以
5
的余数互不相同，那么其中必然有除以
5
余
0
的，也就 是有
5
的倍数，而
这
5
个数都是质数，那么只能是
5
。由于
n6
，
n84
，
n102
，
n2 18
都比
5
大，所以
n
为
5
。
5. 数字拆分
例：从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相等 ，
所选的6个数是__________________.
解：20以内的质数有：2，3 ，5，7，11，13，17，19.显然2不能入选，否则会出现有的和为
奇数，有的和为偶数的情况 ，那么还剩下3，5，7，11，13，17，19这7个数。从中选择6个，
相当于从中剔除1个。由 于这7个数的和为
3571113171975
，是3的倍数，而选出
的6个数之和也是3的倍数，所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3。所以选出的6个
数是：5， 7，11，13，17，19.
6. 互质
例：把40，44，45，63，65，78， 99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。
402
3
5，
4553
2
，
6373
2
，
99 3
2
11
，解：
442
2
11
，
6 5513
，
782313
，
105357
，
2

要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组 含有40，第二
组含有44，78，再看
11,13
，第一组应有40，99，65， 再看5第二组应有44，78，45，105，
最后看7，第一组应有40，99，65，63．






练习题
1. 从
20
以内的质数中选出
6
个，然后把这
6
个数分别写在正方体木块的
6
个面上，并且使得
相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的 三个面的三个数之和可能有
多少种不同的值？



2. 用1， 2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用
一次，那么这 9个数字最多能组成多少个质数.



3. 4只同样的瓶子内分别装有 一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如
下：8，9，10，11，12，13．已 知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的
两瓶内有多少油？


4. 已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是_______。


3

5. 已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为








参考答案
1. 小于
20
的质数有
2
，
3
，
5，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
，其中
5197171113
.每个木块掷在
地上后向上的数 可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是
55515
，最大是
经试验，三 个数的和可以是从
15
到
57
的所有奇数，所有可能的不同值共有
2 2
个。
19191957
，

2. 要使质数个数最多，我 们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩
下1、4、6、8、9这5个不是质 数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可
以与7组合成质数67．所以这9个 数字最多可以组成6个质数。

3. 由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是
4
瓶油(连瓶)重量之和的
3
倍，即
4
瓶油(连瓶)
共重(
8910111213
)
321
(千克)而油重之和及瓶重之 和均为质数，所以它们必为一奇一
偶，由于
2
是唯一的偶质数，只有两种可能：⑴ 油 重之和为
19
千克，瓶重之和为
2
千克，每只
瓶重千克，最重的两瓶 内的油为
13212
(千克)．⑵ 油重之和为
2
千克，瓶重之和为< br>19
千
克，每只瓶重
19197
千克，最重的两瓶内的油为
1 32
(千克)，这与油重之和
2
千克矛盾．因
442
1
2
1
2
此最重的两瓶内共有
12
千克油。

4. 为了构造和与积都等于2007的一组自然数，首先把2007拆成若干个整数之积，然后把和
4 < /p>

不足的地方用1补足。容易看出来，2007拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添 加的1
也就越多。2007的质因数分解式是3
2
×223，3+3+223=229 ，还需要补2007-229=1778个1。所
以共有1781个。

5. 分解质因式：
A×B×C=11011×28=11×1001×28=
2
27
2
11
2
13
，由于
A
，
B
，
C
两两互质，并

且
A+B+C
要最大，则让数 尽量的大，则最大为：
4
、
49
、
1573
，则
A +B+C
的最大值为
1626
。

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