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第9讲 比较与估算
内容概述
与小数和分数相关的比较问题，涉及 多个数之间的比较，以及算式之闻酌比较．需兽进
行估算酌计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估 算酌关键是进行恰当的放缩．
典型问题
兴趣篇
1．分别比较下面每组中两个数的大小：
(1)0.375与



7

3

与
3
;(3)1.347
与
31


;(2)0.42
19723

、 、、

、、
是其中的6个，如果按从小到大的顺序排列，第4

10 .51
2．有8个数，
0.5
25
39
2413
4725< br>
，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？ 个数是
0.51



3．在不等式



4．在大于
253

的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．
3□ 4
3
1
且小于的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？
11
7

5．
A
1111111111
,B ,C,D,E,
请将A、B、C、D、E
6931733
按从小到大的 顺序排列起来．
6．下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？
11111111
①()20;②()30;③()40;④()50.

74147




0.1

42857

,
结果保留三位小数．

0.1250.1
7．计算
0.16

8．某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同学的 得分都是
整数，请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？



9．求下述算式计算结果的整数部分：
(



10．算式
1



拓展篇
1
2
11111
)385.

3571113< br>10101010
2311
的计算结果的整数部分是多少？
1
35

1．分别比较下面每组中两个数的大小：
(1)0.1



3

9

与
15
;(3)0 .97与
1949


;(2)0.40
19372008

4

,3,
2．现有7个数，其中5个是
3.1
列，第三 个数是
1116

5

,3
37
,
如果将 这7个数按照从小到大排
,3.1
737273
116
．请问：位于中间的数 是多少？
37


3．在下面9个分数算式中：
3536373839310
①;②;③;

④;⑤;⑥;

52010
20
311312313
⑦;⑧;⑨
第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？
0

4．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．



5．在不等式
同的填法？



523


4
的方框中填入一个自然数，使得不等号成立，一共有多少种不
22□ 17

6．
1.65,1.65
多少？



7．算式



8．算式
1
1232 9
,1.65,1.65,,1.65,
这30个数的整数部分之和是
303 03030
11111

计算结果的整数部分是多少？
1112 131920
111111

计算结果的整数部分是多少？
23451516



9．(1)算式33.333×33.333计算结果的整数部分是多少？
(2)算式333.33×333.33计算结果的整数部分是多少？



10．将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9．这两个小数乘积的整数部
分共有多 少种可能的取值？



11．有一道题目要求17个自然数的平均数，结果保留两位小数．冬冬的计算结果是11. 28，
老师说这个数百分位上的数字错了，其他数位上的数都正确，请问：正确答案是多少？
12．有一 个算式
111
0.658
算式左边的方框各代表一个一位 数，右边的结果为
□ □ □
四舍五入到千分位后的近似值．方框中填入的三个数字分别为几？





超越篇
1．算式
1
1111
10112829
计算结果的整数部分是多少？



2．算式5. 285714×4.9×3. 857142计算结果的整数部分是多少？

3．在算式
14
1
中， 方框里填的都是整数，且不等式成立．这个式子左边最大是多少？
□ □
并说明理由．



4．两个小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5这两个数都只有一位 小数，且整数部分都是4．请
问：这两个数的乘积四舍五人前是多少？



5．老师在黑板上从1开始写了若干个连续自然数：l，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，
计算剩下数的平均数保留两位小数后是12.52老师擦掉的数是多少？


6．某天中午，3个老师买盒饭吃．如果买4盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余．此
时又来 了一位老师，结果发现再多买一盒还不够大家吃．后来又来了若干位老师，结果再多
买几盒盒饭后，不多 不少刚好够大家吃．如果每个老师的饭量都一样，那么后来至少再来了
多少位老师？



7．请比较
1
1232
与
的大小
2342



8．小姚计算27个正整数的平均数，保留六位小数后为8. 329610，老师说结果中某些数字< br>肯定是错的，那么小姚至少算错了几个数字？此时正确的平均数是多少？

第9讲 比较与估算
内容概述
与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之间的比较．需要进
行估算的计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算的关键是进行恰当的放缩．
典型问题
兴趣篇
1．分别比较下面每组中两个数的大小：
(1)0.375与
7
3

与
3
;(3)

与
31


;(2)0.421.347
19723
7

3
＜
3
;(3)

＜
31


;(2)0.421.347
19723
(1)0.375＞
答案：
分析： 分数与小数互化。


、、、

、、
是其中的6个，如果 按从小到大的顺序排列，第4

10.51
2．有8个数，
0.5
2 5
39
2413
4725

，那么按从大到小排列时，第4个数是哪 一个数？ 个数是
0.51
答案：第4个数是
0.51
．
25
2413
分析：＝
0.6
，＝
0.5
，≈0.51 06，＝0.52，
39
4725

2413
52
显然有0.5106＜
0.51
＜
0.51
＜0.52＜
0 .5
＜
0.6
，即＜
0.51
＜
0.51
＜＜＜，
4725
93

5
2413
8个数从小到大排列第4 个是
0.51
，所以有□＜□＜＜
0.51
＜
0.51
＜＜ ＜
9
4725
2
．(“□”表示未知的那2个数)
3

所以，这8个数从大到小排列第4个数是
0.51
．

3．在不等式

253

的方框中填入一个自然数， 使得不等式成立．
3□ 4
答案：7.
分析：由投球法易得出，□可以填7.

4．在大于
13
且小于的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？
711
答案：12个。
分析：分子为1时，分母可取6、5、4共三个；

分子为2时，分母可取9、11、13共三个；
分子为3时，分母可取13、14、16、17、19、20共六个；
所以共12个。

5．
A
1111111111
,B,C,D,E,请将A、B、C、D、E
6931733
按从小到大的顺序排列起来．
答案：C＜B＜A＜D＜E.
分析：通分相加后，分子都为40.分母越大，分数越小。

6．下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？
11111111
①( )20;②()30;③()40;④()50.

74147
答案：4个算式中，③最大．
1

1

1

3111

1

1

1


30
＝2+

分析：



20
＝2+，

，




40＝
7
1719429

2+
1

9 3
93

1
．

，


50
＝2+

4147
3137

4147

93
311193
，的大小．

，

，

4147
93
993393
因为＞，＞，所以
＞，即③＞④，

3
4147
3
又因为，而＜，＜，所以，即 ③

＝+

＜

37
于是只用比较
＞①，
而
3
＝+，而＜，＜，所以

＜，即③＞②．

42936873637
所以4个算式中，③最大．


0.1

42857

,
结果保留三位小数．

0.1250.1
7．计算
0.16
答案：0.546.
分析：法一：直接计算，结果保留三位小数；法二：循环小数化分数计算。

8．某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同学的得分都是
整 数，请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？
答案：总分是1110. 平均分四舍五入到百分位为85.38分。
分析：平均数的范围是 在85.35~85.45之间的数。这13个同学的总分最小为13×
85.35=1109.55分 ，最大为13×85.45=1110.85分，每个同学的得分是整数，那么总分也一
定是个整数，所 以这13个同学的总分为1110分，则他们的平均分四舍五入到百分位为85.38
分。

9．求下述算式计算结果的整数部分：
(
1
2< br>11111
)385.

3571113
答案：517.
分析：（12+13+15+17+111+113）×385
=12×385+13×3 85+15×385+17×385+113×385=12×385+13×385+77+55+35+11 3
×385
=167+385×（12+13+113）=167+385×7178
385×7178≈385×0.9103=350.4655
167+385×7178=167+350.4655=517.4655
计算结果的整数部分是517。

10．算式
1
10101010
2311
的计算结果的整数部分是多少？
1
答案：67.
分析：整数部分为66，分数部分通过放缩可得
1010
10
101010

11


11

110100
101
102110100
10
10
1010
即１

1.1
100
101
102110
在1 和1.1之间。所以计算结果的整数部分为67.


拓展篇
1．分别比 较下面每组中两个数的大小：
1

35

9

与< br>15
;(3)

与
3
;(2)(1)0.10.400.97 与
19372

35

＜
答案：
(1)0.194


00
9
8
31949

9< br>
＞
15
;(3);(2)0.400.97＜

19372008
分析：分数化小数。


4

,3
2．现有7个数，其中5个是
3.1
大排列，第三个数是
1116

5

,3
37
,
如果将这7个数按照从小到
, ,3.1
737273
116
．请问：位于中间的数是多少？
37
37
答案：
273

3
116
分析： 分数化小数。已知的五个数中，
37
最小，所以从小到大的前两个数未知，第四个

37

数为
273
。
3

3．在下面9个分数算式中：
3536373839310
①;②;③;

④;⑤;⑥;

52010
20
311312313
⑦;⑧;⑨
第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？
0
答案：第④个算式结果最小。
31

35

36

分析：①－②＝


＞0，即①＞②；


－



＝

520

62 0

5620
31

36

37
< br>②－③＝



＞0，即②＞③；

－



＝

620

720

6 720
31

37

38

③－④＝


＞0，即③＞④；


－


< br>＝

720

820

7820
31< br>
38

39

④－⑤＝



＜0，即④＜⑤；

－



＝
820

920

8920
⑤－⑥，⑥－⑦，⑦－⑧，⑧－ ⑨所得的差依次为
3131
，，

101120111220
31
均小于0，所以⑤＜⑥，⑥＜⑦，⑦＜⑧，⑧＜⑨，那么这些中最小的为④，

1 11220
3831
有④为

＝．
82040

4．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．
答案：
5
最接近0.618．
8
1
1
1
2
2
3
3
4
3
5
4
6
分析：我们将分母为 1～9的分数中最接近0.618的分数列出为：，，，，，，
456
，，，将它们化成小数与 0.618作差，依次为0.392，0.118，0.049，0.018，0.049，
7890.047，0.007，0.049．在计算其中的循环小数时小数点后保留三位数字．
5
最接近0.618．
8
5
即在所有分母为10的真分数中，最接近0.618．
8
又0.007最小，也就是说

5．在不等式
523
< br>
4
的方框中填入一个自然数，使得不等号成立，一共有多少种不
22□ 17

同的填法？
答案：4种。
分析：通分子。方框可取98、99、100、101.共四种。

6．
1.65,1.65
多少？
答案：49.
12329,1.65,1.65,,1.65,
这30个数的整数部分之和是
303030 30
分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是2,
110
0.33
, 因为2-1.65=0.35,我们就知
330
故先看
11
1111
,=
0.360.35,这说明“分界点”是
1.65
,所以前11个
3030
30
数整数部分是1,后19个数整数部分为2,其和为
1119249
.
7．算式
1
11111

1112131920
计算 结果的整数部分是多少？
答案：1.
分析：我们可以先算出这10个分数的值
所得的商的整数部分即为所求．
现在问题在 于如何在我们所需的精度内简单的求出
111

，然后用所得的结果去除1，< br>111220
111

的值．
111220
因为111
1111
10

＜＝；

11 1220
11
11
1111

11
< br>10个分数
而
11110
1111

＞＝；

111220

20

2020
20

20
10个分数
即


在～ ，那么它的倒数在～之间，显然所求的数
111220
11201010
的整数部分为 1．
评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，我们可多次尝试修正使得放缩的结果
满足要求．

8．算式
1
答案：3.
分析：
111111

计算结果的整数部分是多少？
2345151 6
1
1111
＞1
2345161 6
＝3
1< br>11111
＜1
23455588
＝3 

41


512
＜4

计算结果整数部分为3.

9．(1)算式33.333×33.333计算结果的整数部分是多少？
(2)算式333.33×333.33计算结果的整数部分是多少？
答案：（1）1111 （2）111108.
分析：
10000

100

3 3.333≈

≈1111.1

＝
9

3
2
2
333.33*333.33=333.33*3*111.11=999 .99*111.11=1000*111.11-0.01*111.11=111110-1.1
1 11=111108.8889因此，整数部分是111108。

10．将两个小数四舍五 入到个位后，所得到的数值分别是7和9．这两个小数乘积的整数部
分共有多少种可能的取值？
答案：17种
分析：从55到71
6.5×8.5=55.25
7.5×9.5=71.25
所以55.25<=两个小数乘积<71.25。

11．有一道题目要求17个自然数的平均数，结果保留两位小数．冬冬的计算结果是11. 28，
老师说这个数百分位上的数字错了，其他数位上的数都正确，请问：正确答案是多少？
答案：11.24或11.29.
分析：只有百分位错，即平均数介于11.2和11.3之间。
11.2×17=190.4
11.3×17=192.1
故17个数的和只能是191或192
19117=11.24
19217=11.29

故答案为11.24或11.29

12．有一个算式
11 1
0.658
算式左边的方框各代表一个一位数，右边的结果为四
□ □ □
舍五入到千分位后的近似值．方框中填入的三个数字分别为几？
答案：三个数字分别为3，5，8.
分析：12=0.5 13=0.333… 14=0.25 15=0.2 16=0.1666… 17=0.142857…
18=0.125 不难看出0.658=0.333+0.2+0.125

超越篇
1．算式
1
1111

10112829
计算结果的整数部分是多少？
答案：0.
分析：对于两个不相等的正数a,b，容 易知道(a+b)^2>4ab，于是(a+b)ab>4(a+b),
即1a+1b>4(a+b).
从而110+111+...+129
=(110+129)+(111+128)+...+(119+120)
>439+439+...+439=4039
另一方面110+111+...+129 < 2010=2,
记1(110+111+112+113+...+128+129)=A,于是有：
12 < A < 3940
因此A的整数部分为0，即为所求。

2．算式5. 285714×4.9×3. 857142计算结果的整数部分是多少？
答案：99.
分析：约化分数后分别为
5

3．在算式
296
通分计算。
4
5
7
、
10
、
7
，
14
1
中，方框里填的都是整数，且不等式成立．这个式子左边最大是多少？
□ □
并说明理由．
答案：
29

30
分析：先看左边第二项分 子是4所以分母大于等于5，所以45是最大的；45+1（）<1
所以（）中分母应该大于5应该填6
即 16+45<1
左边最大是2930.

4．两个小数相乘，乘积四舍五入以后是22.5这两个数都只有一位小数，且整数部分都是 4．请
问：这两个数的乘积四舍五入前是多少？
答案：22.54.

分析：四舍五入是22.5，两个数都有一位小数，就是说明四舍五入前是：22.46-22.54之间
个位数都是4，一位小数最大的是4.9
22.464.9=4.58
22.544.9=4.6，即最小的都要为4.6
就是在4.6到4.9之间的数
22.46开平方约为：4.739
22.54开平方约为：4.747
两个数的平均数应该为4.743附近
4.6*4.9=22.54约为22.5

5．老师在黑板上从1开始写了若干个连续自然数：l，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，
计算剩下数的平均数保留两位小数后是12.52老师擦掉的数是多少？
答案：12.
分析：此题应围绕平均数为 12.5 展开讨论：
1+2+3+ ... ... + 23 + 24 = 300
30024 = 12.5
因为，12.52 > 12.5 ，所以擦掉的数应小于 13，
当从求和式中擦掉 12 后，
平均数 = (300 - 12) 23 ≈ 12.52
所以，擦掉的那个数是 12 。


6．某天中午，3个老师买盒饭吃．如果买4盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余．此
时又来了一位老师，结果发现再多买一盒还不够大家吃．后来又来了若干位老师，结果再多
买几 盒盒饭后，不多不少刚好够大家吃．如果每个老师的饭量都一样，那么后来至少再来了
多少位老师？
答案：3位。
分析：设每个老师食量是x个饭盒。则
3x<4,
4x>5.
联立有
54题目要求一个最小的正整数n（老师个数，大于等于5）使得nx（饭盒数）是整数。
因为nx是整数，所以x一定形如mn。
所以题目即找一个最小的n，使得存在整数m，且x=mn是(1)的一个解。
很容易验证(1)没有形如m6的解。当n=7，有解x=97。
所以，至少再来3位老师。

7．请比较
1
1232
与
的大小
2342
答案：＞
分析：？

8．小姚计算27个正整数的平均数，保留六位小数后为8. 329610，老师说结果中某些数字