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五年级数学奥数培训资料







阶
梯
奥
数




一讲一练

























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第1讲 平均数(一)

一、知识
数量关系
平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数
量×平均数
二、精讲



【例题1】 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、
桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱3 7个。一箱苹果多少个？
【思路导航】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；
（2）1箱桃 ＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）（3）1箱苹果＋1箱桃
=37×2=72（个）
由（1）（2）两个等式可知：
1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等 式（3）就可以算出：
1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个） 。
1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个）
1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个）
1箱苹果有多少个：28＋18=46（个）






练习1：
1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分8 9
分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？










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2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、
丁三人共重126 千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重
是多少千克？











3 .甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，
甲、丙两组平均每组植树17棵 ，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组
各植树多少棵？















【例题2】 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？
【思路导航】女生每人比全 班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人
比全班平均分低91.2－90.5=0.7（ 分）。全体女生高出全班平均分0.8×
21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里 包含有24个0.7，即全班有
24个男生。


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练习2：
1.两组学生进行跳绳 比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人
跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少 人？











2.有两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5千克；另一块田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩？











3 .把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元，乙知甲级糖有4千克，
平均每千克8元；乙级糖有2千 克，平均每千克多少元？










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【例题3】 某3个数的平均数是2.如果把其中一个数改为4，平均数就
变成了3。被改的数原来是多少？
【思路导航】原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3=9，9
比6多出了3.是因为 把那个数改成了4。因此，原来的数应该是4－3=1。
练习3：
1.已知九个数的平均数 是72.去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。
去掉的数是多少？
2.有五个数，平均 数是9。如果把其中的一个数改为1.那么这五个数的
平均数为8。这个改动的数原来是多少？
3.甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，
甲在抄分数时，把自己的 分错抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88
分。求甲在这次考试中得了多少分？
【例题4】 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成
绩时将一位同学的 98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是
91.7分，五一班有多少名同学？
【思路导航】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩
上升91.7－91.5= 0.2（分）。9里面包含有几个0.2.五一班就有几名同学。
练习4：
1.五（1）班 有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺
考，全班平均分为92分。缺考的两位同学补 考均为100分，这次五（1）班
同学期中考试的平均分是多少分？
2.某班的一次测验，平 均成绩是91.3分。复查时发现把张静的89分误
看作97分计算，经重新计算，该班平均成绩是91 .1分。问全班有多少同学？
3.五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数 是
16。这个改动的数原来是多少？
【例题5】 把五个数从小到大排列，其平均数是38。 前三个数的平均数
是27，后三个数的平均数是48。中间一个数是多少？
【思路导航】先求 出五个数的和：38×5=190，再求出前三个数的和：27
×3=81.后三个数的和：48×3= 144。用前三个数的和加上后三个数的和，这
样，中间的那个数就算了两次，必然比190多，而多出 的部分就是所求的中
间的一个数。
练习5：
1.甲、乙、丙三人的平均年龄为22 岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，
乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？
2.十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平
均分是80分。那么第5人和 第6人的平均分是多少分？
3.下图中的○内有五个数A、B、C、D、E，□内的数表示与它相连的 所有
○中的平均数。求C是多少？

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第2讲 平均数

二、精讲精练
【例题1】 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，
才能把平均成绩提 高到86分。问这是他第几次测验？
【思路导航】100分比86分多14分，这14分必须填补到前 几次的平均
分84分中去，使其平均分成为86分。每次填补86－84=2（分），14里面有7个2.所以，前面已经测验了7次，这是第8次测验。
练习1：
1.老师带着几个同学 在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了5朵。
如果师生合起来算，正好平均每人做了7朵。求有多 少个同学在做花？
2.一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94
分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分，问这位同学
一共考了多少门功课？
3.两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳152次。甲组有6人，平均每人
跳140次，如果乙 组平均每人跳160次，那么，乙组有多少人？
【例题2】 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、 英语、自然五科的
平均成绩是89分，政治、数学两科平均91.5分，政治、英语两科平均86分，< br>英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？
【思路导航】因为语文、英语两科平均分84 分，即语文＋英语=168分，
而英语比语文多10分，即英语－语文=10分，所以，语文是（168 －10）÷2=79
分，英语是79＋10=89分。又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是8 6
×2－89=83分；而政治、数学两科平均分91.5分，数学是91.5×2－83=100分；最后根据五科的平均成绩是89分可知，自然分是89×5－（79＋89＋83
＋100）= 94分。
练习2：
1.甲、乙、丙三个数的平均数是82.甲、乙两数的平均数是86，乙 、丙
两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？
2.小华的前几次数 学测验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正好
把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第 几次测验？
3.五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的
平均数 是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？
【例题3】 两地相距360千米，一艘汽艇顺 水行全程需要10小时，已知
这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米 ？
【思路导航】用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均
速度。显然，要求往 返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因
为360÷10=36（千米）是顺水速度，它是 汽艇的静水速度与水流速度的和，
所以，此汽艇的静水速度是36－6=30（千米）。而逆水速度=静 水速度－水流
速度，所以汽艇的逆水速度是30－6=24（千米）。逆水行全程时所用时间是
360÷24=15（小时），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=28.8（千米）。
练习3：
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1.甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲
码头，已知汽船在静 水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小
时到达乙码头？
2.一艘客轮从甲港 驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度
是每小时30千米，水速每小时3千米。现在正好 是顺流而行，行全程需要几
小时？
3.甲船逆水航行300千米，需要15小时，返回原地需 要10小时；乙船
逆水航行同样的一段水路需要20小时，返回原地需要多少小时？
【例题4】 幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，
小班的小朋友每人 分10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多
2块。求一共分掉多少块饼干？
【 思路导航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘（30＋20）
人就能求出饼干的总块数。因 为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均
数多2块，30个小朋友一共多2×30=60（块），这 60块平均分给20个小班
的小朋友，每人可得60÷20=3（块）。因此，大、小班小朋友分得平均 块数是
10＋3=13（块）。一共分掉13×（30＋20）=650（块）。
练习4：
1.数学兴趣小组里有4名女生和3名男生，在一次数学竞赛中，女生的
平均分是90分，男生 的平均分比全组的平均分高2分，全组的平均分是多少
分？
2.两组同学跳绳，第一组有25 人，平均每人跳80下；第二组有20人，
平均每人比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳 几下？
3.一个技术工带5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120
元，这位技 术工人的收入比他们6人的平均收入还多20元。问这位技术工得
多少元？
【例题5】 王强 从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行
12千米。剩下的步行，每小时走4千米。王强行 完全程的平均速度是每小时
多少千米？
【思路导航】求行完全程的平均速度，应该用全程除以 行全程所用的时
间。由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设全程为24千米
（ 也可以设其他数），这样，就可以算出行全程所用的时间是12÷12＋12÷4=4
（小时），再用2 4÷4就能得到行全程的平均速度是每小时6千米。
练习5：
1.小明去爬山，上山时每小 时行3千米，原路返回时每小时行5千米。
求小明往返的平均速度。
2.运动员进行长跑训练 ，他在前一半路程中每分钟跑150米，后一半路
程中每分钟跑100米。求他在整个长跑中的平均速度 。
3.把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟
打20个字。打 这份书稿平均每分钟打多少个字？
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第3讲 长方形、正方形的周长

一、知识要点
同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2.正方形的周长=边长×4。< br>长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如
何应用所学知识巧求表 面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需
同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把 复杂的问题转化为标准
的图形，以便计算它们的周长。
二、精讲精练
【例题1】 有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6
厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半， 求重叠后图形的周长。
【思路导航】 根据题意，我们可
以把每个正方形的边长的一半同时向
左、右、上、下平移（如图b），转化
成一个大正方形，这个大正方形的周长
和原来5 个小正方形重叠后的图形的
周长相等。因此，所求周长是18×4=72
厘米。
练习1:
1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠
后图形的周长。





【例题2】 一块长方形木板，沿着它的长度不 同的两条边各截去4厘米，
截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？
【思路导航】 把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中
AB的面积是19 2－4×4=176（平方厘米）。把A和
B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方
形 的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。176
÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2 =88
（厘米）。
练习2：
1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面 积就比原来减少44
平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。
2.有两 个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果
按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？
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3.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下
的部分仍是长方形，且 周长为280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？
【例题3】 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是
多少？
【思路导航】 从图中可以 看出，整个图形的周
长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条
横着的线段和是（a＋ b）×2.三条竖着的线段和是b
×2。所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2.
即 2a＋4b。
练习3：
1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一 个同样
大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
2.一个长12厘米 ，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）
所示长方形，求所拼长方形的周长。
3.求下面图形（图2）的周长（单位：厘米）。





图（1） 图（2）

【例题4】 下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影
部分的周长。
【思路导航】 我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平
移到左边，其和正好是4厘米。再 把下面的线段全部平移到下面，
其和也正好是4厘米。因此，阴影部分的周长与边长是4厘米的正
方形的周长是相等的。
练习4：
1.求下面图形的周长（单位：厘米）。
2.在（ ）里填上“＞”、“＜”或“=”。甲的周长（ ）乙的周长
3.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。





【例题5】 如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大
的长方形的周长。
【思路 导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正
方形的边长。因为BC=EF，CF=DE，所以，AB＋ BC＋CF=AB
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＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），这正好是最大 长方形周长的一半。因此，最大长
方形的周长是（9＋6）×2=30（厘米）。
练习5：
1.下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正
方形的周长发生了什么 变化？（单位：厘
米）


2.下面是一个零件的平面图，图中每
条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。这个零件的周长是多少
厘米？
3.有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠
图形的周长。

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第4讲 长方形、正方形的面积

一、知识要点
长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。掌握并能运用这两
个面积公式，就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较 隐蔽、
图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实
掌握有关概念 ，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化
为普通的求长方形、正方形面积的问题 ，从而正确解答。
二、精讲精练
【例题1】 已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大 正方形比小正方
形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
【思路 导航】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形
的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中 A和B的面
积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2
就能得到长方形A和 B的面积，再用A或B的面积除以2就是小
正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的
面积就非常简单了。
练习1：
1.有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它 的四周向
外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。
2.正方形的一组对边增加30厘米，另一 组对边减少18厘米，结果得到
一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？
3.把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原
长方形多181平方分 米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？
【例题2】 一个大长方形被两条平行于它的两条边的 线段分成四个较小
的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长
方形的面积。 < br>【思路导航】因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相
乘AE×CE×DE×EB =35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35
×6÷14=15。
练习2： < br>1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是
24平方厘米、30平方 厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
2.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形 的面积如图所
示（单位：平方厘米），求A和B的面积。
3.下图中阴影部分是边长5厘米的 正方形，四块完全一样的长方形的宽
是8厘米，求整个图形的面积。



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【例题3】 把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，
已知两个 正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？
【思路导航】我们可以把小正方形 移至大
正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40
平方分米就是图中的A和B两部分，如图 。如
果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，
A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积
是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两个正方形的
边长相差 2分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），面积
是11×11=121（平 方分米）。
练习3：
1.一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下 的面积
比原来减少了1350平方米。这块地原来的面积是多少平方米？
2.一个正方形，如 果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原
来增加95平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？
3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路
面面积是80平方米。求草坪的 面积。
【例题4】 有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，
并画出来。
【思路导航】由 于不知道正方形的边长和面积，所以，也没
有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正 方
形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出4个
等腰直角三角形，如图中虚线 部分，显然，虚线表示的正方形的
面积就是原正方形面积的2倍。
练习4：
1.四 个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、
小正方形的面积分别是49平方米和 4平方米，求其中一个长方形的宽。
2.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相 等。如果
此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？
3.正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。




【例题5】 有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方
形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米？
【思路导航】三个同样大小的正方形拼成的长方形， 它的周长是原正方
形边长的8倍，正方形的边长为72÷8=9（厘米），一个正方形的面积就是9×9=81（平方厘米）。
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练习5：1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形， 这个长方形的周长是
36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？
2.有一张长方形纸， 长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最大
的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？
3.有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD
（如下图），已知大长方形的面积 是35平方厘米，且周长比原来小
长方形的周长多10厘米。求原来小长方形的面积。
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第5讲 分类数图形

一、知识要点
我们在数数的时候，遵循不重复、不 遗漏的原则，不能使数出的结果准
确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法 能够
帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
二、精讲精练
【例题1】 下面图形中有多少个正方形？
【思路导航】图中的正方 形的个数可以分类数，如由
一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×
2= 10个，3×3的正方形有4×1=4个。因此图中共有18＋
10＋4=32个正方形。
练习1：
1.下图中共有多少个正方形？
2.下图中共有多少个正方形？
3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？





【例题2】 下图中共有多少个三角形？
【思路导航】为了保证不漏数又不重复，我们可以分 类来数三角形，然
后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；
（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。
练习2：
1.下面图中共有多少个三角形？
2.数一数，图中共有多少个三角形。
3.数一数，图中共有多少个三角形？




【例题3】 数出下图中所有三角形的个数。
【思路导航】和三角形AFG一样形状的三角形 有5个；
和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样
形状的三角形有5个 ；和三角形ABE一样形的三角形有5个；
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和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。
练习3：
数出下面图形中分别有多少个三角形。




【例题4】 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正
方形，这样的正方形有多少个？



【思路导航】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看
出：
（1）最小的正方形有6个；
（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；
（3）中间还可围成2个正方形。
所以共有6＋2＋2=10个。
练习4：
1.下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少
个长方形？
2.下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多
少个三角形？
3.下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多
少个梯形？




【例题5】 数一数，下图中共有多少个三角形？
【思路导航】我们可以分类来数：
1.单一的小三角形有16个；2.两个小三角形组合的有
10个；
3.四个小三角形组合的有8个；4.八个小三角形组合的
有2个。
所以，图中一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。
练习5：
1.图中共有（ ）个三角形。
2.图中共有（ ）个三角形。
3.图中共有（ ）个正方形。
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第6讲 尾数和余数

一、知识要点
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积
的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决
一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练
【例题1】 写出除213后余3的全部两位数。
【思路导航】因为 213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所
以，符号题目要求的两位数有 2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，
2×3×5=30，2× 3×7=42.一共有7个两位数。
练习1：
1.写出除109后余4的全部两位数。
2.178除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些？
3.写出除1290后余3的全部三位数。
【例题2】 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26 ）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]
积的尾数是几？
【 思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个
125相乘，个位还是5； < br>（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，
积的尾数是几就行了 。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个
（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习2：
1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？
2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？
3.（12 ×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12
×63）]积 的尾数是几？
【例题3】 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
【思路导航】（1）我们先列举前 几个4的积，看看个位数在怎样变化，1
个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4； 4×4×4×4的个位
是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2= 25
没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。
（2）用上面的方法可以发现，51个9 相乘时，积的个位是以“9，1”两
个数字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9 本乘积的个位是9。
练习3：
1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？
2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
3.94×94×94×…×94[1 02个94]－49×49×…×49[101个49]，差的
个位是多少？
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【例题4】 把17化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
【思路导航】因 为17≈0.7……，化成的小数是一个无限循
环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于1 00÷6=16……4，所以，小
数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。
练习4：
1.把111化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2.57写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？
3.有一串数：5、8、13、21 、34、55、89……，其中，从第三个数起，
每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000 个数被3除后所得的余数
是多少？
【例题5】 555…55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几？
【思路导航】如果用除法硬除显然 太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，
看一看余数在按怎样的规律变化。








从竖式中可以看出，余数是按3、9 、4、6、0、5这六个数字不断重复出
现。2001÷6=333……3.所以，当商是整数时，余数 是4。
练习5：
1.444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
2.当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6]
（2）444…4÷74[200个4]
（3）888…8÷7[200个8]
（4）111…1÷7[50个1]
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第7讲 一般应用题（一）

一、知识要点
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的
已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因
此，一般应用题没有明显的结 构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，
可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析 应用题的数量关
系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出
发 ，找出必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，
灵活运用这两种方法。
二、精讲精练
【例题1】 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来4个班的人数。原来每班多少人？
【思路导航】从每班选16人参加 少先队活动，6个班共选16×6=96（人）。
剩下的同学相当于原来4个班的人数，那么，96人就 相当于原来（6－4）个
班人人数，所以，原来每班96÷2=48（人）。
练习1： 1.五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五
位同学剩下的钱正好等于 原来3人的存款数。原来每人存款多少？
2.把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68 箱时，正好运
走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？
3.老师把一批树苗平均分给四 个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下
的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？
【例题2】 某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零
件。这样，不仅提前 3天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120
个零件。这个车间实际加工了多少个零件？ < br>【思路导航】如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多56
×3＋120=288（ 个）。为什么会多加工288个呢？是因为每天多加工了56－50=6
（个）。因此，原计划加工的天 数是288÷6=48（天），实际加工了50×48＋
120=1520（个）零件。
练习2：
1.汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10
千米，这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？
2.小明骑车上学，原计划 每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天
因下雨，他每分钟只能行120米，结果迟到了5分钟。 他家离学校有多远？
3.加工一批零件，原计划每天加工80个，正好按期完成任务。由于改进
了生产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而
且还多加工了100个。 他们实际加工零件多少个？
【例题3】 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途< br>停了15天没有加工。40天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两
人各加工了多少个 零件？
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【思路导航】甲工作了40天，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了
25天，所以他加工的 零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙
25天加工的零件同样多。由于甲每天比乙多加工 6个，20天一共多加工6×
20=120（个）。这120个零件相当于乙25-20=5（天）加工 的个数，乙每天加
工120÷（25-20）=24（个）。乙一共加工了24×25=600（个）， 甲一共加工
了600×2=1200（个）
练习3：
1.甲、乙二人加工一批帽子 ，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事休息
了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这 时两人各加工帽子
多少个？
2.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多 行20千
米。途中乙因修车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲
车所行路 程的一半。A、B两地相距多少千米？
3.甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120元。已知甲工 作了10天，
乙工作了12天，且甲5天的工资和乙4天的工资同样多。求甲、乙每天各分
得工 资多少元？
【例题4】 服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。实际每天比
计划多 加工60件，照这样做了15天，就超过原计划件数350件。原计划加
工上衣多少件？
【思 路导航】由于每天比计划多加工60件，15天就比原计划的15天多
加工60×15=900（件）， 这时已超过计划件数350件，900件中去掉这350件，
剩下的件数就是原计划（20－15）天中 的工作量。所以，原计划每天加工上
衣（900－350）÷（20－15）=110（件），原计划加 工110×20=2200（件）。
练习4：
1.用汽车运一堆煤，原计划8小时运完。实 际每小时比原计划多运1.5
吨，这样运了6小时就比原计划多运了3吨。原计划8小时运多少吨煤？
2.汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比原计划多行
15千米，行了8小 时后，发现已超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米？
3.小明看一本书，原计划8天看完。实际 每天比原计划少看了4页。这
样，用10天才看完了这本书。这本书一共有多少页？
【例题5】 王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20
个，结果提前5在完 成任务。王师傅一共做了多少个零件？
【思路导航】按实际做法再做5天，就会超产（60＋20）× 5=400（个）。
为什么会超产400个呢？是因为每天多生产了20个，400里面有几个20，就
是原计划生产几天。400÷20=20（天），因此，王师傅一共做了60×20=1200
（个）零件。
练习5：
1.食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划 节约了
0.1吨，这样比原计划多烧了2天。这批煤一共有多少吨？
2.造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实际每天比原计划多生产
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1.5吨，结果提前2.5天完成了任务。实际用了多少天？
3.机床厂生产一批机床，原计 划每天生产15台，实际每天生产18台，
这样比原计划提前3天完成了任务。这批机床一共有多少台？
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第8讲 一般应用题（二）

一、知识要点
较复杂的一般应用题，往往具 有两组或两组以上的数量关系交织在一起，
但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢 。因此，我们
在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。
二、精讲精练
【例题1】 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，用短管子铺需要35根。已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米？
【思路导航】因为 每根长管子比每根短管子长2米，25根长管子就比25
根短管子长50米。而这50米就相当于（35 －25）根短管子的长度。因此，
每根短管子的长度就是50÷（35－25）=5（米），这段排水管 道的长度应是5
×35=175（米）。
练习1：
1.生产一批零件，甲单独生产 要用6小时，乙单独生产要用8小时。如
果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个？
2.一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每
组人数太少便重新分组 ，正好每组9人，这样比原来减少了2组。参加游戏
的小朋友一共有多少人？
3.甲、乙二人 同时从A地到B地，甲经过10小时到达了B地，比乙多用
了4小时。已知二人的速度差是每小时5千米 ，求甲、乙二人每小时各行多
少千米？
【例题2】 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹 果，分配时甲、乙
都比丙多拿24千克。结帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元？ 【思路导航】三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。24×2÷
3=16（千克），也就 是丙少拿16千克苹果，所以得到24×2=48元。每千克苹
果是48÷16=3（元）。
练习2：
1.甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，
乙拿了7支，因此，甲又给了乙6角钱。每支铅笔多少钱？
2.春游时小明和小军拿出同样多的钱买 了6个面包，中午发现小红没有
带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2. 2元
钱。每个面包多少元？
3.“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英 买来了
和红纸同样价格的5张黄纸。老师把这些纸平均分给了小华、小英和另外两
名同学，结果 另外两名同学共付给老师9元钱。老师把9元钱怎样分给小华
和小英？
【例题3】 甲城有1 77吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5
吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗 油量分别是10升和5升。
用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？
【思路导航】大汽车一次运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油10÷5=2
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（升）；小汽车一次运2吨，耗油5升，平均运1吨货 耗油5÷2=2.5（升）。
显然，为耗油量最少应该尽可能用大卡车。177÷5=35（辆）……2 吨，余下
的2吨正好用小卡车运。因此，用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最少。
练习3：
1.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都
是整数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少分？
2.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的
邮票多少张？ 3.某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会
打乒乓球。可以肯 定至少有多少人四项都会？
【例题4】 有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了< br>三种报纸，其中北京日报34份，江海晚报30份，电视报22份。那么订江海
晚报和电视报的共 有多少家？
【思路导航】这栋楼共订报纸34+30+22=86（份），因为每家都订2份不
同的报纸，所以一共有86÷2=43家。在这43家居民中，有34家订了北京日
报，剩下的9家居 民一定是订了江海晚报和电视报。
练习4：
1.五（1）班全体同学每人带2个不同的水果 去慰问解放军叔叔，全班共
带了三种水果，其中苹果40个，梨32个，桔子26个。那么，带梨和桔子 的
有多少个同学？
2.在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿两< br>种颜色的气球，共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有56只，黄色的有60
只，绿色的有46只 。那么，手拿红、绿两种气球的有多少个同学？
3.学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一 小队的同学们每人
都参加了其中的两个小组，其中9人参加球类小组，6人参加美术小组，7人
参加音乐小组的活动。参加美术和音乐小组活动的有多少个同学？
【例题5】 一艘轮船发生漏水事故 ，立即安装两台抽水机向外抽水，此
时已进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽 水14桶，
50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？
【思路导航】50分钟内，两台抽水机一 共能抽水（18＋14）×50=1600
（桶）。1600桶水中，有800桶是开始抽之前就漏进的 ，另800桶是50分钟
又漏进的，因此，每分钟漏进水800÷50=16（桶）。
练习5：
1.一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐
开 ，20分钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水
管每分钟放水多少吨？ < br>2.某工地原有水泥120吨。因工程需要，又派5辆卡车往工地送水泥，
平均每辆卡车每天送2 5吨，3天后工地上共有水泥101吨。这个工地平均每
天用水泥多少吨？
3.一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时运完。如果让
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两队同时合运，几小时运完？
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第9讲 一般应用题（三）

一、知识要点
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：
1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3.拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
二、精讲精练
【例题1】 甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。
由于改进技术，甲每 天多生产100个，乙的日产量提高了1倍，这样二人一
天共生产1020个。甲、乙原计划每天各生产 多少个零件？
【思路导航】二人实际每天比原计划多生产1020－700=320（个）。这320
个零件中，有100个是甲多生产的，那么320－100=220（个）就是乙日产量
的1倍 ，即乙原来的日产量，甲原来每天生产700－220=480（个）。
练习1：
1.工厂 里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后，1号锅炉
每月节约1吨煤，2号锅炉每月烧煤 量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。
原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？
2.甲、乙两人 生产同样的零件，原计划每天共生产80个。由于更换了机
器，甲每天多做40个，乙每天生产的是原来 的4倍，这样二人一天共生产零
件300个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
3.甲、 乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因
有人请假，每天比计划少挖15米，而 乙队由于增加了人，每天挖的是原计划
的2倍，这样两队每天一共挖了150米。求两队原计划每天各挖 多少米？
【例题2】 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过
来插入水 底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的长。
【思路导航】因为竹竿先插了一次，湿 了40厘米，倒转过来再插一次又
湿了40厘米，所以湿了的部分是40×2=80（厘米）。这时，湿 的部分比它的
一半长13厘米，说明竹竿的长度是（80－13）×2=134（厘米）。
练习2：
1.有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，
宽6厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？
2.有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分 的长度比截去的4倍少10
厘米。这根竹竿原来长多少厘米？
3.两根电线一样长，第一根剪 去80米，第二根剪去320米，剩下部分第
一根是第二根长度的4倍。两根电线原来各长多少米？
【例题3】 将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长
5米。长8米的总长 度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？
【思路导航】设这15段中有X段是8米长的，则 有（15－X）段是5米
长的。然后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米”列出方程，并进行解< br>- 26 -

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答。
练习3：
1.某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下 坡每分
钟走102米。上坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米？
2.食堂里买来 15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。
已知买回的大米比面粉多165千克，求买 回大米、面粉各多少千克？
3.老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠 笔
每支1.2元，买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱？
【例题4】 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，
因此前4小时甲比 乙少做400个零件。又同时加工4小时后，甲总共加工的
零件反而比乙多4200个。甲、乙每小时各 加工零件多少个？
【思路导航】（1）在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400=460 0
（个）零件，甲每小时比乙多加工4600÷4=1150个零件。
（2）在前4小时内， 甲实际只加工了4－2.5=1.5小时，甲1.5小时比
乙1.5小时应多做1150×1.5=17 25个零件，因此，1725＋400=2125个零件就
是乙2.5小时的工作量，即乙每小时加工2 125÷2.5=850个，甲每小时加工
850＋1150=2000个。
练习4： 1.甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙
邻先于甲4千米。又经过3 小时，甲反而领先了乙17千米。求二人的速度。
2.师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早2小时 开工，当师傅生产了2
小时后，发现自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了2小时，师傅反而比徒弟多生产了10个。师傅每小时生产多少个零件？
3.甲每小时生产12个零件，乙每小时生产 8个零件。一次，二人同时生
产同样多的零件，结果甲比乙提前5小时完成了任务。问：甲一共生产了多
少个零件？
【例题5】 加工一批零件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。已知甲每小时比乙少做3个零件，这批零件一共有多少个？
【思路导航】因为甲每小时比乙少做3 个零件，8小时就比乙少做3×8=24
（个）零件，所以，24个零件就是甲（10－8）小时的工作 量。甲每小时加工
24÷（10－8）=12（个），这批零件一共有12×10=120（个）。
练习5：
1.快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4小时，而慢
车 用了6.5小时。已知快车每小时比慢车多行25千米。甲、乙两地相距多少
千米？
2.妈妈 去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。已
知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元 ，妈妈一共带了多少钱？
3.师徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加工的零件相等。如果师傅每小时比徒弟多加工3个零件，那么，徒弟每小时加工
多少个零件？
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第10讲 数 阵

一、知识要点
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵
问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号 ）表示满足条件的数，通过分析、计算
来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方 向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分
析推理和试验法结 合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
二、精讲精练
【例题1】 把5、6、7、 8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图
a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 【思路导航】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、
E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋ D＋E=35，A＋E＋B＋C
＋E＋D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=42－ 35=7，即中间填7。然后再
根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。
练习1：
1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数
的和都是12。
2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的
和都是13。
3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和
相等。





【例题2】 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数
的和是30。
【思路导航】设中 间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋
3＋……＋10＋a＋b=30×2.即55＋ a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中
1＋4=5，2＋3=5。
当a和b是 1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2.6，
8，9）和（3.5，7，10）；当a和b是2和 3时，每个大圆上
另外四个数分别为（1.5，9，10）和（4，6，7，8）。
练习2：
1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和
相等。
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2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内
四个数的和都相等， 且和最大。
3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、
右四格 、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。



【例题3】 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个
圆内数的和相等、且最大。




【思路导航】设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的 和时，
a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）
除以3没有余数。1＋2＋3＋4＋5＋6=21.21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的
和除以3 也应该没有余数。在1——6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且
除以3没有余数，因此a、b、c 分别为4、5、6。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5
＋6）÷3=12.所以有下面的填法：
练习3：
1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相
等。
2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。
3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。




【例题4】 将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内
数的和相等。





【思路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么， 三
条线段上的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和
相 等，所以（28＋2a）除以3应该没有余数。由于28÷3=9……1.那么2a除
以3应该余2.因 此，a可以为1、4或7。当a=1时，（28＋2×1）÷3－1=9，
即每条线段上其他两数的和是 9，因此，有这样的填法。
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练习4：
1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的
数的和相等。 3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个
数的和以及横行、竖行上 四个数的和都等于18。





【例题5】 如下图 (a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆
圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且 每个小三角形三个顶点上的数
的和相等。问这六个质数的积是多少？




【思路导航】设每个小三角形三个顶点处○内数的和为X。因为中间的小
三角形顶点 处的数在求和时都用了三次，所以，四个小三角形顶点处数的总
和是4X=20＋2X，解方程得X=1 0。由此可知，每个小三角形顶点处的三个质
数的和是10，这三个质数只能是2、3、5。因此这6个 质数的积是2×2×3
×3×5×5=900。如图（b）。
练习5：
1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上
三个数的积都相等。
2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角
形每条边上五个数的 和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？
3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三 角形边上○内数之和等于
里面三角形边上○内数之和。




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第11讲 周期问题
一、知识要点 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，
其连续两次出现所经过的时间 叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现
象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问 题。这些数学问
题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期
的等 式相对应，就能找到解题关键。
二、精讲精练
【例题1】 流水线上生产小木球涂色的次序 是：先5个红，再4个黄，
再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白 ……
如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？
【思路导航】根据题意可知，小木球涂色 的次序是5红、4黄、3绿、2
黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因 为2001÷
15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
练习1：
1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面
该插什么颜色？
2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160
个是什么颜色？
3.17=0.7……，小数点后面第100个数字是多少？
【例题2】 有47盏灯，按二 盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。
最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之 几？
【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作
一组，47÷9 =5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，
所以最后一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），
占总数的12 47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的2047；黄灯共有3×5=15
（盏），占总数的15 47。
练习2：
1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中 ，
红旗占黄旗的几分之几？
2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○ ○●○
○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？
3.在100米长 的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，
按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这 些同学中共有多少个女生？
【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期
几？
【思路导航】一个星 期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期
一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日 也是星期一。计算天数时
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为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷
7=1.没有余 数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1
月1日，要经过92天，92÷ 7=13……1.余1天就是从星期一往后数一天，即
星期二。
练习3：
1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？
2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？
3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？
【例题4】 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：
2001所在的列以哪个字母为代表？
A B C D E

1 3 5 7

15 13 11 9

【思路导航】这列数按每8个数一组有
17 19 21 23
规律排列着。2001是这一列数中的第1001个
31 29 27 25
数，1001÷8=125……1.即2001是这列数中第
… … … …
126组的第一个数，所以它所在的那一列是以
… … … …
字母B为代表的。
练习4：
1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？
2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？

A B C D E A B C D

8 6 4 2 1 2 3


10 12 14 16 6 5 4

24 22 20 18 7 8 9

26 28 30 32 12 11 10

… … … … … … …

… … … … … … …

3.


上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组 为（小热），第二组为（学
爱）。求第460组是什么？
【例题5】 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，
余数是几？
【思路导航】
从竖 式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数
以1、4、6、5、2、0不断重复出现。我们可以用1 00除以
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6，观察余数就知道所求问题了。100÷6=16……4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，
即5。
练习5：
1.444……4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？
2.444……4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？
3.111……1[1000个1]÷7当商是整数时，余数是几？
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第12讲 盈亏问题
一、知识要点
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的 物品平均分给固定的对象，
如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会
有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班
的小朋友，每人分 3块，多12块；如果每人分4块，少8块。小朋友有多少
人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就 是我们通常说的标准的盈亏问
题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差= 人数；还有一
些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两
不 足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足
适足：一次分配不够，一次 分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们
可以记住：
1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配
对象总数；
2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配
对象总数；
3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分
配对象总数。
二、精讲精练
【例题1】 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男
生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生
人数的一半。乒乓球队共有 多少名学生？
【思路导航】（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的
一半” 可知：女生比男生多2人；（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女
生就比男生多2＋2=4人，这 时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2=8
人。原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人 ，共有7＋5=12人。
练习1：1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，
彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒
数就是彩色粉笔的 5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？
2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨， 则两堆货
物一样重；苦甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆
货物一共有 多少吨？
3.五（1）班的优秀学生中，苦增加2名男生，减少1名女生，则男、女
生人数同 样多；苦减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。这
些优秀学生中男、女生各多少人？
【例题2】 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则
少4个；如果每个小朋 友只发给4个，则老师自己也能留下4个。有多少个
小朋友？共有多少个苹果？
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【思路导航】如果平均分给小朋友，则少4个，说明小 朋友人数大于4；
如果每个小朋友只发给4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，
就 少拿4＋4=8个苹果。因为小朋友人数大于4，所以，一定是每人少拿1个，
有8÷1=8个小朋友， 有8×4＋4=36个苹果。
练习2：1.给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5 个，
则少6个。有多少个小朋友？有多少个梨？
2.老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则 多4支，每人7支则少4支。
老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？
3.有一个班的同学 去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船
坐6人；如果减少一条船，正好每条船上坐9人。这 个班一共有多少个同学？
【例题3】 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3
人，这筐苹果有多少个 ？
【思路导航】如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，
大班每人5个就多余 3×5＋10=25个。由于两班人数相等，小班每人多分3
个就要多分（25＋2）个苹果，用（25 ＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的
人数是9人，再用9×8－2就求出了这筐苹果有多少个。 < br>练习3：1.一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每
人搬5块，就有两人没 有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？
2.老师给幼儿园小朋友分糖，每人3块还多10块 ；如果减少2个小朋友
再分，每人4块还多7块。原来有多少个小朋友？有多少块糖？
3.筑 路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。实际每天多筑80米，这
样，比原计划提前3天完成了筑路 任务。要筑的路有多长？
【例题4】 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分
给小班的小朋友，平均每 人分得多少块？
【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，
如果只 分给中班的小朋友，平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人
数的6÷4=1.5倍。因此，这箱 饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到
6×1.5=9块，一共可分到6＋9=15块饼干。 < br>练习4：1.老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借给甲
组的女同学，每人可借 6本。如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？
2.甲、乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送 给五年级每个同学一朵。
如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？
3.老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得12块 ；如果只
分给中班和小班，每人只能分到4块。如果这袋糖只分给中班，每人可分到
几块？
【例题5】 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；
如果增加一条船，每 条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
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【思路导航】根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，也就是少9
个同学；每船坐6人， 就要增加一条船，也就是多出6个同学。因此，每船
坐9人比每船坐6人可多坐9＋6=15人，15里 面包含5个（9－6），说明有5
条船。知道了有5条船，就可以求全班人数：9×（5－1）=36人 。
练习5：1.老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同
学正好分得5个 ；如果增加一个同学，正好每人分得4个。这篮苹果一共有
多少个？
2.五年级同学去划船， 如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减
少一只船，正好每只船上价8人。五年级共有多少人？
3.一个旅游团去旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间又少2个
房间。旅游团共有多 少人？
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第13讲 长方体和正方体（一）
一、知识要点
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体
图形问题要注意几点：
1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通
起来；
2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所
发生的变化；
3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练
【例题1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘
米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来
求它的体积，左边的长方体体积是10×4 ×2=80（立方
厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立
方厘米）， 整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）
求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实 ，朝上的
两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右
的两个面的面积和正好与朝左的 一个面的面积相等。因此，此零件的表面积
就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘 米）。想一想：你还能用别的
方法来计算它的体积吗？
练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米 ，高3厘米的长方体，被切去一块后
（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？
2.把一 根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方
分米，求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两
角各切掉一个正方体（如图） ，求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？



【例题2】 有一个长 方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），
你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）
【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240
（立方厘米），由于挖去了一个 孔，所以体积减少了2×2
×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方
厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×
2=236（平方厘 米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）
平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5 个（2×2）平方厘米的面，因此，
这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
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练习2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘
米）。
2 .有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1
厘米的正方体后，剩下物体的体积 和表面积各是多少？
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物
体的体积和表面积各是多少？



【例题3】 一个正方体和一个长方 体拼成了一个新的长方体，拼成的长
方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方 体的表面
积是多少平方厘米？
【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的
长方体 ，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形
的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘
米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的
表面积是12.5×6=75（平方厘米） 。
练习3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方
体的表面积比原 来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来
长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是2 4厘米，那么它的体积是多少立方
厘米？
2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体 钢材，从钢材的一端锯
下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多
会减少多少平方分米？
【例题4】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体
积是288立方厘米 ，求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的
长、宽和高。我 们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、
高，显然，a=4h，即h=14a,2a=3b即b=2 3a，砖的体积
是a*23a*14a=16a3。由16a3=288可知，a=12.b=23*1 2=8,h=14*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11 厘米，表面
积就不难求了。
练习4：1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由10 00个这样
的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个
长方体的表面积。
3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可
以拼成几种不同的长 方体？用图画出来。
【例题5】 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个
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长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面
积各是多少？ 【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋
高），由于此长方体的长、 宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11
×19=11×（17＋2），即长、宽、高分 别为11、17、2厘米。知道了长、宽、
高求体积和表面积就容易了。
练习5：1.有一个 长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且
长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多 少？
2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它
的表面积。
3.一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分
别是6分米、4分米、 25分米，求正方体体积。
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第14讲 长方体和正方体（二）
一、知识要点
在长方体、正方体问题中，我们 还会常常遇到这样一些情况：把一个物
体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把 一个物体
浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
二、精讲精练
【例题1】 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从
里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水 面高20厘米；乙水箱长30厘米，
宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水 面高度一
样，现在水面高多少厘米？
【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我 们可以这样思
考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）
× 水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×
20=25600（立方厘米） ，再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000
（平方厘米），就能得到后来水面的 高度。
练习1：
1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，
它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，
使两个水池中水面同 样高。问水面高多少？
2.有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中< br>水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水
面。这时水面高多少 厘米？
3.一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一
横截面面 积是0.1平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。
【例题2】 将表面积分别为54平方厘米、96平 方厘米和150平方厘米
的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
【思路导航】因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所
以这个正方体 的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6
×（4×4），棱长是4厘米；150 =6×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就
可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于 它们的体积和。
练习2：
1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54 平方厘米和
294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
2.将 表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成
一个长方体，已知这个长方体的长 是13厘米，宽7厘米，求它的高。
3.把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方体
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的表面积是多少平方分米？
【例题3】 有 一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分
米，里面注有水，水深3分米。如果把一块边长 2分米的正方体铁块浸入水
中，水面上升多少分米？
【思路导航】铁块的体积是2×2×2= 8（立方分米），把它浸入水中后，
它就占了8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米 ，用这
个体积除以底面积（5×4）就能得到水上升的高度了。
练习3：
1.有一 个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块假山石
浸入水中后，水面上升0.8分米。这块 假山石的体积是多少立方分米？
2.有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。有一根长5 0厘
米，横截面是12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会
溶出多少立方 厘米的水？
3.有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。
取出铁 后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
【例题4】 有一个长方体容 器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高
10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝 左竖起来，里面的
水深应该是多少厘米？
【思路导航】首先求出水的体积：30×20×6= 3600
（立方厘米）。当容器竖起来以后，水流动了，但体积
没有变，这时水的形状是一个底 面积是20×10=200平
方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水
的深度了。
练习4：
1.有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分
米 、宽2分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸
里深几分米？
2. 有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方
体的截面是一个长4厘米、宽2厘米 的长方形，求它的长。
3.像例题中所说，如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深
又是多少厘米？
【例题5】 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘
米和6平方厘米。这 个长方体的体积是多少立方厘米？
【思路导航】长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽 ×
高得来的。因此，15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10
×6= 900=30×30。所以，这个长方体的体积是30立方厘米。
练习5：
1.一个长方体 ，不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和
8平方厘米，这个长方体的体积是多少立方 厘米？
2.一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和
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15平方厘米，且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？
3.一个长方体 的体积是48立方厘米，并且长、宽、高是三个连续的偶数。
这个长方体的表面积是多少平方厘米？
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第15讲 长方体和正方体(三)

一、知识要点
解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方
体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况
外，还必须知道：把一个长方 体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部
分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
二、精讲精练
【例题1】 一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘
米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？
【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米
的正方体，可以按下图中的线共锯6次 ，每锯一次就增加两个
6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米
的面积。因此，锯好后表面积增加432平方厘米。
练习1：
1.把27块棱长是1厘米 的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的
表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘 米？
2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正
方体，表面积增 加多少平方米？
3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的
小长 方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少
平方厘米？
【例题2】 有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了
24平方厘米，这个正 方体木块原来的表面积是多少平方厘米？
【思路导航】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每 个面的面
积是24÷2=12平方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积
是1 2×6=72平方厘米。
练习2：
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面
积是多少平方厘米？
2.有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成
两个长方体，表面积最 多增加多少平方分米？
3.有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2
厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少
平方厘米？
【例题3】 有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图
把它切成棱长是1分米的小正方体，这 些小正方体的表面积的
和是多少？
想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个3×3< br>平方分米的面，你能用这种思路来计算所求问题吗？
练习3：
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1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多
少个小正方体？如果要 摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？
2.有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高 4厘米，如果把它锯成棱长
是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？
3.把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面
积至少是多少平方厘 米？
【例题4】 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小
正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？
【思路导航】按题中的要求切，切成的小正方体一共有
3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6
个；
（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1
个。
练习4：
1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘
米 的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红
色的以及六个面都没有涂色的各 有多少个？
2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体
的表面涂 上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24个，那么，这些小
正方体一共有多少个？
3 .把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成1立方分米的小
正方体，在这些小正方体中，六个 面都没有涂色的有多少个？
【例题5】 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，< br>若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是
多少平方厘米？ 【思路导航】这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4）×2=148
平方厘米，每切 割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小长方体要切2
刀，一共增加2×2=4个面。要求表面积和 最大，应该增加4个6×5=30平方
厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大是148＋6×5× 4=268平方厘米。
练习5：
1.有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米、宽5厘 米、高3厘米。
要把它们粘成一个大的长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？
最小 是多少平方厘米？
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2.把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已 知每个小正方体的
表面积是72平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
3.把 一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米的长方体，截成两个
长方体，使这两个长方体的表面积的 和最大，求它们的表面积和是多少平方
厘米？
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第16讲 倍数问题（一）

一、知识要点
倍数问题是数学竞赛中的重要 内容之一，它是指已知几个数的和或差以
及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，
即1倍数，再根据其它几个数与这 个1倍数的关系，确定“和”或“差”相
当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。
二、精讲精练
【例题1】 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？
【思路导航】由于第二根比 第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁
丝第一根就比第二根多（3－1）倍。因此，8÷（3 －1）=4（厘米）。就是现
在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26=30厘米。
练习1：
1.两个数的和是682.其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就
得到另一个加数。 这两个加数各是多少？
2.两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分< br>第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少米？
3.一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉4 0个苹果和15个梨后，剩下的
梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？
【例题2】 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图
书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？
【思路导航】甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的
也拿出6×3=18本， 则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，
反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应 着后来乙组的（5－3）倍。因此，
后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12本，乙组原来有1 2＋6=18本，甲组
原来有18×3=54本。
练习2：
1.原来小明的画片是 小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画
片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？ 2.一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5
本放入上层后，上层的本数 正好是下层的5倍。原来下层有多少本书？
3.幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和 6个苹果后，剩
下的苹果个数正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？
【例题3】 幼 儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，
每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完， 苹果还剩下16个。大班共有多
少个同学？
【思路导航】因为苹果是梨的2倍，每组分3个梨 和3×2=6个苹果最后
就一起分完。可每组分4个苹果，少分6－4=2个，所以有8组同学，全班有
7×8=56人。
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练习3：
1.高年级同学植树，共有杉树苗 和杨树苗100棵。如果每个小组分给杉
树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2 棵。两种树
苗原来各有多少棵？
2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如 果每小组分
到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。两种树原来
各的多 少棵？
3.同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。如
果每位老人拿 2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。
同学们把水果分给了几位老人？
【例题4】 有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就
同样多；如果从乙筐拿 出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙
两筐原来各有多少个桔子？
【思路导航 】根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”
可知，原来甲筐比乙筐多8×2=16个橘子 ；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，
这时，甲筐就比乙筐多16＋13×2=42个。因此，乙筐里还有 42÷（2－1）=42
个，原来乙筐里有42＋13=55个，甲筐里原来有55＋16=71个。
练习4：
1.甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同
样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存
货物多少吨？
2 .兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4
元；弟弟买了3支笔，每支笔1 .2元，现在弟弟的钱是哥哥的3倍。兄弟两
人原来各有多少元？
3.学校组织夏令营活动， 如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生
人数同样多；如果参加的男生名额给4个女生，则男生是女 生人数的一半。
原定夏令营中男、女生各多少人？
【例题5】 甲粮库的存粮是乙粮库的2倍 ，甲粮库每天运出粮食40吨，
乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有 80
吨。甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？
【思路导航】因为甲粮库的存粮是乙粮库的2倍， 如果每天乙粮库运30
吨，甲粮库运出30×2=60吨，两粮库的粮食就会同时运完。而实际上甲粮库
每天只运出40吨，所以，每天就少运60－40=20吨。80吨里包含有4个20
吨，也就 是已经运了4天，因此，甲粮库原有粮食40×4＋80=240吨，乙粮
库原有240÷2=120吨 。
练习5：
1.果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知
他每天喷洒24棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩
下24棵。果园里有桃树 和梨树各多少棵？
2.小朋友带着一篮桔子和苹果送给敬老院的老人们，每个老人分各3个
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苹果和5个桔子，最后苹果分完，篮子里还剩下7个桔子。如果原来桔子的
个数是苹果的2倍， 那么，分给了几个老人？原来有多少个苹果？
3.甲、乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一 半，乙取出自己的
70元钱时，两人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存有多少钱？
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第17讲 倍数问题（二）
一、知识要点
解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已
知条件，找出其它几个数 与这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准
数。由于倍数应用题中数量关系的变化，要求同学们在 解题过程中注意解题
技巧，灵活解题。
和倍问题的数量关系是：
和数÷（倍数＋1）=较小数 较小数×倍数=较大数
差倍问题的数量关系是： 差数÷（倍数－1）=较小
数
较小数×倍数=较大数
二、精讲精练
【例 题1】，养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60
只，结果母鸡只数就是公鸡的4倍 。原来养鸡场一共养了多少只鸡？
【思路导航】养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加6 0只，
母鸡增加60×6=360只，那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。可实际母
鸡只增 加了60只，比360只少300只。因此，现在母鸡只数只有公鸡的4倍，
少了2倍。所以，现在公鸡 的只数是300÷2=150只，原来有公鸡150－60=90
只，一共养了90×（1＋6）=63 0只鸡。
练习1：
1.今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的 4
倍。今年小明多少岁？
2.原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克 ，大米
的重量是面粉的2倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？
3.饲养场的白兔只数 是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20
只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来 养白兔和黑兔各多少只？
【例题2】 有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车
装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆
车各装货物多少千 克？
【思路导航】如果丙车多装200千克，就和乙车装的货物同样多，这样
三辆车装的总重 量就是1800＋200=2000千克。再把2000千克平均分成4份，
就得到乙车上装的货物是5 00千克，甲车上装500×2=1000千克，丙车上装
有500－200=300千克。
练习2：
1.三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少
200箱。三堆货物各多少箱？
2.甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4 倍，求甲、
乙、丙三数各是多少。
3.把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层 的3倍多5本，
中层放的本数是上层的2倍多1本。问：上、中、下三层各放书多少本？
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【例题3】 甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三
分之一，从乙书架借 出四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。
乙书架原来有书多少本？
【思路导航】
甲借出后剩下：600*[1-13]=400本 那么乙借出后是：
[400-150]2=125本
即乙原来是：125[1-34]=500本
列算式为
[（600-600×1／3）－150]÷2×4
=[400－150]÷2×4
=250÷2×4
=125×4
=500（本）
答：乙书架原有500本书
练习3：
1.某校有男生630人，选出男生人数的三 分之一和女生人数的四分之三
去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有学生多少
人？
2.食堂存有同样重量的大米和面粉，吃大米的四分之三和60千克面粉后，
剩 下的面粉的重量地大米的3倍。原来存有大米和面粉各多少千克？
3.有两堆水泥，甲堆有4.5吨， 已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的
四分之一相等，乙堆有水泥多少吨？
【例题4】 A站 有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A站
向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车 8辆，都是经过1小时到达。几
小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍？
思路：每小时由A 站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，
实际上就是每隔1小时，A站就减少4辆，而B站 就增加4辆。要使B站的公
共汽车辆数是A站的3倍，A站只能有（26＋30）÷（1＋3）＝14（ 辆）则必
须减少12辆。因为每小时减少4辆，则需3小时。
练习4：
1.甲有邮 票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，
这样交换多少次后，甲的邮票张数是乙 的2倍？
2.甲仓存有大米650袋，乙仓存有大米400袋。每天从甲、乙仓各运出
50袋 ，多少天后甲仓的大米袋数是乙仓的6倍？
3.有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升 ，每次往两只杯子
中各倒进8毫升水，倒几次后，一只杯中的水是另一杯的2倍？
【例题5】 甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比
丙数的3倍少2。求这三个数。
设丙数为X，则乙数为3X-2.甲数为2（3X-2）+4=6X
X+3X-2+6X=78 10X=80
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X=8 3X-2=3*8-2=22 6X=6*8=48
所以甲数是48；乙数是22；丙数是8。
练习5：
1.有三个小组，甲组的人数 比乙组的2倍多6人，乙组的人数是丙组的2
倍。三个小组一共有90人，每个小组各有多少人？
2.某工厂共有工人560人，其中男工比女工的3倍少40人，男工和女工
各有多少人？ < br>3.三种水果共132个，已知苹果的个数比梨的3倍少6个，梨的个数比
桔子的3倍多2个。三 种水果各有多少个？
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第18讲 组合图形面积（一）

一、知识要点
组合图形是由两个或两个 以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形
式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形 具有条件相等的
特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注
意以 下几点：
1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；
2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；
3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
二、精讲精练
【例题1】 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面
积是多少平方厘米？
【思路导航】 由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，
所以，不能用三角形的面积公式来 计算它的面积。我们可以假
设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正
方形的 面积是12×12.那么，一个三角形的面积就是12×12÷
4=36平方厘米。
练习1：1.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）
2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。





3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3
厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。
【例题2】 正图正方形中套着一个长方 形，正方形的边长是12厘米，长
方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短 的2
倍。求中间长方形的面积。
【思路导航】图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形 ，两个大
三角形平移后可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是12
÷（1＋2）=4 （厘米）和4×2=8（厘米）。中间长方形的面积只要
用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可 以得到。即：12×
12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）
练习2：
1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2.正图长方形 ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求
三角形AEF的面积。
3.求下图（上右图）长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
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【例题3】 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的
面积是7平方 厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？
【思路导航】设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。
（1）梯形EFAD的面积是（ a+b）×b÷2.三角形EFC的面积也是（a+b）
×b÷2。所以，两者的面积相等。
（2）因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积－梯形
EFHD的面积，而三角形CDH的面积= 三角形EFC的面积－梯
形EFHD的面积，所以，三角形CDH的面积与三角形AFH的
面积 相等，也是7平方厘米。
练习3：
1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：
厘米）
3.下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？




【例题4】 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的
面积是多少平方厘米？
【思 路导航】要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度。
连接FC后就能得到一个三角形EFC，用三 角形EBC的面积减去三
角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积：8×20÷2－8×8÷2=48平方厘米。FD=48×2÷20=4.8厘米，所求梯形的面积就是
（4.8＋8）×8 ÷2=51.2平方厘米。
练习4：
1.如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2. 在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，
正方形的面积是多少？（单位：厘 米）
3.图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大
10 平方厘米。求平行四边形的面积。




【例题5】 图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三
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角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
【思路导航】因为三角形EFD的面积比三角 形ABF的面积大6平方厘米，
所以，三角形BCE的面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米。三角 形BCE的
面积是6×4＋6=30平方厘米，EC的长则是30×2÷6=10厘米。因此，ED的< br>长是10－4=6厘米。
练习5：
1.如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米 ，直角三角形中，AC=10厘米，
阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH长多少厘 米？
2.图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部
分的面积。
3.正方形的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分B的面积是7平方厘米，
求阴影部分A和 C的和是多少平方厘米？





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第19讲 组合图形的面积（二）

一、知识要点
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住
下面三点：
1.两个三角形等底、等高，其面积相等；
2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
二、精讲精练
【例题1】 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘
米）
【 思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，
然后减去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要 连接
AC，显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，
这样，我们把两个阴影部分 合成了一个三角形ABC。面积
是：6×3÷2=9平方厘米。
练习1：
1.求下图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
3.下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。





【例题2】 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角
形ABC（阴影部分）的面积。
【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三
角形ABC的高是三角形BCD高的1 5÷10=1.5倍，它们都以
BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。
练习2：
1.下图 中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC
的面积相等，如果AB=9厘米 ，FB=FE，求三角形AFE的面积。





2.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
3.图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，
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求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。
【例题3】 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形
的面积（如图所示 ），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
【思路导航】1.因为三角形ABD与三角 形ACD等底等高，所以面积相等。
因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是
6平方厘米。
2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，
所以BO的长度是 OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三
角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6÷2=3 平
方厘米。
练习3：
1.如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘 米，求梯形ABCD的
面积是多少平方厘米？
2.下图的梯形ABCD中，下底是上底的2倍 ，E是AB的中点。那么梯形
ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？
3.下图梯形A BCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形
BOC的面积比三角形AOD的面 积大多少平方厘米？




【例题4】 在三角形ABC中，D C=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平
方厘米，求三角形ABC的面积。
【思 路导航】（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC
的面积是三角形ADE面积的4倍，是20×（ 1＋3）=80
平方厘为；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是
三角形ADC面积的一半，是80÷2=40平方厘米。因此，
三角形ABC的面积是80＋40=1 20平方厘主。
练习4：
1.把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的面积（ ）乙的面积。
2.如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是A C的三等分点。已
知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。
3.下图中， BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F是AE的中点，三角形
ABC的BC边上的高是4厘米 ，阴影面积是多少平方厘米？




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【例题5】 边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形
面积的多少倍？
【思路导航】题中 的已知条件不能计算出两种三角形的
面积，我们可以用边长是3厘米的正三角形拼一个边长是9
厘米的正三角形，从而看出它们之间的倍数关系。从下图中
可以看出：边长9厘米的正三角形是边长3厘 米的正三角形
面积的9倍。
练习5：
1.边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多
少倍？
2. 一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底
的长又是三角形底长的2倍。这个梯 形的面积是三角形面积的多少倍？
3.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直 角三
角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积
分别是多少？

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第20讲 数字趣味题

一、知识要点
0、1、2、3、4、5、6、7 、8、9是我们最常见的国际通用的阿拉伯数字
（或称为数码）。数是由十个数字中的一个或几个根据位 值原则排列起来，表
示事物的多少或次序。
数字和数是两个不同的概念，但它们之间有密切的 联系。这里所讲的数
字问题是研究一个若干位数与其他各位数字之间的关系。数字问题不仅是研
究一个若干位数与其他各位数字之间的关系。数字问题不仅有一定规律，而
且还非常有趣。
解答数字问题可采用下面的方法：
1.根据已知条件，分析数或数字的特点，寻找其中的规律；
2.将各种可能一一列举，排除不符合题意的部分，从中找出符合题意的
结论；
3.找出数中数字之间的相差关系和倍数关系，转化成“和倍”、“差倍”
等问题。
4，条件复杂时，可将题中条件用文字式、竖式表示，然后借助文字式、
竖式进行分析推理。
二、精讲精练
【例题1】 一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3
倍，而个位数字是千位数字的3倍。这个四位数是多少？
【思路导航】由于个位数字是千位数字的3 倍，而百位数字和十位上数
字又是个位上数字的3倍，所以，千位上的数字只能是1.否则，百位和十位
上的数字将大于9。因此，这个四位数的千位是1.个位是3.而百位和十位上
都是9，即19 93。
练习1：
1.有一个四位数，千位和个位上的数字相同，且百位上的数字是十位上< br>的3倍，十位上数字是个位上的3倍。这个四位数是多少？
2.一个三位数的各位数字之和是1 7，其中十位数字比个位数字大1。如
果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原 数大198，
求原数。
3.有一个三位数，各位数字的和是17，其中百位数字比个位数字的 5倍
还多2.请写出这个三位数。
【例题2】 把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的 五位数加上
8000，所得的和正好是原来四位数的35倍。原来的四位数是多少？
【思路导 航】把数字6写到一个四位数的左边，得到的数就比原来的四
位数增加了60000，再加上8000， 一共增加了68000。这时所得的数是原数的
35倍，比原数增加了34倍，所以原数是68000÷ 34=2000。
练习2：
1.有一个三位数，如果把数字4写在它的前面可得到一个四位 数，写在
它的后面也能得到一个四位数，已知这两个四位数相差2889，求原来的四位
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数。
2.把数字8写在一个三位数的前面得 到一个四位数，这个四位数恰好是
原三位数的21倍。原三位数是多少？
3.有一个三位数， 它的个位数字是3.如果把3移到百位，其余两位依次
改变，所得的新数与原数相差71。求原来的三位 数。
【例题3】 有一个四位数，个位数字与千位数字对调，所得的数不变。
若个位与十位的 数字对调，所得的数与原数的和是5510。原四位数是多少？
【思路导航】根据已知条件，设原数为ABCA，则后来的数是ABAC，写成
竖式：
A B C A
（1）从千位看，A一定是2；
+ A B A C
（2）从个位看，C一定是8；
（3）从百位看，B一定是7。
5 5 1 0
所以，原四位数是2782。
练习3：
1.有一个四位数，个位数字与百位数字的 和是12.十位数字与千位数字的
和是9。如果个位数字与百位数字交换，所得新数比原数大396，原 数是多少？
2.张家的门牌号码是一个三位数，这个三位数的三个数字都不同，且三
个数字的 和是6，还是满足这些条件的三位数中最大的一个数。请你写出这个
门牌号码。
3.一个两位 数，十位的数字比个位数字少1.把这个两位数的个位与十位
数字对调，所得新数与原数的和是165。 求原来的两位数。
【例题4】 一个六位数的末位数字是7，如果把7移动到首位，其它五
位 数字顺序不动，新数就是原来数的5倍。原来的六位数是多少？
【思路导航】用字母表示出未知的五位 数，原数为ABCDE7，新数为7ABCDE。
根据题意可写出下面的竖式，再从个位推算起。
（1）个位7×5=35，E是5；
（2）十位5×5＋3=28，D是8；
（3）百位8×5＋2=42.C是2；
（4）千位2×5＋4=14，B是4；
（5）万位4×5＋1=21.A是1。
原数是142857。
练习4：
1.如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了
6000。原数是多少？ < br>2.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至第一位，其余数字顺
序不变，所得新六位数 是原数的4倍。原六位数是多少？
3.有一个两位数的两个数字中间夹一个0，那么，所得的三位数比 原数大
6倍。求这个两位数。
【例题5】 某地区的邮政编码可用AABCCD表示，已知这 六个数字的和是
11.A与D的和乘以A等于B，D是最小的自然数。这个邮政编码是多少？
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【思路导航】D是最小的自然数，即D是1.要满足（A＋1）×A=B和六个
数字的和是11 这两个条件，A只能是2。则B=（2＋1）×2=6。A＋A＋B＋D=2
＋2＋6＋1=11.C一 定是0。因此，这个邮政编码是226001。
练习5：
1.一个三位数，个位上的数字是 十位上数字的4倍，十位上的数字是百
位上数字的2倍。这个三位数必定是多少？
2.有一个 六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是从小到大的
三个连续自然数，这六个数字的和恰好等于 末尾的两位数。求这个六位数。
3.求各位上数字之和等于34的最小的四位数。
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