郑州粮食批发市场-精神文明建设汇报材料

2010年五年级奥数题：周期性问题（A）


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 _________ ．

2．（3分）1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期 _________ ．

3．（3分）按如图摆法摆80个三角形，有 _________ 个白色的．

4．（3分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各 一盏彩灯．也就是说，从
第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是 _________ 灯．

5．（3分）时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是 _________ 时．

6．（3分）把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在 _________
列．


7．（3分）把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是 _________ ．

8．（3分）循环小数与．这两个循环小数在小数点后第 _________ 位，首次同时出现在
该位中的数字都是7．

9．（3分）一串数：1，9，9， 1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数．
（1）其中共有 _________ 个1， _________ 个9 _________ 个4；
（2）这些数字的总和是 _________ ．

10．（3分） 所得积末位数是 _________ ．

二、解答题（共4小题，满分0分）
11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72 ，在9后面写
2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6…
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

12．1991个 1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？

13．n=，那么n的末两位数字是多少？

14．在 一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

2010年五年级奥数题：周期性问题（A）

参考答案与试题解析


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 二 ．

考点： 日期和时间的推算．
分析： 因为某年二月份有五个星期日，又知4×7=28，所以这年二月份应为 29天，而且可知2月1日和2月29日
均为星期天．所以3月1日为星期一．到六月一日经过了3月、 4月、5月，因为3月、5月又1天，4月
有30天，所以共有31+30+31+1=93天，每个星 期有七天，所以93÷7=13…2，所以6月1日是星期二．
解答： 解：因为7×4=28，由某 年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为
星期日，3月1日是 星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了
31+30+31+1=93（天）．
93÷7=13…2，所以这年6月1日是星期二．
答：这年六月一日是星期二．
故答案为：二．
点评： 本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问 题主要依据每周为七天循环的规律，
运用周期性解答．在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四 百年才又一闰”的规定，即公历年份不是
整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必 须是400的倍数才是闰年．

2．（3分）1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期 日 ．

考点： 日期和时间的推算．
分析： 先求出这十年有多少天，再求这些天里有多少周，还余几天；再根据余数求出这一天是星期几．
解答： 解：这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365×10+2=3652（天）；
3652÷7=521（周）…5（天），
5+2=7，所以再过十年的12月5日是星期日．
故答案为：日．
点评： 本题 是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，
运用 周期性解答．在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是
整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年．

3．（3分）按如图摆法摆80个三角形，有 39 个白色的．

考点： 简单周期现象中的规律．
分析： 从图中可以看出，三角形按“黑黑白白黑白”的规律重复排列，也就 是这一排列的周期为6，80÷6得出周期数
和余数，一个周期有3个白色，加上余数的白色个数，即可 得解．
解答： 解：80÷6=13…2，
余数2全是黑色，所以，白色的三角形有：13×3=39；
答：有39个白色的．
故答案为：39．
点评： 看出规律，找到周期，是解决这类题的关键．
4．（3分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是 说，从
第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是 白 灯．

考点： 简单周期现象中的规律．
分析： 每四盏灯为一个周期，白灯、红灯、黄灯、绿灯，以此类推，73是多少个周期余数是几，排一下就知道了．
解答： 解：73÷4=18…1，
所以是白灯；
答：小明想第73盏灯是 白灯．
故答案为：白．
点评： 此题考查了简单周期现象中的规律．

5．（3分）时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是 13 时．

考点： 时间与钟面．
分析： 分针旋转一周为1小时，旋转1991周为 1991小时；一天24小时，1991÷24=82（天）…23（小时），1991
小时共82天又 23小时；现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时，正好是13时．
解答： 解：1991÷24=82天…23小时，1991小时共82天又23小时．
14+23﹣24=13小时，
答：时针表示的时间是13时．
故答案为：13．
点评： 考查了时间与钟面，在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和 一根短针，
就组成了我们天天见到的钟面．钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的 数学问题，
周期现象就是其中的一个重要方面．

6．（3分）把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在 第三
列．


考点： 数表中的规律．
分析： 9个数一个循环，这9 个数不变的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第
三列、第二列；那么 求出1992是多少个循环，得出余数，即可得解．
解答： 解：1992÷9=221…3；
所以，1992在第三列．
故答案为：第三．
点评： 此题考查了数表中的规律，认真分析得出结论．

7．（3分）把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是 7 ．

考点： 简单周期现象中的规律；循环小数与分数．
分析：
先把化成小数：0.0.5771428 ，是一个循环小数，它的循环周期是6，六个数字依次是：5，7，
1，4，2，8．
因为110÷6=18…2，所以第110位上的数是一周期的第二个数即7．
解答： 解：因为=0.571428571428，是个循环小数，它的循环周期是6，具体地六个数字依次是5， 7，1，4，2，

8；
110÷6=18…2，所以第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7．
故答案为：7．
点评： 做这类题先把分数化为小数，（一般为循环小数），周初他的循环周 期及循环的数列，求第几位上的数字，
就用这个数字除以循环周期，余几就是一个循环周期的第几个数字 ．

8．（3分）循环小数
数字都是7．

考点： 循环小数及其分类；公约数与公倍数问题．
分析： 根据已知条件可知，这两个小数的循环节分别是7位数和5位数，求出5和7的最小公倍数即可．
解答： 解：因为0.1992517的循环节是7位数，0.34567的循环节是5位数，又5和7 的最小公倍数是35，所以两
个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都是7．
故答案为：35．
点评： 此题答解答主要根据求两个数的最小公倍数解答．

9．（3分）一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1， 4，…共有1991个数．
（1）其中共有 853 个1， 570 个9 568 个4；
（2）这些数字的总和是 8255 ．

考点： 数字串问题；数字和问题．
分析： 不难看出，这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，即周期为7，且每个周 期中有3个1，2
个9，2个4．因为1991÷7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上 第285个周期中的前三个数1，9，9．其
中1的个数是：3×284+1=853（个），9的个数 是2×284+2=570（个），4的个数是2×284=568（个）．这些数
字的总和为1×85 3+9×570+4×568=8255．
解答： 解：（1）这串数每7个数即1，9，9，1，4 ，1，4为一个循环，且每个周期中有3个1，2个9，2个4．因
为1991÷7=284…3，所以 这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9．其中1的个数
是：3×284 +1=853（个），9的个数是2×284+2=570（个），4的个数是2×284=568（个）．
（2）这些数字的总和为：1×853+9×570+4×568=8255．
故答案为：853，570，568；8255．
点评： 在做题时应首先观察规律：7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环．

10．（3分） 所得积末位数是 9 ．
与．这两个循环小数在小数点后第 35 位，首次同时出现在该位中的

考点： 乘积的个位数．
分析： 当7的个数是1时 ，末位是7；当7的个数是2时，末位是9；当7的个数是3时，末位是3；当7的个数
是4时，末位是 1；当7的个数是5时，末位又是7；由此发现积的末尾依次出现7、9、3、1；依此规律解
答即可．
解答： 解：先找出积的末位数的变化规律：
123454+164+274+3
7 末位数为7，7末位数为9，7末位数为3，7末位数1；7=7末位数为7，7=7末位数为9，7=7
84×2
末位数为3，7=7末位数为1；
由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1，以4为周期循环出现．
504 ×12+2502
因为50÷4=12…2，即7=7，所以7与7末位数相同，也就是积的末位数是9 ．
故答案为：9
点评： 此题考查的目的是：通过计算发现规律，依照规律解答这类问题．

二、解答题（共4小题，满分0分）

11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72， 在9后面写
2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6…
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

考点： 数字串问题．
分析： 依照题述规则多写几个数字：86884…
可见1989后面的数总 是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6．因为（1989﹣4）÷6=3305，正好除尽，286884所以所求数字是8．
解答： 解：依照题述规则多写几个数字得到：86884286884…
可见1989后面的数总是不断循环 重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6．因为（1989﹣4）÷6=3305，
所以2 86884的第四个数字为8，所求数字是8．
点评： 此题属于数字串问题，解答此题的关键是要找出规律：1989后面的数总是不断循环重复出现286884．

12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和 末两位数是多少？

考点： 简单周期现象中的规律．
分析： 本题问的是两积相 加的和末两位数是多少，所以不必求出两个积，求出两个积的末尾两位数即可．可知1991
个1990 相乘所得的积末尾两位是00；1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个19 91
相乘的积末两位数是71，4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，3 1，21，11，01，11
个1991相乘积的末两位数字是91，由此可见，每10个1991相乘 的末两位数字重复出现，即周期为10．因
为1990÷10=199，所以1990个1991相乘积 的末两位数是01．即可得答案．
解答： 解：因为1991个1990相乘所得的积末两位是0．
1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数 是71，4个至10
个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01 ，11个1991相乘积的末两位数字是91，
可知每10个1991相乘的末两位数字重复出现，周期 为10．因为1990÷10=199，所以1990个1991相乘积
的末两位数是01．
所以两个积相加的和末两位是01．
答：再相加的和末两位是01．
点评： 做此 题不能被庞大的数字所迷惑，要看清问的是什么．要求两积相加和的末两位数，只要知道每个积的末
两位 数，然后相加即可，不用算出两积的具体得数．1991个1990相乘所得的积的末尾两位数很显然是00，< br>求1990个1991相乘所得的积的末尾两位数，要靠推算，找出其中的规律，通过计算可知末尾两位数 是呈
周期循环出现的．再根据循环现象求1990个1991相乘所得积的末尾两位数即可．

13．n=，那么n的末两位数字是多少？

考点： 周期性问题．
1991
分析：
此题可用列表法寻找规律．n是1991个2的连乘积，即n=2． 首先从2的较低次幂入手寻找规律，列表
如下：
n

n
的十位数字
0

n
的个位数字
2

n

n
的十位数字
9

n
的个位数字
6

21

22

23

24

25

26

27

28

29



0

0

1

3

6

2

5

1


4

8

6

2

4

8

6

2

212

213

214

215

216

217

218

219

220



9

8

6

3

7

4

8

7



2

4

8

6

2

4

8

6

2114822204

解答：
解：n是1991个2的连乘积 ，可记为n=2
1991
，首先从2的较低次幂入手寻找规律，见上表．观察上表，容
2
易发现自2开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20．因为1991÷20= 99…11，所以
19911111
2与2的末两位数字相同，由上表知2的十位数字是4，个 位数字是8．所以，n的末两位数字是48．
答：n的末两位数字是48．
点评： 此题属于周期性问题，考查学生探索规律的能力．

14．在一根长100厘米的木棍上， 自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后
沿红点处将木棍逐段锯开 ，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

2102422152
考点： 染色问题；公约数与公倍数问题．
分析： 因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色．于是我们可以看作是从同一端点染色．
6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的长度是< br>30厘米，如图所示．

由图示可知长1厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1周 期中，6﹣5=1，5×5﹣6×4=1．剩余10厘米中
有一段．所以锯开后长1厘米的短木棍共有7 段．
解答： 解：2×[（100﹣10）÷30]+1，
=2×3+1，
=7（段）．
答：那么长度是1厘米的短木棍有7根．
点评： 解决这一问题的关 键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小
公倍数发现周期现 象，化难为易．

2010年五年级奥数题：周期性问题（A）


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 _________ ．

2．（3分）1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期 _________ ．

3．（3分）按如图摆法摆80个三角形，有 _________ 个白色的．

4．（3分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各 一盏彩灯．也就是说，从
第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是 _________ 灯．

5．（3分）时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是 _________ 时．

6．（3分）把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在 _________
列．


7．（3分）把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是 _________ ．

8．（3分）循环小数与．这两个循环小数在小数点后第 _________ 位，首次同时出现在
该位中的数字都是7．

9．（3分）一串数：1，9，9， 1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数．
（1）其中共有 _________ 个1， _________ 个9 _________ 个4；
（2）这些数字的总和是 _________ ．

10．（3分） 所得积末位数是 _________ ．

二、解答题（共4小题，满分0分）
11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72 ，在9后面写
2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6…
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

12．1991个 1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？

13．n=，那么n的末两位数字是多少？

14．在 一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

2010年五年级奥数题：周期性问题（A）

参考答案与试题解析


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 二 ．

考点： 日期和时间的推算．
分析： 因为某年二月份有五个星期日，又知4×7=28，所以这年二月份应为 29天，而且可知2月1日和2月29日
均为星期天．所以3月1日为星期一．到六月一日经过了3月、 4月、5月，因为3月、5月又1天，4月
有30天，所以共有31+30+31+1=93天，每个星 期有七天，所以93÷7=13…2，所以6月1日是星期二．
解答： 解：因为7×4=28，由某 年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为
星期日，3月1日是 星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了
31+30+31+1=93（天）．
93÷7=13…2，所以这年6月1日是星期二．
答：这年六月一日是星期二．
故答案为：二．
点评： 本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问 题主要依据每周为七天循环的规律，
运用周期性解答．在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四 百年才又一闰”的规定，即公历年份不是
整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必 须是400的倍数才是闰年．

2．（3分）1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期 日 ．

考点： 日期和时间的推算．
分析： 先求出这十年有多少天，再求这些天里有多少周，还余几天；再根据余数求出这一天是星期几．
解答： 解：这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365×10+2=3652（天）；
3652÷7=521（周）…5（天），
5+2=7，所以再过十年的12月5日是星期日．
故答案为：日．
点评： 本题 是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，
运用 周期性解答．在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是
整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年．

3．（3分）按如图摆法摆80个三角形，有 39 个白色的．

考点： 简单周期现象中的规律．
分析： 从图中可以看出，三角形按“黑黑白白黑白”的规律重复排列，也就 是这一排列的周期为6，80÷6得出周期数
和余数，一个周期有3个白色，加上余数的白色个数，即可 得解．
解答： 解：80÷6=13…2，
余数2全是黑色，所以，白色的三角形有：13×3=39；
答：有39个白色的．
故答案为：39．
点评： 看出规律，找到周期，是解决这类题的关键．
4．（3分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是 说，从
第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是 白 灯．

考点： 简单周期现象中的规律．
分析： 每四盏灯为一个周期，白灯、红灯、黄灯、绿灯，以此类推，73是多少个周期余数是几，排一下就知道了．
解答： 解：73÷4=18…1，
所以是白灯；
答：小明想第73盏灯是 白灯．
故答案为：白．
点评： 此题考查了简单周期现象中的规律．

5．（3分）时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是 13 时．

考点： 时间与钟面．
分析： 分针旋转一周为1小时，旋转1991周为 1991小时；一天24小时，1991÷24=82（天）…23（小时），1991
小时共82天又 23小时；现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时，正好是13时．
解答： 解：1991÷24=82天…23小时，1991小时共82天又23小时．
14+23﹣24=13小时，
答：时针表示的时间是13时．
故答案为：13．
点评： 考查了时间与钟面，在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和 一根短针，
就组成了我们天天见到的钟面．钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的 数学问题，
周期现象就是其中的一个重要方面．

6．（3分）把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在 第三
列．


考点： 数表中的规律．
分析： 9个数一个循环，这9 个数不变的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第
三列、第二列；那么 求出1992是多少个循环，得出余数，即可得解．
解答： 解：1992÷9=221…3；
所以，1992在第三列．
故答案为：第三．
点评： 此题考查了数表中的规律，认真分析得出结论．

7．（3分）把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是 7 ．

考点： 简单周期现象中的规律；循环小数与分数．
分析：
先把化成小数：0.0.5771428 ，是一个循环小数，它的循环周期是6，六个数字依次是：5，7，
1，4，2，8．
因为110÷6=18…2，所以第110位上的数是一周期的第二个数即7．
解答： 解：因为=0.571428571428，是个循环小数，它的循环周期是6，具体地六个数字依次是5， 7，1，4，2，

8；
110÷6=18…2，所以第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7．
故答案为：7．
点评： 做这类题先把分数化为小数，（一般为循环小数），周初他的循环周 期及循环的数列，求第几位上的数字，
就用这个数字除以循环周期，余几就是一个循环周期的第几个数字 ．

8．（3分）循环小数
数字都是7．

考点： 循环小数及其分类；公约数与公倍数问题．
分析： 根据已知条件可知，这两个小数的循环节分别是7位数和5位数，求出5和7的最小公倍数即可．
解答： 解：因为0.1992517的循环节是7位数，0.34567的循环节是5位数，又5和7 的最小公倍数是35，所以两
个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都是7．
故答案为：35．
点评： 此题答解答主要根据求两个数的最小公倍数解答．

9．（3分）一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1， 4，…共有1991个数．
（1）其中共有 853 个1， 570 个9 568 个4；
（2）这些数字的总和是 8255 ．

考点： 数字串问题；数字和问题．
分析： 不难看出，这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，即周期为7，且每个周 期中有3个1，2
个9，2个4．因为1991÷7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上 第285个周期中的前三个数1，9，9．其
中1的个数是：3×284+1=853（个），9的个数 是2×284+2=570（个），4的个数是2×284=568（个）．这些数
字的总和为1×85 3+9×570+4×568=8255．
解答： 解：（1）这串数每7个数即1，9，9，1，4 ，1，4为一个循环，且每个周期中有3个1，2个9，2个4．因
为1991÷7=284…3，所以 这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9．其中1的个数
是：3×284 +1=853（个），9的个数是2×284+2=570（个），4的个数是2×284=568（个）．
（2）这些数字的总和为：1×853+9×570+4×568=8255．
故答案为：853，570，568；8255．
点评： 在做题时应首先观察规律：7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环．

10．（3分） 所得积末位数是 9 ．
与．这两个循环小数在小数点后第 35 位，首次同时出现在该位中的

考点： 乘积的个位数．
分析： 当7的个数是1时 ，末位是7；当7的个数是2时，末位是9；当7的个数是3时，末位是3；当7的个数
是4时，末位是 1；当7的个数是5时，末位又是7；由此发现积的末尾依次出现7、9、3、1；依此规律解
答即可．
解答： 解：先找出积的末位数的变化规律：
123454+164+274+3
7 末位数为7，7末位数为9，7末位数为3，7末位数1；7=7末位数为7，7=7末位数为9，7=7
84×2
末位数为3，7=7末位数为1；
由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1，以4为周期循环出现．
504 ×12+2502
因为50÷4=12…2，即7=7，所以7与7末位数相同，也就是积的末位数是9 ．
故答案为：9
点评： 此题考查的目的是：通过计算发现规律，依照规律解答这类问题．

二、解答题（共4小题，满分0分）

11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72， 在9后面写
2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6…
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

考点： 数字串问题．
分析： 依照题述规则多写几个数字：86884…
可见1989后面的数总 是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6．因为（1989﹣4）÷6=3305，正好除尽，286884所以所求数字是8．
解答： 解：依照题述规则多写几个数字得到：86884286884…
可见1989后面的数总是不断循环 重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6．因为（1989﹣4）÷6=3305，
所以2 86884的第四个数字为8，所求数字是8．
点评： 此题属于数字串问题，解答此题的关键是要找出规律：1989后面的数总是不断循环重复出现286884．

12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和 末两位数是多少？

考点： 简单周期现象中的规律．
分析： 本题问的是两积相 加的和末两位数是多少，所以不必求出两个积，求出两个积的末尾两位数即可．可知1991
个1990 相乘所得的积末尾两位是00；1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个19 91
相乘的积末两位数是71，4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，3 1，21，11，01，11
个1991相乘积的末两位数字是91，由此可见，每10个1991相乘 的末两位数字重复出现，即周期为10．因
为1990÷10=199，所以1990个1991相乘积 的末两位数是01．即可得答案．
解答： 解：因为1991个1990相乘所得的积末两位是0．
1个1991末两位数是91，2个1991相乘的积末两位数是81，3个1991相乘的积末两位数 是71，4个至10
个1991相乘的积的末两位数分别是61，51，41，31，21，11，01 ，11个1991相乘积的末两位数字是91，
可知每10个1991相乘的末两位数字重复出现，周期 为10．因为1990÷10=199，所以1990个1991相乘积
的末两位数是01．
所以两个积相加的和末两位是01．
答：再相加的和末两位是01．
点评： 做此 题不能被庞大的数字所迷惑，要看清问的是什么．要求两积相加和的末两位数，只要知道每个积的末
两位 数，然后相加即可，不用算出两积的具体得数．1991个1990相乘所得的积的末尾两位数很显然是00，< br>求1990个1991相乘所得的积的末尾两位数，要靠推算，找出其中的规律，通过计算可知末尾两位数 是呈
周期循环出现的．再根据循环现象求1990个1991相乘所得积的末尾两位数即可．

13．n=，那么n的末两位数字是多少？

考点： 周期性问题．
1991
分析：
此题可用列表法寻找规律．n是1991个2的连乘积，即n=2． 首先从2的较低次幂入手寻找规律，列表
如下：
n

n
的十位数字
0

n
的个位数字
2

n

n
的十位数字
9

n
的个位数字
6

21

22

23

24

25

26

27

28

29



0

0

1

3

6

2

5

1


4

8

6

2

4

8

6

2

212

213

214

215

216

217

218

219

220



9

8

6

3

7

4

8

7



2

4

8

6

2

4

8

6

2114822204

解答：
解：n是1991个2的连乘积 ，可记为n=2
1991
，首先从2的较低次幂入手寻找规律，见上表．观察上表，容
2
易发现自2开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20．因为1991÷20= 99…11，所以
19911111
2与2的末两位数字相同，由上表知2的十位数字是4，个 位数字是8．所以，n的末两位数字是48．
答：n的末两位数字是48．
点评： 此题属于周期性问题，考查学生探索规律的能力．

14．在一根长100厘米的木棍上， 自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后
沿红点处将木棍逐段锯开 ，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

2102422152
考点： 染色问题；公约数与公倍数问题．
分析： 因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色．于是我们可以看作是从同一端点染色．
6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的长度是< br>30厘米，如图所示．

由图示可知长1厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1周 期中，6﹣5=1，5×5﹣6×4=1．剩余10厘米中
有一段．所以锯开后长1厘米的短木棍共有7 段．
解答： 解：2×[（100﹣10）÷30]+1，
=2×3+1，
=7（段）．
答：那么长度是1厘米的短木棍有7根．
点评： 解决这一问题的关 键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小
公倍数发现周期现 象，化难为易．