太极乐队-命题作文题目

2010年五年级奥数题：定义新运算（A）


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）规定a☉b=

2．（3分）（2012•成都）规定“※”为一种运算，对任意两数a，b，有a※b=，若6※x= ，则x= _________ ．
，则2☉（5☉3）之值为 _________ ．

3．（3分）设a，b，c，d是自然数，定义＜a，b，c，d＞=ad+bc．则＜＜1，2，3， 4＞，＜4，1，2，3＞，＜3，4，
1，2＞，＜2，3，4，1＞＞= _________ ．

4．（3分）[A]表示自然数A的约数的个数．例如，4有1，2，4三个约数，可以表 示成[4]=3．计算：（[18]+[22]）÷[7]=
_________ ．

5．（3分）规定新运算※：a※b=3a﹣2b．若x※（4※1）=7，则x= _________ ．

6．（3分）两个整数a和b，a除以b的余数记为a☆b．例 如，13☆5=3，5☆13=5，12☆4=0．根据这样定义的运算，（26☆9）
☆4= _________ ．

7．（3分）对于数a，b，c，d规定＜a，b，c，d＞= 2ab﹣c+d．如果＜1，3，5，x＞=7，那么x= _________ ．

8 ．（3分）（2012•武汉模拟）规定：6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246，1※ 4=1+11+111+1111=1234.7※5= _________ ．

9． （3分）规定：符号“△”为选择两数中较大数，“☉”为选择两数中较小数．例如：3△5=5，3☉5=3． 那么，[（7☉3）△5]×[5☉
（3△7）]= _________ ．

10．（3分）假设式子aa×b表示经过计算后，a的值变为原来a与b的值的积，而式子ba﹣b表示经过计 算后，b
####
的值为原来a与b的值的差．设开始时a=2，b=2，依次进行计算aa× b，ba﹣b，aa×b，ba﹣b，则计算结束时，a
与b的和是 _________ ．

二、解答题（共4小题，满分0分）
11．设a，b，c，d是自然数，对每两 个数组（a，b），（c，d），我们定义运算※如下：（a，b）※（c，d）=（a+c，b+d）；
又定义运算△如下：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）．试计算（（1，2）※（3，6 ））△（（5，4）※（1，3））．

12．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊 及狼，我们规定一种运算，用符号△表示羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△
羊=狼；狼△狼=狼．运算意思 是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．
小朋友总是希望羊能 战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示为羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=
狼 ．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走< br>而只剩下羊了．
对羊或狼，可用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号 内先算．运算的结果是羊，或是狼．求
下式的结果：
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）．

13．64=2×2×2×2×2×2表示成f（64）=6；243=3×3×3×3× 3表示成g（243）=5．
试求下列的值：
（1）f（128）= _________ ；
（2）f（16）=g _________ ；
##

（3）f _________ +g（27）=6；
（4）如果x，y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：f（x•y）=f（x）+f（y）．

14．两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，比如5☉2= 1，7☉25=4，6☉8=2．
（1）求1991☉2000，（5☉19）☉19，（19☉5）☉5；
（2）已知11☉x=2，而x小于20，求x；
（3）已知（19☉x）☉19=5，而x小于50，求x．

2010年五年级奥数题：定义新运算（A）

参考答案与试题解析


一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）规定a☉b=，则2☉（5☉3）之值为 1 ．

考点： 定义新运算．
分析： 先看新的运算即“☉”的运算意义是什么，再看新的运算方法是什么，把新的运 算方法，运用到所求的式子，
即可得到答案．
解答：
解：5☉3=，
2☉（5☉3）=2☉．
故答案为：．
点评： 解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法，来计算要求的题目．

2．（3分）（2012•成都）规定“※”为一种运算，对任意两数a，b，有a※b=

考点： 定义新运算．
分析： 先看新的运算即“※”的运算意义是什么，再看新的运算方法 是什么，把新的运算方法，运用到所求的式子，
即可得到答案．
解答：
解：因为，6※=，
，若6※x=，则x= 8 ．
所以，3×22=3（6+2x），
66=18+6x，
x=8．
故答案为：8．
点评： 解答此题最重要的是，彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法来计算题中要求的题目．

3．（3分）设a，b，c，d是自然数，定义＜a，b，c，d＞=ad+bc．则＜＜1，2，3， 4＞，＜4，1，2，3＞，＜3，4，
1，2＞，＜2，3，4，1＞＞= 280 ．

考点： 定义新运算．
分析： 先看新的运算即“＜a，b，c，d＞=ad+bc”的运算 意义是什么，再看新的运算方法是什么，把新的运算方法，
运用到所求的式子，即可得到答案．
解答： 解：＜1，2，3，4＞=1×4+2×3=10；
＜4，1，2，3＞=4×3+1×2=14；
＜3，4，1，2＞=3×2+4×1=10；
＜2，3，4，1＞=2×1+3×4=14；
＜＜1，2，3，4＞，＜4，1，2，3＞，＜3，4，1，2＞，＜2，3，4，1＞＞，
=＜10，14，10，14＞，

=10×14+14×10，
=280．
故答案为：280．
点评： 解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法，来计算要求的题目．

4．（3分）[A]表示自然数A的约数的个数．例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]= 3．计算：（[18]+[22]）÷[7]=
5 ．

考点： 定义新运算．
分析： 先看第一种新的运算即[A]的意义是什么；再看第二种新的运算即[4]=3的运算意义是什 么，根据此两个符
号的运算意义，运用到所求的式子，即可得到答案．
解答：
解：因为，18=2×3
2

18的约数个数是（1+1）×（2+1）=6（个），
所以[18]=6，
同样可知：22的约数的个数是4个，
[22]=4，
7的约数的个数是2个，
[7]=2．
（[18]+[22]）÷[7]，
=（6+4）÷2，
=5．
故答案为：5．
点评： 解答此题的关键是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法来做题中给出的式子．

5．（3分）规定新运算※：a※b=3a﹣2b．若x※（4※1）=7，则x= 9 ．

考点： 定义新运算．
分析： 本题可由新运算a※b=3a﹣2b，先算出4※1是多少，再代入x※（4※1）=7求得x即可．
解答： 解：因为4※1=3×4﹣2×1=10，
所以x※（4※1）=x※10=3x﹣20．
由3x﹣20=7，解得x=9．
故答案为：9．
点评： 此题是考查运用新运算的能力，要先理清新运算的定义，再代入数值计算．

6．（3分） 两个整数a和b，a除以b的余数记为a☆b．例如，13☆5=3，5☆13=5，12☆4=0．根据这样定 义的运算，（26☆9）
☆4= 0 ．

考点： 定义新运算．
分析： 先看题中新的运算即☆的运算意义是什么；再☆的运算意义确定运算方法，并将此方法运用到所求的式子，
即可得到答案．
解答： 解：因为，26÷9=2…8．
所以，26☆9=8，
又8÷4=2，
故（26☆9）☆4，
=8☆4，
=0．
故答案为：0．
点评： 解答此题的关键是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后把新的运算方法运用到所要求的题目中即可．

7．（3分）对于数a，b，c，d规定＜a ，b，c，d＞=2ab﹣c+d．如果＜1，3，5，x＞=7，那么x= 6 ．

考点： 定义新运算．
分析： 此题规定了一种新运算符号＜＞，我们要理解它的意思，＜a ，b，c，d＞表示ab的2倍减去c的差，再加
上d，即使最后的结果．在＜1，3，5，x＞中，表 示1×3的2倍减去5再加上x等于7，就可求出x的值．
解答： 解：根据新运算可知＜1，3，5，x＞=2×1×3﹣5+x=1+x=7 所以，x=6．
故填：6
点评： 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．正确理解 新运算所表示的意义，严格按
照规定的法则进行运算．这是正确解答这类问题最关键的思维．

8．（3分）（2012•武汉模拟）规定：6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=2 46，1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= 86415 ．

考点： 定义新运算．
分析： 先看新的运算即“※”的运算意义是什么，再看新的运算方法 是什么，把新的运算方法，运用到所求的式子，
即可得到答案．
解答： 解：7※5=7+77+777+7777+77777=86415；
故答案为：86415．
点评： 解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法，来计算要求的题目．

9．（3分）规定：符号“△”为选择两数中较大数，“☉”为选择两数中较小数．例如：3△5=5， 3☉5=3．那么，[（7☉3）△5]×[5☉
（3△7）]= 25 ．

考点： 定义新运算．
分析： 先看第一种新的运算即“△”的运算意义是什么；再看第二种 新的运算即“☉”的运算意义是什么，根据此两个符
号的运算意义，运用到所求的式子，即可得到答案．
解答： 解：[（7☉3）△5]×[5☉（3△7）]，
=[3△5]×[5☉7]，
=5×5，
=25；
故答案为：25．
点评： 解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法，来计算要求的题目．

10．（3分）假设式子aa×b表示经过计算后，a的值变为原来a与b的值的积，而式子ba﹣b表 示经过计算后，b
####
的值为原来a与b的值的差．设开始时a=2，b=2，依次进行计 算aa×b，ba﹣b，aa×b，ba﹣b，则计算结束时，a
与b的和是 14 ．

考点： 定义新运算．
##
分析：
先看第一种新的运算即“aa×b”的 运算意义是什么；再看第二种新的运算即“ba﹣b”的运算意义是什么，根据
此两个新的运算方法，运 用到所求的式子，即可得到答案．
解答： 解：第1次计算后，a=2×2=4；
第2次计算后，b=4﹣2=2；
第3次计算后，a=4×2=8；
第4次计算后，b=8﹣2=6．
最后是：a+b=8+6=14．
故答案为：14．
点评： 解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法，来计算要求的题目．

二、解答题（共4小题，满分0分）
##

11．设a，b，c，d是自然数，对每两个数组（a，b），（c，d），我们定义运算※如下：（a，b） ※（c，d）=（a+c，b+d）；
又定义运算△如下：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，a d+bc）．试计算（（1，2）※（3，6））△（（5，4）※（1，3））．

考点： 定义新运算．
分析： 先看第一种新的运算即※的运算意义是什么；再看第二种新的运算即△的运算意 义是什么，根据此两个符号
的运算意义，运用到所求的式子，即可得到答案．
解答： 解：因为，（1，2）※（3，6）=（1+3，2+6）=（4，8），
（5，4）※（1，3）=（5+1，4+3）=（6，7）．
所以（（1，2）※（3，6））△（（5，4）※（1，3）），
=（4，8）△（6，7），
=（4×6+8×7，4×7+8×6），
=（80，76）．
故答案为：（80，76）．
点评： 解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法，来计算要求的题目．

12．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示羊△羊=羊； 羊△狼=狼；狼△
羊=狼；狼△狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼 与羊在一起便只剩下狼了．
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示为羊 ☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=
狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是 狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走
而只剩下羊了．
对羊或狼，可用上面 规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算．运算的结果是羊，或是狼．求
下式的 结果：
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）．

考点： 定义新运算．
分析： 先看第一种新的运算即△的运算意义是什么；再看第二种新的运算即☆的运算意义是什么，根据 此两个符号
的运算意义，运用到所求的式子，即可得到答案．
解答： 解：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）
=羊△羊☆羊△狼
=羊☆羊△狼
=羊△狼=狼．
故答案为：狼．
点评： 解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算符号来解答要求的问题．

13．64=2×2×2×2×2×2表示成f（64）=6；243=3×3×3×3×3表示成g（ 243）=5．
试求下列的值：
（1）f（128）= 7 ；
（2）f（16）=g 81 ；
（3）f （8） +g（27）=6；
（4）如果x，y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：f（x•y）=f（x）+f（y）．

考点： 定义新运算．
分析： 先看第一种新的运算即“f”的运算意义是什么； 再看第二种新的运算即“g”的运算意义是什么，根据此两个符
号的运算意义，运用到所求的式子，即可 得到答案．
7
解答：
解：（1）f（128）=f（2）=7；
44
（2）f（16）=f（2）=4=g（3）=g（81）；
33
（3）因为6﹣g（27）=6﹣g（3）=6﹣3=3=f（2）=f（8），
所以f（8）+g（27）=6；
mn
（4）令x=2，y=2，

则f（x）=m，f（y）
=n．f（x•y）
mn
=f（2•2）
m+n
=f（2）
=m+n
=f（x）+f（y）．
故答案为：7，81，（8）．
点评： 解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法，来分别计算要求的题目．

14．两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，比如5☉2= 1，7☉25=4，6☉8=2．
（1）求1991☉2000，（5☉19）☉19，（19☉5）☉5；
（2）已知11☉x=2，而x小于20，求x；
（3）已知（19☉x）☉19=5，而x小于50，求x．

考点： 定义新运算．
分析： 根据题意，可知两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a ☉b，这是一种新的计数方法，
再根据我们学习的有关有余数的除法就可以求出结果．
解答： 解：（1）因为 2000÷1999=1…2
所以1991☉2000=9；
由19÷5=3…4 则5☉19=4，可得（5☉19）☉19=4☉19，又因19÷4=4…3，故，（5☉19）☉19=3；
由19÷5=3…4 则19☉5=4，可得（19☉5）☉5=4☉5，又因5÷4=1…1，故，（19☉5）☉5=1．
（2）我们不知道11和x哪个大（根据题意可知，x≠11），即哪个作除数，哪个作被除数，这样就要分两 种
情况讨论．
1）当x＜11，这时x除11余2，11﹣2=9，可知x整除9．因为x应 大于余数2，所以x=3或9．
2）x＞11，这时11除x余2，这说明x是11的倍数加2，但x ＜20，所以x=11+2=13．
因此（2）的解为x=3，9，13．
（3）比（2）又要复杂一些，但我们可以用同样的方法来解．
用y表示19☉x，不管19作除数还是被除数，19☉x都比19小，所以y应小于19．
y☉19=5，说明y除19余5，19﹣5=14，可知y整除14，由于y＞5，所以y=7或14．
当y=7时，分两种情况解19☉x=7．
1）x＜19，此时x除19余7，19﹣7=12，x整除12．由于x＞7，所以x=12． 2）x＞19，此时19除x余7，x是19的倍数加7，由于x＜50，所以x=19+7=26或x=1 9×2+7=45．
当y=14时，分两种情况解19☉x=14．
1）x＜19，这时x除19余14，19﹣14=5，x整除5，但x大于14，这是不可能的． < br>2）x＞19，此时19除x余14，这就表明x是19的倍数加14，因为x＜50，所以x=19+1 4=33．
因此，（19☉x）☉19=5有四个解，x=12，26，33，45．
点评： 解答这类问题的关键是理解新运算所表示的意义，严格按规定的计算法则代入计数，把定义新符 号运算转
化为熟悉的四则运算．