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经典小学奥数
六年综合奥数题 工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满 一池水，分
别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排
一池水要10小时，若水池没水，同 时打开甲
乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问
水池注满还是要多少小时？
解： 120+116＝980表示甲乙的工作效
率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时
注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20 天完
成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由
于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降< br>低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙
队工作效率只有原来的十分之九。现在计划
1 6天修完这条水渠，且要求两队合作的天数
尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意 得，甲的工效为120，乙的工效
题80道及解析
为130，甲乙的合作工效为
120 *45+130*910＝7100，可知甲乙合
作工效>甲的工效>乙的工效。
又因为 ，要求“两队合作的天数尽可能
少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内
实在来不及的才应 该让甲乙合作完成。只有
这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）
天
120*（16-x）+7100*x＝1 x＝10
答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，
乙、丙合 做需5小时完成。现在先请甲、丙
合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件 工作要多少小时？
解： 由题意知，14表示甲乙合作1小时的
工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、
乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需
做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、

丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的
工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小
时。
答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，
第 三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，
那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，
第二天甲 做，第三天乙做，第四天甲做，这
样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多
半天。已知乙单独 做这项工程需17天完成，
甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲
×0.5＝1
（1甲表示甲的工作 效率、1乙表示乙的工
作效率，最后结束必须如上所示，否则第二
种做法就不比第一种多0.5 天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量
都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师 傅完
成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成
了任务时，徒弟完成了45这批零件共有多
少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了12，第二
次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟
第二次后 共完成了45，可以推算出第一次
完成了45的一半是25，刚好是120个。
6．一批 树苗，如果分给男女生栽，平均每
人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽
10棵。单份给男 生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵
7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，
乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现

在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打 开乙,
丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水
是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将
水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满
池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合
作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，
也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。
8．某工程队需要在规定日期内完成，若由
甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要
超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二
天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规
定日期 为几天？
答案为6天
解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三
天完成 ，若先由甲乙合作二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，
也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）
＝1
解得x＝6
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要
2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，
若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄
灭， 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：
停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程 1-1120*x＝（1-160*x）
*2 解得x＝40
二．鸡兔同笼问题

1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少
28条,问鸡与兔各有几只?
解： 4*100＝400，400-0＝400 假设都是
兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚
为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数
只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只
鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变
为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0
只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只
（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在
的相差数为396-2＝394，相差数少 了
400-394＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为
假设 中的100只兔子中有62只改为了鸡，所
以脚的相差数从400改为28，一共改了372
只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
解：首先研究能被 9整除的数的特点：如果
各个数位上的数字之和能被9整除，那么这
个数也能被9整除；如果各 个位数字之和不
能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9
得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整
除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之
和可以被9整除
10~19， 20~29……90~99这些数中十位上的
数字都出现了10次，那么十位上的数字之和
就是 10+20+30+……+90=450 它有能被9整
除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为
4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位
上的数字之和可以被9整除；
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是
999，也能整除；
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然
数。求A+B分之A-B的最小值...
解： (A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1
- 2 * B(A+B)

前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，
此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最
大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB
= 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 +
C16的近似值市6.4,那么它的准确值是多
少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非 0
自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
102，也有可能是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375
4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中
十位数字比个位数字大1.如果把这个三位< br>数的百位数字与个位数字对调,得到一个新
的三位数,则新的三位数比原三位数大198,
求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为
16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100
（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5． 一个两位数,在它的前面写上3,所组成
的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的
两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把一个两位数的个位数字与十位数字交
换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好
是某自然 数的平方,这个和是多少?

答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为
10b+a
和是12,十位数字与 千位数字的和是9,如果
个位数字与百位数字互换,千位数字与十位
数字互换,新数就比原数增 加2376,求原数.
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝
11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移
到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为
2abcde （字母上无法加横线，请将整个看成
一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是
10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字与百位数字的
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且
d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知
abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd 2376 cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；
5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d
＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定
十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；
3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，
a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963

再 取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到
竖式的十位合适的数，所以不成立。
9． 有一个两位数,如果用它去除以个位数
字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以
个位数字与 十位数字之和,则商为5余数为3,
求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在 是上午的10点21分,那么在经
过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时
间 将是几点几分?
答案是10：20
解： （28799……9（20个9）+1 ）6024
整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10：21，因为事先计算时加了1分钟 ，所以
现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的
夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解： 根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列
有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但 是
因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5
个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24
种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，
也就是说每一对夫妻均有2种排 法，总共又
2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可
能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解： 5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有10 0种赤贫.其中含钙的有68种,含铁

的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类由（ 2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.
已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生
至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一
题的学生中,解出第二题的人数是解出第三
题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比
余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)
只解出一道题的学生中,有一半没有解出第
一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道
题” 可知答题情况分为7类：只答第1题，只
答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答
第1、 3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、
a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123
＝25…①
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整
数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、
14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+ a123＝7，a23
＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条
件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、 3、、
4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、
79%、74%、85%。如果做对 三道或三道以上
为合格，那么这次考试的合格率至少是多

少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错
的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人
数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全
对的）
及格率至少为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的
手套， 颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少
要摸出几只手套才能保证有3副同色的？
解：可以把 四种不同的颜色看成是4个抽屉，
把手套看成是元素，要保证有一副同色的，
就是1个抽屉里至 少有2只手套，根据抽屉原
理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色
的后4个抽屉中还剩3 只手套。再根据抽屉原
理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副
手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色
的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只
手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，
又能保证有1副是同色的。以此类推，要保
证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9
（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同
色的。
2．有四种 颜色的积木若干，每人可任取1-2
件，至少有几个人去取，才能保证有3人能
取得完全一样？ 答案为21
解： 每人取1件时有4种不同的取法,每人
取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一
样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全

一样.
3．某盒 子内装50只球，其中10只是红色，
10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其
余是白 球和黑球，为了确保取出的球中至少
包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中
取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑
球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，
那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就
是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就
是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就
是：
6*5+1+1＝32
4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、
15、3 1如果每次从其中的三堆同时各取出1
个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过
若干次操作， 使得这四堆石子的个数都相同?
（如果能请说明具体操作，不能则要说明理
由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和
放入3个也都 是奇数，奇数加减若干次奇数
后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14
个）。
七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离
狗跑7步，现在 狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马
每步长为7x米，则狗每步长为4x米。 < br>根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一
时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝ 20
米。

可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：
20
根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与
人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
马相差的路程是30米，他们相差的 份数是
21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就
是 30÷（21-20）×21＝630米
2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几
小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车
行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，
求 a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车 行完全程
要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行
了8份（总路程为18份），两车相差 2份。又
因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的
路程差是（40+40）千米。所以算式 是（40+40）
÷（10-8）×（10+8）＝720千米。
3．在一个600米 的环形跑道上，兄两人同
时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每
隔12分钟相遇一次，若两 个人速度不变，还
是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时
针方向跑，则两人每隔4分钟相遇 一次，两
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方
法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法
是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间
4．慢车车长125米，车速每秒行1 7米，快
车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前
面行驶，快车从后面追上来，那么，快 车从
追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少
时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车 的车尾到
完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及
慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个< br>车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人
同时同 向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，
乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第
一次相遇在 起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路
程
2500÷300＝8圈 ……100米，表示甲追及总
路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的
前方100米处相 遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车
汽笛声后，在经过57秒火车经过她前 面，已
知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),
声音每秒传340米，求火车的速度（ 得出保
留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理解：人在听到声音后5 7秒才车到，说
明人听到声音时车已经从发声音的地方行
出1360÷340＝4秒的路程。也 就是1360米一
共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只 奔
跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，
它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的< br>动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3
步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解： 由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9
步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59
米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3
步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑
59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速
度比是2a：53a＝6：5，也就是说当猎犬跑
60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所
用时间的比是4:5,如果 甲乙二人分别同时
从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相
遇后各自继续前行,这样，乙 到达A地比甲到
达B地要晚多少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1

x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米
10．一船以同样速度往返于两地之间，它< br>顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度
是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
9．甲乙两车同时从AB两地相对开 出。第一
次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发
点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离
是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时
行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇
时一共行了1个 AB的路程，从开始到第二次
相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算
出甲、乙各自共所行 的路程分别是第一次相
遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路
程是120*3＝360千米 ，从线段图可以看出，
甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米
从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需< br>要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时
出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。< br>如果二人分别至B地，A地后都立即折回。第
2÷148＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，
快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的
七分 之四，已知慢车行完全程需要8小时，
求甲乙两地的路程。
解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲
乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米
12 ．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之
2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之
2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时
12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相
距多少千米?
解： 把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30

返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25 ÷30）-
（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×
（23÷30）175
路程 ：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×
〔12×（23÷30）175〕=37.5（千 米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓
了两条 ,正准备吃,有一个人请求跟他们一
起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示
感谢,过路人留 下10元,甲、乙怎么分？快快
快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可
以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已
经出资3*6＝18元，“乙 钓了两条”，相当
于乙吃之前已经出资2*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。
2．一种商品， 今年的成本比去年增加了10
分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润
下降了5分之2，那么 ，今年这种商品的成本
占售价的几分之几？
答案2225
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份，利润看成5份，
则今年的成本 提高110，就是22份，利润下
降了25，今年的利润只有3份。增加的成本
2份刚好是下降 利润的2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的2225。
3．甲乙两车分别 从A.B两地出发,相向而行,
出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的
速度减少20 %,乙的速度增加20%,这样,当甲
到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两
地相 距多少千米?
解：
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4

现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%， 要使体积
增加13，现在的高和原来的高度比是多
少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原
来的34，那么半径也是原来的34，则面积是原来的916。
根据“体积增加13”，可知体积是原来的
43。
体积÷底面积＝高
现在的高是43÷916＝6427，也就是说现
在的高是原来的高的6427
或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：
27
5．某市场运来香蕉、苹 果、橘子和梨四种
水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨
共45吨。橘子正好占总数的1 3分之2。一共
运来水果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨 香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13
份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15
份
过桥问题（1）
1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长
6700米，这列火车长140米，火车每分钟行< br>400米，这列火车通过长江大桥需要多少分
钟？
分析：这道题求的是通过时间。 根据数量关
系式，我们知道要想求通过时间，就要知道
路程和速度。路程是用桥长加上车长。火 车
的速度是已知条件。
总路程： （米） 通过时间： （分钟） 答：
这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。
2. 一列火车长200米，全车通过长700米的
桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？
分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。
我们知道，要想求车速，我们就要知道路程

< br>和通过时间这两个条件。可以用已知条件桥
长和车长求出路程，通过时间也是已知条
件， 所以车速可以很方便求出。
总路程： （米） 火车速度： （米） 答：
这列火车每秒行30米。
3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15
米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，
山洞长多少米？
分析与解答：火车过山洞和 火车过桥的思路
是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上
桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这 道题求
山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须
知道总路程和车长，车长是已知条件，那么< br>我们就要利用题中所给的车速和通过时间
求出总路程。
总路程： 山洞长： （米） 答：这个山
洞长60米。
和倍问题
1. 秦奋和妈妈的年龄加 在一起是40岁，妈
妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈
各是多少岁？
我 们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄
是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和
就相当于秦 奋年龄的5倍是40岁，也就是（4
＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求
1倍是多少 ，接着再求4倍是多少？
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5
（倍）
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁
综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁
为了保证此题的正确，验证
（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）
计算结果符合条件，所以解题正确。
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞
行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙
的2倍，求它们的速度各是多少？
已知 两架飞机3小时共飞行3600千米，就可
以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是
两架飞机 的速度和。看图可知，这个速度和
相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出
乙飞机的速度，再 根据乙飞机的速度求出甲
飞机的速度。
甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400

千米。
3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，
哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥
的2倍 ？
思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目
中不变的数量是什么？
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需
要知道什么条件？
（3）如果把哥哥 剩下的课外书看作1倍，那
么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外
书可看作是哥哥剩下的课 外书的几倍？
思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该
给弟弟多少本课外书。根据条件 需要先求出
哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩
下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课 外
书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍，也就
是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课
外书的3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终
是不变的数量。
（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝
45。
（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩
共有的倍数是2＋1＝3。
（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝
15。
（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝
10。
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从
甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲 库
存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存
粮多少吨？
根据甲乙两个粮库原来 共存粮170吨，后来
从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出
这时甲、乙两库共存粮多 少吨。根据“这时
甲库存粮是乙库存粮的2倍”，如果这时把
乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库 所存粮就
相当于乙存粮的3倍。于是求出这时乙库存
粮多少吨，进而可求出乙库原来存粮多少< br>吨。最后就可求出甲库原来存粮多少吨。
甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。
列方程组解应用题（一）
1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身
16个， 或制盒底43个，一个盒身和两个盒底

配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒
底正好配套？
依据题意可知这个题有两个 未知量，一个是
制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张
数，这样就可以用两个未知数表示， 要求出
这两个未知数，就要从题目中找出两个等量
关系，列出两个方程，组在一起，就是方程< br>组。
两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张
数=铁皮总张数
B制出的盒身数×2=制出的盒底数
用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。
奇数与偶数（一）
其实，在日常生活中同学们就已经接触了很
多的奇数、偶数。
凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数
又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，
大于零的奇数又叫单数。
因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子
来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数
除以2其余数都是1，所以通常用式子 来表
示奇数（这里 是整数）。
奇数和偶数有许多性质，常用的有：
性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。
例如：8+4=12，8-4=4等。
两个奇数的和或差也是偶数。
例如：9+3=12，9-3=6等。
奇数与偶数的和或差是奇数。
例如：9+4=13，9-4=5等。
单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶
数，几个偶数的和仍是偶数。
性质2 奇数与奇数的积是奇数。
偶数与整数的积是偶数。
性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个
偶数。
1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转
其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，
使5张牌的画面都向下吗？
同学们可 以试验一下，只有将一张牌翻动奇
数次，才能使它的画面由向上变为向下。要
想使5张牌的画面 都向下，那么每张牌都要
翻动奇数次。

5个奇数的和是奇数，所以翻动的 总张数为
奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明
每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张
数都是偶数。
所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画
面都向下。
2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑
色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子 ，
李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果
两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子
放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑
子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩
下一个 棋子，这个棋子是什么颜色的？
不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，
他总会把一个 棋子放入甲盒。所以他每拿一
次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他
拿180+181-1 =360次后，甲盒里只剩下一个
棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不
变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑
子数 都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶
数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应
是奇数，而 不大于1的奇数只有1，所以甲盒
里剩下的一个棋子应该是黑子。
奥赛专题 -- 称球问题
例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知
其中三堆是正品、一堆是次品， 正品球每个
重10克，次品球每个重11克，请你用天平只
称一次，把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各
取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平< br>上去称，总重量比100克多几克，第几堆就
是次品球。
2 有27个外表上一样 的球，其中只有一个是
次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次
（不用砝码），把次品球找出 来。
解 ：第一次：把27个球分为三堆，每堆9
个，取其中两堆分别放在天平的两个盘 上。
若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平
平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成
三堆，每堆3个球，按 上法称其中两堆，又
可找出次品在其中较轻的那一堆。

第三次：从第二次 找出的较轻的一堆3个球
中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻
的就是次品，若天平平衡， 则剩下一个未称
的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个
是次品，请你用天平只称三次，把次品找出
来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，
将四组球及其重量分别用A、B、C、D表 示。
把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，
则
（1）若A=B，则A、B 中都是正品，再称B、C。
如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，
则次品在C中且次 品比正品轻，再在C中取出
2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B
＞C的情况也可得出 结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、
C，则有B=C，或B＜C（B ＞C不可能，为什么？）
如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在
A中取出2个球来称， 便可得出结论；如B＜C，
仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析
得出结论。
奥赛专题 -- 抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少
有2名同学同一个月过生日。为什么？ 【分析】每年里共有12个月，任何一个人的
生日，一定在其中的某一个月。如果把这12
个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日
看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽
屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，
也就是说，至少有2名同学在同一个月过生
日。
【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个
数的差是3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规
律：如果两个自然数除以3的余数相同，那
么这两个自 然数的差是3的倍数。而任何一
个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，
或者是2，根据 这三种情况，可以把自然数
分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个
“抽屉”。我们把4个 数看作“苹果”，根
据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个
数。换句话说，4个自然数分成 3类，至少有

两个是同一类。既然是同一类，那么这两个
数被3除的余数就一定 相同。所以，任意4
个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍
数。
【例3】有 规格尺寸相同的5种颜色的袜子各
15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中
至少取出多少只 就能保证有3双袜子（袜子
无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9
只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，
只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4
只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原
理 1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，
又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10
只袜子，就一定会配成3双。
思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少
应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如
何？
【例4】一个布袋中有35个同 样大小的木球，
其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外
还有3个蓝色球、2个绿色球，试 问一次至少
取出多少个球，才能保证取出的球中至少有
4个是同一颜色的球？
【分析与解】从最“不利”的取出情况入
手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3
个是蓝色球、2个绿色球。
接下来， 把白、黄、红三色看作三个抽屉，
由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，
根据抽屉原理2， 只要取出的球数多于（4-1）
×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保
证取出的球至少 有4个是同一抽屉（同一颜
色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合
要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是
两两同色，情形又如何？
当我们遇到 “判别具有某种事物的性质有
没有，至少有几个”这样的问题时，想到它
——抽屉原理，这是你 的一条“决胜”之

路。
奥赛专题 -- 还原问题
【例1 】某人去银行取款，第一次取了存款
的一半多50元，第二次取了余下的一半多
100元。这时 他的存折上还剩1250元。他原
有存款多少元？
【分析】从上面那个“重新包装”的事 例
中，我们应受到启发：要想还原，就得反过
来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多
100元”可知，“余下的一半少100元”是
1250元，从而“余下的一半”是
1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是：
1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原
有存款”。综合算式是：
[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是：已 知对某个数按照
一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定
数量的物品增加或减少的结果，要求 最初
（运算前或增减变化前）的数量。解还原问
题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运算。
【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟
抢在前面 ，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看
弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉
得自己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好
给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最
初弟弟准备挑多少块？
【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑
多少块。只要解一个 “和差问题”就知道：
哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑
“26-14=12”块 。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”
是指：加法用减法还原，减法用加法还原，
乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原
来是加（减）几，还原时应为减（加）几，
原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）
以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会 列
表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又
便于验算。
奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题

例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各
几只？
[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有
4×46=184只脚，这和已知的128只脚 相比多
了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一
只兔，就要减少4-2=2（只） 脚.那么，46
只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差
数就没有了呢？显然，56÷2=2 8，只要用28
只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数
就是28，兔的只数是46-28 =18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多
80只，问鸡与兔各多少只？
[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，
没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是
2×100=2 00（只）这时兔的脚数为0，鸡脚
比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80
只.因此， 鸡脚与兔脚的差数比已知多了
（200-80）=120（只），这是因为把其中的
兔换成了鸡 .每把一只兔换成鸡，鸡的脚数
将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚
与兔脚的差数增加 （2+4）=6（只），所以换
成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡
（100-20） =80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班
比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各
有多少 人？
[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数
同样多，那么，要求每班有多少人就 很容易
了.由此得到启示，是否可以通过假设三个
班人数同样多来分析求解。
结 合下图可以想，假设二班、三班人数和一

班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数
多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二
班、三班人数和一班人数同样多，三个班总
人数应该是多少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、
49人和 42人。
[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样
多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该
是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49
（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、
49人和42人。
例4 刘老师带 了41名同学去北海公园划船，
共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐
4人，问大船、 小船各租几条？
[分析] 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应
该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-
（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的
4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人
是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动 物共18只，共
有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6
条腿，两对翅膀；蝉6条腿， 一对翅膀），求
蜻蜓有多少只？
[分析] 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的
问 题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，
只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求
出蜘蛛 的只数.我们假设三种动物都是6条
腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差

118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛
的腿数而造成的.所以，应有（118- 108）÷
（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13
（只）便是蜻蜓和蝉的只数 .再从翅膀数入
手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13
（对），比实际数少 20 -13＝7（对），这是
由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀
计算所差，这样蜻蜓只数可 求7÷（2-1）=7
（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有
多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅
膀？1×13=13（对）
⑤蜻蜒多少只？
（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.
牛吃草问题
1． 一个牧场，草每天匀速生长，每头牛
每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃
完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现
有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的
牛再吃2天就将草吃完。问没有卖掉4头牛之前，这一群牛一共有多少头？
17×30=510（头） 19×24=456（头）
（510-456）÷（30-24）=9（头）
30×17-30×9=240（头）（6+2）× 9=72（头）
240+72+2×4=320（头）320÷（6+2）=40
（头）
2． 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。
如果打开5个水龙头，2小时半就把水池中的< br>水放光；如果打开8个水龙头，1小时半就把
池中的水放光，现打开13个水龙头，问要多
少时间才能把水池中的水放光（每个水龙头
每小时放走的水量相同）？
3． 甲、乙 、丙3个仓库，各存放着同样数
量的化肥，甲仓库用皮带输送机一台和12
个工人，需要5小时 才能把甲仓库搬空；乙
仓库用一台皮带输送机和28个工人，需要3
小时才能把乙仓库搬空；丙 仓库有两台皮带
输送机，如果要求2小时把丙仓库搬空，同

时还需要多少工人（ 皮带输送机的功效相
同，每个工人每小时的搬运量相同，皮带输
送机与工人同时往处搬运化肥） ？
1×5=5（台） 12×5=60（人）28×3=84（人）
1×3=3（台）8 4-60=24（人）24÷（5-3）
=12（人）1×5×12=60（人） 60+12×5=120
（人）2×2×12=48（人）（120-48）÷2=36
（人）
4． 快、中、慢3辆车同时从同一地点出
发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车的小偷，这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟，
追上小偷，现在知道快车的速度是每小时24< br>千米，中车的速度是每小时20千米，问慢车
的速度是多少？。
奥赛专题 -- 列车过桥问题
1、一列长300米的火车以每分1080米的速度
通过一座大桥。从车头 开上桥到车尾离开桥
一共需3分。这座大桥长多少米？
2、某人步行的速度为每秒2米. 一列火车从
后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90
米.求火车的速度。
3、.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑
时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，
其 中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟
相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？
4、一 列长300米的火车，以每分1080米的速
度通过一座长为940米的在桥，从车头开上
桥到 车尾离开桥需要多少分钟？
5、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同
样的速度穿 过380米的山洞需30秒钟。求这
列火车的速度是多少米秒，全长是多少
米？
6、铁路沿线的电杆间隔是40米，某旅客在
运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到
第51 根电线杆正好是2分钟，火车每小时行
多少千米。
7、一个人站在铁道旁,听见行近来的 火车汽
笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知
火车汽笛时离他1360米;(轨道是笔直 的)声
速是每秒钟340米,求火车的速度?(得数保
留整数)
一列450米长的货车，以每秒12米的速度通
过一座570米长的铁桥，需要几秒钟？
8、现有两列火车同时同方向齐头行进，行

12秒后快车超过慢车。快车每秒行 18米，慢
车每秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同
时同方向行进，则9秒后快车超过慢车 ，求
两列火车的车身长。
9、李明和张忆在300米的环形跑道上练习
跑步， 李明每秒跑5米，张忆每秒跑3米，两
人同时从起跑点出发同向而行，问出发后李
明第一次追上 张忆时，张忆跑了多少米？
10、速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同
一地点出发，沿 同一公路追赶前面一个骑车
人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分
钟追上骑车人，现在 知道快车每小时24千
米，中速车每小时20千米，那么慢车每小时
行多少千米？（选做题）
11、周长为400米的圆形跑道上，有相距100
米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B 两点
同时相背而跑，两人相遇后，乙立刻转身与
甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.< br>如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那
么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算
起 ）？
奥赛专题 -- 平均数问题
1 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、
英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数
学两科 的平均分是91.5分.语文、英语两科
的平均分是84分.政治、英语两科的平均分
是86 分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这
次考试的各科成绩应是多少分？
2 果品店把2 千克酥糖，3千克水果糖，5千
克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40
元，水果糖每千 克4.20元，奶糖每千克7.20
元.问：什锦糖每千克多少元？
3甲乙两块棉田，平 均亩产籽棉185斤.甲棉
田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均
亩产籽棉170斤， 乙棉田有多少亩？
4已知八个连续奇数的和是144，求这八个连
续奇数。新华小学订了 若干张《中国少年
报》，如果三张三张地数，余数为1张；五张
五张地数，余数为2张；七张七 张地数，余
数为2张。新华小学订了多少张《中国年呢？
商店里三天共卖出1026米布。第 二天卖出的
是第一天的2倍；第三天卖出的是第二天的3
倍。求三天各卖出多少米布？
1.分数的四则混和运算：求13+115
+135+ 163 +199 +1143

简便方法：
13=1×(13)=12(1-13)
115 =(13)×(15)=12(13-15)
135=（15)×(17)=12(15-17)
163 =(17)×(19)=12(17-19)
199 =(19)×(111)=12(19-111)
1143=(111)×(113)=12(111-113)
所以13+115 +135+ 163 +199
+1143=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+12(17-19)+12(19-111)+12
(111-113)
提公因式12得
12(1-13+13-15+15-17+17-19+19
-111+1 11-113)
可观察到式子中间部分都抵消，最后只剩下
12(1-113)=613
也就是13+115 +135+ 163 +199
+1143=613.
概念题型
2.八分之a、十分之b、十五分之c是三个最
简分数，已知三个分数的积是二 分之一，求
这三个分数各是多少？
a8×b10×c15=abc1200
因为它们的积是12 所以abc=600
把600分解质因数600=2×2×5×3×2×5
又因为它们的分母分别是8、10、15 而且是
最简分数，它们的分子里依次不能有2、2
和5、3和5
因此，只能是5×5=25，3，2×2×2=8、
所以这三个分数分别是：258、310、815
分类讨论题型：
3.两根同样长的绳子,第一根剪下五分之三
米,第二根剪下五分之三,哪根剩下的多?
当绳子大于一米时，第一根剩下的多，
当绳子等于一米时，两根剩下的一样多，
当绳子小于一米时，第二根剩下的多
公约公倍和同余
1.今天是星期六，再过1000天是星期几？
2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a 和b
除以13的余数分别是5和9，求a+b，a-b，
a×b，a2-b2各自除以13的余 数。
3.2100除以一个两位数得到的余数是56，

求这个两位数。
4.被除数、除数、商与余数之和是903，已
知除数是35，余数是2，求被除数。
5.用一个整数去除345和543所得的余数相
同，且商相差9，求这个数。
6.有一个整数，用它去除312，231，123
得到的三个余数之和是41，求这个数。
1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋
友的人数是115-7=108，148-4=1 44，74-2=72
的最大公约数．所以，这个大班的小朋友最
多有36人．
2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱
长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最
小 公倍数是126．所以，至少需要这种长方
体木块 126×126×126÷（9×6×7）
=5292(块)
3、答：此数为28。方法同例题。
4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12
与40，或20与24。方法同例题。
5答：所求的两个数为15与150，或30与135，
或45与120，或60与105，或 75与90。方法同
例题。
7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11，
1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。
题意不难看出，这个大班 小朋友的人数是
115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公
约数．所 以，这个大班的小朋友最多有36
人．
2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱
长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最
小公倍数是126．所以，至少需要这种长方
体木块 126×126×126÷（9×6×7）
=5292(块)
3．答：此数为28。方法同例题。
4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12
与40，或20与24。方法同例题。
5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，
或45与120，或60与105， 或75与90。方法同
例题。
答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11，
1925÷5=385 ； 1925÷11=175
7．幼儿园有糖115颗、饼干 148块、桔子74
个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，桔子多出2个 ．这个大班的小

朋友最多有几个人？
8．用长是9厘米、宽是6厘米、 高是7厘米
的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这
种长方体木块多少块．
9．已知某数与24的最大公约数为4，最小
公倍数为168，求此数。
10．已知两个自然数的最大公约数为4，最
小公倍数为120，求这两个数。
11．已知两个自然数的和为165，它们的最
大公约数为15，求这两个数。
选做题
12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数
依不同的次序排列，可以得到36288 0个不同
的九位数，求所有这些九位数的最大公约
数．
13．两个整数的最小公 倍数是1925，这两个
整数分别除以他们的最大公约数，得到两个
商的和是16，请写出这两 个整数（第七届华
杯赛试题）。
（必做）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应
用
发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅
[376]次
1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，
使等式成立？
9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003， 一
个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）
（c－3）是奇数还是偶数。
3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式
组：
a×b×c×d-a=1983
a×b×c×d-b=1993
a×b×c×d-c=2003
a×b×c×d-d=2013
试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否
存在。
4.有一串数，最前面的四个数依 次是1、9、
8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面
相邻四个数之和的个位数字.问：在 这一串
数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
5.任意改变某一个三位数的各 位数字的顺
序得到一个新数.试证新数与原数之和不能
等于999。

最大公约数和最小公倍数(闫老师班)
发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅
答案：
1.解：设每小时60千米的速度行驶了x小时。
[154]次
1.甲、 乙两地相距465千米，一辆汽车从甲
地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一
段后，每小 时加速15千米，共用了7小时到
达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小
时？
2.笼中装有鸡和兔若干只，共100只脚，若
将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中
原有兔、鸡各多少只？
3.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。
蝉有6条腿和1对 翅膀。现在这三种小虫共18
只，有118条腿和20对翅膀，每种小虫各几
只？
4.学雷锋活动中，同学们共做好事240件，
大同学每人做好事8件，小同学每人做好事3
件，他们平均每人做好事6件。参加这次活
动的小同学有多少人？
5.某班42个同学参 加植树，男生平均每人种
3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生
多种56棵，男、女生各 有多少人？
60x+(60+15)(7-x)=465
60x+525-75x=465
525-15x=465
15x=60
x=4
答：每小时60千米的速度行驶了4小时。
2.解：兔换成鸡，每只就减少了2只脚。
(100-92)2=4只，
兔子有4只。
(100-4*4)2=42只
答：兔子有4只，鸡有42只。
3.解：设蜘蛛18只，蜻蜓y只，蝉z只。
三种小虫共18只，得：
x+y+z=18……a式
有118条腿，得：
8x+6y+6z=118……b式
有20对翅膀，得：
2y+z=20……c式

将b式-6*a式，得：
8x+6y+6z-6(x+y+z)=118-6*18
2x=10
x=5
蜘蛛有5只，
则蜻蜓和蝉共有18-5=13只。
再将z化为(13-y)只。
再代入c式，得：
2y+13-y=20
y=7
蜻蜓有7只。
蝉有18-5-7=6只。
答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。
4.解：同学们共做好事240件,他们平均每
人做好事6件,
说明他们共有2406=40人
设大同学有x人，小同学有(40-x)人。
8x+3(40-x)=240
8x+120-3x=240
5x+120=240
5x=120
x=24
40-x=16
答：大同学有24人，小同学有16人。
5.解：设男生x人，女生(42-x)人。
3x-2(42-x)=56
3x+2x-84=56
5x=140
x=28
42-x=14
答：男生28人，女生14人
1．答：根据题意不难看 出，这个大班小朋
友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72
的最 大公约数．所以，这个大班的小朋友最
多有36人．
2．答：与上题类似，依题意，正方 体的棱
长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最
小公倍数是126．所以，至少需要这 种长方
体木块 126×126×126÷（9×6×7）
=5292(块)
3、答：此数为28。方法同例题。

4、答：这两个数为4与120，或 8与60，或12
与40，或20与24。方法同例题。
5答：所求的两个数为15与1 50，或30与135，
或45与120，或60与105，或75与90。方法同
例题。
7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11，
1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。
题意不难看出，这个大班小朋友的人数是
115-7= 108，148-4=144，74-2=72的最大公
约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．
2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱
长应是9，6，7的最小公倍数，9 ，6，7的最
小公倍数是126．所以，至少需要这种长方
体木块 126×126×126÷（9×6×7）
=5292(块)
3．答：此数为28。方法同例题。
4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12
与40，或20与24。方法同例题。
5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，
或45与120，或60与105， 或75与90。方法同
例题。
答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11，
1925÷5=385 ； 1925÷11=175
7．幼儿园有糖115颗、饼 干148块、桔子
74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7
颗，饼干多出4块，桔子多出2 个．这个大班
的小朋友最多有几个人？
8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的< br>长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种
长方体木块多少块．
9．已知某数与24的最大公约数为4，最小
公倍数为168，求此数。
10．已知两个自然数的最大公约数为4，最
小公倍数为120，求这两个数。
11．已知两个自然数的和为165，它们的最
大公约数为15，求这两个数。
选做题
12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数
依不同的次序排列，可以得到36288 0个不同
的九位数，求所有这些九位数的最大公约
数．
13．两个整数的最小公 倍数是1925，这两个
整数分别除以他们的最大公约数，得到两个

商的和是1 6，请写出这两个整数（第七届华
杯赛试题）。
最大公约数和最小公倍数(闫老师班)
发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅
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一、填空
1、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果
每束花里红花的朵数相 同，白花的朵数也相
同，每束花里最少有 朵花？
2、7月6日，宝珠从避暑山庄打电话 向拴柱
问好，贾六来看望拴柱，喜子在打扫房间。
如果喜子每隔3天打扫一次，宝珠每隔6天打
一次电话，贾六每隔5天看望一次，至少经
过
天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发
生。
3、一筐梨，按每份两个梨分多 1个，每份3
个梨分多2个，每份5个梨分多4个，则筐里
至少有 个梨。
二、解答题
1、 为了搞试验，将一块长为75米，宽为60
米的长方形土地分 为面积相等的小正方形
土地，那么小正方形土地的面积最大是多少
平方米？
2、 两个数的最大公约数是18，最小公倍
数是180，两个数相差54，求这两个数各是
多少？
3、有一种新型的电子钟，每到正点和半点
都响一次铃，每过9分钟亮一次灯，如果中
午12点时，它既响了铃，又亮了灯，那么下
一次既响铃又亮灯要到什么时间？
回答者： 知道100℃ - 千总 四级 1-14
18:49
周期问题
1.有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13绿
花的顺序排列着，最后一朵是什么颜色的< br>花？
根据题意可知，者写按5红，9黄，13绿的顺
序轮流排列着，即5+9+1 3=27（朵)花为一个
周期，不断循环。因为249除以27等于9余6，
也就是经过9个周 期还余下6朵花，是黄花。
142857，有6个数在循环，就用100除以6等
于16余4，是8
一、填空题

1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;
一列长1 20米,每秒行17米.两车同向而行,
从第一列车追及第二列车到两车离开需要
几秒?
2.某人步行的速度为每秒2米.一列火车从
后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90< br>米.求火车的速度.
3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12
秒后快车超过 慢车.快车每秒行18米,慢车
每秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时
同方向行进,则9 秒后快车超过慢车,求两列
火车的车身长.
4.一列火车通过440米的桥需要40秒, 以同
样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这列
火车的速度和车身长各是多少? 5.小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速
度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一
块表 记下了火车从她面前通过所花的时间
是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第
一根电线杆到 车尾过第二根电线杆所花的
时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是
100米.你能帮助小英 和小敏算出火车的全
长和时速吗?
6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒.求这
列火车的速度与车身长各是多少米.
7.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,
以相同的速度相对而行.一列火车开来,全
列车从 甲身边开过用了10秒.3分后,乙遇到
火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火
车离开乙 多少时间后两人相遇?
8. 两列火车,一列长120米,每秒行20米;另
一列长16 0米,每秒行15米,两车相向而行,
从车头相遇到车尾离开需要几秒钟?
9.某人步行 的速度为每秒钟2米.一列火车
从后面开来,越过他用了10秒钟.已知火车
的长为90米,求 列车的速度.
10.甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,
一列火车从甲身边开过用了 8秒钟,离甲后5
分钟又遇乙,从乙身边开过,只用了7秒钟,
问从乙与火车相遇开始再过几分 钟甲乙二
人相遇?
二、解答题
11.快车长182米,每秒行20米,慢 车长1034
米,每秒行18米.两车同向并行,当快车车尾

接慢车车尾时,求 快车穿过慢车的时间?
12.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034
米,每秒 行18米.两车同向并行,当两车车头
齐时,快车几秒可越过慢车?
13.一人以每分钟 120米的速度沿铁路边跑
步.一列长288米的火车从对面开来,从他身
边通过用了8秒钟, 求列车的速度.
14.一列火车长600米,它以每秒10米的速度
穿过长200米的隧 道,从车头进入隧道到车
尾离开隧道共需多少时间?
———————————————答 案
——————————————————
————
一、填空题
120米 102米 17x米 20x米 尾 尾
头 头
1. 这题是“两列车”的追及问题.在这
里,“追及”就是第一列车 的车头追及第二
列车的车尾,“离开”就是第一列车的车尾
离开第二列车的车头.
设从第一列车追及第二列车到两列车离开
需要x秒,列方程得:
102+120+17 x =20 x x =74.
2. 设列车的速度是每秒x米,列方程得
10 x =90+2×10
x =11.
3. ( 则快车长:18×12-10×12=96(米)
(2)车尾相齐,同时同方向行进,快车
则慢车长:18×9-10×9=72(米)
4. (1)火车的速度
是:(440-310)÷(40-30)=13(米秒)
(2)车身长是:13×30-310=80(米)
5. (1)火车的时速
是:100÷(20-15)×60×60=72000(米小
时)
(2)车身长是:20×15=300(米)
6. 设火车车身长x米,车身长y米.根据题意,
得
①②
解得
7. 设火车车身长x米,甲、乙两人每秒各走
y米,火车每秒行z米.根据题意,列方程组,
得

①②
①-②,得:
火车离开乙后两人相遇时间为:
(秒) (分).
8. 解:从车头相遇到车尾离开,两车所行
距离之和恰为 两列车长之和,故用相遇问题
得所求时间为:(120+60)?(15+20)=8(秒).
9. 这样想:列车越过人时,它们的路程差
就是列车长.将路程差(90米)除以越过所用
时间(10秒)就得到列车与人的速度差.这速
度差加上人的步行速度就是列车的速度.
90÷10+2=9+2=11(米)
答:列车的速度是每秒种11米.
10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就必须
求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关
系, 而与此相关联的是火车的运动,只有通
过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离.
火车的运行时 间是已知的,因此必须求出其
速度,至少应求出它和甲、乙二人的速度的
比例关系.由于本问题 较难,故分步详解如
下:
①求出火车速度 与甲、乙二人速度 的关系,
设火车车长为l,则:
(i)火车开过甲身边用8秒钟,这个过程为追
及问题:
故 (1)
(i i)火车开过乙身边用7秒钟,这个过程为
相遇问题:
故 . (2)
由(1)、(2)可得: ,
所以, .
②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的
距离是:
.③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距
离.
火车头遇甲后,又经过(8+5 ×60)秒后,火车
头才遇乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二
人之间的距离为:
④求甲、乙二人过几分钟相遇?
(秒) (分钟)
答:再过 分钟甲乙二人相遇.
二、解答题
11. 1034÷(20-18)=91(秒) 12.

182÷(20-18)=91(秒) 13.
288÷8-120÷60=36-2=34(米秒) 答:列
车的速度是每秒34米. 14.
(600+200)÷10=80(秒) 答:从车头进入隧
道到车尾离开隧道共需80秒.
1．答：根据题意不难看出，这个大班小 朋
友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72
的最大公约数．所以 ，这个大班的小朋友最
多有36人．
2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱
长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最
小公倍数是126．所以，至少需要这种长方
体木块 126×126×126÷（9×6×7）
=5292(块)
3、答：此数为28。方法同例题。
4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12
与40，或20与24。方法同例题。
5答：所求的两个数为15与150，或30与135，
或45与120，或60与105，或 75与90。方法同
例题。
7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11，
1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。
题意不难看出，这个大班 小朋友的人数是
115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公
约数．所 以，这个大班的小朋友最多有36
人．
2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱
长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最
小公倍数是126．所以，至少需要这种长方
体木块 126×126×126÷（9×6×7）
=5292(块)
3．答：此数为28。方法同例题。
4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12
与40，或20与24。方法同例题。
5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，
或45与120，或60与105， 或75与90。方法同
例题。
答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11，
1925÷5=385 ； 1925÷11=175
7．幼儿园有糖115颗、饼干 148块、桔子74
个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，桔子多出2个 ．这个大班的小
朋友最多有几个人？
8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米

的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这
种长方体木块多少块．
9．已知某数与24的最大公约数为4，最小
公倍数为168，求此数。
10．已知两个自然数的最大公约数为4，
最小公倍数为120，求这两个数。
11．已知两个自然数的和为165，它们的
最大公约数为15，求这两个数。
选做题
12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数
依不同的次序排列，可以得到36288 0个不同
的九位数，求所有这些九位数的最大公约
数．
13．两个整数的最小 公倍数是1925，这两
个整数分别除以他们的最大公约数，得到两
个商的和是16，请写出这 两个整数（第七届
华杯赛试题）。
（必做）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的
应用
发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅
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1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，
使等式成立？
9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是 2003，一
个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）
（c－3）是奇数还是 偶数。
3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式
组：
a×b×c×d-a=1983
a×b×c×d-b=1993
a×b×c×d-c=2003
a×b×c×d-d=2013
试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否
存在。
4.有一串数，最前面的四个数依 次是1、9、
8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面
相邻四个数之和的个位数字.问：在 这一串
数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
5.任意改变某一个三位数的各 位数字的顺
序得到一个新数.试证新数与原数之和不能
等于999。