六年级奥数易错专题一 比和比例应用题
管理科学与工程类专业-人教版五年级上册语文教案
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比和比例应用题
典型例题
例1：幼儿园
大班和中班共有32个男生，18个女生。已知大班男生人数与
女生人数的比为5：3，中班男生与女生
人数的比为2：1。那么大班女生有多少
人？
分析：题目中涉及到两个比例关系，看起来是无
从下手。注意到两个班的
男、女总数都已知，于是我们可以设大班女生人数为X，则中班女生人数为（1
8
－X），再利用比例关系表示出两个班男生的人数，列方程即可求出。
解：设大班女生人数为X，则中班女生人数为（18－X），根据题意列方程，
得
（53）X＋2（18－X）=32
X=12
即大班女人有12人。
说
明：这是1998年全国小学生奥林匹克数学竞赛预赛试题，属按比例分配
类型应用题，利用方程解比和
比例应用题是十分有效易懂的方法。
例2：甲、乙两厂人数的比是7：6，从甲厂调360
人到乙厂后，甲、乙两
厂比为2：3。甲、乙两厂原有多少人？
分析：从甲厂调360人到乙
厂，甲、乙两厂人数的总数不变，因此，可将
这个不变量看作是单位“1”。
甲厂原有人数占
总人数的713，甲厂现有人数占总人数的25，360人就
是总人数的713－25=965，总人数
=360（965）=2600人。又因为甲、乙两
厂原有人数之比为7：6，所以甲厂原有2600×
713=1400人，乙厂原有2600×
613=1200人。
说明：解这类应用题时，可
抓住题目中的不变量，把它看作单位“1”，然
后找已知数量的对应分率，逐步推出所求的量。
例3：王师傅原定在若干小时内加工完一批零件，他估算了一下，如果按原速度
加工
120个零件后工作效率提高25%，可提前40分钟完成；如一开始工
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作效率就提高20%，就可提前1小时完成。他原计划每小时加工多少个零
件？
分析：此题的关键还是在于找出不变量，确定正反比例关系。
由于加工120个零件后，加工
余下的零件工作效率提高25%，则提高后的
工作效率与原工作效率比为（1＋25%）：1=5：4，
而工作量（即加工120个零件
后余下的零件）没有改变（不变量），所以，所需时间与原工作时间的比
应与效
率成反比例关系，即4：5。这样加工余下零件原来所用时间是：
40÷（5－4）×5=200分钟=103小时。
如果一开始工作效率就提高20%，提高
后的工作效率与原工作效率比为（1
＋20%）：1=6：5，所需工作时间与原工作时间之间的比是5
：6，于是原工作时
间为1÷（6－5）×6=6小时，这样便可知道加工120个零件原来需要6－1
03=83
小时，所以，他原计划每小时加工零件120÷83=45个。
说明：根据工作总
量一定，工作时间和工作效率成反比例的关系推出王师
傅加工120个零件原来所需的时间，进而就可推
出他原计划每小时加工的零件
数。
例4：有A、B、C三种盐水，按A与B数量之
比为2：1混合，得到浓度为
13%的盐水；按A与B数量之比为1：2混合，得到浓度为14%的盐水
；如果按A、
B、C数量之比为1：1：3混合成的盐水浓度为10.2%。问：盐水C的浓度是多少？
分析：这是一道利用比例关系来解的浓度问题，关于浓度配比有这样一个
性质：两种不同浓度的
溶液混合，两种溶液的浓度与混合后的浓度分别相减所得
的比与所需数量之比恰好成反比例关系，我们将
以此为理论依据对此题做出解
答。
解答：设A种盐水的浓度为X，B种盐水的浓度为Y。
（13%－X）：（Y－13）=1：2
（14%－X）：（Y－14%）=2：1
解得X=12%，Y=15Y。
当A、B、C三种盐水按数量1：1：3混合时，相当于A、
B按1：1混合，
混合后再与盐水C混合；
由于A、B两种盐水按数量1：1混合后的浓度为（12%＋15%）÷2=13.5%，
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br>于是上面A、B、C三种盐水混合的问题就转化为浓度为13.5%的盐水两份
与3份C种盐水混
合后的浓度为10.2 %，求C的浓度。
设C种盐水的浓度为Z，列方程
（13.5－10.2）：（10.2－Z）=3：2，求出Z=8%。
说明：比和比例在行
程问题和浓度问题中，有着广泛的应用，灵活、巧妙
地应用比和比例解答应用题，对提高我们的能力有很
大的帮助。
例5：某校和某工厂之间有一条公路，该下午2点派车去该厂接劳模作报
告，往返需1小时。这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接
他的汽车，便立即上车
驶向学校，在下午2点40分到达。问汽车的速度是劳模
速度的几倍？
分析：如图示意
AC
B
A表示学校，B表示工厂，C表示劳模和汽车相遇的地点。根据题意
，汽
车从A到B往返需1小时，即汽车从A到B需要30分钟；汽车从A到C往返
用了40分钟
，即汽车从A到C用了20分钟。所以，汽车从C到B需要30－20=10
分钟。
如果能进而求得劳模从B到C走的时间，问题就迎刃而解。
劳模从B到C所走的时间是1小时
40分－20分=1小时20分=80分，这就
是说，从B到C，劳模所走的时间是汽车的8倍，因此，
汽车的速度是劳模步行
速度的8倍。
例6：猎犬发现在他10米远的前方有一只奔
跑着的野兔，猎犬马上紧追上
去。猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步；但兔子动作快，猎犬
跑2
步的时间，兔子却能跑3步。猎犬至少跑多少米能追上兔子？
分析：由题意，猎犬跑5步
的路程，兔子要跑9步，这就是说，猎犬每步的长：
兔子每步的长=9：5；又因为猎犬跑2步的时间，
兔子能跑3步，这就是说在整
个追及过程中，猎犬跑的步数：兔子跑的步数=2：3。
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由上面的两个关系，可得
猎犬跑的路程：兔子跑的路程=（9×2）：（5×3）=6：5。
设猎犬跑了X米追上兔子，那么兔子跑了（X－10）米。
则有：X：（X－10）=6：5
X=60
例7：小明从甲地到乙地，去时每小
时走6千米，回来时每小时走9千米，
来回共用5小时。小明来回共走了多少千米？
分析：要想求小明来回共走多少千米，只要求出甲地到乙地距离再乘2就
可以了。
路程一定，速度与时间成反比例。由
去时的速度与回来时的速度比是6：9=2：3，可得去
时的时间与回来时的
时间比是3：2。所以，去时的时间是：5×35=3小时，去时的路程是6×3=
18
千米，来回的路程是18×2=36千米。
说明：本题主要是利用路程一定，速度与时间成反比例来解决问题。
例8：2只圆
珠笔的价钱和30支铅笔的价钱相等，3支钢笔的价钱和15支
圆珠笔的价钱相等。用买8支钢笔的钱可
以买多少支铅笔？
分析：根据总价一定，支数与单价成反比例关系来解决问题。
由题意，总
价一定时，圆珠笔与铅笔支数的比是2：30=1：15，可得圆珠
笔与铅笔的单价比是15：1； <
br>同理，由圆珠笔与钢笔支数的比是15：3=5：1，得圆珠笔与钢笔单价的比
是1：5=15：
75；
所以，铅笔与钢笔的单价比是1：75，铅笔与钢笔的数量比是75：1。
所以，买8支钢笔的钱可以买钢笔75×8=600支。