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2015年小学奥数计数专题——枚举法



1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张 卡片
上的数字之和为9．问有多少种不同的取法?

2．从l至8这8个自然数中， 每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共
有多少种不同的取法?
3．现有1分 、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有
多少种不同的支付方法?
4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？
5．有3个工厂 共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共
有多少种不同的订？
6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个?
7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法?
8 ．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种
书每本价格分别为 3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多
少种不同的购买方法?
9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙
不排在第二个位置 上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排
法共有多少种?
10．a bcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此
不同，例如21 34．请写出所有满足关系ae，c11．一个两位数乘以5， 所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数
字的和恰好等于十位上的数字．问一共有多 少个这样的数?
12．3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3各穿一件．现有25个小 球，首
先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球．规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿l
号 衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他
手中球数的4倍，取 走之后还剩下两个球．那么，甲穿的运动衣的号码是多少?
13．甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜两局 谁赢；如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局
谁赢，打到决出输赢为止．那么一共有多少种可能的情况?
14．用7张长2分米、宽1分米的长方形不干胶，贴在一张长7分米、宽2分米的木板
上，将 其盖住，共有多少种不同的拼贴方式?在这里，如果两种方案可以通过旋转而互
相得到，那么就认为是同 一种．
15．用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那
么共有多少种不同的方法?在这里，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或
者旋转加反射而 互相得到，那么就认为是同一种．
16．新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个 魔方的价格是28元
8角。可以有多少种付钱方法？
17． 把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。整数4有多少
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种不同的拆分方法？
18．用一台天平和重1克、3克、 9克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码），当砝码
只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种 ？

19．课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。第一次报数后，单号全部站 出
来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全
部站出 来？最后站出的人应该是第几号？
20．用1、2、3这三个数一共可以组成多少个不同的三位数？分别为哪几个？
21．如图 所示，数字1处有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5处。规定每次只能移动
到邻近一格，且总是向右移 动，例如1→2→4→5就是一条路线。问有多少种不同的移
动路线？

22．邮局 门前共有5级台阶，规定一步只能登上一级或两级，那么上这个台阶一共有多
少种不同的上法？用数组表 示不同的上法。
23．商店出售饼干，现存10箱5公斤重的，4箱2公斤重的，8箱一公斤重的。顾 客要
买九公斤重的饼干，为了便于携带又不开箱，售货员有多少种发货办法？
24．小云带了 1张5元、4张2元的纸币和8枚1元的硬币，现在他要买一本8元的小
说，问他有多少种付钱方式？
25．把三个苹果放在两个同样的抽屉里，有多少种不同的方法？
26．用0、1、2这三个 数，分别能组成多少个不同的三位数？其中最小的三位数和最大
的三位数分别是多少？
27． 一个盒子中装有七枚硬币，两枚1分，两枚5分，两枚1角，一枚5角，每次取出
两枚，记下它们的和， 然后放回盒中，如此反复取出和放回，那么记下的和最多有多少
种不同的钱数？
28．三个数的和是7，如果不计次序，有几种可能？
29．从1～50这50个自然数中选 取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的
取法？
30．今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张。 这
些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？
31．现在有足够数量的1角、5角及1 元的硬币若干，如果想用这些硬币组成价值为20
元的面额，那么一共有多少种不同的组合方法？ 32．一本数学辅导书的序言共有3页，目录共有2页，随后的正文若干页。这本书在编
页码时是将 序言、目录和正文分别进行编码的。如果我们知道这本书在编码时一共使用
了1355个字码。那么这本 书一共有多少页？
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参考答案
1．3
【解析】
有1+2+6＝9，1+3+5＝9，2+3+4＝9，共3种，所以共有3种取法符合题意．
2．9
【解析】
在选取时，我们使被加数小于加数，有被加数选1时不满足，选2时不满足，
有3+8＝11 ，4+7＝11，4+8＝12，5+6＝11，5+7＝12，5+8＝13，6+7＝13，6+8＝14， 7+8＝
15，所以共有9种取法，使得这两个数的和大于10．
3．5
【解析】
2角3分为23分，当含有5分的硬币4枚时，剩下的23－5×4＝3分，可以是1+1+1，或1+2这2种组合支付方法；
当含有5分的硬币3枚时，剩下的23－5×3＝8分，可以是2+ 2+2+2，或2+2+2+1+1，或
2+2+1+1+1+1这3种组合支付方法；
当含 有5分的硬币2枚时，剩下的23－5×2＝13分，而1、2分最多能组成(1+2)×4＝12
分， 不满足；
那么只含有1枚5分硬币，和不含有5分硬币时，显然更不满足．
于是共有2+3＝5种支付方式．
4．8
【解析】
如果3天吃完，则2+2+3＝2+3+2＝3+2+2，有3种吃法；
2天吃完，则2+5＝5+2＝3+4＝4+3，有4种吃法；
1天吃完，则那一天吃了7个；
所以共有3+4+1＝8种不同的吃法．
5．7
【解析】300＝99+100+101
＝99+101+100
＝100+99+101
＝100+101+99
＝101+99+100
＝101+100+99
＝100+100+100．
所以共有7种不同的订法．
6．10
【解析】
四位数最大为999 9，数字和为9+9+9+9＝36，所以数字和为34的四位数只能由如下方式组
合得到：
(9，9，9，7)，(9，9，8，8)
对应有9997，9979，9799，7999 ，9988，8899，9889，8998，9898，8989，共10种．
7．5
【解析】
6份不同，每份至少一本，则最少为1+2+3+4+5+6＝21本书，25 －21＝4，于是把4本数安
排进入即可．
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精品文档 < br>有1+2+3+4+5+10＝1+2+3+4+6+9＝1+2+3+4+7+8＝1+2+3+5+6 +9＝1+3+4+5+6+7＝25，共有5
种不同的分法．
8．4
【解析】
每种书最少买一本，则花去3+5+7+11＝26元，买了4册，所以剩下的70－26＝44元，任 意
买6册即可．
显然11元的最多再买3本，花去11×3＝33元，剩下11元买3册，3 +3+5＝11，即有1种
买法；
11元的再买2本，花去11×2＝22元，剩下22元买 4册，5+5+5+7＝3+5+7+7，就有2种买
法；
11元的再买1本，花去11元，剩下33元买5册，5+7+7+7+7，即有1种买法；
如果11元的1本都不再买，那么44元买6册，最贵的为7元，7×6＝42，无法花去44元，
所以 不满足．
于是，共有1+2+1＝4种不同的购买方法．
3元×3，5元×2，7元×1，11元×4；
3元×2，5元×2，7元×3，11元×3；
3元×1，5元×4，7元×2，11元×3；
3元×1，5元×2，7元×5，11元×2．
9．9
【解析】
用 1，2，3，4分别代表甲，乙，丙，丁，有2143，2341，2413，3142，3412，3421， 4123，
4312，4321，共9种情况满足．
10．1324,1432,2314,2413,3412
【解析】
有1324，1432，2314，2413，3412满足．
11．8
【解析】
设三位数为
abc
，由分析知
abc
是5的倍数，
c为0 或5当c＝0时，b＝a+c，abc比500小，则a＝1、2、3、4，对应b＝1、2、3、4．共
4种情形．
若c＝5时，a＝1、2、3、4，对应b＝6、7、8、9也是4种情形，因此一共是8种情形．
12．2
【解析】当甲穿的运动衣的号码是1，乙为2，丙为3时，则甲再取1个，乙再取6 个，丙
再取12个，此时共取走1+2+3+1+6+12＝25个，此时还剩下25－25＝0个，不 满足；
当甲穿的运动衣的号码是1，乙为3，丙为2时，则甲再取1个，乙再取9个，丙再取8个，< br>此时共取走1+3+2+1+9+8＝24个，此时还剩下25－24＝1个，不满足；
当甲穿 的运用衣的号码是2，乙为1，丙为3时，则甲再取2个，乙再取3个，丙再取12
个，此时共取走1+ 2+3+2+3+12＝23个，此时还剩下25－23＝2个，显然满足．
不难验证其他情况不成立．
所以甲穿的是2号运动衣．
13．14
【解析】
我们记甲赢为1，甲输为0，
两局决定输赢的情况有1+1，0+0，共2种；
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三局决定输赢的情况不存在(为什么？)；
四局决定输赢的情况有1+0+1+1，1+0+0+0，0+1+1+1，0+1+0+0，共4种；
五局决定输赢的情况有1+0+0+1+1，1+0+1+0+1，1+0+0+1+0，1+0+1+ 0+0，0+1+1+0+0，
0+1+0+1+0，0+1+1+0+1，0+1+0+1+1，共8 种；
所以共有2+4+8＝14种可能．
14．

【解析】

如下图，有12种符合题意的拼贴方式．

15．12
【解析】
下图为一个正八边形，它的八个顶点别记为1、2、3、4、5、6、7、8． 我们从顶点1考虑，
三条不同长度对角线从小到大记为
l
1
、
l2
、
l
3
．从顶点1出发必然连了许多对角线，考虑整
个剖分三 角形，若必然有顶点连了
l
2
、
l
3
两种对角线，不可能只 连
l
1
对角线，否则根本剖分
不成三角形，考虑到相互旋转而得到被认为是同 一种剖分，因此考虑顶点1连了
l
3
或
l
2
对角
线 ．

若顶点1连了
l
3
对角线1—5，这样1—5对角线也是整个 正八边形对称轴，再把左右两边的
梯形剖分成三角形即可，这样从顶点1考虑分别有3种不同的图形剖分 ，如下图所示．
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3种结构记为a、 b、c上边是右边的剖分，左边剖分分别是上面3处图形式对称图形，记为
因此满足条件的正八边形剖分 有下面9种：aa，a
a

、bb，b
b

、c
c

、ab，a
b

、
a

、
b< br>
、
c

，
ac、bc．这里
a

，b与
b

，a、
a

，c与
c

，a、b，c与
c

，b可相互反射得到 ，因此有6
中不同情形． 若顶点1连了
l
2
对角线，而无
l
3
对角线，可以有< br>l
1
对角线，如图a，先连上1－6对角线，这
样剖分六边形123456时， 不会出现
l
3
对角线，否则旋转一下同顶点1引
l
3
对角线 是同一种
情形，这样必然使得顶点1或顶点6有另外一条
l
2
对角线，若1— 4为
l
2
对角线，如图e这
样四边形1678与四边形1234关于轴1—5 对称，中间四边形1456部分只能是连4—6右上
部四边形1234剖分有2种分别主为d、e，它们 的对称图形对应于四边形1678的两种剖分
d

、
e

， 这样正八边形的剖分为
d

d、
d

e、
e

e共3种．

若6—3为
l
2
对角线，这样的图形与 图是同一个图形，它
不过是把顶点6旋转到顶点1即可．
所以，共有9+3＝12种不同的方法．
16．4
【解析】
（1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角；
（2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张2角，1张1角；
（3）1张20元，4张2元，8张1角；
（4）3张10元，收30元找回1元2角；
17．4
【解析】分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：4 =3+1，
4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。
18．7
【解析】
共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。一一来列举这 三种情
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况。
取一个砝码可称：1克、3克、9克。有3种。
取两个砝码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12（克），3种。
取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有1种。
注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7（种）
19．16
【解析】根据题目的特点，先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。
排好队的人依次是1，2，3，4，5，．．．．．．28，29，30
次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
出队号码
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29
2，6，10，14，18，22，16，30
4，12，20，28
8，24
16

从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16
号。
20．6个；123、132、213、231、312、321
【解析】根据百位上的数字不同，我们可以将它们分成三类
第一类：百位上数字为1，有123、132
第二类；百位上数字为2，有213、231
第三类：百位上数字为3，有312、321
可以组成123、132、213、231、312、321共6个不同数字
21．5 【解析】从1要移到5，从结果想，要移到5只有从4、3向右移动一格到邻近一格5，即5
←4或 5←3；要移到4，只有从3、2向右移动一格到邻近的4，即：4←3或4←2；．．．．．．用
树形 图填写如下

数一数，图中1的个数就是移动的路线数。故共有5条不同的路线。
22．8
【解析】（1）（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有一种上法；
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（2）（2，1，1，1）（1，2，1，1） ，（1，1，2，1，），（1，1，1，2），表示有一步上两个台
阶，其他几步都各上一个台阶，共 有4种上法；
（3）（2，2，1），（1，2，2），（2，1，2），表示有两步各上两个台阶， 有一步上一个台阶，
这种上法共有3种。
因此，上台阶一共有1+4+3=8种不同上法。
23．7
【解析】9=5+2+2=5+2+1+1=5+1+1+1+1=2+2+2+2 +1=2+2+2+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1
=2+1+1+1+1+1+1+1
一共有7种。
24．7
【解析】8=5+2+1=5+1+1+1=2+2+2+ 2=2+2+2+1+1=2+2+1+1+1+1=2+1+1+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+1+1+1
一共7种。
25．2
【解析】可以 放（2，1）或者（3，0）个，由于两个抽屉一样，（2，1）和（1，2）一样，
所以只有2种。
26．102,210
【解析】列出所有这样的三位数，因为0不能在首位，所以共有102 ，120，201，210，一
共4个，其中最大的是210，最小的是102。
27．9
【解析】列出所有的情况，和可以是 1分+1分=2分；1分+5分=6分；5分+5分=1角；1< br>分+1角=1角1分；5分+1角=1角5分；1角+1角=2角；1分+5角=5角1分；5分+5角= 5
角5分；1角+5角=6角。一共9种。
28．4
【解析】不计次序的话，将7 拆分开，7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3一共4种。
29．625
【解析】取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键。
解：若两数中较大的是50，则另一个可以取1,2,3，…，49，共49种取法；
若两数中较大的是49，则另一个可以取1,2,3，…，48，共47种取法；
若两数中较大的是48，则另一个可以取1,2,3，…，47，共45种取法；
……
若两数中较大的是26，则另一个只能取25，共1种取法。
因此共有1+3+5+…+47+49=625种取法。
说明 在运用枚举法时，一定要找出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。
30．119
【解析】本题如直接枚举，情况复杂，很难求出正确答案。我们可以先考虑付款的数额范围，
在此范围 内，再考虑那些不能构成的付款数额，将其剔除。
由题意，付款的最小数额为1角，最大数额为14. 8元。其间1角的整数倍共有148种款额。
另一方面，4角、9角，这两种数额是这些钱币无法付出的 ，所以1.4元、1.9元、2.4元、
2.9元、3.4元、3.9元、…、14.4元，这些数额也 无法付出。上述这些付不出的数额共29
种，应剔除。所以能付出的数额应是148-29=119（种 ）。
说明 本题采用逆向思维，把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。这是我们做
题时的常见的策略。
31．441
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【解析】若全用1元的，共需20个1元硬币，这时只有1种组合方法；
若用19个1元硬币 ，则还需2个5角硬币或者1个5角与5个1角的硬币，或10个1角的
硬币，这时共有3种组合方法；
若用18个1元硬币，则还需4个5角硬币或者3个5角与5个1角的硬币，或2个5角的
硬币 与10个1角的硬币，或1个5角的硬币与15个1角的硬币，或20个1角的硬币，这
时共有5种组合 方法；
依次类推，若用17个1元硬币，则有7种组合方法；
……
若用1个1元的硬币，则有39种组合方法；
若不用1元硬币，则有41种组合方法。
于是，共有1+3+5+…+39+41=441种不同的组合方法。
32．491
【解析】我们知道，一页的编码是一位数时，编码时只用一个字码；当一页的编码是两位数
时，每页用 两个字码；当一页的编码是三位数时，每页则用三个字码。因此，设这本书正文
有x页，可得方程：3+ 2+9×1+90×2+（x-99）×3＝1355，解得x=486。即正文有486页，
所以这本 书一共有491页。

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