小学三年级奥数讲义全集
五一节的来历-庆六一黑板报
小学三年级奥数讲义全集
专题一 数图形
专题简析：先确定
起始点或起始边，数出
图形的数量，再依次以后一个点（或边）
数出图形的数量。最后求出它们
的和。
例1、数出下面图中有多少条线段？
思路：以A点为左端点的线段
有：AB、AC、
AD共3条；以B点为左端点的线段有：BC、
BD共2条；以C点为左端点
的线段有：CD
共1条。所以图中共有线段3＋2＋1=6条。
试一试1：数出下图中有( )条线段。
例2、
数出下图中有几个角？
思路：以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、
∠AOD
三个；以BO为一边的角有：∠BOC、
∠BOD两个；以CO为一边的角有：∠COD
一个。
所以图中共有3＋2＋1=6个角。
试一试2：数出下图中有（ ）个角。
例3 数出下面图中共有多少个三角形。
思路：数三角形的个数与数线段、数角的
方法相同：以AB为边的三角形有：△ABC、
△ABD、△ABE三个；以AC为边的三角形
有：△ACD、△ACE二个；以AD为边的三
角形有：△ADE一个。
所以图中共有三角形3＋2＋1=6个。
试一试3：数出下面图中共有（
）个
三角形。
专题二：找规律
专题简析：按照一定次序排列起来
的一列
数，叫做数列。寻找数列的排列规律，除
了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从
积、商考虑。
例1 在括号内填上合适的数。
（1）：3、6、9、12、（ ）、（ ）
（2）：1、2、4、7、11、（ ）、（ ）
（3）：
2，6，18，54，（ ），（ ）
思路：第（1）小题：前一个数加上3就
等于后一个数，相邻两个数的差都是3。
所以（ ）里分别填15和18；
（2）
第（2）小题：相邻两个数的差依次
是1，2，3，4……这样下一个数应为11
增加5，所以
应填16；再下一个数应比16
大6，填22。
（3）第（3）小题：后一个数是前一个数
的3倍，所以（
）里应分别填162和486。
试一试1：先找规律再填数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）；
（2）1，2，5，10，17， （ ），（ ）；
（3）1，5，25，125，（ ），（ ）；
例2
先找出规律，再在括号里填上合适
的数。
（1）15、2、12、2、9、2、（
）、（ ）；
（2）21、4，18、5、15、6、（ ）、（
）；
思路：第（1）小题：隔着看，第1、3、5……
个数依次减3，第2、4、6
……个数不变。
所以括号里分别应填6、2；
（2）第（2）小题：隔着看，第1、
3、5……
个数依次减3，第2、4、6……个数依次
加1。所以括号里里分别应填12和7。
试一试2：先找规律再填数。
（1）2、1、4、1、6、1、（
）、（ ）；
（2）1、15、3、13、5、11、（ ）、（ ）；
例3 先找出规律，再在括号里填上合适
的数。
（1）2、5、14、41、（ ）；
（2）252、124、60、28、（
）；
（3）1、2、5、13、34、（ ）；
（4）1、4、9、16、25、36、（ ）。
思路：第（1）小题：相邻两个
数，前一
个数乘3减1等于后一个数，所以括号里
应填122。
第（2）小
题：相邻的两个数，前一个数
除以2的商减2等于后一个数，所以括号
里应填12。
第（3）小题：从第二项开始，每一项乘3
等于它前后相邻两数的和，因而括号里应
填
89。
第（4）小题：依次是1、2、3、4、5、6……
的平方，因而第七个数为
7×7=49。
试一试3：先找规律再填数。
（1）2、3、5、9、17、（ ）；
（2）94、46、22、10、（
）、（ ）；
（3）2、3、7、18、47、（ ）、（ ）；
（4）1、8、27、64、（ ）、（ ）。
专题三 加减巧算
专题简析：加减法的巧算主要是运用“凑
整”的方法，把接近整十、百、千的数看
作所
接近的数进行简算。要根据“多加要
减去，少加要再加，多减要加上，少减要
再减”的原则进行
处理。
可以结合加法交换律、结合律以及减
法的性质进行凑整，从而达到简算的目<
br>的。
例题1 计算下面各题。
（1）396＋55
（2）427＋1008
（3）456－298 （4）582－305
思路：396＋55=400＋55－4=451（多加要
减去）
427＋1008=427＋1000＋8=1435（少加要
再加）
456－298=456－300＋2=158（多减要加
上）
582－305=582－300－5=277（少减要再
减）
试一试1：速算。
（1）497＋28 （2）750＋1002
（3）574－397 （4）472―203
（5）402＋307―297―99
例题2
你有好办法迅速计算出结果吗？
（1）502＋799―298―97
（2）9999＋999＋99＋9
思路：先把每个数分别看作整千、整百、
或整十数进行加减，再把零头数加减。
502＋799―298―97
=500＋2＋800－1－300＋2－100＋3
=（500＋800－300－100）＋（2－1＋2＋
3）
=900＋6
906
9999＋999＋99＋9
=10000＋1000＋100＋10－1－1－1－1
=11110－4
=11106
试一试2：速算。
307＋201―398―99 1999＋199＋
19
例题3 计算：
487＋321＋113＋479
723－251＋
177
872＋284－272
537－142－
58
思路：运用加法交换律、结合律把相加、
减得整数的先算出来。
487＋321＋113＋479 723－251
＋177
=(487＋113)＋(321＋479) =723＋177
－251
=600＋700 =900－251
=1300 =649
872＋284－272 537－142－
58
=872－272＋284 =537－(142＋
58)
=600＋284 =537－200
=884 =337
试一试3：速算。
321＋127＋79＋73
235－125＋
65
483＋254－183
271＋97－
171
425－172－28
237＋（163－
28）
例题4 计算下面各题：
321＋（279－155） 372－（54＋72）
432―（154―68）
思路：去括号时，加括号展开不变号；减
括号展开要变号（即减号见面变加号）
321＋（279－155） 372－（54＋
72）
=321＋279－155 =372－72－54
=600－155 =300－54
=445
=244
432－（154－68）
=432＋68－154
=500－154
=346
试一试3：速算。
421＋（179－125） 523－（175＋123）
328―（184―172）
专题四 文字算式谜
专题简
析：文字算式是一种数字谜，相同
的文字或英文字母应表示相同的数字，不
同的文字或英文字母
应表示不同的数字。
解答时，要仔细观察算式的特征，认真分
析，正确选择解题的突破口，最后
通过尝
试找寻正确答案。
例题1 下式中，每个字各代表一个不同
的数字
，其中“心”代表9，请问其他汉
字分别代表哪个数字？
思路：“心”代表0，“心
”ד心”=9×
9=81，所以“少”=1，乘积就是111111111。
即：12345679×9=111111111
试一试：下面每个字代表不同的数字，这
些汉字分别代表几？
（1）
（2）
（3）
3、在下面的竖式中，a、b、c、d各代表
什么数字？
专题五
填数游戏
专题简析：填数游戏不但非常有趣，而且
能促使你积极地思
考问题、分析问题、发
展能力。填数时，要仔细观察图形，确定
图形中关键的位置应填几，一般
是图形的
顶点及中间位置。关键位置的数确定好
了，其他问题就迎刃而解了。
例题1 在下图中分别填入1——9，使两
条直线上五个数的和相等，和是多少呢？
思路：（1）1—9中间的数是5，所以中心
的○内填5，剩下八个数，一大一小搭配
即可。<
br>
和=1＋9＋2＋8＋5=25
（2）中心的○内也可填
1，剩下八个数，
一大一小搭配即可。和=2＋9＋3＋8＋
1=23
（3
）中心的○内还可填9，剩下八个数，
一大一小搭配即可。和=1＋8＋2＋7＋
9=27
答：每条直线上数字的和可能是23、25、
27。
试一试1：把6
、8、
10、12、14、16、18
七个数填在下图的
○中，使每排三个数
及外圆上三个数的
和都是32。
例题2
把数字1——8分别填入下图的小
圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等
于20。
思路：1——8的和是36，两个五边形上
数字和是40，所以重叠部分的两个圆数字
的和=40－36=4=1＋3。即中间两个圆圈分
别是1、3。每个五边形上其他三个圆圈数
字和是20－4=16=2＋6＋8=4＋5＋7。所以
本题应该这样填：
试一试2
：将数字1——6填入下图中的小
圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。
例题3 在图中填入2——9，使每边3个
数的和等于15。
思路：该题
的关键是4个顶点。因为求和
时这4个顶点各算了两次，多算了一次。
四个顶点的和=四边的和
减2——9的和
=15×4－（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）
=16。
我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个
顶点。
试一试3：将1——9这
九个数填入下图中，
使三角形每条边上四个数的和等于19，且
有一个顶点的数字为1。
例题4
把1——8填入下图○内，使每边
上三个数的和最大。求最大的和是多少？
思路：要
使每边上三个数之和最大，容易
想到把8、7、6、5填在四角，因为四个
角上的数在求和时各
用了两次，其他数各
用了一次。由此我们可以列出求和的算式
为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62
÷4
和不是整数，说明四条边上的总和要减少
2才行，这只要将填在角上的5换成3即
可。所以
，最大的和为：（62－2）÷4=15
试一试4：把3——10填入下图○中，使
每边上三个数的和最大，求最大的和是多
少？
专题六 有余除法
专题简析：在有余数的除法中，要记住：
（1）余数必须小于除数；
（2）被除数=商×除数＋余数。
例1
□÷6=8……□，根据余数写出被除
数最大是几？最小是几？
思路：除数是6，根
据余数比除数小，余
数可填1、2、3、4、5，根据除数×商＋
余数=被除数又已知商、除数
、余数，可
求出最大的被除数为6×8＋5=53，最小的
被除数为6×8＋1=49。
试一试1：下面题中被除数最大可填几，
最小可填几？
□÷8=3……□
例2
□÷□=8……15，要使除数最小，
被除数应为几？
思路：题中余数是15，除数
应比余数15
大，最小的应该是16。16是最小的除数，
根据商×除数＋余数=被除数：
被除数=8×16＋15=143
试一试2：除数最小时，被除数是几？
□÷□=10……7
例3 算式28÷（ ）=（ ）……4中，
除数和商各是多少？
思
路：根据“被除数=商×除数＋余数”，
可以得知“除数×商=被除数－余数”，所
以本题中商
×除数=28－4=24。这两个数
可能是1和24，2和12，3和8，4和6，
又因为余数
为4，因此除数可以是24、12、
8、6，商分别为1、2、3、4。
试一试3：149除以一个两位数，余数是5，
请写出所有这样的两位数。
专题七 周期问题
专题简析：（1）先找出一个周期里包含了
几个对象。
（2）总数÷周期对象数=周期
数＋余数。（3）有余数，余几就是第几个
对象；没有余数，最
后一个数是周期内最
后一个数。
例1 小丁把同样大小的红、白、黑珠子
按先2个红的、后1个白的、再3个黑的
的规律排列（如下图），请你算一算，第
32个珠子是
什么颜色？
思路：从上图可以看出，珠子是按“两红
一白三黑”的规
律重复排列，即6个珠子
为一周期。32÷6=5（组）……2（个），
32个珠子中含有5个
周期多2个，所以第
32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠
子，应为红色。
试一试1： “我要进江实我要进江实……”
依次重复排列，第2013个字是什么？
例2 2001年10月1日是星期一，问：
10月25日是星期几？
思
路：我们知道，每星期有7天，也就是
说以7天为一个周期不断地重复。从10
月1日到10月
25日经过25－1=24天，
24÷7=3（星期）……3（天），说明24天
中包括3个星
期还多3天。所以从10月1
日开始过3个星期，最后一天还是星期一，
从这最后一天起再过3
天就应是星期四。
试一试2：2013年5月1日是星期三，9
月1日是星期几？
例3
100个3相乘，积的个位数字是几？
思路：因数3的个数 积的个位
1个3——→ 3
2个3——→ 9
3个3——→
7
4个3——→ 1
5个3——→ 3
……
积的个位分别以3、9、7、1不断重
复出现，即每4个3积的个位数
字为一周
期。100÷4=25（个），因此100个3相乘
积的个位数字是第25个周期中的
最后一
个，即是1。
试一试3：
50个7相乘，积的个位数字是几？
专题八 数学趣题
专题简析：对于
趣味问题，首先要读懂题
意，然后要经过充分的分析和思考，运用
基础知识以及自己的聪明才智
巧妙地解
决。
例题1 如果每人步行的速度相同，2个
人一起从学校到儿
童乐园要3小时，那么
6个人一起从学校到儿童乐园要多少小
时？
思路：2
个人一起从学校到儿童乐园要3
小时，也就是1个人从学校到儿童乐园要
3小时；
6个人一起从学校到儿童乐园还
是用3小时。
试一试1：5只猫5天能捉5只老鼠，
照
这样计算，要在100天里捉100只老鼠要
多少只猫？
例题2 一条
毛毛早由幼虫长成成虫，每
天长大一倍，30天能长到20厘米。问长
到5厘米时要用多少天？
思路：毛毛虫每天长大一倍，说明第二天
的身长是第一天身长的2倍
。这条毛毛虫
在第30天时，身长为20厘米，那么在第
29天时，这条毛毛虫的身长为20÷
2=10
厘米；在第28天时，这条虫的身长为10
÷2=5厘米。
试一试2：
（1）有一个池塘中的睡莲，每天长大一
倍，经过10天可以把
整个池塘全部遮住。
问睡莲要遮住半个池塘需要多少天？
（2）一条毛毛虫由幼虫长
成成虫，每天
长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到
32厘米共要多少天？
例题3
小猫要把15条鱼分成数量不相等
的4堆，问最多的一堆中最多可放几条
鱼？
思路：要让最多的一堆中小鱼条数尽量
多，那么其余三堆小鱼的条数就要尽量
少。所以，第一
、二、三堆分别放放1条、
2条、3条，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9条。
试一试3：兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，
分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数
都不同。问分得最多的一只小兔至多分得
几只？
专题九 配对求和
专题简析：计算等差数列的和，可以用以
下关系式：
等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2
末项=首项＋公差×（项数－1）
项数=（末项－首项）÷公差＋1
例题1 你有好办法算一算吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=
（ ）
思路：1、2
、3、4、5、6、7、8、9、10
共10个数，我们可以把10个数分成5组：
1＋10，
2＋9，3＋8，……，每组两个数
的和是11，它们的和就有5个11即11×
5=55。算
式：（1＋10）×10÷2=55
试一试1：你能迅速算出结果吗？
（1）1＋2＋3＋4＋…＋100；
（2）1＋2＋3＋4＋…＋55；
例题2 计算：32＋34＋36＋38＋40＋42
分析：首数32、尾数42、相数：（42－32）
÷2＋1=6。算式：
（32＋42）×[（42－32）÷2＋1]÷2=222
试一试2：
72＋75＋78＋81＋84。
例题3 计算：
993＋994＋995＋996＋997＋998＋999
思路：
这几个自然数都接近于1000，我们
可以看作7个1000相加，这样就多加了7
＋6＋5＋
4＋3＋2＋1，就用7000－（7＋6
＋5＋4＋3＋2＋1）=6072。
试一试3：9995＋9996＋9997＋9998＋
9999
专题十
乘法速算
专题简析：因数中有5、25、125时首先
要考虑他们分别于2、4、8
相乘得到10、
100、1000。两位数、三位数乘11，可采
用“两头一拉，中间相加”的
办法。但头
尾相加作积的中间数时，哪一位上满10
要向前一位进一。
例题1 你能很快算出432×5的结果吗？
思路：一个数与5相乘，因为10÷
2=5，
可在这个数末尾添上一个0，然后再除以。
432×5=432×10÷2=4320÷2=2160
试一试1：
470×5 629×5
例题2
试着计算下列各题，有什么规
律？
18×11 38×11
432×
11
思路：一个数与11相乘，将这个数的首
位与末位拉开分别作
为积的最高位和最
低位，再依次将这个数相邻两位由个位起
加起，和写在十位、百位……，哪一
位上
满十就向前一位进一。
18×11=1（1＋8）8=198
38×11=3（3＋8）8=418
432×11=4（4＋3）（3＋2）2=4752
试一试2：35×11
87×11 872×11
例题3 你能迅速算出下面各题吗？
24×15 248×15 3456×
15
思路：一个因数乘15，也就是用这个数加
上它的一半再乘10。
24×15=（24＋24÷2）×10=36×10=360
248×15
3456×15
=(248＋248÷2)×10
=(3456＋3456÷
2)×10
=372×10
=5184×10
=3720 =51840
试一试3：
32×15 284×15
4956×
15
例题4 下面的乘法有规律吗？
（1）24×25 （2）21×25 （3）25×
427
<
br>思路：因为25×4=100，因此一个数与25
相乘，我们就看这个数里有几个4，有几
个4就有几个100，余几就加几个25。
24×25=25×4×6=600
21×25 427×25
=25×(20＋1) =25×(424＋3)
=25×4×5＋25×1 =25×4×106＋
25×3
=525 =10675
试一试4：
28×25 25×27 25×377
专题十一
乘除巧算
专题简析：根据2×5=10，4×25=100，8
×125=1000
，运用运算定律，例如乘法交
换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善
于运用运算定律，是提高
巧算能力的关
键。
例1 你有好办法算出下面各题的结果
吗？
（1）25×17×4 （2）8×18×125
（3）8×25×4×125 （4）125×2×8
×5
思路：题中有25、125时，一般考虑25
与4相乘、125与8相乘。
25×17×4 8×18×125
=25×4×17
=8×125×18
=100×17 =1000×18
=1700 =18000
8×25×4×125
125×2×8×5
=8×125×(25×4)
=125×8×(2×
5)
=1000×100
=1000×10
=100000 =10000
试一试1：
（1）25×23×4 （2）125×27×8
（3）5×25×2×4 （4）125×4×8×
25
例2
你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125
（3）16×25×25 （4）125×32×25
思路：有25、125没有4、8时，先转换
出4、8出来。
25×8
16×125
=25×4×2 =125×8×2
=100×2 =1000×2
=200
=2000
16×25×25 125×32×25
=4×4×25×25 =125×8×4×25
=4×25×(4×25)
=125×8×(4×25)
=100×100
=1000×100
=10000 =100000
试一试2：
（1）25×12 （2）48×125
（3）125×16×5 （4）125×64×25
例3
你能很快算出它们的结果吗？
（1）82×88 （2）51×59
思路：被乘数和乘数十位上的数字相同，
个位数字和是10。首位数字加1再乘首位
数字，得
数作为积的前两位数字；将两个
末位数字相乘，得数作为积的末位两个数
字，如果末位数字相乘
的积是一位数，要
在前面被一个0。
82×88
51×59
=90×80＋2×8 =60×50＋1×9
=7200＋16 =3000＋9
=7216
=3009
试一试3：
72×78 45×45
81×89
例4 简便运算：
130÷5 4200÷25
34000÷
125
思路：运用商不变的性质，即被除数和除
数同时扩大或
缩小相同的倍数（0除外），
商不变。
130÷5=(130×2)÷(5×2)=260÷10=26
130÷5=130÷10×2=13×2=26
4200÷25=4200÷100×4=42×4=168
34000÷125=34000÷1000×8=34×8=272
试一试4：
170÷5 3600÷25
43000÷125
专题十二 应用题（一）
专题简析：分析应用题的
数量关系时，可
以从条件出发，逐步推出所求的问题；也
可以从问题出发，找到必须的两个条件
。
有时，借助线段图来分析应用题的数量关
系，就更容易了。
例题1
学校里有排球24只，足球的只数
比排球的2倍少5只，学校有排球、足球
共多少只？
思路：根据题意画出线段图
把24只排球看作1倍数；先根据倍数<
br>关系求出足球的数量，再求两种球的和。
足球：24×2－5=43（只）
总数： 24＋43=67（只）
试一试1：王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。王奶奶家
共养鸡、鹅多少只？
例题2
人民广场花圃中有180盆郁金香，
比月季花盆数的3倍少15盆。月季花有
多少盆？
思路：根据题意画出线段图
把月季花的盆数看作1倍数，郁金香的盆
数是这
样的3倍少15盆。如果郁金香再
增加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。
因此用（180＋
15）÷3=65（盆）就可求
出月季花的盆数。
试一试2：饲养场养母鸭400只
，比公鸭
只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多
少只？
例题3 小林家
养了一些鸡，黄鸡比黑鸡
多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只
数正好是黑鸡的2倍。白鸡
、黄鸡、黑鸡
各多少只？
思路：根据题意画出线段图
从线段图上
我们可以看出白鸡比黑鸡多
13＋12=25只，这相当于黑鸡的2－1=1倍。
黑鸡：（13＋12）÷（2－1）=25（只）
黄鸡：25＋13=38（只）
白鸡：25×2=50
（只）
试一试3：有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐
比乙
筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只
苹果，丙筐苹果个数是乙筐的4倍。甲、
乙、丙筐各有多
少只苹果？
例题4 用一批纸装订同样大小的练习
本，如果每本16页，可装订4
00本。如
果每本20页，可以少装订多少本？
思路：先求出这批纸的总页数16×
400=6400页；再求出如果每本20页可装
订的本数6400÷20=3200本，最后
求少装
订的本数400－320=80本。
试一试4：服装厂有一些布料加工窗帘，
如果把窗帘做成3米长，可做140幅。如
果每幅窗帘做成2米长，则可多做多少
幅？
例题5 李师傅原计划6小时加工零件
480个，实际2小时加工192个。照这
样
的效率，可以提前几小时完成？
思路：工作效率=工作总量÷工作时间。
实际工作效率：192÷2=96（个小时）
实际工作时间：480÷96=5（小时）
提前时间：6－5=1（小时）
试一试5：暑假中，小宁30天共要写大字
600个，实际12天已写大字36
0个。照这
样的速度，小宁可以提前几天写完同样多
的字？
专题十三
应用题（二）
专题简析：解答一般应用题的关键是要掌
握数量关系，了解应用题中条
件和条件、
条件和问题之间的联系，找出解题方法，
灵活解题。
例题1
一列火车早上5时从甲地开往乙
地，按原计划每小时行驶120千米，下午
3时到达乙地，但实
际到达时间是下午5
时整，晚点2小时。问火车实际每小时行
驶多少千米？
思路：由“早上5时出发，计划下午3时
到达”可知，火车计划行驶12＋3－5=10
小时。
则甲地到乙地的距离为120×
10=1200千米；火车晚点2小时，实际行
驶10＋2=1
2小时，实际每小时行1200÷
12=100千米。
试一试1：一列火车早上6时
从甲城开往
乙城，计划每小时行驶100千米，下午6
时到达乙城。但实际到达时间是下午4时
，
提前2小时。问火车实际每小时行驶多少
千米？
例题2 小宁、小红、
小佳去买铅笔，小
宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。
回家后，三个人平均分铅笔，小佳
拿出8
角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少
钱？
思路：三人平分，每人应
得（7＋5）÷3=4
枝；而小佳拿出的8角钱就是4枝铅笔的
价钱，每枝铅笔：8÷4=2角
。小佳应给小
宁2×（7－4）=6角钱，应给小红2×（5
－4）=2角钱。
试一试2：张、王、李三家合用一个炉灶，
他们烧的柴同样多，张家出了4担柴，李
家出了
5担柴，王家因无柴付18元。张、
李家各得多少钱？
例题3 用一个杯子向空瓶
里倒牛奶，如
果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如
果倒进去5杯牛奶，连瓶共重750克
。一
杯牛奶和一个空瓶各重多少克？
思路：根据题目的条件，我们可以写出两
个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克 ①
5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克 ②
比较①、②两个式子，可得5－2=
3
瓶牛奶重量是750－450=300克，那么1
瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后
可求
出空瓶重量是450－100×2=250克。
试一试3：有一个木桶向一个水
缸中倒水，
如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如
果倒进7桶水，连缸共重390千克。一
桶
水和一个水缸各重多少千克？
例题4 一共有红、黄、绿三种颜色的珠
子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒
子里，把黄色珠子分放在6个盒子里，把
绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒
子里的珠子粒数相等。三种颜色的珠子各
多少粒？
思路：把120粒珠子分放到盒子里以后，
每个盒子里的珠子粒数相等，那么就可以
120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里
珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。
红色珠子：6×9=54粒；
黄色珠子：6×6=36粒；
绿色珠子：6×5=30粒。
试一
试4：一共有白兔、灰兔、黑兔共250
只，如果把白兔分放到5个笼中，把灰兔
分放到11个
笼中，把黑兔分放到9个笼
中，这样每个笼中的兔子的只数相等。三
种兔子各多少只？
例题5 在6个筐里放着同样多的鸡蛋，
如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个
筐
里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两
个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有
鸡蛋多少个？
思路：共取出50×6=300个鸡蛋；共减少
6－2=4。则原来每个筐有鸡蛋：30
0÷4=75
个。
试一试5：某商店有5箱皮球，如果从每
箱里取出15个
，那么5个箱里剩下皮球
的个数正好等于原来2箱皮球的个数。原
来每箱装了多少个皮球？
专题十四 植树问题
专题简析：在不封闭的线路上植树，棵数
=间
隔数＋1；在封闭的线路上植树，棵数
=间隔数。
例题1 小朋友们植树，先植一
棵树，以
后每隔3米植一棵，已经植了9棵，第一
棵和第九棵相距多少米？
思路：根据“棵数=间隔数＋1”，所以间
隔数=棵树－1=
9－1=8个，每个间隔是3
米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24米。
试一试
1：在一条20米长的绳子上挂气球，
从一端起，每隔5米挂一个气球，一共可
以挂多少个气球
？
例题2 在一条长40米的大路两侧栽树，
从起点到终点一共栽了22棵。已知
相邻
两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树
之间的距离是多少米？
思路：
根据“两侧共栽22棵树”，先求一
侧栽22÷2=11棵树，那么从第1棵树到
第11棵树之
间的间隔是11－1=10个。40
米长的大路平均分成10段，每段是40÷
10=4米。<
br>
试一试2：在公园一条长25米的路的两侧
放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，
相邻两把椅子距离相等。相邻两把椅子之
间相距多少米？
例题3 把一根
钢管锯成小段，一共花了
28分钟。已知每锯开一段需要4分钟，这
根钢管被锯
成了多少段？
思路：段数=锯的次数＋1。
算式：
锯的次数：28÷4=7（次）
段数：7＋1=8（段）
试一试3：一根
圆木锯成2米长的小段，
一共花了15分钟。已知每锯下一段要3
分钟，这根圆木长多少米？<
br>
例题4
在一个周长是48米的池塘周围种
树，每隔6米种一棵树，一共种了多少棵？
思路：封闭线路中：棵树=间隔数
算式：48÷6=8（棵）
试
一试4：在一个边长为12米的正方形四
周围篱笆，每隔4米打1根木桩，一共要
准备多少根木
桩？
例题5 甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到
5楼时，乙恰好跑到3楼。照这样计
划，
甲跑到17楼时，乙跑到多少层？
思路：爬楼梯时第一层楼是不用爬的。（楼<
br>层数－1）才是要走的楼梯段数。“甲跑到
5楼时，乙恰好跑到3楼”，说明甲的速度
是
乙的（5－1）÷（3－1）=2倍。甲跑到
17楼时跑了（17－1）=16段楼梯，乙跑
了
16÷2=8段楼梯，他跑到了第8＋1=9
层楼。
试一试5：小明和小红两人爬楼
梯比赛，
小明跑到第四层时，小红跑到第五层，照
这样计算，当小明跑到第十六层时，小红跑到了第几层？
专题十五 重叠问题
专题简析：解答重叠问题时要
用到一个重
要原理——包含与排除原理，即当两个计
数部分有重复包含时，为了不重复计数，<
br>应从它们的和中排除重复部分。
把两个部分合在一起减重叠，把两个
部分分开加重叠。
例题1 六一儿童节，学校
门口挂了一行
彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从
后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多
少面？
思路：从前数起红旗是第8面，从后数起
是第10面，有一面红旗就
数了两次，应
减去重复数的部分，所以这行彩旗共有8
＋10－1=17面。
试一试1：同学们排队去参观展览，无论
从前数还是从后数起，李华都排在第8个。
这一排共
有多少个同学？
例题2 同学们排队做操，每行人数同样
多。小明的位置从左数起
是第4个，从右
数起是第3个，从前数起是第5个，从后
数起是第6个。做操的同学共有多少个
？
思路：小明的位置从左数第4个，右数第
3个，说明横行有4＋3－1=6个人；
从前
数第5个，从后数第6个，说明竖行有5
＋6－1=10人，所以做操的同
学共有：6
×10=60人。
试一试2：三（4）班排成每行人数相同的
队
伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前
数是第6个，从后数是第5个；从左数、
从右数都是第3
个。三（4）班共有学生
多少人？
例题3 把两块一样长的木板像下图这样
钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一
起的木板长120厘米，中间重叠部分是16
厘米，
这两块木板各长多少厘米？
思路：把重叠在一起两块木板分开，先加
上重叠的部分1
6厘米，即这两块木板的
总长度是120＋16=136厘米，每块木板的
长度是136÷2=
68厘米。
试一试3：把两块一样长的木板钉在一起，
钉成一块长35厘米的木板。
中间重合部
分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？
专题十六
简单枚举
专题简析：一是分类要全，不能造成遗漏；
二是枚举要清，必须有次序、有
规律地进
行枚举。
例题1 从小华家到学校有3条路可走，
从学校到文峰
公园有4条路可走。从小华
家到文峰公园，有几种不同的走法？
思路：为了帮助理解
题意，可以画出示意
(4)
(1)(5)
小华家
(2)
(3)
(6)
学校
文峰公园
(7)
图。
根据图中可知，从小明
家经学校到文
峰公园，走①路有4种不同走法，走②路
有4种不同走法，走③路也有4种不同走
法，共有4×3=12种不同走法。
试一试1：明明有2件不同的上衣，3条
不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭
配成多少种不同的装束？
例题2
用红、绿、黄三种信号灯组成一
种信号，可以组成多少种不同的信号？
思路：组成的信号有：红绿黄、红黄绿；
绿红黄、绿黄红；黄红绿、黄绿红等6种。
可以把组成的信号看成是三个位置：
第1个位置有3种选择，第2个位置有2
种选择，
第3个位置就只有1中选择。所
以排列方法一共有：3×2×1=6（种）
试一试2：用数字1、2、3，可以组成多
少个不同的三位数？分别是哪几个数？
例题3 有4位小朋友，寒假中互相通一
次电话，他们一共打了多少次电话？
思路1：每个小朋友都节打电话3次。但
两人之间只需打1次电话，互打就重复了。
因此一
共打3×4÷2=6（次）
思路2：第1个小朋友打了3个电话，第
2个小朋友打了
2个电话，第3个小朋友
打了1个电话，第4个小朋友不需要打电
话。因此一共打3＋2＋1=
6（次）
试一试3：
（1）6个小队进行排球比赛，每两队比赛
一场，共要进行多少次比赛？
（2）暑假里，三位小朋友互发一封问候
邮件，他们一共发了多少封邮件？
专题十七 等量代换
专题简析：两个相等的量，可以互相代换。
当年曹冲
称象时，就运用了等量代换的方
法：船两次排开水的重量相等，也就是一
船石头的重量等于大象
的重量。
例题1 1个梨的重量等于2个苹果的重
量，1个苹果的重量等于3个桃
子的重量。
想一想，1个梨的重量等于几个桃子的重
量？
思路：根据“1个
苹果重=3个桃子重”，
则2个苹果重=6个桃子重；又因为“1个
梨重=2个苹果重”，所以
1个梨重=6个桃
子重。
试一试1：1个菠萝的重量等于6个苹果
的重量，
2根香蕉的重量等于1个菠萝的
重量。1根重蕉的重量等于几个苹果的重
量？
例题2 1个足球的重量等于2个排球的
重量，1个排球的重量等于6只乒乓球的
重
量。如果1只乒乓球重8克，那么1只
足球重多少克？
思路：根据“1只排球=6只
乒乓球的重量”
可知“2只排球=12只乒乓球的重量”，又
因为“1只足球=2只排球的重量
”，所以1
只足球=12只乒乓球的重量。所以1只足
球重：8×（6×2）=96克。
试一试2：
1只猴子的重量=2只兔子的重量
1只兔子的重量=3只小鸡的重量。
已知1只小鸡重量200克，1只猴子重多
少克？
例题3
想一想，1只白皮球的重量等于
几只黑皮球的重量？
思路：根据“2只花皮球的重量
=4只黑皮
球的重量”可知1只花皮球的重量=2只黑
皮球的重量；再根据“1只白皮球的重量
+1只花皮球的重量=5只黑皮球的重量”
可推出1只白皮球的重量=3只黑皮球的重
量。
试一试3：1个菠萝加1个梨的重量等于7
个桃子的重量，2个梨的重量等于4
个桃
子的重量。那么，1个菠萝的重量等于几
个桃子的重量？
例题4
1只鸡的重量＋1只猴的重量=1500克①
1只猴的重量＋1只鸭的重量=1800克②
1只鸡的重量＋1只鸭的重量=1300克③
求：三种动物每只各重多少克？
思路：把①、②、③加起来，则每种
动物
的重量都加了两次。1只鸡＋1只猴＋1只
鸭=（1500＋1800＋1300）÷2=
2300（克）。
根据①求鸭：2300－1500=800克；根据②
求鸡：2300－18
00=500克。根据③求猴：
2300－1300=1000克。
试一试4：
1筐苹果的重量＋1筐橘子的重量=90千克
1筐橘子的重量＋1筐香蕉的重量=140千
克
1筐香蕉的重量＋1筐苹果的重量=150千
克
求：三种水果每筐各多少千克？
专题十八 错中求解
专题简析
：计算时常因马虎而造错误。解
答这类题，往往要采用倒推的方法，从错
误的结果入手分析错误
的原因，最后利用
和差的变化求出加数或被减数、减数，利
用积、商的变化求出因数或被除数、
除数。
例题1 小马虎在做一道加法题时，把一
个加数十位的5错看成2，另一个
加数个
位上的4错看成1，结果计算的和为241。
正确的和是多少？
思路
：把一个加数十位上的5看成2，少
了3个10，这样和就减少了30；把另一
个加数个位上的
4看作1，少了3个1，
这样和就少了3。所以正确的和是241＋
30＋3=274。
试一试1：
（1）懒羊羊在计算一道加法题时，把一
个加数个位上的7
看作1，十位上的3看
作8，结果为342。正确的和是多少？
（2）小丽在做一道
减法时，错把被减数
十位上的2看作7，减数个位上的5看作
8，结果得到的差是592。正确
的差是多
少？
例题2 小马虎在计算一道题目时，把某
数乘3加20，误
看成某数除以3减20，
得数是72。某数是多少？正确的得数是多
少？
思
路：小马虎计算得到72，是先除再减得
到的，我们可以根据逆运算的顺序把72
先加后乘，求
出某数为（72＋20）×3=276，
然后再按题目要求，按运算顺序求出正确
的数276×
3＋20=848。
试一试2：小华在计算一道题时，把一个
数加上4乘2看作了乘
2加上4，得数为
40。正确的得数是多少？
例题3 小马虎在做两位数乘两位数
的题
时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的
结果是550，实际应为625。这两个两位数各是多少？
思路：我们可以用竖式来帮助分析：
乘
数个位上的5看作2，结果比原来少了
5－2=3个被乘数，实际的结果与错误的结
果相差62
5－550=75；75正好是被乘数的
3倍，被乘数是75÷3=25，乘数是625÷
25
=25。
试一试3：
（1）小华在做一道两位数乘法时，把乘
数
个位上的3错写成5，乘得的结果是
875，正确的结果是805。这两个两位数分
别是多少？
（2）小芳在计算一道题时，把5×（△＋
7）错写成5×△＋7，她得到的结果与
正
确答案相差多少？
例题4 小林在计算有余数除法时，把被
除数137
当作173，结果商比正确结果大
了4，但余数恰好相同。正确的除法算式
应是什么？
思路：把被除数137当作173，被除数就
多了173－137=36，因此商比正确结果大
4，但余数相同，说明除数的4倍就是36。
所以除数为36÷4=9，正确的除法算式为137÷9=15……2。
试一试4：王刚在计算有余数除法时，把
被除数17
1错写成117，结果商比原来少
9，但余数恰好相同。正确的除法算式是
怎样的？
专题十九 用对应法解题
专题简析：在用对应法解题时，通常先把
题目中
的数量关系转化为等式，并把这些
等式按顺序编号，然后认真观察，比较对
应关系的变化，以便
寻找解题的突破口。
（先把各组量排出来）
例题1 奶奶去买水果，如果她买4千
克
梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6
千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。
问1千克梨和1千克荔枝各多少元？
思路：把两次买的情况摘录下来进行比
较：
4千克梨＋5千克荔枝=58元
①
6千克梨＋5千克荔枝=62元 ②
用②式比①式多了6－4=2千克
梨，也就
是多了62－58=4元，说明1千克梨的价
钱为4÷2=2元，那么1千克荔枝的价
钱
就是（58－2×4）÷5=10元。
试一试1：3筐苹果和5筐橘子共重270
千克，3筐苹果和7筐橘子共重342千克。
一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？
例题2 学校买足球和排球，买3个足球
和4个排球共需要190元，如果买6个足
球和2个排球需要230元。一个足球和一
个排球各多少元？
思路：我们可以把两次买的情况摘录下来
进行比较：
3个足球＋4个排球=190元①
6个足球＋2个排球=230元②
比较①、②，发现两组条件无法相
、减。
再观察会发现：如果把①式同时扩大2倍，
得到6个足球和8个排球共380元，然后<
br>再例题1的方法计算。
排球：（190×2－230）÷（4×2－2）=25
元
足球：（190－25×4）÷3=30元。
试一试2：5筐番茄和2筐黄瓜共重3
30
千克，3筐番茄和4筐黄瓜共重310千克。
一筐番茄和一筐黄瓜各重多少千克？
例题3 三年级三个班种了一片小树林，
其中72棵不是一班种的，75棵不是二班
种的，73棵不是三班种的。三个班各种了
多少棵？
思路：“72棵不是一班种的”
，说明二班和
三班共种树72棵；“75棵不是二班种的”，
说明一班和三班共种75棵，“7
3棵不是三
班种的”，说明一班和二班共种73棵。这
样，我们就可以求出三个班共种多少棵<
br>树：（72＋75＋73）÷2=110棵。用110－
72=38棵就是一班种的棵数，110
－75=35
棵就是二班种的棵数，110－73=37棵就是
三班种的棵数。
试一试3：学校买四种颜色的气球，其中
有93个不是红气球，有95个不是黄气球，
有9
8个不是蓝气球，紫气球有10个。学
校共买了多少个气球？
专题二十
盈亏问题
专题简析：一定数量的物品，平均分给一
定数量的人。每人少分，则物品有
余（盈）；
每人多分，则物品不足（亏）。解答盈亏
问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差。
基本解法是：份数=（盈＋亏）÷两次分
配数的差，由其中一种分法
的份和盈亏数
求出物品数。
例题1 小明的妈妈买回一篮梨，分给全
家。
如果每人分5个，就多出10个；如
果每人分6个，就少2个。小明全家有多
少人？这篮梨有多
少个？
思路：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人分5个，多10个（盈）
第二种分法：每人分6个，少2个（亏）
全家人数：（10＋2）÷（6－5）=12（人）
梨的个数：5×12＋10=70（个）
试一试1：
（1）有一
根绳子绕树4圈，余2米；如
果绕树5圈，则差6米。树周长是多少米？
绳子长多少米？
（2）幼儿园买来一些玩具，如果每班分8
个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个
班？这批玩具有多少个？
例题2 老师买来一些练习本分给优秀少
先队员，如果每人分5本，则多了14本；
如果每人分7本，则多了2本。优秀少先
队员有几人？买来多少本练习本？
思路：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人5本，多了14本（多
盈）；
第二种分法：每人7本，多了2本（少盈）。
每份相差：7－5=2本
人数：（14－2）÷（7－5）=6人
练习本数：5×6＋14=44本。
试一试2：把一袋糖分给小朋友们，如果
每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6
粒，则多了2粒。有小朋友几人？有多少
粒糖？<
br>
例题3 学校派一些学生去搬一批树苗，
如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬<
br>8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗
有多少棵？
思路：根据题意，我们可知搬树苗的两种
方案：
第一种方案：每人搬6棵，差4棵（少亏）；
第二种方案：每人搬8棵，差18棵（多
亏）。
每人多搬了8－6=2棵树苗，
人数=（18－4）÷（8－6）7人
树苗棵数：6×7－4=38棵。
试一试3：数学兴趣小组的同学做数学题，
如果每人做6道，则少4道；如果每人做
8道，则少16道。有几个学生？多少道数
学题？<
br>
例题4 三（1）班学生去公园划船，如果
每条船坐4人，则少一条船；如果每条船
坐6人，则多出4条船。公园里有多少条
船？三（1）班有多少学生？
思路
：先把题目中的条件进行转化。“每
条船坐4人，少一条船”则多4人；“每
条船坐6人，多4
条船”则少6×4=24人
再用例1的方法计算。
船数：（4＋6×4）÷（6－4）=14条
学生人数：4×（14＋1）=60人。
试一试4：小明从家到学校，如果每分钟<
br>走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟
走50米，则早到4分钟。小明家到学校
有多远
？
专题二十一 简单推理（一）
专题简析：要得出正确的结论，就要进
行
分析、推理。学会了推理，能使你变得更
聪明，头脑更灵活。解答这类推理题时，
要认真分析等式中几个图形之间的关系，
寻找解题的突破口，然后再利用等量代
换 、消去等方法来进行解答。
例题1 下图中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△
□=（ ） △=（ ）
< br>思路：根据□＋△=28，我们可以得出□
=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋
△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于
28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋
7＋7=21。
试一试1：
○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□
○=（ ） □=（ ）
例题2 下图中□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4
□=（ ） △=（ ）
思路：根据□÷△=4可知△为一份，□是
这样的4份，即□=4△；又根据□×△=36，
可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一
步得到△=3，□=4△=4×3=12。
试一试2：□和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16
□=（ ） ○=（ ）
例题3 下图中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34
○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
思路：34里面有2个□、3个○，48里面< br>有3个□、4个○，用48减去34得到□
＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个
○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6
×3）÷2=8。
试一试3：下图中，△和○各代表几？
○＋○＋○＋△＋△=54
△＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
专题二十二 比较多与少
专题简析：在日常生活中，经常比较两个
数量或几个数量的多少。借助线段图来进
行比较，很容易看出两种量的多少。
例题1：小方和小明的铅笔支数相等，如
果小方给小明4支铅笔，这时小明比小方
多几支铅笔 ？
思路：根据提议，画出线段图：
从图中可以看出，小方盒小明铅笔支数 原
来相等，小方给小明4支铅笔后，小方的
铅笔支数比原来减少4支，而小明的铅笔< p>
支数比原来多了4支，这时小明的铅笔支
数就比小方多2个4支，即多8支。
< br>试一试1：熊大和熊二的苹果同样多，如
果熊大拿10个苹果给熊二，这时熊二比
熊大多 几个苹果？
例题2：一条路的左边插了48面红旗，右
面插了32面红旗，要使路的 两边插的红
旗同样多，需要从左边移几面红旗到右
边？
思路：根据题意，画出线段图：
从图中可以看出，左边比右边多48-32=16< br>（面），要使左右相等，就要把左边比右
边多的面数平均分成2分，一份给右边，
一份仍 留在左边，所以应从左边移16÷
2=8（面）。
算式：（48-32）÷2=8（面）
试一试2：有两筐橘子，第一筐有24千克，
第二筐有42千克，从第二筐中取出多少
千克放入第一筐中，两筐橘子的重量相
等？< br>
例题3：书架上，第一层放了56本书，第
二层放了36本书，每次从第一层拿5本< br>书放到第二层，拿几次两层书同样多？
思路：根据题意，画出线段图：
要求“拿几次后两层书同样多”，就必须
知道需要从第一层拿到第二层的本数和
每次哪的本 数。根据“第一层放了56本
书，第二层放了36本”可以知道第一层
比第二层多56-36= 20（本）。从图中可以
看出，只有从第一层中拿出第一层比第二
层多出的20本的一半，也就 是20÷2=10
（本）放到第二层，两层书就同样多。又
知道每次拿5本，因此拿10本书需 要10
÷5=2（次）。
算式：（56-36）÷2÷5=2（次）
试一试3：甲、乙两堆煤，甲堆有120吨，
乙堆有80吨，用一辆载重5吨的车把煤
从甲 堆运到乙堆，运几次后两堆煤同样
多？
例题4 小军给了小玲8本故事书后，两
人书就同样多了，原来小军比小玲多几本
故事书？
思路： 根据题意，画出线段图：
看图可知，小军给小玲8本后，两人书就
一样多了，原来小军比小玲多2个8本，
即：8×2=16（本）
试一试4：从甲袋拿出5只球给乙袋后，
两只袋中 的球一样多，原来甲袋比乙袋多
几支球？
专题二十三 和倍问题
专题简析：解答和倍应用题，关键是要找
出两数的和以及与其对应的倍数和，从而
先求出1倍 数，再求出几倍数。数量关系
可以这样表示：
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和－小数=大数
例题1 学
校将360本图书分给二、三两
个年级，已知三年级所分得的本数是二年
级的2倍，问二、三两
个年级各分得多少
本图书？
思路：将二年级所得图书的本数看作1倍
数，则
三年级所得本数是这样的2倍。如
图所示：
二年级：360÷（1＋2）=120本
三年级：120×2=240本
试一试1：小红和小明共有压岁钱800元，
小红的钱数是小明的3倍。小红和小明各
有压岁钱多少元？
例题2 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆
珠笔芯15枝，问小
青给小宁多少枝后，
小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？
思路：把变化后小青的圆珠
笔芯枝数看作
1倍数，则小宁的枝数看作8倍数。所以
变化后小青的枝数为（30＋15）÷（
1＋8）
=5枝，小青给小宁的枝数：15－5=10枝。
试一试2：甲水池有水6
9吨，乙水池有水
36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的
速度流入乙水池，那么多少分钟后
，乙水
池的水是甲水池的2倍？
例题3
被除数与除数的和为320，商是7，
被除数和除数各是多少？
思路：由商是7可知
，被除数是除数的7
倍，把除数看作1份数，被除数就有这样
的7份，一共7＋1=8份。
除数：320÷8=40
被除数：40×7=280
试一试3：被除数、除数、商的和为79，
商是4，被除数、除数各是多少？
例题4 两个数之和是792，其中一个数
的最后一位数数字是0，如果把0去掉，
就与另一个数相同。这两个数分别是多
少？
思路：把一个数的最后一位数字0去掉，
就与另一个数相同，说明大数是小数的10
倍。又知两个数之和是792。则：
小数：792÷（10＋1）=72
大数：72×10=720
试一试3：师徒两人加工一批零件共693
个，师傅加工零件个数的末位数字是0，
如果去掉这
个0，加工的个数就与徒弟一
样多。师徒二人分别加工零件多少个？
专题二十四
差倍问题（一）
专题简析：知道“两个数的差与两个数间
的倍数关系，要求两个
数各是多少”这类
题，称为“差倍问题”。
用关系式可以这样表示：
两数差÷（倍数－1）=较小的数（1倍数）
较小的数×倍数=较大的数（几倍数）
例题1 小明到市场去买水果，他买的苹<
br>果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。
小明买苹果和梨各多少个？
思路：将梨的个数看作1倍数，则苹果的
个数是这样的3倍。如下图：
从线
段图上可以看出，苹果的个数比梨多
了3－1=2倍，梨的2倍是18个，所以梨
有18÷2=
9个，苹果有：9×3=27个。
试一试1：甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，
如果从甲
筐取出60千克放入乙筐，那么
两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果
多少千克？
例题2 被除数比除数大252，商是7，被
除数、除数各是多少？
思路
：根据“商是7”可知，被除数是除
数的7倍，把除数看作1倍数，被除数就
是这样的7份，比
除数多6份。所以，
除数：252÷（7－1）=42
被除数：42＋252=294
试一试2：除数比被除数小212，商是5，
被除数、除数各是多少？
例题3 水果店有两筐橘子，第一筐橘子
的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐中
取
出300个放入第二筐，那么第一筐橘子
还比第二筐多60个。原来两筐橘子各有
多少个？
思路：根据题意可知：原来第一筐比第二
筐橘子多300×2＋60=660个。把第二
筐
的橘子重量看作1倍数，第一筐橘子是这
样的5倍，比第二筐多4倍，
第二筐：（300×2＋60）÷（5－1）=165
个
第一筐：165×5=825个
试一试3：人民公园的杜鹃花盆数是长春
园
的4倍，如果从人民公园搬出188盆杜
鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆
数就比长春园
的少25盆。原来两个公园
各有杜鹃花多少盆？
例题4 甲、乙两个数，如果甲数
加上280
就等于乙数，如果乙数加上320就等于甲
数的3倍。两个数各是多少？
思路：根据题意，画出线段图：
变化后，甲、乙就相差320+280=600，把
甲数看作1倍数，600就相当于甲数的3
－1=2倍。所以，甲数为600÷2=300，乙
数为300＋280=580。
试一试4：两筐千克数相同的苹果，甲筐
卖
出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐
余下的苹果是乙筐的3倍。两筐苹果原来
各有多少千克？
专题二十五 差倍问题（二）
专题简析：较复杂的差倍
应用题，数量关
系比较隐蔽。先依题意画出线段图，然后
借助线段图找出两个数的差以及所对应
的倍数，再利用公式进行解答。
例题1 有两袋玉米，大袋比小袋多56千
克，如果将小袋的玉米吃掉4千克，这时
大袋的玉米重量是小袋的4倍。两袋玉米
原来各重量
多少千克？
思路：根据题意，画出线段图。
小袋玉米减少4千克，两袋就
相差
4+56=60千克；把小袋现有的玉米重量看
作1倍数，大袋比小袋多4－1=3倍。<
br>
小袋现有：（4+56）÷（4－1）=20千克
小袋原有：20 +
4=24千克
大袋原有：20×4=80千克
试一试1：一个书架上放着
一些书，第二
层比第一层多12本。如果从第一层中拿
走6本，这时第二层的本数是第一层的4
倍。求第一、第二层原来各有多少本书？
例题2 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲
桶
中倒入8千克，则两桶色拉油就一样重；
如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉
油就是甲桶的
5倍。甲、乙两桶原来各有
色拉油多少千克？
思路：根据题意，画出线段图。
从图上可以看出：乙桶油就比甲桶油多
8+
12=20千克，与20千克相对应的倍数差
是5－1=4倍。所以，
甲桶原有：（8+12）÷（5－1）=5千克，
乙桶原有：5+8=13千克。
试一试2：三（1）班同学参加英语比赛，
如果男生少去1人，男、女参赛人数相等；
如果女生少去1人，男生参赛人数是女生
的2倍。三
（1）班参加英语比赛的男、
女生各几人？
例题3 学校里白粉笔的盒数是彩色粉
笔
的4倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进12
盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。
原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？
思路：根据题意，如果彩色粉笔购进12
盒，
而白粉笔购进12×4=48盒，那么现
在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的4倍，可
见48－12
=36盒就是彩色粉笔现有盒数的
4－3=1倍，所以彩色粉笔现有36÷1=36
盒，原来有
36－12=24盒，白粉笔原有24
×4=96盒。
试一试3：有甲、乙两桶油，
甲桶油的重
量是乙桶油的5倍。如果每桶分别倒入8
千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的<
br>3倍。甲、乙两桶原来各有多少千克油？
专题二十六 和差问题
专题简析：已知“大小两个数的和及它们
的差，求这两个数各是多少”，称为和
差
问题。用数量关系表示：
（和＋差）÷2=大数
（和－差）÷2=小数
例题1 期中考试王平和李杨语文成绩的
总和是1
88分，李杨比王平少4分。两人
各考了多少分？
思路：根据题意画出线段图。
用假设法来分析。假设李杨的分数和王平
一样
多，则总分就增加4分，变为
188+4=192分，这就表示王平的2倍，所
以王平考了：1
92÷2=96分，李杨考了96
－4=92分。
试一试1：3.1班和3.2班共
有学生124
人，如果从3.2班调2人到3.1班，两班
学生同样多。3.1班、3.2班原
来各有学
生多少人？
例题2 某机床厂第一、二两个车间共有
车床96部
，如果第一车间拨给第二车间8
部，那么两个车间车床数相等。两个车间
各有车床多少部？
思路：用线段图表示题意。
从线段图上我们可以看出第一车间原来
比
第二车间多8×2=16部车床。所以，第
一车间原有：（96+8×2）÷2=56部，第二
车间原有56－8×2=40部。
试一试2：甲、乙两筐共有水果80千克，
若从甲
箱取出6千克放到乙箱中，这时两
箱水果同样多。两箱原来各有水果多少千
克？
例题3 哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥
给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2
张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？
思路：根据“哥哥给弟弟4张，还比弟弟
多2
张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋
2=10张邮票。所以，弟弟有邮票：（70－
10）÷
2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。
试一试3：姐和妹妹共有糖果39块，如果<
br>姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么
姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？
例题4 把一条100米长的绳子剪成三段，
要求第二段比第一段多16米，第三段比
第一段少18米。三段绳子各长多少米？
思路：用线段图来表示题意。
把第一段绳子的长度当作标准，假设第
二、第三段绳子都和第一段同样长，那么
总长就变为：00－16＋18=102米。
第一段绳子长：102÷3=34米
第二段绳子长：34+16=50米
第三段绳子长：34－18=16米
试一试4：某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名
多得250元，第二名比第三名多得125
元。
三名优秀工人各得多少元？
专题二十七 年龄问题
专题简析：年龄问题的主要特征是：两人
年龄的差是不变的。抓住差不变这个特
点，利用和
差、差倍等知识来分析解答这
类应用题。
例题1
三年前爸爸年龄是女儿的4倍，
爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？
思路：由题意可
知爸爸今年43岁，则三
年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁正
好是女儿年龄的4倍，
女儿三年前的年龄
是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋
3=13岁。
试一试1：儿子今年10岁，爸爸今年34
岁。几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？
例题2 明明4岁时，妈妈年龄是明明的
8倍。今年明明12岁，妈妈今年多少岁？
思路：妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈
妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。妈
妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12
岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。
试一试2：玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲
的5倍。今年爸爸40岁，玲玲今年多少
岁？
例题3
女儿今年3岁，妈妈今年33岁。
几年后，妈妈的年龄是女儿的7倍？
思路：她们的
年龄差是33－3=30岁。几
年后，她们年龄的倍数相差7－1=6倍，
所以几年后女儿的年
龄是30÷6=5岁。也
就是说，5－3=2年后，妈妈的年龄是女儿
的7倍。
试一试3：儿子今年2岁，爸爸的年龄是
儿子的16倍。几年后，爸爸的年龄是儿
子的7倍
？
例题4 4年前，妈妈的年龄是女儿的3
倍，4
年后，母女年龄和是56岁。妈妈今年多
少岁？
思路：“4年后，母子的年
龄和是56岁”，
则今年母子年龄和是56－4×2=48岁。4
年前母子年龄和是48－4×
2=40岁。又根
据4年前，妈妈年龄是女儿的3倍，把女
儿年龄看作1份，妈妈的年龄就有这
样的
3份，共有3＋1=4份。所以4年前女儿的
年龄是40÷4=10岁，妈妈今年的年龄是
10×3＋4=34岁。
试一试4：5年前，小明的年龄是小红的3
倍。5
年后，小明和小红年龄和是44岁。
今年小明多少岁？
例题5
明明今年12岁，强强今年7岁，
当两人的年龄和是45岁时，两人各多少
岁？
思路：明明和强强的年龄差为12－7=5岁，
且是不变的。当两人的年龄和是45
岁时，
两人的年龄差还是5岁。所以，强强的年
龄是（45－5）÷2=20岁，明明的年龄是
20＋5=25岁。
试一试5：聪聪今年2岁，妈妈今年28岁。
当母子俩
的年龄和是42岁时，两人各多
少岁？
专题二十八 用还原法解题
专题简析：已知一个数的变化过程和最后
的结果，求原来的数，我们通常把它叫做
“还原问
题”。解答还原问题，一般采用
倒推法，简单说，就是倒过来想。
例题1
一个减24加上15，再乘8得432，
求这个数。
思路：从结果倒推，计算方法与原先相逆。
①32÷8=54②54－15=39③39＋24=63。
因此，这个数是63。
试一试1：一个数的4倍加上6减去10，
再乘2得88，求这个数。
例题2 甲、乙、丙三人各有一些连环画，
甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数
同样多。乙原来比丙多多少本？
思路：因为乙给丙5本后，两人同样多，
可知乙比丙
多5×2=10本，而这10本中
又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10
－3=7本。
试一试2：甲、乙、丙三个组各有一些图
书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又
送给丙组6本，这时三个组的图书本数同
样多。原来乙组和丙组哪组的图书多，多
几本？
例题3 李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数
的一半多10个，下午又卖出余下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。
李奶奶原来有多少个鸡蛋？
思路：从后往前还原。
（1）
“卖出余下的一半”也就是“另一
半没卖
出去”。则余下：（10＋65）×2=150（个）
（2）
“卖出总数的一半”，则余下“总数的另
一半”。总数：（150＋10）×2=320（个）
试一试3：王叔叔拿工资若干元，从工资
中拿出一半多100元存入银行，又拿出余下的一半多50元买米、米，剩下800元
买菜。王叔叔拿工资多少元？
例题4
小红、小青、小宁都喜爱画片，
如果小红给小青11张画片，小青给小宁
20张画片，小宁给小
红5张画片，那么他
们三人的画片张数同样多。已知他们共有
画片150张，他们三人原来各有
画片多少
张？
思路：三人交换画片，总张数是不会改变
的。
交换以后三人张数相等，那每人应有：
150÷3=50张。再对照题中条件，把各人
的画片还
原（给别人的要加回来，别人给
的要减出去。
小红：50＋11=61张；
小青：50－11＋20=59张；
小宁：50－20＋5=35张。
<
br>试一试4：三年级三个班共有学生156人，
若从一班调5人到二班，从二班调8人到
三
班，从三班调4人到一班，这时每个班
的人数正好相同。三个班原来各有学生多
少人？
专题二十九 用假设法解题
专题简析：我国古代趣题“鸡兔同笼”就
是运用假设法解决问题的一个范例。
解答“鸡兔同笼”问题的基本关系式是：
兔数=（总脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）
÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）
例题1 鸡、兔共30只，共有脚84只。
鸡、兔各有多少只？
思路：假
设全是鸡，共有脚：30×2=60只
脚；比实际少：84－60=24只脚；这是因
为把4只
脚的兔子都按2只脚的鸡计算
了。每只兔子少算：4－2=2只脚，所以兔
子有：24÷2=1
2只；鸡有鸡30－12=18只。
（先假设全是鸡，先算出的是兔子；反之
先算出的是鸡。）
试一试1：鸡、兔共50只，共有脚160只。
鸡、兔各几只？
例题2 鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一
共有脚168只，鸡、兔各多少只？
<
br>思路：因为鸡比兔多30只，则可以把30
只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔就同
样多
了。每一对鸡和兔共4＋2=6只脚，
用6去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔
的只数。
兔的只数：（168－2×30）÷（4＋2）=18
只；
鸡的只数：18＋30=48只。
试一试2：鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一
共有脚170只。鸡、兔各几只？
例题3 某学校举行数学竞赛，每做对一
题得9分，做错一题倒扣3分。共有12
道
题，王刚得了84分。王刚做错了几题？
思路导航：假设全做对，应得9×12=108分，现在少了108－84=24分。而做错一
题，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，
里外少了12分，所以错了24÷12=2题。
试一试3：运输衬衫400箱，规定每箱运<
br>费30元，若损失一箱，不但不给运费，
并要赔偿100元。运后运费为8880元，
损
失了几箱？
例题4 水果糖的块数是巧克力糖的3倍，
如果小红每
天吃2块水果糖，1块巧克力
糖，若干天后，水果糖还剩下7块，巧克
力糖正好吃完。原来水果
糖有几块？
思路：水果糖的块数是巧克力糖的3倍，
如果小红每天吃1块巧克力糖，
3块水果
糖，几天后，两种糖同时吃完。现在小红
每天吃2块水果糖，少吃3－2=1块，若<
br>干天后水果糖还剩下7块。所以共吃了7
÷（3－2）=7天，水果糖有2×7＋7=21
块。
试一试4：某商店有些红气球和黄气球，
红气球的只数是黄气球的4倍。每天
卖出
2只红气球和1只黄气球，若干天后，红
气球剩下12只，黄气球刚好卖完。红气
球原来有多少只？
例题5 学校买来8张办公桌和6把椅子，
共花去1650元。
每张办公桌的价钱是每
把椅子的2倍，每张办公桌和每把椅子各
多少元？
思
路：假设学校买的全部是办公桌，根据
“每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍”，
则买6把椅子
的价钱只能买6÷2=3张办
公桌，那么1650元就相当于8＋3=11张
办公桌的价钱。<
br>
所以，每张办公桌：1650÷11=150元
每把椅子：150÷2=75元。
试一试：学校买来4个篮球和5个排球，
共用了185元。已知1个篮球比1个排球
贵8元，那么篮球每个多少元？排球每个
多少元？<
br>
专题三十 平均数问题（一）
专题简析：求平均数通常用的方法是“移<
br>多补少”。解答平均数应用题关键是要求
出总数量和总份数。数量关系式是“总数
量÷总
份数=平均数”。
例题1 一辆摩托车从甲地开往乙地，前
2小时每小时行驶60
千米，后3小时每小
时行驶70千米。平均每小时行驶多少千
米？
思路：先
求这辆摩托车行驶的总路程：60
×2＋70×3=330千米，再求行驶的总时
间：2＋3=
5小时。所以，平均每小时行驶：
330÷5=66千米。
试一试1：少先队员为饲
养场割草，第一
组7人，平均每人割草13千克，第二组5
人，平均每人割25千克。平均每人
割草
多少千克？
例题2 数学测试中，一组学生的最高分
是98分，最低
分是86分，其余5名学生
的平均分为92分。这一组学生的平均分
是多少分？
思路：要求平均分，应用总分数÷总人数
=平均分，依题意，总分数为：98＋86＋
92
×5=644分，总人数为：1＋1＋5=7人。
这组学生的平均分为：644÷7=92分。
试一试2：一组学生测
量身高，最高的是
150厘米，最矮的是136厘米，其余4名
同学都是143厘米。这组同学
的平均身高
是多少？
例题3 华华3次数学测验的平均成绩是
89分，
4次数学测验的平均成绩是90分。
第4次测验多少分？
思路3-1：根据3次数学
测验平均成绩是
89分，可求出3次测验的总成绩是89×
3=267分；根据4次数学测验平
均成绩是
90分，可以求出4次测验的总成绩是90
×4=360分，最后求出第4次测验成绩
是：
360－267=93分。
思路3-2：4次测验的平均成绩比3次的
平均成绩多了90－89=1分，4次共多出了
1×4=4分，那么第4次的测验成绩就是
89
＋4=93分。
试一试3：期中考试后，王英的语文、数
学平均成绩是92分，加上
英语后，三门
的平均成绩是93分。英语考了多少分？
例题4 宁宁期中考试语文
、数学、自然
的平均分是91分，英语成绩公布后，他
的平均分提高了2分。宁宁英语考了多少
分？
思路4-1：宁宁语文、数学、自然的平均
分是91分，可以求出三门
功课的总分为
91×3=273分；英语成绩公布后，四门功
课的平均分为91＋2=93分，
总分为93×
4=372分，所以，英语成绩为372－273=99
分。
思路4-2：根据“英语成绩公布后，他的
平均分提高了2分”，则四科共提高4×2=8
分。
所以英语考了：91＋8=99分。
试一试4：小王、小张、小刘三人体育测
试平均
成绩是82分，如果加上小顾，四
人平均成绩就提高了4分。小顾体育测试
分数是多少？
例题5 甲地到乙地相距30千米，爸爸骑
自行车从甲地到乙地每小时行15千米，从乙地到甲地每小时行10千米。求爸爸
往返的平均速度。
思路：“往返”表示
这段路走了两次，总
路程是两个全程，即30×2=60千米；总
时间是去的时间与返回的时间
的和，即30
÷15＋30÷10=5小时。所以，爸爸往返的
平均速度是：60÷5=12（
千米小时）。
试一试5：一辆汽车以每小时20千米的速
度上坡，行了120千米，
然后用每小时30
千米的速度返回。求这辆汽车全程的平均
速度。
专题三十一 简单推理（二）
专题简析：做推理题时，要根据已知条件
认真分析，为了找到突破口，有时先假设
一个结论是正确的，然后验证它是不是符
合所给的一
切条件，若没有矛盾，说明推
理正确，否则再换个结论来验证。
例题1 红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽
去参加野炊活动，她们戴的帽子一个是红
的
，一个是黄的，一个蓝的。只知道红红
没有戴黄帽子，聪聪既不载黄帽子，也不
戴蓝帽子。请你
判断红红、聪聪和颖颖分
别戴的是什么颜色的帽子？
思路：“聪聪既不戴黄帽子，也
不载蓝帽
子”，所以聪聪只能戴红帽子；又根据“红
红没戴黄帽子”可知红红戴蓝帽子，因此<
br>颖颖只能戴黄帽子。
试一试1：黄颖、李红和马娜都穿着新衣
服，她们穿的衣
服一个是花的，一个是粉
红的，一个是蓝的。已知黄颖穿的不是花
衣服，李红既不穿蓝衣服，也
不穿花衣服。
她们分别穿什么颜色的衣服？
例题2 一个正方体有六个面，每个面
分
别涂有红、绿、黄、白、蓝、黑六种颜色，
你能根据这个正方体的三种不同的摆法，
判断出这个正方体每一种颜色对面各是
什么颜色吗？
思路：一个正方体有6个面，与
1个面相
邻的有4个面、另一个面与它相对。与“白”
相邻的是红、黑、蓝、黄，所以与“白”
相对的面是“绿”。 与“红”相邻的是白、
黑、绿、黄，所以与“红”相对的面是“蓝”。
与“黄”相邻的是白、蓝、绿、黄，所以
与“黄”相对的面是“黑”。
试一
试2：一个正方体，每个面上分别写
有A、B、C、D、E、F，根据它三种不同的
摆法，判断
这个正方体每个字母的对面是
什么？
例题3 王伟、李昊、吴一凡三人中，有一人看了《地球奥秘》这部科技片。当老
师问他们三个谁看了这部科技片时：
王伟说：“李昊看了。”
李昊说：“我没有看。”
吴一凡说：“我没有看。”
如果知道他们三人中只有一人说的
是真话，你能判断谁看了这部影片吗？
思
路：假设是王伟看了这部影片，那么王
伟说的是假话，李昊和吴一凡说的是真
话，与只有一人说
真话不符。
假设是李昊看了这部影片，那么王伟
和吴一凡说了真话，李昊说了假话，
与只
有一人说真话不符。
假设吴一凡看了这部影片，那么王伟
和吴一凡说了
假话，只有李昊一人说了真
话，所以是吴一凡看了这部影片。
试一试3：小张、小王
、小李三人参
加宴会，他们分别喝了一杯酒、两杯酒、
三杯酒，当小吴问他们各喝了几杯时：<
br>
小张说：“我喝了两杯。”
小李说：“我喝得最少。”
小王说：“我喝的杯数不是偶数。”
他们三人只有一人讲得不对，他们各喝了
几杯？
例题4
张老师、王老师和李老师三位老
师分别任教美术、音乐、书法中的一科。
已知：
（1）张老师比教音乐的老师年龄大；
（2）王老师比教美术的老师年龄小；
（3）教美术的老师比李老师年龄小。
问：三位老师各教什么课？
思路：根据题意列表，用“√”表示是，
用“×”表示不是：
根据“王老师
比教美术的老师年龄
小；教美术的老师比李老师年龄小。”可
判断：张老师教美术。
再根据“张老师（教美术的）比教音
乐的老师年龄大，和教美术的老师比李老
师年龄小
。”可判断李老师不教音乐，是
教书法的。
则王老师教音乐
试一
试4：小王、小李和小徐三人中，一
位是教师，一位是工人，一位是工程师。
现在知道：
（1）小徐比工人年龄大；
（2）小王和教师不同岁；
（3）教师比小李年龄小。
请问：小王、小李和小徐各自做什么工
作？
专题三十二
巧求周长（一）
专题简析：不规则的比较复杂的几何图
形，要求它们的周长，我们可
以运用平移
的方法，把它转化为标准的长方形或正方
形，然后再利用周长公式进行计算。
将一个大长方形或正方形分割成若
干个长方形和正方形，那么图形周长就增
加几个
长或宽；反之，将若干个小长方形
或正方形合成一个大长方形或正方形，图
形周长就减少几个长
或宽。
例题1
下图是由6个边长2厘米的正方
形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？
思路：这题
我们
可以用平移的
方法将它转化
为一个长方形，
如右图：
这个长方形的长含有4个小正方形的边
长，长为2×4=8厘米；宽含有2个小正
方形的边长，
宽为2×2=4厘米。这个长
方形的周长为：（2×4＋2×2）×2=24厘
米。
试一试1：下图是由6
个边长为2厘米的正方形组成的，求此图
形的周
长。
例题2 两个大小相同的正方形拼成一个
长方形后，周长比原来两个正方形周
长的
和减少了6厘米。原来一个正方形的周长
是多少厘米？
思路：根据题意，画出下图。
两个正方形8条边，拼成一个长方形时就
减少
2条边、“减少了6厘米”，每条边长
是6÷2=3厘米。原来正方形的周长是：3
×4=12
厘米。
试一试2：把一个正方形剪成两个大小相
同的长方形后，两个长方形的周长和
比原
来正方形的周长增加28分米。原来正方
形的周长是多少？
例题3
将一张边长为36厘
米的正方形纸，剪成4个完
全一样的小正方形纸片，这
4个小正方
形周长的和比原来的正方形周
长增加了多少厘米？
思路：根据题意和图可知，需剪两
刀；剪
一刀，增加2个边长，一共增加2×2个
边长。所以周长共增加36×4=144厘米。
试一试3： 将一个长为
8分米，宽为6分米的长
方形如下图剪成6个完<
br>全一样的小长方形，这6
个小长方形周长之和比原来的正方形周
长增加了多少分米？
专题三十三 巧求周长（二）
专题简析：在解答比较复杂的关于长方
形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套
公式往往行不通，这时灵活地运用所学知
识在解题中
显得相当的重要。
解答稍复杂的有关长方形、正方形周
长的问题，要认真思考，条件
和问题间有
什么联系，应该先求什么，再求什么，再
计算。
例题1 一根
铁丝长80厘米，围成一个边
长为8厘米的正方形，余下的铁丝围成一
个长为14厘米的长方形
。这个长方形的
宽是多少厘米？
思路：要求长方形的宽，必须先求出这个
长
方形的周长，也就是这根铁丝余下的长
度。
（1）正方形的周长：8×4=32厘米
（2）长方形的周长：80－32=48厘米
（3）长方形的宽：48÷2－14=10厘米
试一试1：一根绳子长78厘米，围
成一个
长12厘米，宽9厘米的长方形，余下的
围成一个正方形。这个正方形的边长是多
少厘米？
例题2 一个长方形的周长是正方形的2
倍，正方形的边长与长方形的
宽都是4厘
米。长方形的长是多少厘米？
思路：先求出正方形的周长，就可求出长
方形的周长，再求出长方形的长。
（1）正方形的周长：4×4=16厘米
（2）长方形的周长：16×2=32厘米
（3）长方形的长：32÷2－4=12厘米。
试一试2：一个长方形的周长是正方
形的
4倍，正方形边长与长方形的宽为6厘米。
长方形长多少厘米？
例题3
三个同样大小的长方形正好拼成
一个正方形，正方形的周长是48厘米，
求每个长方形的周长。
思路：反推过来，正方形的边长是长方形
宽的3倍；正方形的边长等于长方形的长。
长=边长=48÷4=12厘米
宽=12÷3=4厘米
周长=（12＋4）×2=32厘米
试一试3：明明用学具盒里的三个同样大
小的长方形拼成了一个大长方形，已知大
长方形的周长是60厘米，长是宽的4倍，
求小长方
形的周长。
专题三十四 面积计算
专题简析：解答比较复杂的关于长方
形、
正方形的面积计算的问题时，可以添加辅
助线或运用割补、转化等解题技巧。
例题1 求下面图形的面积。（单位：厘米）
思路：画一条辅助线，将图形分割成两个
长方形。
4×2=8平方厘米
3×1=3平方厘米
8＋3=11平方厘米
试一试1：计算下面图形的面积。（单位：
厘米）
例题2 有两个相同的
长方形，长是8厘
米，宽是3厘米。如果把它们按下图叠放，
这个图形的面积是多少？
思路：用两个长方形面积减去重叠部分面
积即可。
两个长方形面积：8×3×2=48平方厘米
重叠部分面积：3×3=9平方厘米
这个图形的面积是48－9=39平方厘米。
试一试2：一个长方
形与一个
正方形部
分重合（如下图），
求没有重合的阴影
部分面积相差多少？（单位：厘米）<
br>
例题3 一个长方形若长增加2厘米，
面积就增加10平方厘米，若宽减少3厘
米，面积就减少18平方厘米。求原来长
方形的面积。
<
br>思路：（1）“长增加2厘米”宽没变，宽
=10÷2=5厘米；（2）“宽减少3厘米”长没变，长18÷3=6厘米。
面积=（10÷2）×（18÷3）=30平方厘米
试一试3：一个正方形若边长都
增加4厘
米，面积就增加56平方厘米。原来正方
形的面积是多少平方厘米？（先画图分
析）
专题三十五 最佳安排
专题简析：科学地安排时间的方法，用最
少的时间做最多的事，就叫做最佳安排。
<
br>小朋友在进行最佳安排时，要考虑以
下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做
每件事
需要的时间；（3）要弄清所做事的
程序，即先做什么，后做什么，哪些事可
以同时做。
例题1 贴烧饼的时候，第一面需要烘3
分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的
架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3
个烧饼至少需要几分钟？
思路：
（1）1号饼正面、2号饼正面————3
分钟
（2）1号饼反面、3号饼正面————2
分钟
（3）2号饼反面、3号饼正面————1
分钟
（4）2号饼反面、3号饼反面————1
分钟
（5）3号饼反面————1分钟。
3＋2＋1＋1＋1=8分钟
试一试1 红太狼用一个平底锅烙饼，
锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2
分钟，烙第二面需要1分钟。现在在烙三
个饼，最少需要多少分钟？
例题2 在一
条公路上每隔50千米有一个
粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮
食，乙粮库存有20吨粮
食，丁粮库存有
50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想
把所存的粮食集中放在一个粮库中，
如果
每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最
少要花多少运费才行？
思路：
移动的货物重量小路程近，花费的
费用就少。在本题中，各粮库之间的距离
相等都是50千米，
一般原则是“少往多
处靠”。甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，
还不如丁粮库的粮食多，所以
应将甲、乙
粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用
1×10×50×3=1500元，乙粮库
需要1×
20×50×20=2000元，共用1500＋
2000=3500元。
试一试2：一条公路有四个储油站，它们
之间都相隔100千米。甲储油站有50吨
油
，乙储油站储有10吨油，丙储油站有
20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把
所存的油集中于一个储油站，每吨油运1
千米要2元运费，那么最少要花多少运
费？
例题3 小明骑在马背上赶马过河，共有
甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分
钟
，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分
钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马
过河，要把4匹
马都赶到对岸去，最少要
几分钟？
思路：要使过河时间最少，应抓住以下两
点：（1）同时过河的两匹马相差时间尽可
能小些，才能使花时间少的马在过河时少
浪费时间；
（2）过河后应骑时间少的那匹
马回来。因此，赶马的顺序是：小明先骑
甲马赶乙马一起过河，
再骑甲马返回，共
需3＋2=5分钟；然后骑丙马赶丁马一起
过河后，再骑乙马返回，7＋3=
10分钟；
最后骑在甲马背上赶乙马一起过河，不再
回来，共需3分钟。所以，4匹马都赶到<
br>对岸去最少时间是5＋10＋3=18分钟。
试一试3：小刚骑在马背上过河，共有甲
、
乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，
乙马过河要2分钟，丙马过河要3分钟，
丁
马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，
要把4匹马都赶到对岸去，最少要多少分
钟？
专题三十六 抽屉原理
专题简析：抽屉原理的关键是“苹果数比
抽屉数多
1”。抽屉原理的解题思路是“最
不利原则”，解答时先确定有几个抽屉、
几个苹果。至少有一
个抽屉放的苹果数
是：苹果数除以抽屉数的商＋1。
例题1 敬老院买来许多苹果
、橘子和梨，
每位老人任意选两个，那么，至少应有几
位老人才能保证必有两位或两位以上老<
br>人所选的水果相同？
思路：三种水果任选两个的搭配有：苹果
——苹果；苹果
——橘子；苹果——梨；
橘子——橘子；橘子——梨；梨——梨共
6种，所即有6个抽屉。根据
“苹果总数
至少要比抽屉数多1”，所以至少有7位老
人。
试一试1：一个
袋子里有红、黄、橙、紫
四种颜色的小球，每人任意摸三个球，那
么至少有几人才能保证有两个
或两个以
上的人所选的小球相同？
例题2 盒子里混装着5个白色球和4个
红色球，要想保证一次能拿出两个同颜色
的球，至少要拿出多少个球？
思路导航：
根据“最不利原则”，前两个
球一个是白球，一个是红球；第3个球不
论是什么颜色都能保证有
两个同颜色的
球，所以至少要拿出3个球。
试一试2：书箱里混装着3本故事书和5
本科技书，要保证一次能拿出两本同样的
书，至少要拿出多少本书？
例题3 一个布袋里装有红、黄、蓝袜子
各5只，问一次至少取出多少只，才
能保
证每种颜色至少有一只？
思路导航：根据“最不利原则”，先取5
只全
是红的，再取5只又全是黄的，这时，
再取1只一定是蓝的了，这样取5×2＋
1=11只才能
保证每种颜色至少有1只。
试一试3：书箱里放着4本故事书，3本
连环画，2本文
艺书。一次至少取出多少
本书，才能保证每种书至少有一本？
例题4 三（2）班
有50个同学，在学雷
锋活动中，每人单独做了些好事，他们共
做好事155件。问：是否有人
单独做了4
件或4件以上的好事？
思路：50个同学就是50个抽屉；155件好事就是155个苹果。155÷50=3……5。
所以至少有一个同学做了3＋1=4件或（3<
br>＋5＞4）4件以上好事。
试一试4：明明、华华、颖颖三人各有一
些铅笔，
他们共有铅笔14枝。问：是否
有人有5枝或5枝以上的铅笔？
专题三十七
一题多解
专题简析：一题多解是指从不同角度，运
用不同的思维方式来解答同一道题
的思
考方法。在寻求一题多解时，还应该特别
选择解决问题的简便方法和最佳途径。
例题1 一瓶花生油连瓶一共重800克，
吃掉一半油，连瓶一起称，还剩550克。
瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？
思路1-1：半瓶油重800－550=250克，一
瓶油重250×2=500克，油瓶重800－
500=300克。
思路1
-2：半瓶油重800－550=250克，油
瓶重550－250=300克，一瓶油重：800－<
br>300=500克。
思路1-3：根据“半瓶油＋瓶共重550克”
可求出一
瓶油和两个瓶共重550×2=1100
克，所以瓶重：1100－800=300克，油重
8
00－300=500克。
试一试1：一筐苹果连筐共重85千克，倒
去一半后，连
筐共重45千克。苹果和筐
各多少千克？
例题2 小青以均匀的速度在公路上散<
br>步，从第1根电线杆走到第10根电线杆
共用了12分钟，如果她走24分钟，应走
到第
几根电线杆？
思路2-1：第1根电线杆走到第10根电线
杆有9个间隔，24分钟
走24÷12×9=18
个间隔。走到第18＋1=19根电线杆。
思路2-2:2
4分钟是12分钟的两倍，相当
于小青先走12分钟，又继续走12分钟。
则第10根就算了两
次，所以应走到10×2
－1=19根电线杆处。
试一试2：玲玲上楼，从一楼到三
楼用6
分钟，如果她走12分钟，应走到几楼？