南昌工程大学-邀请函怎么写

页眉内容

模
四
似
角
模型
任意四边形、梯形与相似模型
型
相
三
形
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
ADAEDEAF
①
；

ABACBCA G
②
S
△ADE
：S
△ABC
AF
2
: AG
2
。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变 ，不论大小怎样
改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
如图，已知在平行四 边形
ABCD
中，
AB16
，
AD10
，
BE 4
，那么
FC
的长
【例
1
】
度是多少？
【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为
AB
平行 于
CD
，
4
所以
BF:FCBE:CD4:161:4
，所以
FC108
．
14
【例 2】 如图，测量小玻璃管口径 的量具
ABC
，
AB
的长为
15
厘米，
AC
被分为
60
等份。
如果小玻璃管口
DE
正好对着量具上
2 0
等份处(
DE
平行
AB
)，那么小玻璃管口径
DE
是多大？
【解析】 有一个金字塔模型，所以
DE:ABDC:AC
，
DE:1540:60
，所以
DE10
厘米。
如图，
DE< br>平行
BC
，若
AD:DB2:3
，那么
S
△ADE
:
S
△ECB

________。
【例
3
】
【解析】 根据金字塔模型
AD:ABAE:ACDE:BC2:(2 3)2:5
，
S
△ADE
:S
△ABC
2
2< br>:5
2
4:25
，
设
S
△ADE
4
份，则
S
△ABC

25
份，
S
△ BEC

25

5

3

15
份 ，所以
S
△ADE
:S
△ECB
4:15
。
如图，
△ABC
中，
DE
，
FG
，
BC
互相平行，
ADDFFB
，
【例
4
】
则
S
△ADE
:
S
四边形DEGF
:
S
四边 形FGCB

。
【解析】 设
S
△ADE
1
份，根据面积比等于相似比的平方，
所以
S
△ADE
:S
△AFG
AD
2
:AF
21:4
，
S
△ADE
:S
△ABC
AD
2
:AB
2
1:9
，因此
S
△AFG
4
份，
S
△ABC

9
份，
进而有
S
四边 形DEGF

3
份，
S
四边形FGCB

5
份，所以
S
△ADE
:
S
四边形DEGF
:
S< br>四边形FGCB

1:3:5

【巩固】如图，
DE
平行
BC
，且
AD2
，
AB5
，
AE4，求
AC
的长。
【解析】 由金字塔模型得
AD:ABAE:AC DE:BC2:5
，所以
AC42510

【巩固】如图，
△ABC
中，
PQ
，
FG
，
MN
，BC
互相平行，
ADDFFMMPPB
，
DE
，
则
S
△ADE
:
S
四边形DEGF
:
S
四边形FGNM
:
S
四边形MNQP
:
S
四边形PQCB< br>
。
【解析】 设
S
△ADE
1份，
S
△ADE
:S
△AFG
AD
2
:AF
2
1:4
，因此
S
△AFG

4
份，进 而有
S
四边形DEGF
3
份，同理有
S
四边形FGNM< br>
5
份，
S
四边形MNQP

7
份，
S
四边形PQCB

9
份．

页眉内容
所以有
S
△ADE
:
S
四边形DEGF
:
S
四边形FGNM
:
S
四边形MNQP
:
S
四边形PQCB

1:3:5:7:9

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分 线段后，所分出来的图形的面积成等差
数列。
【例 5】
已知
△ABC< br>中，若
AD:DB2:3
，且
S
梯形DBCE
比
S
△ADE
大
8.5cm
2
，
DE
平行
BC
，
求
S
△ABC
。
【解析】 根据金字塔模型
A D:ABDE:BC2:(23)2:5
，
S
△ADE
:S
△ABC
2
2
:5
2
4:25
，设
S
△ADE

4
份，则
S
△ABC

25
份 ，
S
梯形DBCE
25421
份，
S
梯形DBCE< br>比
S
△ADE
大
17
份，恰好是
8.5cm
2
，所以
S
△ABC
12.5cm
2

如图：
MN
平行
BC
，
S
△MPN
:S
△BCP
4:9
，
AM4cm
，求
BM
的长度
【例
6
】
【解析】 在沙漏模型中，因为
S
△MPN< br>:S
△BCP
4:9
，所以
MN:BC2:3
，在金字塔 模型中有：
AM:ABMN:BC2:3
，因为
AM4cm
，
AB4236
cm
，所以
BM642cm

【巩固 】如图，已知
DE
平行
BC
，
BO:EO3:2
，那么< br>AD:AB
________。
【解析】 由沙漏模型得
BO:EOBC :DE3:2
，再由金字塔模型得
AD:ABDE:BC2:3
．
11
【例 7】 如图，
ABC
中，
AEAB
，
ADAC
，
ED
与
BC
平行，
EOD
的面积 是1
44
平方厘米。那么
AED
的面积是 平方厘米。
11
【解析】 因为
AEAB
，
ADAC
，
E D
与
BC
平行，
44
根据相似模型可知
ED:BC1: 4
，
EO:OC1:4
，
S
COD

4
S
EOD

4
平方厘米，
则
S
CDE
4

1

5
平方厘米，
15
又因 为
S
AED
:
S
CDE
AD
:
DC 
1:3
，所以
S
AED
5
(平方厘米)．
33
【例 8】 在图中的正方形中，
A
，
B
，
C
分别是所在边的中点，
VCDO
的面积是
VABO
面
积的几 倍？
【解析】 连接
BC
，易知
OA
∥
EF
，根 据相似三角形性质，可知
OB:ODAE:AD
，且
OA:BEDA:DE1: 2
，所以
VCDO
的面积等于
VCBO
的面积；由
11CDO
的面积是
OABEAC
可得
CO3OA
，所以S
VCDO
S
VCBO
3S
VABO
，即
V
24
VABO
面积的3倍。
【例 9】 如图，线段
AB
与
BC
垂直，已知
ADEC4
，
BDBE6
，那 么图中阴影部分
面积是多少？
【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴
看看．
作辅 助线
BO
，则图形关于
BO
对称，有
S
VADO
 S
VCEO
，
S
VDBO
S
VEBO
，且
S
VADO
:S
VDBO
4:62:3
．
设VADO
的面积为2份，则
VDBO
的面积为3份，直角三角形
ABE< br>的面积为8份．
因为
S
VABE

6

1 0

2

30
，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为< br>308415
．
解法二：连接
DE
、
AC
． 由于
ADEC4
，
BDBE6
，所以
DE
∥
AC
，根
据相似三角形性质，可知
DE:ACBD:BA6:103:5，
根据梯形蝴蝶定理，
S
VDOE
:S
VDOA
:S
VCOE
:S
VCOA
3
2
:

35

:

35

:5
2
9:15:15 :25
，
所以
S
阴影
:
S
梯形ADEC


15

15

:

9
15

15

25


15:32
， 即
S
阴影

15
；
S
32
梯形ADEC

页眉内容
1115
又
S
梯形ADEC
101066=32
，所以
S
阴影
S
梯形ADEC
15
．
2232
【例 10】 (
2008
年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形
AB CD
和
EFGH
都是平行四边形，四边形
ABCD
的面积是
16
，
BG:GC3:1
，则
四边形
EFGH
的面积
________．
【解析】 因为
FGHE
为平行四边形，所以< br>ECAG
，所以
AGCE
为平行四边形．
11
BG:GC 3:1
，那么
GC:BC1:4
，所以
S
YAGCE
 S
YABCD
164
．
44
又
AEGC
，所以
AE:BGGC:BG1:3
，根据沙漏模型，
33
FG:AF BG:AE3:1
，所以
S
YFGHE
S
YAGCE
43
．
44
【例 11】 已知三角形
ABC
的面积为a
，
AF:FC2:1
，
E
是
BD
的中点， 且
EF
∥
BC
，
交
CD
于
G
，求 阴影部分的面积．
【解析】 已知
AF:FC2:1
，且
EF
∥
BC
，利用相似三角形性质可知
2
EF:BCAF:AC2:3
，所以
EFBC
，且
S
VAEF
:S
VABC
 4:9
．
3
1
又因为
E
是
BD
的中点， 所以
EG
是三角形
DBC
的中位线，那么
EGBC
，2
12
EG:EF:3:4
，所以
GF:EF1:4
，可 得
S
VCFG
:S
VAFE
1:8
，所以
23< br>a
S
VCFG
:S
VABC
1:18
，那么
S
VCFG

．
18
【例 12】 已知正方形
ABC D
，过
C
的直线分别交
AB
、
AD
的延长线于点< br>E
、
F
，且
AE10cm
，
AF15cm
，求正方形
ABCD
的边长．
【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这 两个模型有
BC:AFCE:EF
，
BCDCCECF
DC:AECF: EF
，设正方形的边长为
xcm
，所以有
1
，
AF AEEFEF
xx
即

1
，解得
x6
，所以正 方形的边长为
6cm
．
1510
x15x
方法二：或根据一个金 字塔列方程即

，解得
x6

1015
【例 13】 如 图，三角形
ABC
是一块锐角三角形余料，边
BC120
毫米，高
AD80
毫
米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在
BC
上，其余 两个顶点分别在
AB
、
AC
上，这个正方形零件的边长是多少？
【解析】 观察图中有金字塔模型
5
个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有
PNAPPHBPPNPHAPBP
，，设正方形的边长为
x
毫米，
1
，即
BCABADABBCADABAB
xx
1
，解得
x48
，即正方形的边长为
48
毫米．
12080
【巩固】如图，在
△ABC
中，有长方形
DEFG
，
G
、
F
在
BC
上，
D
、
E
分别在
AB
、
AC
上，
AH
是
△ABC
边
BC的高，交
DE
于
M
，
DG:DE1:2
，
B C12
厘米，
AH8
厘米，求长方形的长和宽．
【解析】 观察图中有 金字塔模型
5
个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以
DEADDGBDDED GADBD
，，所以有设
DGx
，则
DE2x
，
 1
，
BCABAHABBCAHABAB
2xx244848
所以有< br>，
2x
，因此长方形的长和宽分别是
厘米
，
1
，解得
x
128777
24
厘米．
7

页眉内容
【例 14】 图中
ABCD
是边长为
12cm
的正方形，从
G
到正方形顶点
C
、
D连成一个三角
形，已知这个三角形在
AB
上截得的
EF
长度为< br>4cm
，那么三角形
GDC
的面积是多
少？
【解析】 根据 题中条件，可以直接判断出
EF
与
DC
平行，从而三角形
GEF与三角形
GDC
相
似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．
做
GM
垂直
DC
于
M
，交
AB
于
N
．
因为
EF
∥
DC
，所以三角形
GEF
与三角形
GDC
相似，且相似比为
EF:DC4:121:3
， 所以
GN:GM1:3
，又因为
MNGMGN12
，所以
GM18

cm

，
1
所以三角形
GDC< br>的面积为
1218108

cm
2

．
2
【例 15】 如图，将一个边长为
2
的正方形两边长分别延长
1
和
3
，割出图中的阴影部分，
求阴影部分的面积是多少？
EM1
NF3
【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：
；，

1223
2312
5
5
则
NF
，< br>EM
，
9
3
【例 16】 (2008年101中学考题)图中的 大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积
之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．
【解析】 设大、小正方形的边长分别为
m
厘米、
n
厘米(mn
)，则
m
2
n
2
52
，所以
若
m5
，则
m
2
n
2
5
2
25052
，不合题意，所以
m
只能为6或7．检
m8
．
验可知只有
m6
、
n4
满足题意，所以大、小正方形的边长分别 为6厘米和4
厘米．根据相似三角形性质，
BG:GFAB:FE6:43:2
，而
BGGF6
，得
1
BG3.6
(厘米)，所以阴影部分的 面积为：
63.610.8
(平方厘米)．
2
【例 17】 如图，
O
是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为
3
和
4
，
那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？
1
【解析】 连接OB
,面积为
4
的三角形占了矩形面积的
，所以
S
△O EB

4

3

1
,所以
4
52 5

OE:EA1:3
,所以
CE:CA5:8
,由三角形相似 可得阴影部分面积为
8()
2

．
88
【例 18】 已 知长方形
ABCD
的面积为
70
厘米，
E
是
AD< br>的中点，
F
、
G
是
BC
边上的
三等分点，求 阴影
△EHO
的面积是多少厘米？
【解析】 因为
E
是
A D
的中点，
F
、
G
是
BC
边上的三等分点，由此可 以说明如果把长方形
的长分成
6
份的话，那么
EDAD3
份、< br>BFFGGC2
份，大家能在图形中
找到沙漏
△EOD
和
△BOG
：有
ED
所以
OD
相当于把
BD
∶BG =3∶4
，
∶BO3∶4
，
分成(
34
)
7< br>份，同理也可以在图中在次找到沙漏：
△EHD
和
△BHF
也是沙漏，
ED∶BF3∶2
，由此可以推出：
HD∶BH3∶2
, 相当于把BD
分成(
32
)
5
份，
那么我们就可以把
BD
分成
35
份(
5
和
7
的最小公倍数)其中OD
占
15
份，
BH
占
14
35
份，
HO
占
6
份，连接
EB
则可知
△BED
的 面积为
704
，在
BD
为底的三角
2
356
形 中
HO
占
6
份，则面积为：
3
(平方厘米).
235
【例 19】
ABCD
是平行四边形，面积为72平方厘米，
E
、
F
分别为
AB
、
BC
的中点，
则图 中阴影部分的面积为 平方厘米．
【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．
设
G
、H
分别为
AD
、
DC
的中点，连接
GH
、EF
、
BD
．

页眉内容
1
可得
S
VAED
=S
平行四边形ABCD
， < br>4
对角线
BD
被
EF
、
AC
、
GH
平均分成四段，又
OM
∥
EF
，所以
23
DO:E DBD:BD2:3
，
OE:ED

EDOD

: ED

32

:31:3
，
44
1111
所以
S
VAEO
S
平行四边形 ABCD
726
(平方厘米)，
S
VADO

2< br>S
VAEO

12
(平
3434
方厘米)． 同理可得
S
VCFM

6
平方厘米，
S
VCD M

12
平方厘米．
所以
S
VABC
SVAEO
S
VCFM

36

6

6

24
(平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为
24121248
(平方厘米)．
方法二： 寻找图中的沙漏，
AE:CDAO:OC1:2
，
FC:ADCM:AM1: 2
，
11
因此
O,M
为
AC
的三等分点，
S
△ODM
S
平行四边形ABCD
7212
(平方厘米)，
66
11
S
△AEO
S
△OCD
122 6
(平方厘米)，同理
S
△FMC

6
(平方厘米)，所以
44
S
阴影
72126648
(平方厘米)．
【例
20
】
如图，三角形
PDM
的面积是8平方厘米， 长方形
ABCD
的长是6厘米，宽是
4厘米，
M
是
BC的中点，则三角形
APD
的面积是 平方厘米．
【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一
般需要通过这一点做垂 线．
取
AD
的中点
N
，连接
MN
，设
M N
交
PD
于
K
．
则三角形
PDM
被分成 两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边
MK
，可知三
18
角形
PDM
的面积等于
MKBC8
(平方厘米)，所以
MK=
(厘 米)，那么
23
84
NK4
(厘米)．
33
8因为
NK
是三角形
APD
的中位线，所以
AP2NK(厘米)，所以三角形
APD
的
3
18
面积为
68
(平方厘米)．
23
【例
21
】
如图，长方形
ABCD
中，
E
为
AD
的中点，
AF
与
BE
、
BD
分别交于
G
、
H
，
OE
垂直
AD
于
E
，交
AF
于
O
，已知
AH5cm
，
HF3cm
，求
AG
．
【解析】 由于
AB
∥
DF
，利用相似三角形性质可以得到
AB:DFAH:HF5:3
，
又因为
E
为
AD
中点 ，那么有
OE:FD1:2
，
3
所以
AB:OE5:10: 3
，利用相似三角形性质可以得到
2
AG:GOAB:OE10:3
，
111040
而
AOAF

53

4< br>
cm

，所以
AG4

cm
．
221313
1
【例
22
】
右图中正方形的面积为1，
E
、
F
分别为
AB
、
BD
的中点，
GCFC
．求
3
阴影部分的面积．
【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求
解， 而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．
阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可
以作FH
垂直
BC
于
H
，
GI
垂直
BC< br>于
I
．

页眉内容
根据相似三角形性质，
C I:CHCG:CF1:3
，又因为
CHHB
，所以
1155
CI:CB1:6
，即
BI:BC

61

:65 :6
，所以
S
VBGE

．
22624
【例 23】 梯形
ABCD
的面积为12，
AB2C D
，
E
为
AC
的中点，
BE
的延长线与
A D
交
于
F
，四边形
CDFE
的面积是 ．
【解析】 延长
BF
、
CD
相交于
G
．
11
由于
E
为
AC
的中点，根据相似三角形性质，
CGA B2CD
，
GDGCAB
，
22
再根据相似三角形性质，AF:FDAB:DG2:1
，
GF:GB1:3
，而
S
ABD
:S
BCD
AB:CD2:1
，
11
所以
S
BCD
S
ABCD
124
，
S
GBC
2S
BCD
8
．
33
S
18< br>111
1

11

又
GDF

，
S
EBC
S
GBC
，所以
S
CDFE< br>

1

S
GBC
S
GBC
．
33
S
GBC
236
2

2 6

【例 24】 如图，三角形
ABC
的面积为60平方厘米，
D
、
E
、
F
分别为各边的中点，
那么阴影部分的面积是 平方厘米．
【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角 形
的面积之差．而从图中来看，既可以转化为
BEF
与
EMN
的 面积之差，又可以转
化为
BCM
与
CFN
的面积之差．
(法1)如图，连接
DE
．
由于
D
、
E
、
F
分别为各边的中点，那么
BDEF
为平行四边形，且面积为三角形
ABC
面积的一半，即30平方厘米；那么
BEF
的面积为平行四边形
B DEF
面积的
一半，为15平方厘米．
根据几何五大模型中的相似模型，由于
DE
为三角形
ABC
的中位线，长度为
BC
的
1
一半，则
EM:BMDE:BC1:2
，所以
EMEB
；
3
1
EN:FNDE:FC1:1
，所以
ENEF
．
2
111
那么
EMN
的面积占
BEF
面积的< br>
，所以阴影部分面积为
236

1

15
1

12.5
(平方厘米)．

6

(法2)如图，连接
AM
．
根据燕尾定理 ，
S
ABM
:
S
BCM
AE
:
EC 
1:1
，
S
ACM
:S
BCM
AD:DB 1:1
，
11
所以
S
BCO
S
ABC< br>6020
平方厘米，
33
111
而
S
BD C
S
ABC
6030
平方厘米，所以
S
FCN
S
BDC
7.5
平方厘米，
224
那么阴影部分面积为
207.512.5
(平方厘米)．
【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：
⑴利用面积公式：底

高
2
；
⑵利用整体减去部分；
⑶利用比例和模型．
【例 25】 如图,
ABCD
是直角梯形，
AB4,AD5,DE3
，那么梯形
ABCD
的面积是多
少?
【解析】 延长
EO
交
AB
于
F
点，分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC
的面积，再求和．
S
△AOB

3
∶
1
；
S
△DOC
S
△BOC< br>3∶1

∴
S
△AOD
∶

页眉内容
1
又∵
S
△ABD
4510

2
3
∴
S
△AOD
S
△ABD
7.5
,
S
△AOB

2.5,
S
△BOC

7.5,
S△DOC

3
S
△BOC

3

7. 5

22.5

4
∴
S
梯形AB CD

7.5

2.5

7.5

22. 5

40

【例 26】 边长为
8
厘米和
12< br>厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积
是多少平方厘米？
【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为
ABCD
，小正方形为
MNDE，
EB
分别交
AC,AD
于
O,H
两点，
A O∶OCAB∶EC12∶203∶5
，
AH∶BCAO∶OC3∶5

∴
AO
S
△ADC

9
∶
40

∶AC3∶8
，
AH∶AD3∶5
，
S
△AHO
∶
1
∵
S
△ADC
12
2
72

2
99
∴
S
△AHO
S
△ADC
7 216.2

4040
【例
27
】
如右图，长方形< br>ABCD
中，
EF16
，
FG9
，求
AG
的长．
DGAG
【解析】 因为
DA
∥
BE
，根据相似三角形性质知，

GBGE
DGFG
又因为
DF
∥
AB
，
，

GBGA
AGFG
所以
，即
AG
2
GEFG25922515
2
，所以
AG15
．

GEGA
【例 28】 (第
21
届迎春杯试题)如图，已知正方 形
ABCD
的边长为
4
，
F
是
BC
边的中 点，
E
是
DC
边上的点，且
DE:EC1:3
，
AF
与
BE
相交于点
G
，求
S
△ABG

【解析】 方法一：连接
AE
，延长
AF
，
DC
两 条线交于点
M
，构造出两个沙漏，所以有
AB:CMBF:FC1:1
， 因此
CM4
，根据题意有
CE3
，再根据另一个沙漏
4432< br>有
GB:GEAB:EM4:7
，所以
S
△ABG
．
S
△ABE
(442)
471111
方法二： 连接
AE,EF
，分别求
S
△ABF

4

2

2

4
，
定理
4432
．
S
△ABF
:S
△AEF
BG:GE4:7
，所以
S
△ABG
S
△ABE
(442)
471111
【例 29】 如图所示，已知平行四边形
ABCD
的面积是1，
E
、F
是
AB
、
AD
的中点，
BF
交
EC
于
M
，求
BMG
的面积．
【解析】 解法一：由题意可得，
E
、
F
是
AB
、
AD
的中点，得
EFBD
，而
FD:BCFH:HC1:2，
EB:CDBG:GD1:2
所以
CH:CFGH:EF2:3
，
并得
G
、
H
是
BD
的三等分点，所以
BG GH
，所以
BG:EFBM:MF2:3
，
21111
所 以
BMBF
，
S
BFD
S
ABD
S< br>YABCD

；
52224
1121211
又因为
BGBD
，所以
S
BMG
S
BFD
< br>．
33535430
解法二：延长
CE
交
DA
于
I
，如右图，
可得，
AI:BCAE:EB1:1
，
从而可以确定
M
的点的位置，

BM:MFBC:IF2:3
，
S
△AEF
4441 232247
，根据蝴蝶

页眉内容
21
BF
，
BGBD
(鸟头定理)，
53
212111
可得
S
BMG
S
BDF
S
YABCD


5353430
【例 30】 (清华附中入学试题)正方形
ABCD
的面积 是120平方厘米，
E
是
AB
的中点，
F
是
BC< br>的中点，四边形
BGHF
的面积是 平方厘米．
【解析】 欲求 四边形
BGHF
的面积须求出
EBG
和
CHF
的面积．
1
由题意可得到：
EG:GCEB:CD1:2
，所以可得：
S
EBG
S
BCE

3
将
AB
、
DF
延长交于
M
点，可得：
BM:DCMF:FDBF:FC1:1
，
12
而
EH:H CEM:CD(ABAB):CD3:2
，得
CHCE
，
25< br>1121
而
CFBC
，所以
S
CHF
SBCE
S
BCE

2255
1177

S
四边形BGHF
S
EBC
S
EBC
S
EBC
S
EBC
3014
．
351515
本题也可以用蝴蝶定理来做，连接
EF
，确定
H
的位置(也就是
FH:HD
)，同样也
能解出．
【例 31】 如图，已知
S
△ABC
14
,点
D,E,F
分别 在
AB,BC,CA
上，且
AD2,BD5,AFFC
，
S< br>四边形DBEF
S
△ABE
则
S
△ABE
是多少？

BM
【解析】
△ABC
的面积已知，若知道
△ABE
的面积占
△ABC
的几分之几就可以计算出
△ABE
的面 积．连接
CD
．
∵
S
四边形DBEF
S
△ABE

∴
S
△DEF
S
△ADE

∴
AC
与
DE
平行，
∴
S
△ADE
S
△CDE

∴
S
△ABE
S
△CDB

∵
AD2
，
BD5

∴
S
VACD< br>:
S
VCDB

2:5

5S
5
∴
S
△ABB
S
△CDB

△ABC
141 0

77
【例
32
】
如图，长方形
ABCD< br>中，
E
、
F
分别为
CD
、
AB
边上 的点，
DEEC
，
FB2AF
，求
PM:MN:NQ
．
【解析】 如图，过
E
作
AD
的平行线交
PQ
于
G
．
由于
E
是
DC
的中点，所以
G
是
PQ的中点．
由于
DEEC
，
FB2AF
，所以
AF :DE2:3
，
BF:CE4:3
．
根据相似性，
PM:MG AM:MEAF:DE2:3
，
GN:NQEN:NBEC:BF3:4
，
2333644
于是
PMPG
，
MNPGGQPG，
NQGQPG
，
5573577
2364
所以
PM:MN:NQ::7:18:10
．
5357
【例 33】 如下图，D
、
E
、
F
、
G
均为各边的三等分点，线段< br>EG
和
DF
把三角形
ABC
分成四部分，如果四边形
FOGC
的面积是24平方厘米，求三角形
ABC
的面积．
【解析】 设三角形以
AB
为底的高为
h
，
由于
FG:AB2:3
，所以
ED:FG1:2
；

页眉内容


122
所以三角形
OGF
以
GF
为底的高是
hh
；
339
2
又因为三角形
CFG
以
FG
为底的高是
h
，
3< br>22
所以三角形
OGF
的面积与三角形
CGF
的面积之比h:h1:3
，
93
3
所以三角形
CFG
的面积为
2418
(平方厘米)，
31
224
而三角形
CFG
的面积占三角形
ABC
的

，
339
4
所以三角形
ABC
的面积是
1840.5
(平 方厘米)．
9
【例 34】 (
2008
年第十二届香港保良局小学数学世 界邀请赛(队际赛))如图，
ABCD
为正
方形，
AMNBDEFC 1cm
且
MN2cm
，请问四边形
PQRS
的面积为多
少 ？
MQMB
MPPC
【解析】 (法
1
)由
ABCD
，有，所以
PC2PM
，又，所以


QCEC
MNDC
11111
MQQCMC
，所以
PQMCMCMC
，所以
S
SPQR
占
S< br>AMCF
的
，
22366
12
所以
S
SP QR
1(112)
(cm
2
)
．
63
1RBER
(法
2
)如图，连结
AE
，则
S
A BE
448
(
cm
2
)
，而，所以
2ABEF
RBAB2216
，()．而
cm
2
2S
ABR
S
ABE
8
EFEF333
11MNMP，
S
MBQ
S
ANS
343
(cm
2
)，因为

22DCPC
1114
所以
MPMC
，则
S
MNP
24
(
cm
2
)，阴影部分面积等于
3233
1642
S
ABR
 S
ANS
S
MBQ
S
MNP
33(
cm
2
)。
333