淮安师范学院-工会积极分子

小学三年级奥数培训资料
第一讲 找规律填数
【专题分析】 找规律填数，是根据一列数前后排列的关系，寻找这列数排列变化的规律，然后根据
这个规律填写空 缺的数。找规律填数的思考题有一定的难度，因为规律千变万化，无一固
定的模式。
通过本节 的学习和训练，让我们初步认识最简单的数列，初步了解找规律填数的思考
步骤，并能按规律填出正确的 数；培养我们思维的逻辑性、灵活性；培养我们细心观察和
积极动脑的良好习惯。
【王牌例题】
例1 观察下面各列数的规律，然后填空。
（1）2,4,8,16，（ ） （2）83,75,67,59，（ ），（ ）
（3）64,32,16,8，（ ）
【思维点拨】 从上面3题中，我们通过对数列中已知数的前后项进行观察分析，可
以发现：
（1）在2,4,8,16，（ ）中，各数按照从小到大的顺序排列，后一项总是前一项的
2倍， 即，后项＝前项×2，因此空格处应该填32。
（2）在83,75,67,59，（ ），（ ）中，各数按照从大到小的顺序排列，后一项总是
比前一项少8，即，后项＝前项－8，因此空格处应填 51和43。
（3）在64,32,16,8，（ ）中，各数按照从大到小的顺序排列，前一项总 是后一项
的2倍，即，后项＝前项÷2，因此空格处应填4。
【模仿训练】
观察下面各数的变化规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）8,12,16,20,24，（ ），（ ）
（2）98,89,80,71，（ ），（ ）
（3）1,3,9,27，（ ），（ ）
（4）1000,200,40，（ ）
（5）3,6,9,12，（ ），（ ）

例2 观察下面各数的变化规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1,2,3,5,8，（ ）
（2）2,2,4,8,32，（ ）
（3）121,110,100,91，（ ），（ ）
（４）２,７,１７,３２,５２，（ ）
【思维点拨】 （１）在１,２,３,５,８，（ ）中，各数按照从小到大的顺序排
列，从第３项起，后一项等于前两项之和，因此括号里应填１３。
（２）在２,２,４,８,３２，（ ）中，从第３项起，后一项总是等于钱两项的积。
因为８×３２＝２５６，所以括号里应填２５６。
（３）在１２１,１１０,１００,９１，（ ），（ ）中，可以看出从第二个数起，每
个数 分别比它相邻的前一个数少１１,１０,９,……按这个规律，括号里的数应填８３,
７６，（９１－８ ＝８３,８３－７＝７６）。
（４）在２,７,１７,３２,５２，（ ）中，从第二个数起，后面 一项与前面一项
的依次为５的１倍，２倍，３倍……，根据这一规律，括号里应填上７７，（５２＋５×
５＝７７）。
【模仿训练】
根据下列各数的变化规律填空。
（１）２,５,８,１１，（ ），（ ）
（２）１,２,３,１,２,６,１,２,１２,１,２，（ ）
（３）２,３,６,１８，（ ）
（４）３,４,６,９,１３，（ ），（ ）
例３ 先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（１）１５,２,１２,２,９,２，（ ），（ ）
（２）２１,４,１８,５,１５,６，（ ），（ ）
（３）３,４,７,３,４,１０,３,４,１３，（ ），（ ），（ ）
【思维点拨】
（１）在１５,２,１２,２,９,２，（ ），（ ）中，第一个数减３是 第三个数，第三
个数减３是第五个数，第二、四、六个数不变。根据这一规律，可以推知括号里分别填６ ,
２。
（２）在２１,４,１８,５,１５,６，（ ），（ ）中，第一个数减３是第三个 数，第

三个数减３是第五个数；第二个数增加１是第四个数，第四个数增加１是第六个数 。根据
这一规律，可以确定括号里分别应填１２,７。
（３）在３,４,７,３,４,１０,３,４,１３，（ ），（ ），（ ）中，每３项为一组，
即：３,４,７,３,４,１０,３,４,１３，（ ），（ ），（ ），每组 中的前两个数都是３,
４，每组中的第三个数都是前一组的第三个数加上３的和。根据这一规律，可以推 知括号
里分别应该填３,４,１６。
【模仿训练】
找规律填数。
（１）２,１,４,１,６,１，（ ），（ ）
（２）３,２,９,２,２７,２，（ ），（ ）
（３）１８,３,１５,４,１２,５，（ ），（ ）
（４）４,２,８,４,２,１３,４,２,１８,４,２,２３，（ ），（ ），（ ）
例４ 观察数字之间的关系在
○
处填数。

【思维点拨】
（１）通过观察可以找到这样的规律：前两个数的和等于后一个数。即２＋４＝６,
４＋６＝１ ０,６＋１０＝１６，那么１０＋１６＝２６，所以，○处填２６。
（２）通过观察可以找出这样的规 律：前两个数的差等于后一个数。即７２－３７＝
３５,３５－１５＝２０，那么２０－１３＝７。所以 ○处应填７。
（３）通过观察可以找出这样的规律：前两个数之积等于后一个数。２×３＝６,６×７＝４２，那么４２×５＝２１０。所以○处应该填上２１０。
（４）通过观察可以发现，第二 个数２是第一个数１的２倍，第三个数６是第二个数
２的３倍，第四个数２４是第三个数６的４倍，第五 个数１２０是第四个数２４的５倍，
根据这个规律，第六个数是第五个数的６倍，即：１２０×６＝７２ ０。所以，○处应填

上７２０。
【模仿训练】
观察数字之间的关系填空。

例5 根据前面图形里数的排列规律，在空缺处填入适当的数。

【思维点拨】 方格内上面两个数 的差是２，且方格下面第一个数等于上面第二个数
加１，下面第二个数是方格上面第二个数与下面第一个 数的乘积，根据这一规律空缺处应
该填６,７,４２。
【模仿训练】
找出下列排列规律，在空缺处填上适当的数。
（１）

（２）

【巩固练习】
在括号里填上合适的数。
（1）２,４,６,８,１０，（ ），（ ）

（２）１,４,７,１０,１３，（ ），（ ）
（３）２,５,９,１４,２０，（ ），（ ）
（４）６,７,１３,２０,３３，（ ），（ ）
（５）６,８,６,１０,６,１２，（ ），（ ）
（６）１,１５,３,１３,５,１１，（ ），（ ）
（７）１２,１,１０,１,８,１，（ ），（ ）

１、找规律填数。
（１）４,７,８,４,６,１３,４,５,１８，（ ），（ ），（
（２）１,２,３,２,４,６,３,８,９，（ ），（ ），（ ）
（３）１,４,９,１６,２５,３６，（ ），（ ）
２、填空。
（１）５１２３变成２１５３，那么“汪相”应变成（ ）。
（２）“预杉”对于“须杼”，相当于8326对于（ ）。












【拓展提高】
）

第二讲 解决问题（一）
【专题分析】
应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要 小朋友用学到的数学知识来解决
生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌 握数量关系，找
到解决问题的突破口。
在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐 步推出所求的问题；也可以从
问题出发，找到必需的条件。在解答问题时，我们可以根据题目中的数量关 系，灵活运用
上述两种方法。有时借组线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。
【王牌例题】
例1 学校里有排球24个，足球的个数比排球的2倍少5个。学校有排球、足球共
多少个？
【思维点拨】 根据题意可以画出线段图：

从图上可以看出，把24个排 球看做1倍数，足球的个数比这样的2倍少5个，
用24×2－5＝43可以求出足球的个数，再用43 ＋24＝67可以求出两种球的总个数。
【模仿训练】
1、小红有25块巧克力糖，小军有 巧克力糖的块数比小红的3倍少16块，小军比小
红多多少块巧克力糖？


例2 人民广场花圃中有45盆郁金香，郁金香的盆数比月季花盆数的3倍少15盆。
月季花有多少盆？
【思维点拨】 根据题意画出线段图：

从图上可以看出，把月季花 的盆数看做1倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。
如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花的 3倍。因此用（45＋15）÷3＝20（盆）就可
以求出月季花的盆数。
【模仿训练】 < br>2、小明的爸爸每月工资1000元，比小明妈妈每月工资的2倍少200元。小明妈妈每
月工资 多少元？


例３ 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12 只，白鸡的只数正
好是黑鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？
【思维点拨】
根据题意画出线段图：

根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只”，从线 段图上我们可以看出白鸡比
黑鸡多13＋12＝25（只），这相当于黑鸡的2－1＝1倍，这样也就求 出黑鸡的只数为25
÷1＝25（只），黄鸡的只数是25＋13＝38（只），白鸡的只数是25×2 ＝50（只）。列式如
下：
黑鸡：（13＋12）÷（2－1）＝25（只）
黄鸡：25＋13＝38（只）
白鸡：25×2＝50（只）
【模仿训练】 3、商店里有红、白、蓝三种颜色的围巾，其中红围巾比白围巾多12条，蓝围巾比红
围巾多20条 ，蓝围巾的条数正好是白围巾的2倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？

例４ 用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本
20页，可以少装订多少本？
【思维点拨】
根据“如果每本16页，可装订 400本”，可得这批纸的总页数是16×400＝6400（页），
再用总页数6400÷20＝32 0（本）求到如果每本20页可以装订的本数，400－320＝80（本）
则表示少装订的本数。
【模仿训练】
4、水果店要将一些水果装箱，如果每箱10千克，可装30箱；如果每箱15 千克，可
少装多少箱？


例5 李师傅原计划6小时加工零件480个 ，实际2小时加工了240个。照这样的速
度，可以提前几小时完成？
【思维点拨】 根据“ 实际2小时加工了240个”，可以求出李师傅实际1小时可以
加工零件240÷2＝120（个），全 部完成需要的时间是480÷120＝4（时）。因此可以提前
的时间是6－4＝2（时）
【模仿训练】
5、王奶奶计划10小时做纸盒400个，实际3小时已经做了150个纸盒。 照这样计算，
可以提前几小时完成？


【巩固练习】
1、动物园有12只鸽子，画眉鸟的只数比鸽子只数的4倍还多7只。动物园的鸽子、
画眉鸟一共多少只 ？


2、少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3倍多14棵。少 先队员种
的杨树、柳树一共多少棵？

3、饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的6倍还多40只。饲养场养公鸭多少只？


4、有甲乙丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12个苹果，丙筐比甲筐多15个苹果，丙 筐苹
果的个数是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有几个苹果？


5、服装厂 用一些布料加工窗帘，如果把每幅窗帘做成3米长，可做140幅；如果每
幅窗帘做成2米长，可以多做 多少幅？


6、暑假中，小宁计划30天共写大字600个，小宁5天已写150 个大字。照这样的速
度，小宁可以提前几天写完？


7、自行车制造厂四 月份（30天）共生产自行车3000辆，五月份改进技术后5天已
生产自行车750辆。照这样的速度 ，可以提前几天完成四月份的任务量？


【拓展提高】
１、水 果店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的重量比剩下的3倍还多
27千克。还剩多少千克水 果？



2、男、女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男、女生 人数相等；如果少去
1名男生，女生人数是男生的2倍。参加交流会的男、女生各几人？

第三讲 计算问题
第一节 竖式算式谜
【专题分析】
竖式算式谜，通常是给出某个竖式，但式中含有一些用文字、字母、符号、方框表示的待定数字，要求我们根据四则运算法则和逻辑推理的方法将这些待定数字找出来。算式
谜是一种猜 谜游戏，这讲内容，很受大家的喜爱。
通过本节的学习和训练，让学生了解和掌握智解竖式算式谜的分 析思考步骤，并会寻
找适合题意的答案；在探究知识的过程中，培养学生逻辑推理能力；激发学生学习数 学的
兴趣。

【王牌例题】
例1 在□里填入合适的数字，使算式成立。
5 □ 3
＋ 7 □
□ 9 2
【思维点拨】 从 个位看起，3加上一个数后，得到的和应该比3大，而和的个位是2，
说明个位上的加法有进位，所以□ 中应该填9，满足9＋3＝12，个位向十位进一；现在十
位上应是7＋1，得数的十位为9，□内应填 1；十位没有向百位进位，百位应填5。
【模仿训练】
在□内填上合适的数。
3 4 □ □ 5 □ 6 □ 7 □ 5
＋ □ 2 7 － 7 □ 4 □ ＋ 1 □ 4 □
□ 0 □ 1 6 4 8 7 7 4 4
例2 在下面竖式的□内，填上适当的数字，是竖式成立。
□ □ 8
× □
7 9 2
【思维点拨】 已知第一个因数个位是8，积的个位是2，可以推出第二个因数可能< br>是4或9，但积的百位上是7，因而第二个因数只能是4；第一个因数百位上只能是1，那
么第一 个因数十位上只能是9。

【模仿训练】
在下列竖式的□里填上适当的数，使竖式成立。
（1） □ □ 7 （2） □ □ 9 （3） □ □ 4
× □ × □ × □
8 8 9 1 8 3 2 5 3 6
例３ 下式中□里填哪些数字，可使这道除法算式成立。


6
□ 5
□



□□

□□


0
【思维点拨】
□□

已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可从商的末位上的数与除数相乘的积 想起。
5×6＝30，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为一位数，这个数只能为1，这样确定商十位上的数为1，最后确定被除数十位上的数为3＋6＝9。
【模仿训练】
在□里填上适当的数，使竖式成立。

□

8

□

7

□
□□

□□

0
1

□

6
4




□
□□

□□

0
□□
5
□□
6
□□


□□

□□

0
例４ 在下面竖式中的各□里填上合适的数字。

□

□

□
8
6
7□

6




□

□

□

8
1

8
□ □

0

【思维点拨】
因为除法计算是从最高位起，除数是6，多 少乘6得6呢？1×6＝6，因此商的百位
□里应填1；因为7－6＝1，所以□□中前面的□里应填上 1，而□□－□8＝1，因此□
□中后一个□就应填9，□8中的□也应填1，而被除数十位上的□应填 上9；多少乘6
等于18呢？3×6＝18，因此商的十位上应填上3；18－□□＝0，□□中应填上 18，因此
商的个位也应该填上3。
【模仿训练】
在□内填上合适的数。

6 □
4




□□□

□□
2□
□0

2


例5 在下面竖式中“巨”“龙”“腾”“飞”分别代表不同的数 字，相同的汉字代表
相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列竖式成立。
腾飞
龙腾飞
＋ 巨龙腾飞
2

0 0 1
【思维点拨】 先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表
7；再看十 位，三个“腾”相加，再加上个位进上来的2，所得的和个位是0，可推知“腾”
代表6；再看百位，两 个“龙”相加，加上十位进上来的2，所得的和的个位是0，“龙”
可能是4或9，考虑到千位上的“巨 ”不可能为0，所以“龙”只能是4，“巨”只能是1。
【模仿训练】
下面的汉字各代表什么数？
（1） 学生 三＝（ ）好＝（ ）
好学生
＋ 三好学生 学＝（ ）生＝（ ）
2 0 1 2

（2） 谜 巧＝（ ） 填＝（ ）
式谜
填式谜 式＝（ ） 谜＝（ ）
＋ 巧填式谜
2 0 1 2

【巩固练习】
1、在下列竖式的□里填上适当的数，使竖式成立。
（1）
□□□
2 □ 3
（2）
□ □ 2
（3）
3 □ 4

＋ 6 □ 5 □ － 7 6 □ ＋ □ 5

7

8 7 6 5 □ 4 3 □ 0 4 □
2、在□里填上合适的数。
（1）
□ □ 7
（2）
□ 3 □
（3）
□ □ 5
× □ × 3 × □
2 9 □

3 3 □ 6 7 0 6 5
3、在下面除法竖式里的□里填入合适的数字，使竖式成立。

6

□
□□

4
4
□□□
□
□□2

6
□□

□□
2

□

□

1
□

0

0
1 2

□□

0
【拓展提高】 爱 数 学 4

在右边算试中，“我”“爱”“数”“学”分别代表什么数？ ×


3

我 爱 数 学

我＝（ ） 爱＝（ ） 数＝（ ） 学＝（ ）

第二节 横式算式谜
【专题分析】
横式 算式谜，一般是指那些会有未知数字或未知运算符号的横式，这种不完整的横式，
就像“谜”一样，要解 开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（整除性、奇偶
性、尾数规律等），以及和、差、积、 商的特点，来进行正确的推理、判断。
通过本节的学习，让学生了解和掌握智解横式算式谜的分析思考 方法，并会正确补全
算式；培养学生观察、分析、归纳、推理等思维能力；培养学生有条有理，有根有据 的思
考习惯。

【王牌例题】
例1 下面算式中，○、△、□各代表一个数，求出它们代表的数。
（1）○＋○－12＝6 （2）9×△＋18÷3＝42 （3）10×□－□×8＝36
【思维点拨】
（1）根据原式可得○×2－12＝6，把（○×2）看成一个数。可知道○×2＝6＋12，
即○×2 ＝18，可知○＝9。
（2）根据原式可得9×△＋6＝42，把9×△看成一个数，则9×△＝42 －6＝36，可
知△＝4。
（3）10×□表示10个□，□×8表示8个□，“10×□－ □×8”表示10个□减去8
个□得2个□，2个□＝36，所以□＝18。
【模仿训练】
下面各式中，○△□☆分别代表什么数？。
（1）○×3＋6＝21 ○＝（ ） （2）（30＋△）÷7＝6 △＝（ ）
（3）□×8＋7×□＝45 □＝（ ） （4）5×8－☆÷6＝36 ☆＝（ ）
（5）△×9＋△×11＝160 △＝（ ） （6）150－□－□＝□ □＝（ ）
（7）○÷3＋36÷○＝7 ○＝（ ）
例2 将数字0、1、3、4 、5、6填入下面的□内，使等式成立，每个空格只填入一
个数字，并且所填的数字不能重复。
□×□＝□2＝□□÷□
【思维点拨】 解答这类问题，先要抓住一些关键的部分，填出关键的数以后，其它
便可迎刃而解。

< br>我们可以先看□×□＝□2，乘积是个两位数，个位数是2，所给的数字中只有3×4
＝12的个 位上是2，所以可以将前三个□分别填入3、4、1。余下的0、5、6要组成一个
两位数除以一个一位 数，商是１２的除法算式，只能是６０÷５，所以这道题可以这样填：
３×４＝１２＝６０÷５
【模仿训练】
（1）在□中填上３个相邻的一位数，使算式成立。
５０－□＝□×□
（2）如果△＋○＝32，△－○＝18，那么，△＝（ ） ○＝（ ）
【巩固练习】
1、在下面各式中□、○、△、◇各代表什么数，算式才成立？
（1）180－□－□＝□ □＝（ ） （2）○×○＝○＋○ ○＝（ ）
（3）△×8＋3×△＝88 △＝（ ） （4）◇×9－4×◇＝60 ◇＝（ ）
2、如果△＋○＝24，○＝△×2，那么，△＝（ ） ○＝（ ）
3、下面3道算式的除数相同，你能填出来吗？
18÷□＝□……2
41÷□＝□……1
59÷□＝□……3

【拓展提高】
1、在下面的括号里填入适当的数，是等式成立，你能填几种填法？（能填几种填几
种）
27÷□＝□……3 27÷□＝□……3
27÷□＝□……3 27÷□＝□……3
2、如果△－○＝45，△÷○＝4，那么，△＝（ ） ○＝（ ）
3、妈妈用1—9九张扑克牌，摆成了下面两个算式，其中几张扑克牌没有翻过来。你
知道 妈妈摆的算式是怎样的吗？
□×□＝5□ 12＋□－□＝□

第四讲 简单推理
【专题分析】
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△＝28 □＝△＋△＋△ □＝（ ） △＝（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明 ，头脑更
灵活。在数学领域许多重大的发明及疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题 时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻
找解题的突破口，然后再利用等量关 系代换及消去等方法进行解答。

【王牌例题】
例1 下列算中△和□各代表几？
△＋□＝9 △＋△＋□＋□＋□＝25 △＝（ ） □＝（ ）
【思维点拨】
根据△＋□＝9，可以推理出△＋△＋□＋□＝18，而 △＋△＋□＋□＋□＝25，
对比可以发现一 个□＝25－18＝7，从而可以推理出△＝9－7＝2。所以，△＝2，□＝7。
【模仿训练】
1、□＋○＝7 □＋□＋□＋○＋○＝19 □＝（ ） ○＝（ ）
2、☆＋○＋○＝11 ☆＋☆＋○＋○＋○＝19 ☆＝（ ） ○＝（ ）
例2 下列各式中，□和△各代表几？
□＋□＋□＋□＋△＋△＋△＝58
①

△＋△＋△＋□＋□＋□＋□＋□＋□＝72
②

□＝（ ） △＝（ ）
【思维点拨】 58里面有4个□和3个△，72里面有3个△和6个□。比较两个式
子的左边可以发现：△的个数相同 ，
②
式比
①
式多2个□。比较两个式子的右边可以知道：
②
式比
①
式多72－58＝14，也就是2个□是14，那么1个□就是14÷2＝7。
1个□是7,4个□就是28，那么
①
式剩下的3个△就是58－28＝30，所以1个△＝
30÷3＝10。
【模仿训练】
1、□＋□＋△＋△＋△＋△＝38
△＋△＋△＋△＋△＋△＋△＋□＋□＝53

□＝（ ） △＝（ ）
2、☆＋△＋△＋△＋△＝70
△＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆＋☆＝100
☆＝（ ） △＝（ ）
例3 下列各式中，□和△各代表几？
□＋□＋△＝16
□＋△＋△＝14
□＝（ ） △＝（ ）
【思维点拨】 16里面有2个□，1个△，14里面有1个□，2个△，用16减 去14
等于2，即□－△＝2。如果把△换成了□，则16需加上2，即□＋□＋□＝16＋2，那么< br>□＝（16＋2）÷3＝6，△＝16－6×2＝4，所以□＝6，△＝4。
【模仿训练】
1、□＋□＋○＋○＝38
□＋□＋○＝22
□＝（ ） ○＝（ ）
2、□＋□＋□＋△＋△＝52
□＋□＋△＋△＋△＝48
□＝（ ） △＝（ ）
例4 下列各式中，□和△各代表几？
□＋□＋○＋○＋○＝34
○＋○＋○＋○＋□＋□＋□＝48
□＝（ ） ○＝（ ）
【思维点拨】 34里面有2个□、3个○；48里面有3个□、4个○；用48减去34
得到□＋○＝14。
34中有2个（□＋○）及1个○。所以○＝34－14×2＝6，□＝（34－6×3）÷2＝
8。
【模仿训练】
1、☆＋☆＋△＋△＋△＝24
△＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆＝36
△＝（ ） ☆＝（ ）

2、○＋○＋○＋△＋△＝54
△＋△＋△＋○＋○＋○＋○＝76
○＝（ ） △＝（ ）
例5 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重 量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重
量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？
【思维点拨】 根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=
一包巧克 力的重量”可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重
量=两袋牛肉干的重量。
【模仿训练】
（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重 量，
一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？


（2）3包巧克 力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的
重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉 干的重量？


【巩固练习】
1、☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2、○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
3、□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
4、△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
5、□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
6、□和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
7、★+▲=28 ★= ▲+▲+▲ ★=（ ） ▲=（ ）
8、一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4 只鸭的重量。一只小猪
的重量等于几只鸭的重量？

第五讲 归一问题

【专题分析】
归一问题是已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一 种量也随之改变，其变化
规律是相同的，这种问题称为归一问题。
通过学习和训练，让同学们 了解归一问题的结构特点，掌握归一问题的数量关系，正
确解答归一问题；培养学生学会有条理有根据地 进行思考，提高学生分析、解答实际问题
的能力；训练学生养成认真审题、动脑分析、自觉检查的好习惯 。
【王牌例题】
例1 李师傅3小时加工了72个零件，照这样计算 10小时可以加工多少个零件？加
工480个零件需要多少小时？
【思维点拨】先求出李师傅 1小时加工多少个零件，就可以求出10小时加工多少个
零件；知道了1小时加工了多少个零件，加工4 80个零件需要多少小时可以用除法来计算。
（1）李师傅1小时加工了多少个零件？
72÷3＝24（个）
（2）10小时可以加工多少个零件？
24×10＝240（个）
（3）加工480个零件需要多少小时？
480÷24＝20（小时）
答：10小时可以加工240个零件，加工480个零件需要20小时。
【模仿训练】 1、小杰从家到商店买东西，4分钟走了240米。照这样的速度，他从家到商店要走
8分钟。小杰 家到商店有多少米？



2、一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样的速度，爬行12米需要多长时间？

例2 一个粮食加工厂要磨面粉24吨，4小时磨了8吨，照这样计算，磨完剩下的面
粉还要多少小时？
【思维点拨】 通过4小时磨8吨，可以求出1小时磨多少吨，再将剩下的面粉除以
1小时磨的 面粉数就可以求出还要几小时。
（1）1小时可以磨多少吨面粉？
8÷4＝2（吨）
（2）还剩下多少吨面粉？
24－8＝16（吨）
（3）还需要几小时？
16÷2＝8（小时）
答：磨完剩下的面粉还要8小时。
【模仿训练】
1、小华和弟弟去外婆家，2小时走了8千米，照这样的速度，去外婆家还要走4小
时，他们家离外婆家 有多少千米？



2、一个修路队要修一条长600米的公路，前5天修 了250米，照这样计算，修完这
条公路还要多少天？



例3 4辆大卡车5次运煤160吨，照这样计算，5辆大卡车9次运煤多少吨？
【思维点拨】 先求出1辆大卡车1次运煤多少吨，再来求5辆大卡车9次运煤多少
吨。
（1）1辆大卡车一次运煤多少吨？
160÷4÷5＝8（吨）
（2）5辆大卡车9次运煤多少吨？
8×5×9＝360（吨）
答：5辆大卡车9次运煤360吨。

【模仿训练】
1、一批零件，8人3天可以完成96个。照这样计算，15人8天可以加工零件多少个？


2、3台织布机4小时工织布1200米。照这样计算，7台同样的织布机织布5600米需
要多少小时？



例4 新华饲养场原来喂了20匹马，7天 用精饲料280千克，照这样计算，增加5
匹马，450千克精饲料能喂几天？
【思维点拨】
先求出一匹马一天需精饲料多少千克，增加5匹马，也就是共有20＋5＝25匹马，一
天吃多 少千克。再求出450千克精饲料能喂多少天。
（1）1匹马1天可以吃精饲料多少千克？
280÷20÷7＝2（千克）
（2）增加5匹马后，共有多少匹马？
20＋5＝25（匹）
（3）450千克精饲料可以吃多少天？
450÷（25×2）＝9（天）
答：450千克精饲料能喂9天。
【模仿训练】
（1）3台车床6小时加工零件1440个，照这样计算，增加4天车床，多少小时可以
加工2 800个零件？



（2）服装厂8个人5天可以加工服装16 0件，照这样计算，如果增加4个工人，16
天可以加工服装多少件？

【巩固练习】
1、赵大伯4天编了24只竹篮，照这样计算，他7天 可以编多少个竹篮？编66个竹
篮一共需要多少天？


2、王刚从家去 商场买东西，4分钟走了280米，照这样的速度，他从家到商场要走
15分钟，王刚家离商场多少米？


3、一辆汽车3次可运水泥24吨，照这样计算，如果要运72吨水泥，一共需要运多
少次？


4、一个粮食加工厂要加工9000千克大米，前3小时加工了1800千克，照 这样计算，
加工完剩下的大米还要几小时？


5、一辆汽车4小时行248千米，以同样的速度，6小时可以行多少千米？


6、三年级4个班共放24盆花，照这样计算，购进144盆花，可以放几个班？


7、玉红小学买6个篮球，共付276元，现需要9个同样的篮球，需要多少钱？


8、一辆客车4小时行了240千米，照这样的速度，9小时能行多少千米？

9、一个装订小组3小时装订1800本书。照这样计算，9小时可以装订多少本书？


10、一个车间要生产690套校服，前5天生产了150套，照这样计算，完成 剩下的任
务还需要多少天？



11、某服装厂8名工人每天做128套工作服，那么40名工人10天能做多少套工作服？



12、某个生产小组，8人3天可以生产144个零件，照这样计算，12人5天 可以生产
多少个零件？


【拓展提高】
1、学校买4 套课桌椅，共用去480元，如果买同样的课桌椅8套，共需要多少钱？
如果用3000元可以购进这样 的课桌椅多少套？



2、用3台同样的织布机，4小时共织布1140 米。现在增加到5台织布机，织布1900
米需要多少小时？



3、马小跳家住三楼，从一楼到三楼需要走60秒钟，按此速度，从一楼到六楼需要多
少秒钟？

第六讲 重叠问题

【专题分析】
当A中包含 了B，C中也包含了B，我们说A和C互相包含了重复部分B。像这样
有重复包含的问题，就是包含与排 除问题，也称作重叠问题。在很多计数问题中，常常用
到重叠问题的原理。
通过本讲的学习和 训练，让学生能借助具体内容，初步体会集合的思想方法，并能借
助集合的思想方法解决简单的实际问题 。在知识的探究和训练过程中，渗透数形结合的数
学思想方法；让学生挑战难题，树立学好数学的信心。
【王牌例题】
例1 三年级1班的同学参加课外活动，有29人参加做游 戏，27人参加短跑活动，
两种都参加的有11人，问全班共有多少人？
【思维点拨】如图， 圆A表示参加做游戏的29人，圆B表示参加短跑的27人，两圆
重合部分表示两项都参加的11人，由 图可以看出：全班人数＝参加做游戏人数＋参加短
跑人数－两项都参加的人数。

29＋27－11＝45（人）
答：全班共有45人。
【模仿训练】

1、三年级的同学参加课外兴趣小组活动，参加语文兴趣小组的有18人，参加数学兴
趣小组的有22人，既参加语文兴趣小组又参加数学兴趣小组的有6人，三年级共有多少
人参加两个课外 兴趣小组？

2、三（1）班订《数学报》的 有32人，订《阅读报》的有30人，两种报纸都订的有
10人，全班每人至少订一种报纸，三（1）班 有学生多少人？



例2 某班共有43名学生，参加语文竞赛的有3 6人，参加数学竞赛的有28人，全
班每人至少参加一种竞赛，参加两种竞赛的学生共有多少人？
【思维点拨】 如图，用圆A表示参加语文竞赛的36人，用圆B表示参加数学竞赛的
28人， 整个图形表示全班的43人，两圆重合部分就是我们要求的人数。根据容斥原理可
知：两种竞赛都参加的 人数＝参加语文竞赛的人数＋参加数学竞赛的人数－全班人数。

36＋28－43＝21（人）
答：参加两种竞赛的学生共有21人。
【模仿训练】

1、三年级（1）班共有45人都参加了体育活动，其中30人参加 打乒乓球，28人参
加打羽毛球，同时参加两种体育活动的有多少人？



2、一次数学测试，全班36人中做对第一题的有21人，做对第二题的有18人，每人
至少做 对一道题。两道题都做对的有几人？



例3 三（5）班有42名同 学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名同学，

两种棋都不会的有10名同学 。两种棋都会下的有多少名同学？
【思维点拨】 根据“三（5）班有42名同学”和“两种棋都不会 的有10名同学”这
两个条件，可以得出至少会下一种棋的同学有：42－10＝32（名），画出下图 ：

根据上图，如果把会下象棋的21名与会下 围棋的17名加起来得21＋17＝38（名），
这38名比至少会下一种棋的32名多了38－32＝ 6（名），这多出的6名既在会下象棋的
人数中算过，又在会下围棋的人数中算过，也就是两种棋都会下 的同学人数。
42－10＝32（名）
21＋17＝38（名）
38－32＝6（名）
答：两种棋都会下的有6名同学。
【模仿训练】
1、学校乐器队招收了42名新学员，其中会弹钢琴的有25名，会弹电子琴的有22
名，两项都不会 的有3名。两项都会的有多少名？



2、三（1）班有学生50人，参 加学校绘画比赛的有20人，参加摄影比赛的有32人，
两项都没有参加的有10人，两项比赛都参加的 有多少人？




例4 把两块一样长的木板如下图这样钉在 一起，使其成了一块木板。如果这块钉在
一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米。这两块木 板各长多少厘米？

【思维点拨】 把等长的两 块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重
叠部分的长度是16厘米，所以这两块的总长度 是120＋16＝136（厘米），每块的长度就
是136÷2＝68（厘米）。列式如下：
（120＋16）÷2＝68（厘米）
答：450千克精饲料能喂9天。
【模仿训练】
1、把两段一样长的纸条黏合在一起，使其成了一段更长的纸条。这段更长的 纸条长
30厘米，中间重叠部分是6厘米。原来两段纸条各长多少厘米？



2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11
厘米。这两块木板各长多少厘米？



【巩固练习】
1、三（1）班参加打扫卫生的有32人，参加出黑板报的有13人，既参加打扫卫生又
参加出黑板报的有5人，每人至少参加一项活动。三（1）班共有多少人？


2、同学们参加课外兴趣小组，其中有18人参加书画小组，有26人参加舞蹈小组。
两个小组都参加的 有7人，求参加课外兴趣小组活动的共有多少人？


3、三（4）班做完语文作业 的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的
有31人，每人至少完成一种作业。三（4） 班共有学生多少人？

4、三年级有107人去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有 77人，每人至少带一
种。三年级既带矿泉水又带水果的同学有多少人？



5、三年级奥数班共有32名学生，在圣诞晚会中参加了两个节目，其中参加合唱队的
有20名，参加歌舞表演的有16名，两个节目都参加的有多少名学生？


< br>6、三（1）班45名学生都订了报纸，订《小学报》的有29人，订《少年科技报》的
有26人 ，两种报纸都订的有多少人？


7、某校三（2）班共有45名学生全部参加补习 班，其中参加英语补习班的有32人，
参加奥数补习班的有26人，求既参加英语补习班又参加奥数补习 班的有多少人？



8、三（8）班有55人参加期末考试，其中语文成 绩优秀的是40人，数学成绩优秀的
有45人，两门功课成绩都没有达到优秀的有5人。两门功课都达到 优秀的有多少人？


9、有42名运动员，其中有26人参加赛跑，有22人参加 跳远，两种都没有参加的有
8人，既参加赛跑又参加跳远的有多少人？


10、某班有46个同学，在一次数学测验中，答对第一题的有33人，答对第二题的有
38人，两道题 都答错的有5人。两道题都答对的有多少人？

【拓展提高】
1、学校进行卫生大扫除，由于鸡毛掸子不够长，为了能掸掉日光灯上的灰尘，小明
想 了个好注意，将鸡毛掸子和木棒绑在一起，使其从头到尾共长180厘米，其中鸡毛掸子
长85厘米，接 头处长20厘米。问木棒有多长？



2、同学们排队做操，每行人数同 样多。小明的位置从左数是第4个，从右数是第3
个；从前数是第5个，从后数是第6个。做操的同学共 有多少个？



3、甲、乙、丙三个数的和是52，甲、乙两数的和是3 6，乙、丙两数的和是28，求
乙数是多少？



4、一家三口 人，父亲与儿子的年龄加起来是51岁，母亲与儿子的年龄加起来是47
岁，父亲、母亲、儿子三人的年 龄加起来是87岁，求父亲、母亲、儿子的年龄各是多少
岁？



5、三（1）班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞
蹈队的有14 人，这两个队都没有参加的有10人，算一算这个班共有多少人？

第七讲 等量代换

【专题分析】
“等量代换 ”是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量可以互相代换。当
年曹冲称象时，就是运用了这种 方法。因为只有当大象与一船石头重量相等时，两次船下
沉后被水面所淹没的深度才一样，所以称大象的 体重只要称出一船石头的重量就可以了。
在有些问题中，存在两个相等的量，我们可以根据已知条件与 未知数量之间的关系，
用一个未知数量代替另一个未知量，从而找出解题的方法。这就是等量代换的基本 方法。
【王牌例题】
例1 看图填空。
同学们知 道天平吗？天平能称出物体的重量，也能比较天平两边物体的轻重。如果天
平保持平衡，说明两边一样重 。


上图中，（ ）个苹果的重量=（ ）个桔子的重量。
例2 想一想，1个梨的重量等于几个草莓的重量？



【思维点拨】 从上图可以看出：1个苹果的重量相当于6个草莓的重量，2个苹果的
重量相当于1个梨子的重量，那么2个苹果就相当于（6×2）12个草莓的重量。根据等
量代换，这 12个草莓的重量就相当于一个梨子的重量。
【模仿训练】
1、




一个

=（ ）个

2、看图填空，1个□=（ ）个△。

例3 题中□○△都代表数，已知
□＋□＋□＝△＋△ △＝○＋○＋○
□＋△＝？ （填○）
【思维点拨】
此题可用○代替□、△：
因为 △＝○＋○＋○，又因为△＋△＝□＋□＋□
所以 ○＋○＋○＋○＋○＋○＝□＋□＋□
即 ○＋○＝□
因此 □＋△＝○＋○＋○＋○＋○
【模仿训练】
△、□、☆各代表一个数，已知：
△＋△＝☆＋☆＋☆ ☆＋☆＋☆＝□＋□＋□＋□
△＋☆＋□＋□＝400
△＝（ ） □＝（ ） ☆＝（ ）
例4 如果一只乒乓球重8克，那么一只足球重多少克？



【思维点拨】 一个网球的重量等于6个乒乓球的重量，所以1个网球的重量是8 ×6
＝48（克）；一只足球的重量等于3个网球的重量，所以1只足球的重量是48×3＝144（克 ）。
8×6＝48（克）
48×3＝144（克）
答：一只足球重144克。
【模仿训练】
1、一个苹果重100克，1个菠萝重多少克？

2、1只猴子重量=2只兔子重量
1只兔子重量=3只小鸡重量
已知1只小鸡重200克，1只猴子重多少克？



例5 百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱，6个纸箱里。如果2 个纸箱同
一个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？
【思维点拨】 我们根据“2个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱，
也就是说 ，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱的球鞋正
好装满4个纸箱，再加 上原来已有6个纸箱，一共是10个纸箱。这样题目就变为“把300
双球鞋平均装在10个纸箱里，平 均每个纸箱装多少双球鞋？”可以求出每个纸箱装多少
双球鞋。再根据“两个纸箱同一个木箱装的球鞋一 样多”，就可以求出一个木箱装多少双
球鞋。
300÷（2×2＋6）＝30（双）
30×2＝60（双）
答：每个木箱装60双球鞋，每个纸箱装30双球鞋。
【模仿训练】
一些重量相等的铁块，每块50克，8块铁块和4只香蕉的重量相等；11块 铁块等于
5个鸭梨的重量。一个鸭梨比1只香蕉多多少克？




例6 学校买两张桌子和3把椅子共付90元，每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3
倍，每张桌子多少元？
【思维点拨】 根据题中所给的条件，“每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍”。可
以得出： 1张桌子（价钱）＝3把椅子（价钱）。我们把桌子换成椅子，那么桌子换成椅子
后，椅子的总数为：2 ×3＋3＝9（把），可以算出椅子的价钱，也就能算出桌子的价钱。
椅子的总数：2×3＋3＝9（把）

椅子的单价：90÷9＝10（元）
桌子的单价：10×3＝30（元）
答：每张桌子30元。
【模仿训练】 体育老师买2只篮球和3只排球，一共用去350元，每只篮球的价钱是每只排球价钱
的2倍，每只 篮球、每只排球各多少元？



【巩固练习】
1、1只小狗与3只小兔子一样重 1只小兔子和3只小鸡一样重


开动小脑袋：1只小狗和（ ）只小鸡一样重。
2、根据图，想一想，一颗五角星等于（ ）个圆。




3、题中的□、△、○都代表数，已知：
□＋□＋□＋□＝△＋△ △＝○＋○＋○＋○
求：□＋△＝ （填○）
4、两个大萝卜的重量相当于一棵大白菜的重量，一个西瓜的重量相当于两棵大白菜
的重量，那么一个西 瓜的重量相当于几个大萝卜的重量？


5、□＋□＝○＋○＋○＋○＋○＋○
△＝○＋○＋○＋○＋○＋○＋○＋○＋○
△＝ （填□）
？

6、一家三口人，父与子年龄和是51岁，母与子年龄和是47 岁，父亲、母亲、儿子
三人年龄和是87岁，三人的年龄各是多少岁？



【拓展提高】
1、1个菠萝的重量等于（ ）个桃子的重量。



2、如果20只兔子可以换2只羊，9只羊可以换3头猪，2头猪可以换多少只兔子？



3、10元钱可以买3双袜子，30元钱可以买2个太阳镜。买4个太阳镜的钱可以买多
少双袜子？



4、1个苹果的价格相当于3个桃的价格，2个苹果的价格相当于9个 桔子的价格。2
个桃的价格相当于（ ）个桔子的价格。

第八讲 巧求周长

【专题分析】
本节所讲的巧求周长，是指运用长方形和正方形的周长公式巧求一些较 复杂图形的周
长。通过学习和训练，让学生理解周长的含义，掌握一些巧求周长的方法，并会运用长方< br>形、正方形周长公式正确计算周长；在知识的探究和训练过程中，渗透转化的数学思想方
法；通过 图形转化，激发学生学习数学的兴趣。
【王牌例题】
例1 求下面图形的周长。

【思维点拨】这个图形既不是长方形，也不是正方形，怎样求它的周长呢？其实问题
很简单，我们通过把线段平移，可以发现，原来图形的周长与长12厘米，宽8厘米的长
方形的周长相等 。
（12＋8）×2
＝20×2
＝40（厘米）
【模仿训练】
1、求下面图形的周长。（单位：厘米）


2、如下图所示：小明和小玲同时从学校走到少儿书店，小明沿A路线行走，小玲沿B
路 线行走，他们俩一共走多少米？

例2 用3个周长是15厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的长方形的周长？
【思维点拨】 为了帮助理解，我们可以作图 ，仔细观察就能发现，原来3
个正方形拼成一个大长方 形后，由于4条边两两重合，因此在计算长方形周长时，应从3
个周长和里减去4条边的长度，也就是减 去1个小正方形的周长。
15×3－15＝30（厘米）
答：拼成的长方形的周长是30厘米。
【模仿训练】
1、用3个周长是17厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的长方形的周长？



2、用3个边长是17厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的长方形的周长？



例3 求下图阴影部分的周长。（说明：四角是每边长10厘米的正方形）（单位：厘
米）

【思维点拨】 组成阴影部分图形所有边长的和就是阴影部分的周长。这些边长包括
（100－ 10×2＝80）厘米的2条，（60－10×2＝40）厘米的2条，还有10厘米的有8条。
解法一：（100－10×2）×2＋（60－10×2）×2＋10×8
＝80×2＋40×2＋80
＝160＋80＋80
＝320（厘米）
解法二：通过把线段平移，图形的周长与长为100厘米，宽为60厘米的长方形的 周

长相等。
（100＋60）×2
＝160×2
＝320（厘米）
答：阴影部分的周长是320厘米。
【模仿训练】
求下图形的周长。（单位：厘米）

例4 求下图多边形的周长。（单位：厘米）


【思维点拨】 经观察可以发现：先把长30厘米的线段向下平移到两条长15厘米的
线段中间 ，构成一个长65厘米，宽（15＋30＋15）厘米的长方形，此时还有两条长40
厘米的竖线段。
所以这个多边形的周长为：
（15＋30＋15＋65）×2＋40×2
＝125×2＋80
＝330（厘米）
答：这个多边形的周长是330厘米。
【模仿训练】
求下面多边形的周长。（单位：厘米）

例5 一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸，对折后（即长方形的一半）的周长是
多少厘米？
【思维点拨】 （1）如果用长方形的长对折，折后的长方形宽为（20÷2）厘米，长
为16 厘米，可以用长方形的周长公式来求它的周长。
（16＋20÷2）×2
＝（16＋10）×2
＝26×2
＝52（厘米）
答：周长是52厘米。
（2）如果用长方形的宽对折，则宽为（16÷2）厘米，长20厘米 ，也可以用周长公
式来求。
（20＋16÷2）×2
＝（20＋8）×2
＝28×2
＝56（厘米）
答：周长是56厘米。
【模仿训练】
把两个长30厘米，宽20厘米的长方形拼成一个大长方形，大长方形的周长是多少厘
米？



例6 一个正方形的周长和一个长方形的周长相等。已知正方形的 边长80厘米，长
方形的长是100厘米，这个长方形的宽是多少厘米？
【思维点拨】 （ 1）已知正方形的边长是80厘米，可以求出正方形的周长：80×4
＝320厘米。因为长方形的周长 和这个正方形的周长相等，可见这个长方形的周长也是320
厘米。
又知道长方形的长是10 0厘米，2条长是100×2＝200厘米，2条宽的长度是320－
200＝120厘米，这个长方形 的宽就可以求了。
解法一：（80×4－100×2）÷2

＝（320－200）÷2
＝120÷2
＝60（厘米）
（2 ）也可以这样思考：先求出正方形的周长（也就是长方形的周长），然后除以2，
就是长方形长与宽的和 ，进而求出长方形的宽。
解法二：80×4÷2－100
＝320÷2－100
＝160－100
＝60（厘米）
答：长方形的宽是600厘米。
【模仿训练】
一根铁丝围成长12厘米，宽8厘 米的长方形，若把这根铁丝围成正方形，求这个正
方形的边长是多少厘米？



【巩固练习】
1、求下面多边形的周长。（单位：厘米）



2、两张同样的长方形纸片恰好可以拼成一个周长40厘米的正方形，原来每张 长方形
纸片的周长是多少厘米？

3、求下面图形的周长。（单位：厘米）




4、一个长方形和一个正方形的周长相等，已知长方形的长是10分米，宽是8分米，
求这个正方形的边长是多少分米？



5、把长为12厘米，宽 为4厘米的三个长方形拼成一个正方形，这个正方形的周长是
多少厘米？



6、一张长6分米，宽4分米的长方形纸板，从四个角上各截去一个边长为1分米的
正方形，所剩部分的周长是多少分米？



7、一个长方形的长是6厘米 ，宽是3厘米，把这个长方形的长和宽分别扩大2倍，
那么这个新长方形的周长是多少厘米？

【拓展提高】
1、求下面图形的周长。（单位：厘米）

2、下图的正方形被分成4个相同的长方形，每个长方形的周长都是40厘米，求这个
正方形的 周长？

第九讲 与面积有关的问题

【专题分析】
我们已经学会了计算长方形、正方形的 面积，知道长方形的面积＝长×宽，正方形的
面积＝边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积 的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能凑
效，可以利用添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此敏锐的观察力和灵活的思维
在解题中十分重 要。
【王牌例题】
例1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板， 锯成一个面积最大的正方形，这个
正方形木板的面积是多少平方米？
【思维点拨】如图，要使 锯成的正方形面积最大，就要使它的边长最长，那么只能用
原来的长方形的宽为边长，即正方形的边长是 3米。列式如下：
3×3＝9（平方米）
答：这个正方形木板的面积是9平方米。
例2 学校里有一个正方形花坛，花坛的四周种了一圈绿篱，
绿篱总长20米，求花坛的面积是多少平方米？
【思维点拨】 要求正方形花坛的面积，必须 知道正方形花坛的边长是多少。根据绿
篱总长是20米，可以求出花坛的边长为20÷4＝5（米），所 以花坛的面积是5×5＝25（平
方米）。列式如下：
20÷4＝5（米）
5×5＝25（平方米）
答：花坛的面积是25平方米。
例3 在一个边长是1 0厘米的正方形纸片上，剪下一块长6厘米，宽3厘米的长方
形纸片（如图），求剩下部分的面积是多少 平方厘米？

【思维点拨】 这道题只要求出原来正方形的面积，再减去剪下部分的长方形的面积，
得到的就是剩下部分的面积。
10×10－6×3
＝100－18
＝82（平方厘米）
答：剩下部分的面积是82平方厘米。
例4 求下面图形的面积。（单位：厘米）

【思维点拨】 这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图
形分割成两个长方形，如上图虚线。
从上图中可以看出，左边长方形长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2＝8（平方厘
米）；右 边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1＝3（平方厘米），再将两个长
方形面积相加就可以 得到整个图形的面积。列式如下：
4×2＝8（平方厘米）
3×1＝3（平方厘米）
8＋3＝11（平方厘米）
答：这个图形的面积是11平方厘米。
例5 有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，把它按下图叠放，这个图形
的面积是多少平方厘米？

【思维点拨】 如果两个长方形没有叠放，那么它 们的面积就是8×3×2＝48（平方
厘米），现在两个长方形重叠了一部分，重叠部分是个边长为3厘 米的正方形，面积是3
×3＝9（平方厘米）。因此这个图形的面积是：48－9＝39（平方厘米）。 列式如下：
8×3×2＝48（平方厘米）
3×3＝9（平方厘米）

48－9＝39（平方厘米）
答：这个图形的面积是39平方厘米。
例6 把一个长18厘米，宽6厘米的长方形纸，剪成边长是3厘米的小正方形纸，
能剪多少个这样的小正方形纸？
【思维点拨】 （1）要求能剪多少个这样的小正方形纸，可以先分别 求出长方形纸和
小正方形纸的面积，再用长方形纸的面积除以小正方形纸的面积就行了。列式如下：
18×6＝108（平方厘米）
3×3＝9（平方厘米）
108÷9＝12（个）
答：能剪12个这样的小正方形纸。
（2）还可以如下图所示，先算出长能剪多少个小正方形 ，宽能剪多少个小正方形，
然后把个数乘起来就可以了。

18÷3＝6（个）
6÷3＝2（个）
6×2＝12（个）
答：能剪12个这样的小正方形纸。

【巩固练习】
1 、把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形纸，这张正方
形纸的面积是多少平方 厘米？



2、把一张长12分米，宽6分米的长方形铁板切割成一个 面积最大的正方形，这个正
方形铁板的面积是多少平方分米？

< br>3、将一块长3米，宽2米的长方形布剪成一块面积最大的正方形布，剩下部分的面
积是多少平方 米？


4、一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？



5、运动中心里有一个正方形的游泳池，在游泳池的四周贴上瓷砖，四周瓷砖总长400米，游泳池的面积是多少平方米？


6、求出下面图形的面。（单位：厘米）
（1） （2） （3）






7、两张边长为8厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图所示）。问桌子
被盖住的 面积是多少？

8、求阴影部分的面积。（单位：分米）

9、把一个长20厘米，宽16厘米的长方形分割成边长为4厘米的小正方形，最多能
分割多少 个小正方形？



11、一间长16米，宽12米的房间，用边长为4分米的正方形地砖铺地，需要多少块
地砖？


12、计算下面图形的面积。（单位：厘米）

13、一个长方形长是30厘米，宽比长少10厘米，这个长方形的周长和面积分别是多
少？


14、将边长为9厘米的正方形的边长缩短3厘米，那么正方形的周长减少多少厘 米？
面积减少多少平方厘米？

【拓展提高】
1、公园里有一个长方形花圃和一个正方形花圃，这两个花圃的周长相等，其中长方
形 花圃长40米，宽20米，求正方形花圃的面积。



2、一辆清洁车，每分钟行驶80米，扫路的宽度是4米，清洁车半小时能扫多大的路
面？



3、一张长26厘米，宽18厘米的长方形彩纸，剪成边长为 3厘米的小正方形，最多
能剪多少个小正方形？



4、将一张 正方形的彩纸沿相邻两条边的中点剪去一个角后，剩下的面积是560平方
厘米，剪去的面积是多少平方 厘米？