河北工程大学专业-伊斯兰教是谁创立的

7-8-1几何计数（一）


教学目标

1.掌握计数常用方法；
2.熟记一些计数公式及其推导方法；
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数 法、树形图法、插板法、对应法等，并渗
透分类计数和用容斥原理的计数思想．
知识要点
一、几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某 种条件的三角形的
个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但 是通
过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法
1
以及递推法等．
n
条直线最多将平面分成
223……n(n< br>2
n2)
个部分；
n
个圆
2
最多分平面的部分数 为
n
(
n
-1)+2；
n
个三角形将平面最多分成3
n
(
n
-1)+2部分；
n
个四边形
将平面最多分成4< br>n
(
n
-1)+2部分……
在其它计数问题中，也经常用到枚举法、 加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时
需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列 问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与
各事物所在的先后顺序 无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有
n
+1个点(包括两个端点)（或含有
n
个“基本线段”），那么
这
n
+1个点把这条线段一共分成的线段总数为
n
+(
n
-1)+… +2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可 用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为
DE
上有15条线
段，每条线 段的两端点与点
A
相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在
BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．

数长方形、平行四边形和正方形 ：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边
上共有
n
条线段，纵边上共有< br>m
条线段，则图中共有长方形（平行四边形）
mn
个．
例题精讲
模块一、简单的几何计数

【例 1】 七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．
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【考点】简单的几何计数 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题
【解析】 如图：6条．
【答案】
6
条

【例 2】 下面的表情图片中：，没有对称轴的个数
为（ ）
（
A
） 3 (
B
) 4 (
C
) 5 (
D
) 6
【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛，第1题
【解析】 通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对 称轴的，其他的5张图片都没有对称
轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是
C
。
【答案】
C


【巩固】 中心对称图形是：绕某一点旋转180° 后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形
是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图 形中，既是中心对
称图形又是的轴对称图形的有 个。

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第7题
【解析】 共有3个，除第二个外其余都是。
【答案】
3
个


【例 3】 两条直线相交所成的锐 角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面上有若干条直
线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30° ，60°或90°。问：至多有多少
条直线？
【考点】简单的几何计数 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，试题，第12题
【解析】 至多有6条直线，如图：

【答案】
6
条

【例 4】 下图是王超同学为环境保护专栏设计的一个报头，用到基本的几何图形：线段、
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三角形、四边形、圆、弧线，其中用得最多的一种图形是________ 。

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第9题
【解析】 观察图形发现是：线段最多
【答案】线段最多

【例 5】 下面的
55
和
64
图中共有____个正方形．

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 在< br>55
的图中，边长为1的正方形
5
2
个；边长为2的正方形
4
2
个； 边长为3的正
方形
3
2
个；边长为4的正方形< br>2
2
个；边长为5的正方形有
1
2
，总共有
5< br>2
4
2
3
2
2
2
1
255
(个)正方形．在
64
的图中边长为1的正方形
64
个；
边长为2的正方形
53
个； 边长为3的正方形
42
个；边长为4的正方形
31
个；
总共有
6453423142
(个)．
【答案】
42
个

【巩固】 请看下图，共有多少个正方形？

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】
【解析】 假设最小的正方形边长为1，则面积为1的正 方形有9个；面积为4的正方形有4
个；面积为16的正方形有1个．因此共有9+4+1=14个．
【答案】
14
个

【巩固】 如下图是一个围棋盘，它由横竖各1 9条线组成．问：围棋盘上有多少个右图中的
小正方形一样的正方形？

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【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，试题，第15题
【解析】 我们先在右图小正方形中找一个代表点 ，例如右下角的点
E
作为代表点．然后将小
正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点< br>E
应在什么地方．通过观察，不难发现：
（1）点
E
只能在棋盘右下 角的正方形
ABCD
（包括边界）的格子点上．
（2）反过来，右下角正方形
ABCD
中的每一个格子点都可以作为小正方形的点
E
，
也只能作为一个小 正方形的点
E
．
这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形
ABCD
中的格子点个数”了．很
容易看出正方形
ABCD
中的格子点为10×10＝ 100个．

答：共有100个。
【答案】
100
个

【例 6】 下图中共有____个正方形．

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 每个
44
正方形中有：边长为1的正 方形有
4
2
个；边长为2的正方形有
3
2
个； 边
长为3的正方形有
2
2
个；边长为4的正方形有
1
2
个；总 共有
4
2
3
2
2
2
1
2
 30
(个)
正方形．现有5个
44
的正方形，它们重叠部分是4个
22
的正方形．因此，图
中正方形的个数是
30554130
．
【答案】
130


【例 7】 图中有______个正方形．

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 55
的正方形1个；
44
的正方形4个；
33
的正方形5 个；2

2的正方形4个；
1

1的正方形13个．共27个．
【答案】
27


【巩固】 数一数：图中共有________ 个正方形。

【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第10题
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【解析】 按面积从小到大4+17+9+4+1=35个
【答案】
35
个

【巩固】 图中共有 个正方形。

【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第7题
【解析】 设 最小正方形的边长为
1
，那么边长为
1
的正方形有
2
个，边 长为
2
的正方形有
6
个，
边长为
4
的正方形有5
个，边长为
8
的正方形有
2
个，边长为
12
的正方形有
1
个，
边长为
16
的正方形有
1
个，所 以总共有
26521117
（个）。
【答案】
17
个

【例 8】 下图中共有___________个正方形。

【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初试，4题
【解析】 分类计算边长为1的正方形有12个；长 为2的正方形有1个；边长为3的正方形
有4个；边长为4的有1个；边长为1个对角线的有1个；边长 为2个对角线的有
1个；所以一共有：
121411120
（个）
【答案】
20
个
【巩固】 图1中共有 个正方形。

【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第12题
【解析】 5+4+1+5+4+1=20
【答案】
20
个

【例 9】 图中共有多少个长方形？

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】解答
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【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有
n
条线段，纵边上共有
m
条线段，则图中 共有
长方形（平行四边形）
mn
个．所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1） =100．
【答案】
100


【例 10】 数一数，下边图形中有 个平行四边形．

【考点】简单的几何计数 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初试，4题
【解析】 本题 是一道几何计数问题,应不漏不重地按规律去数,每相邻两个三角形可组成一
个平行四边形,共计6个.
【答案】
6
个

【例 11】 图5中有 个平行四边形。

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 12+8+3=23
【答案】
23


【例 12】 如右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。
1
2
3
4
5
6
7

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，试题，第10题
（16）6
【解析】 白色小三角形 个数＝1＋2＋…＋6＝＝21，黑色小三角形个数＝1十2
2
（17）7213
＋…＋7＝＝28，所以它们的比＝＝，白色与黑色小三角形个数之
2284
3
比是.
4
3
【答案】
4

【例 13】 如图，由小正方形构成的长方形网格中共有线段______条。

【考点】简单的几何计数 【难度】2 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试，第8题
【解析】 横的有5×(1+2+3+4+5)=75条，竖的有6×(1+2+3+4)=60条，一共135条
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【答案】
135
条

【例 14】 图中线段的条数比三角形的个数多 。

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，2年级，第6题
【解析】 通过比较发现，线段的条数比三角形的个数多的正好是
6
条斜边。
【答案】
6


【例 15】 右图中共有 个三角形。

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第6题
【解析】 由1个，2个，3个，4个，6个，8 个小三角形组成的三角形分别有：8，7，4，3，
1，1个，也即一共有8+7+4+3+2=24个 。
【答案】24

【例 16】 如图
AB
，
CD，
EF
，
MN
互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?
A
C
E
B
D
F

【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个．梯形 （1+2+3+4）×（2+4）=60；所以梯
形比三角形多60-40=20个．
【答案】
20
个

【例 17】 右边三个图中，都有一些三角形，在图A中，有 ____个；在图B中，有______
个；中图C中，有______ 个。
A
B
C

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 图A 5个; 图B 8个; 图C 5个
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【例 18】 请看下图，共有多少个三角形？

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 独立的三角形有7个，由4个三角形组成的三角形有1个，加上最大的三角形 ，因
此共有7+1+1=9个三角形．
【答案】
9


【例 19】 右图中共有 个三角形．

【考点】简单的几何计数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，2题
【解析】 分类枚举得到：边长是
1
个单位长度的有
12
个三角形；
边长是
2
个单位长度的有
6
个三角形
边长是
3
个单位长度的有
2
个三角形
共有
126220
（个）
【答案】
20
个

【例 20】 右图中三角形共有 个．

【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，4题
【解析】 不可分割的三角形有
7
个．
由
2
个不可分割的三角形构成的三角形有
6
个．
由
3
个不可分割的三角形构成的三角形有
4
个．
由
5
个不可分割的三角形构成的三角形有
2
个．
由
7
个不可分割的三角形构成的三角形有
1
个．
一共有三角形
7642120
个．
【答案】
20
个

【巩固】 数一数图中有_______个三角形．
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【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛，第14题
【解析】 分类枚举，只由一个三角形构成的有6个，由两个小三角形组合而成的三角形有3
个。由三个小三角形组 合而成的三角形有3个，所以一共有
63+3=12
（个）。
【答案】
12
个

【巩固】 数一数，图中有_________________个三角形。

【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题
【解析】 10个
【答案】
10
个

【例 21】 图中共有 个三角形。

【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 从图形所包含的小块数的个数来数，包含一块的三角形有10个，包含两块的三
角形有10个，包含三块的三角形有10个，包含五块三角形有5个，所以共有35个。
【答案】
35
个

【例 22】 在图中，一共有 10 个三角形， 40 条线段．

【考点】简单的几何计数 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，2年级，第3题
【解析】 ⑴一共有10个三角形．五 角星的每个角上分别有1个小三角形，总共有5个；另
外还有5个较大的三角形，所以共有
5 510
（个）三角形．⑵一共有40条线段．中
间五角星中有5条长线段，每条长线段上共可 以数出：
3216
（条）线段，
那么五角星中共有
6530
（条）线段，
305540
．
<考点> 图形的计数
【答案】三角形
10
个，线段
40
个
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【例 23】 用10根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有
个。
【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第13题
【解析】 根据三角行两边之和大于第三边，两 边只差小于第三边。知道共有两2种情况：
33410
与
244
， 所以能接成不同的三角形
2
个
【答案】
2
个

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