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基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚
数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚
数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
18. 归一问题的基本特点：
问题中 有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速
度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量。
19. 定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）
运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运
算，然后按照基本运 算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
20. 加法乘法原理和几何计数（排列组合）
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m 1种不同方法，
在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么
完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理 ：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，
不管第1步用哪一种方法，第2步 总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方
法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m 1×m2....... ×mn种不
同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

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②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数。
例题1：从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有
3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的
走法？
解析：我们把坐火车看成第一类走法，有2种不同的选法；乘飞机是第二类走法，
有3种不同的选法； 坐轮船为第三类走法，只有1种选法。无论哪一种选法，都
可以直接完成这件事。
例题2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1
元钱，有多少种方法？
解析：运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 ②
取两种人民 币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1
角；2张2角和6张1角；3张2角 和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和 3张1角的；1
张5角、2张2角和1张1角的。
21. 逻辑推理（举例子 倒推 列表）
基本方法简介：
①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断 ，
如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情
况是成立的。 例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定
是奇数。
②条件分析—列表 法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进
行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条 件全部表示在一个长方形表格中，表
格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运 用逻辑规律
进行判断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线 表示两个
对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的
状态 。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有
表示不认识。
④逻辑 计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的
计算，根据计算的结果为推理提 供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方 法，
并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。
1．等价条件的转换
2．列表法
3．对阵图：竞赛问题，涉及体育比赛常识
4．假设问题

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假设法是解答应用题时经常用到 的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目
中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推 算，根据数量上出
现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。
例1：公路上按一路纵队排列 着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的
地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市， 有三辆开往B市；并且他
们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直
接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三
个司机猜猜自己 的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不
知道”.第二辆车的司机看了看第一辆 车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，
想了想，也说不知道.第一个司机也很聪明，他根据第二、 三个司机的“不知道”，
作出了正确的判断，说出了自己的目的地。请同学们想一想，第一个司机的车是
开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？
解析：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件 只有两辆车开往A市，说明
第一、二辆车不可能都开往A市.（否则，如果第一、二辆车都开往A市的， 那
么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市）。
再根据第二辆车司机的“不 知道”，则第一辆车一定不是开往A市的.（否
则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定 开往B市）。
运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B市。
例题 2：李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，
举行混合双打比赛.事先规 定.兄妹二人不许搭伴。 第一盘，李明和小华对
张虎和小红； 第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。 请你判断，
小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解析：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，
所以张虎的妹妹不是小 红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能
了。 第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林； 第二
种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。
22. 方阵问题
很多 的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人
数，这类题叫方阵问题。在解决方 阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最
外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。方阵问题的 基本特点是：
（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人
数减 少2，每一层就少8。
（2）每层人数=（每边人数－1）×4
（3）每边人数=每层人数÷4＋1

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（4）外层边长数-2=内层边长数
（5）实心方阵人数=每边人数×每边人数
23. 相遇与追及问题（学校同步提高）
路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间。
追及问题运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时
间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及
路程”和“速度差”。 追及问题的公式是：追及时间=追及路程÷速度差 追及
路程=速度差×追及时间 速度差=追及路程÷追及时间
相遇问题它的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而 行，
或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：速度和×相遇时间
=路程 路程÷速度和=相遇时间 速度÷相遇时间=速度和
24. 幻方与数阵
幻方的特点：一 个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。这
相相等的和叫“幻和”。两种方法：奇阶：1 、九子排列法2、罗伯法，3、巴舍
法。偶阶：1、对称交换法2、圆心方阵法。数阵有三种基本类型： （1）封闭型，
（2）辐射型（3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用
的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。一般答案不唯一。
例题1：把1 ~ 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都
等于9。

解析：每 边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等于9×3=27，27－（1＋2
＋3＋4＋5＋6）=6 。所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。在1 ~
6，只有1＋2＋3=6，故三个顶 点只能填1、2、3。这样就得到一组解：1、5、3；
1、6、2；3、4、2。
例题2：
三阶幻方解法
“萝卜”法
一居上行正中央
依次填在右上角
上出框时下边填
右出框时左边放

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斜出框时下边放(出角重复一个样)
排重便在下格填


25. 剪纸问题
公式：2对折后剪的次数+1=段数。
26. 一笔画和多笔画
（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为
起点，最后能以这个 点为终点画完此图。
（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；
画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
（3）多笔画定理有2n（n＞1）个奇点的连通 图形，可以用n笔画完（彼此
无公共线），而且至少要n次画完。
27. 100内质数：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
28. 行船问题
船在江河里航行，前 进的速度与水流动的速度有关系。船在流水中行程问题，
叫做行船问题（也叫流水问题），船顺流而下的 速度和逆流而上的速度与船速、
水速的关系是：顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速由于顺水速 度是船速

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与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此 行船问题就是和差问题，所以解
答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。船速=（顺水速度＋逆水 速度）
÷2 水速=（顺水速度－逆水速度）÷2
因为行船问题也是行程问题，所以在行船问 题中也反映了行程问题的路程、
速度与时间的关系。顺水路程=顺水速度×时间逆水路程=逆水速度×时 间
例：某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8
小时。已知水速 为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少时？
解：此船顺水的速度是：15+3=18（千米小时）
甲乙两港之间的路程是：18×8=144（千米）
此船逆水航行的速度是：15-3=12（千米小时）
此船从乙港返回甲港需要的时间是：144÷12=12（小时）
综合算式：
（15+3）×8÷（15-3）=144÷12=12（小时）

29. 过桥问题
过桥问题的一般数量关系是：路程=桥长＋车长车速=（桥长＋车长）÷通过
时间通 过时间=（桥长＋车长）÷车速车长=车速×通过时间－桥长桥长=车速×
通过时间－车长
例 ：一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火
车每分钟行400米，这列 火车通过长江大桥需要多少分钟？
解析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求 通过时间，
就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已件。
总路程：6700+140=6840 （米）
通过时间：6840÷400=17.1 （分钟）
答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。

30. 抽屉原理
抽屉 原则一：把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少有一个抽
屉里有两个或两个以上的苹果。
抽屉原则二：把（m×n+1）个（或更多个）苹果放进n个抽屉里，必须一个
抽屉里有（m+ 1）个（或更多的）苹果。
说明：应用抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考。
例题：

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黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起 ，黑暗中想从这些筷子中
取出颜色不同的2双筷子（每双筷子两根的颜色应一样），问至少要取材多少根
才能保证达到要求？
解析：这道题并不是品种单一，不能够容易地找到抽屉和苹果，由于有三 种颜色
的筷子，而且又混杂在一起，为了确保取出的筷子中有2双不同颜色的筷子，可
以分两步 进行。第一步先确保取出的筷子中有1双同色的；第二步再从余下的筷
子中取出若干根保证第二双筷子同 色。 首先，要确保取出的筷子中至少有1
双是同色的，我们把黑色、白色、黄色三种颜色看作3个抽屉 ，把筷子当作苹果，
根据抽屉原则，只需取出4根筷子即可。其次，再考虑从余下的20根筷子中取多少根筷子才能确保又有1双同色筷子，我们从最不利的情况出发，假设第一次
取出的4根筷子中， 有2根黑色，1根白色，1根黄色。这样，余下的20根筷子，
有6根黑色的，7根白色的，7根黄色的 ，因此，只要再取出7根筷子，必有1
根是白色或黄色的，能与第一次取出的1根白色筷子或黄色筷子配 对，从而保证
有2双筷子颜色不同，总之，在最不利的情况下，只要取出4+7=11根筷子，就
能保证达到目的。
解题方法
（结合杂题的处理）
（1） 假设法（尝试、尝试尝试）
（2） 推理法（推导、找关系）
（3） 代换法（替换）
（4） 画图法（画线段、列表格）
（5） 列表法
（6） 消元法
（7） 倒推法
（8） 极值法
（9） 设数法
（10）
整体法

（11）
排除法


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