上饶师范-工程合同范本

第一讲 观察法
在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现 问题、解决问题的首要步骤。小学
数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智 力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的
结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册，第 11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引
导儿童观察、思考，初步 培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他
们已有的知识，能够判断本题的意思 是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方
形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上 三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字
18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，
18 -10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1 -2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图
1-3）。

从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小 方
格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到， 18-7-6=5，在大正方形左下角的小方
格中应填入5（图1-4）。
1

从横上行3+□+7=18（ 图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图
1-5）。
又 从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4
（图1-5）。
图1-5是填完数字后的幻方。
例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）
6、16、26、____、____、____、____。
9、18、27、____、____、____、____。
80、73、66、____、____、____、____。
解：观察6、16、26这 三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16
大10，即后面的每一个数 都比它前面的那个数大10。
观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：1 8比9大9，27比18大9，
即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。
观察80、73 、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73
小7，即后面的 每一个数都比它前面的那个数小7。
这样可得到本题的答案是：
6、16、26、36、46、56、66。
9、18、27、36、45、54、63。
80、73、66、59、52、45、38。
例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年
级程度）
解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围
的四个数，看 来在中心的方框中应填入最小的数1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角
的那个方框中的数大于相 邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框
中的数是按顺时针方向排列越来越小 。
2

所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应 填2，在2右面的方框中填3，
在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。
图1-7是填完数字的图形。

例4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）
解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”
我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？
（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。
（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。
（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，

剩下五个角（图1-10）。

例5 甲、乙两个人面对面地坐着 ，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字
都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个 人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适
于三年级程度）
解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。
甲看到的数与乙 看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数
字中，只有0、1、6、8、9 这五个数字正看、倒看都表示数。
这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能 是000，也不能是111
和888，只可能是666或999。
3

如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定 是999，
999-666=333，333正好是666的一半。所以这个数是666，也可以是99 9。
*例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？（适于三年级程度）
解 ：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，
计算起来容易出错 。
如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966，第二个数比它大10，第三个数比它大
20，第四个数比它大30，第五个数比它大40。因此，这道题可以用下面的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1966×5+10×（1+2+3+4）
=9830+100
=9930 < br>这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20，最
后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是1986。1976和 1996
的平均数也是1986。这样，中间的数1986是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用 下面
的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1986×5
=9930
例7 你能从400÷25=（400×4）÷（25 ×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出（1）
600÷25（2）900÷25（3 ）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？（适于四年级
程度）
解：我们仔细观察一下算式：
400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16
不难看出，原来 的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1后面带有0的整百数。这
样做的根据是“被除数和除数都 乘以一个相同的数（零除外），商不变”。
进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百 数以后，就可以很快求出商。
按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。
（1）600÷25 （2）900÷25
=（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4）
4

=600×4÷100 =900×4÷100
=24 =36
（3）1400÷25 （4）1800÷25
=（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4）
=1400×4÷100 =1800×4÷100
=56 =72
（5）7250÷25
=（7250×4）÷（25×4）
=29000÷100
=290
*例8 把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形 框框出六个数，
这六个数的和是87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和 是837，
这六个数都是多少？（适于五年级程度）
解：（1）观察框内的六个数可知：第二 个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大2，
第四个数比第一个数大7，第五个数比第一个数大8， 第六个数比第一个数大9。
假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87 ，要求出这几
个数，就要先求出六个数中的第一个数：

（87-1-2-7-8-9）÷6
＝60÷6
=10
求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了。
因为用同样的方法框出的六个数之和是83 7，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第
一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一 个数是：
5

（837-1-2-7-8-9）÷6
＝810÷6
=135
第二个数是：135+1=136
第三个数是：135+2=137
第四个数是：135+7=142
第五个数是：135+8=143
第六个数是：135+9=144
答略。 （2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是7；②方框中间坚行的11和18，分
别是上 横行与下横行三个数的中间数。
11=（10+11+12）÷3
18=（17+18+19）÷3
所以上横行与下横行两个中间数的和是：
87÷3＝29
由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：
837÷3＝279
因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的数是x+7。
x+（x+7）=279
2x+7=279
2x=279-7
=272
x=272÷2
=136
x+7=136+7
6

=143
因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是：136-1=135
第三个数是：135+2=137
因为下一横行中间的数是143，所以，
第四个数是：143-1=142
第六个数是：142+2=144
答略。
*例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）
解：（1） 锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点，锯去一个顶点后，增
加了三个顶点，所以，
8-1+3=10
即锯去一个顶点后还有10个顶点。

（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）。
（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）。

（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）。
例10 将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图
1-16），求这个物体的表面积S。（适于六年级程度）
解：我们知道，底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ+2πγh。
2
7

本题的物体由三个圆柱 组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加
在一起，然后减去重叠部分的面积，才 能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是
以一般的观察方法去解题。
如果我们改 变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面
的面积就像图1-17那样 。这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所
以，这个物体的表面积，就等于一 个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
（2π×1.5+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）
2
=（4.5π+3π）+2π+π
=7.5π+3π
=10.5π
=10.5×3.14
=32.97（平方米）
答略。
*例11 如图 1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米，圆心角是72°，铸件
长20厘米。求它的表 面积和体积。（适于六年级程度）

解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意 观察的全面性，不可漏掉某一侧
面。图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在 解题时要仔细。
求表面积的方法1：

8

＝3.14×45×2+600+120×3.14
=3.14×90+3.14×120+600
=3.14×（90+120）+600
=659.4+600
=1259.4（平方厘米）
求表面积的方法2：


=3.14×210+600
=659.4+600
=1259.4（平方厘米）
铸件的体积：

=3.14×225×4
=3.14×900
9

=2826（立方厘米）
答略。
第二讲 尝试法

解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过 尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做
尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。
一般来说， 在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰
当、合理，都要知道在假设 、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提
高解题的效率。
例1 把数 字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于14。
（适于一年级程度 ）

解：七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困
难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一格的数确定后，下面一格的
数 便可由竖列三个数之和等于14来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。
中间一格应填什么数呢？
先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中 找到第六期的第23
页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期，就要再往后翻；要 是翻到第
七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23页的地方翻，„„
这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。
这就是在用“尝试法”解决问题。 < br>本题的试数范围是3、4、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中，
按“横 行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。

如果中间的格中填3，则竖列下面的一格应填多少呢？因为14-5-3=6，所以竖列下面的一
格中应填6（图2-2）。
10

下面就要把剩下的4、7，分 别填入横行左右的两个格中（图2-3）。把横行格中的4、3、
7三个数加起来，得14，合乎题目要 求。
如果中间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。
所以本题的答案是图2-3或图2-4。
例2 把1、2、3„„11各数填在图2-5的方 格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等
于18。（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度 ）

解：图2-5中有11个格，正好每一格填写一个数。
图2-6中写有A、B 、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算，
就是说这三个数都要被用两次。 因此，确定A、B、C这三个数是解此题的关键。

因为1～11之中中间的三个数是5、6、7，所以，我们以A、B、C分别为5、
6、7开始尝试（图2-7）。
以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数。
因为18-6=12，所以6上、下两格中数字的和应是12。
考虑6已是1～11之中中间 的数，那么6上、下两格中的数应是1～11之中两头的数。再
考虑6上面的数还要与5相加，6下面的 数还要与7相加，5比7小，题中要求是三个数相加
都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面 的格中填1（图2-8）。

11

6+11+1=18
看图2-8。6上面的数是11，11左邻的数是5，18-11-5=2，所以5左邻的数是2（图2 -9）。
再看图2-8。6下面的数是1，1右邻的数是7，18-1-7=10，所以7右邻的数是 10（图2-9）。
现在1～11之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中也只剩下四个空格 。在5的上、
下，在7的上、下都应填什么数呢？

因为18-5=13，所以5上、下两格中数字的和应是13，3、4、8、9这四个数中，只有4+9 =13，
所以在5的上、下两格中应填9与4（图2-10）。
看图2-10。因为6左邻的数是4，18-4-6=8，所以6右邻的数是8。
因为18-7-8=3，并且1-11的数中，只剩下3没有填上，所以在7下面的格中应填上3。
图2-10是填完数字的图形。
*例3 在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。在 一架没有砝码的天平上，最多
只能称两次，你能把假手镯找出来吗？（适于三年级程度）
解：先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只。
①把A、B两组放在天平左右两边的秤盘 上，如果平衡，则假的1只在C组里；若不平衡，
则哪组较重，假的就在哪组里。
②再把有假 手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡，余下的1只是假
的；若不平衡，较重的那只 是假的。
*例4 在下面的15个8之间的任何位置上，添上+、-、×、÷符号，使得下面的算式成
立。（适于三年级程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986
解：先找一个接近1986的数，如：8888÷8+888=1999。
1999比198 6大13。往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢？
88÷8=11，11与 13接近，只差2。
往下就要看用剩下的4个8经过怎样的运算等于2。8÷8+8÷8=2。
把上面的思路组合在一起，得到下面的算式：
12

8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986
例5 三个连续自然数的积是120，求这三个数。（适于四年级程度）
解：假设这三个数是2、3、4，则：
2×3×4=24
24＜120，这三个数不是2、3、4；
假设这三个数是3、4、5，则：
3×4×5＝60
60＜120，这三个数不是3、4、5；
假设这三个数是4、5、6，则：
4×5×6=120
4、5、6的积正好是120，这三个数是4、5、6。例6 在下面式子里的适当位置上加上括
号，使它们的得数分别是47、75、23、35。（适于四年级程度）
（1）7×9+12÷3-2＝47
（2）7×9+12÷3-2=75
（3）7×9+12÷3-2=23
（4）7×9+12÷3-2=35
解：本题 按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘除法而后做加
减法，结果是：
7×9+12÷3-2
=63+4-2
=65
“加上括号”的目的在于 改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是加小括号均未限
制，因此解本题的关键在于加写括号的位置 。可以从加写一个小括号想起，然后再考虑加写中
括号。如：
（1）7×7=49，再减2就 是47。这里的第一个数7是原算式中的7，要减去的2是原算式
等号前的数，所以下面应考虑能否把9 +12÷3通过加括号后改成得7的算式。经过加括号，
（9+12）÷3=7，因此：
13

7×[（9+12）÷3]-2=47
因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本题也可以写成：
7×（9+12）÷3-2=47
（2）7×11=77，再减2就得75。这里的7是原算 式中的第一个数，要减去的2是等号前
面的数。下面要看9+12÷3能不能改写成得11的算式。经尝 试9+12÷3不能改写成得11的算
式，所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12得75，这里的 7、9、12就是原式中的前三个数，
所以只要把3-2用小括号括起来，使7×9+12之和除以1， 问题就可解决。由此得到：
（7×9+12）÷（3-2）=75
因为（3-2）的差是1 ，所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个加数分别除以
这个数，然后把两个商相加”这一运算 规则，上面的算式又可以写成：
7×9+12÷（3-2）=75
在上面的这个算式中，本 应在7×9的后面写上“÷（3-2）”，因为任何数除以1等于这
个数本身，为了适应题目的要求，不 在7×9的后写出“÷（3-2）”。
（3）25-2=23，这个算式中，只有2是原算式等号前的 数，只要把7×9+12÷3改写成得
25的算式，问题就可解决。又因为7×9+12=75，75÷ 3=25，所以只要把7×9+12用小括号括
起来，就得到题中所求了。
（7×9+12）÷3-2=23
（4）7×5=35， 7是原算式中的第一个数，原算式中的 9+12÷3-2能否改写成得5的算
式呢？因为 7-2=5 ，要是9+12÷3能改写成得7的算式就好了。经改写为（9+12）÷3=7，因
此问题得到解决。 题中要求的算式是：
7×[（9+12）÷3-2]=35
*例7 王明和李平一起剪羊毛 ，王明剪的天数比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李
平每天剪12只羊的羊毛。他俩共剪了112 只羊的羊毛，两人平均每天剪14只羊的羊毛。李平
剪了几天羊毛？（适于四年级程度）
解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛计算，一共剪的天数是：
112÷14=8（天）
因为王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，两 人合起来共剪了8天，并
且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天。则：
12×5+20×（8-5）=120（只）
120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天数多于5天。
14

假定李平剪了6天，则：
12×6+20×（8-6）=112（只）
所以按李平剪6天计算，正满足题中条件。
答：李平剪了6天。
*例8 一名学生读一本书，用一天读80页的速度，需要5天读完，用 一天读90页的速度，
需要4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多 少页？（适
于五年级程度）
解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数 乘以读的天数等于一本
书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可 以解题了。
根据“用一天读80页的速度，需要5天读完”，是否能够认为总页数就是 80×5=400（页）
呢？不能。
因为5天不一定每天都读80页，所以只能理解为：每天 读80页，读了4天还有余下的，
留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了80×4=320（页 ），最多不会超过：
90×4=360（页）
根据以上分析，可知这本书的页数在321～ 360页之间。知道总页数在这个范围之内，往
下就不难想到什么数自身相乘，积在321～360之间 。
因为17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之 间，所以只有每天读18
页才符合题意，18天看完，全书324页。
答：每天应该读18页。
*例9 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个 数有许多约数是两位数。
这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度）
解：两位数按从大到小的顺序排列为：
99、98、97、96„„11、10
以 上两位数分解后，它的质因数只能是2、3、5、7，并且在它的质因数分解中2的个数
不超过5，3的 个数不超过3，5的个数不超过2，7的个数不超过1。
经尝试，99不符合要求，因为它有质因数1 1；98的分解式中有两个7，也不符合要求；
质数97当然更不会符合要求。而，
96=2×2×2×2×2×3
所以在这些两位数的约数中，最大的是96。
15

答略。
*例10 从一个油罐里要称出6千克油来，但现在只有两 个桶，一个能容4千克，另一个
能容9千克。求怎样才能称出这6千克油？（适于六年级程度）
解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。
已知大桶可装9千克油 ，要称出6千克油，先把能容9千克油的桶倒满，再设法倒出9
千克油中的3千克，为达到这一目的，我 们应使小桶中正好有1千克油。
怎样才能使小桶里装1千克油呢？
（1）把能容9千克油的大桶倒满油。
（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。
（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。
（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下1千克油。
（5）把小桶中现存的4千克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有1千克油。
（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。
（7）往大桶倒满油。
（8）从大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒满。
（9）大桶里剩下6千克油。

第三讲 列举法
解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一 一列举出来加以分
析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列 举法也
叫枚举法或穷举法。

用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。

例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）

解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。

个位是6的数字有： 6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。

十位是6的数字 有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。

10+10=20（个）

16

答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

*例2 从A市到B市有3条路，从B 市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走
法？（适于三年级程度）

解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。


第一种走法：A ① B ④ C

第二种走法：A ① B ⑤ C

第三种走法：A ② B ④ C

第四种走法：A ② B ⑤ C

第五种走法：A ③ B ④ C

第六种走法：A ③ B ⑤ C

答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3 9○13○7=100
14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在
长方 形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级
程度）
解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎
样填会特别 麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。
先看第一个式子：9○13○7=100
如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现 小于100的分数；如果在两个圆圈内
仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在 两个圆圈内不能同时填“÷”号，
也不能同时填“+”、“-”号。
要是在等式的一个圆圈中 填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端
得出100。9×13-7=117-7 =110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就
会凑出100了。
9+13×7=100
再看第二个式子：14○2○5=□
17

上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在 第一个圆圈
内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：
14÷2-5=2
即长方形中的数是2。
*例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四
年级程度）
解：（1）数码一共有10个：0、1、2„„8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位
数的页有 9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码 是两位数的页有
90页，用数码：
2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，1 00页到999页，999-99=900，而剩下
的1701个数码除以3时，商不足600，即商小 于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4
位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）
答略。
*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一 个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围
成的长方形面积最大？（适于四年级程度）
解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比
较。因为长方形 的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：
表3-1

18

表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长 方形面积最大，
第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种围法的长方形面积
分别是：
35×5=175（平方厘米）
30×10=300（平方厘米）
25×15=375（平方厘米）
答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。
例6 如图3-2，有 三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三
张，按任意次序排列起来，可以 得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出
来。（适于五年级程度）

解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；
任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、
23和 31是质数；
三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都 是1+2+3=6，即它们都是
3的倍数，所以都不是质数。
综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。
*例7 在一条笔直的公 路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号
粮站存有20吨粮食，3号粮站存有 30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现
在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果 每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几
号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级 程度）

解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。
下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。
（1）如果运到3号粮站，所用运费是：
19

0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）
=100+100+400
=600（元）
（2）如果运到4号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10+10）+0.5×2 0×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10
=150+200+150+200
=700（元）
（3）如果运到5号粮站，所用费用是：
0.5×10×（10+ 10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）
=200+300+300
=800（元）
800＞700＞600
答：集中到第三号粮站所用运费最少。
*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个 5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，
问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）
解：（1）只拿出一种硬币的方法：
①全拿1分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）
②全拿2分的：
2+2+2+2+2=1（角）
③全拿5分的：
5+5=1（角）
只拿出一种硬币，有3种方法。
（2）只拿两种硬币的方法：
①拿8枚1分的，1枚2分的：
20

1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）
②拿6枚1分的，2枚2分的：
1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）
③拿4枚1分的，3枚2分的：
1+1+1+1+2+2+2=1（角）
④拿2枚1分的，4枚2分的：
1+1+2+2+2+2=1（角）
⑤拿5枚1分的，1枚5分的：
1+1+1+1+1+5=1（角）
只拿出两种硬币，有5种方法。
（3）拿三种硬币的方法：
①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：
1+1+1+2+5=1（角）
②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：
1+2+2+5=1（角）
拿出三种硬币，有2种方法。
共有：
3+5+2=10（种）
答：共有10种拿法。
*例9 甲、乙、丙、丁与小强五 位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，
甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛 了1盘。问小强赛了几盘？（适于五年级程度）
解：作表3-2。
表3-2
21

甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛 了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交
的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又 与丙和小强各赛一盘，在乙
与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一 盘，打上√；丁
与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。
根据条件分析，填完表 格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，
共赛2盘。
答：小强赛了2盘。
*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8 箱1千克重的，一位
顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于 五年级程
度）
解：作表3-3列举发货方式。
表3-3

答：不开箱有7种发货方式。
*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停 在院子里。第一次陆续开走的全
部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几 次时汽车全部开走？
最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）
解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。
22

表3-4

从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车 。按题意，第四次8
号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
*例12 在甲、乙两个仓库存放 大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，
乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩 下大米的袋数相等？（适于五年级程度）
解：根据题意列表3-5。
表3-5

从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的大
米相 差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次运走
后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；
第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。
40-32=8
32-24=8
24-16=8
23

„„
从这里可以看出， 每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。由此可以看出，
两仓库原存大米袋数的差，除以 每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相
等。
（90-50）÷（12-4）=5（次）
答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
*例13 有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；
第 二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多
的人数并入第 一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友？（适于五年级程
度）
解：三个 小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24（人）。在这以
前，即第三组未把 与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12（人），第三
组应是（24+12）= 36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三组同样多的
人数并入第三组之前，第三 组应为36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一
组人数仍是12人；在第 一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人
数应为42÷2=21（人），第一 组人数应为12+21=33（人），第三组应为18人。
这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。
表3-6

答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、 18人



第四讲 综合法

从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已 知数量与未知数量的关系，一直到求出未
知数量的解题方法叫做综合法。

24

以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个 问题，然后
将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题„„一直到
解出应用题所求解的未知数量。

运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可 以解决什么问题，然后才能从已知逐
步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少 ，数量关系比较简单的应
用题。

例1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米 的水渠，4天完成任务。甲队每天挖40
米，乙队每天挖多少米？（适于三年级程度）

解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠”和“4天完成任务”这两
个已知条件 ，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图4-1）。

300÷4=75（米）

根据“甲、乙两队每天共挖水渠75米”和“甲队每天挖40米”这两个条件，可以求出乙
队每 天挖多少米（图4-1）。

75-40=35（米）

综合算式：

300÷4-40

=75-40

=35（米）

答：乙队每天挖35米。


例2 两个工人排一本39500字的书稿。甲 每小时排3500字，乙每小时排3000字，两人
合排5小时后，还有多少字没有排？（适于四年级程 度）

解：根据甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，可求出两人每小时排多少字（ 图4-2）。

25

3500+3000=6500（字）

根据两个人每小时排6500字，两人合排5 小时，可求出两人5小时已排多少字（图4-2）。

6500×5=32500（字）

根据书稿是39500字，两人已排32500字，可求出还有多少字没有排（图4-2）。

39500-32500=7000（字）

综合算式：

39500-（3500+3000）×5

=39500-6500×5

=39500-32500

=7000（字）

答略。

例3 客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行。客车每小时行60千米，货车每小时
行4 0千米，5小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。（适于四年级程度）

解：根据 “客车每小时行60千米”和“货车每小时行40千米”这两个条件，可求出两车
一小时共行多少千米（ 图4-3）。


60+40=100（千米）

26

根据“两车一小时共行100千米”和两车5小时后相遇，便可求出甲、乙两 地间的路程是
多少千米（图4-3）。

100×5=500（千米）

综合算式：

（60+40）×5

=100×5

=500（千米）

答：甲、乙两地间的路程是500千米。

例4 一个服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做
完，问平均每天要 做多少套？（适于四年级程度）

解：根据“已经做了5天，平均每天做75套”这两个条件可求出已做了多少套（图4-4）。


75×5=375（套）

根据“计划做660套”和“已经做了375套 ”这两个条件，可以求出还剩下多少套（图4
-4）。

660-375=285（套）

再根据“剩下285套”和“剩下的要3天做完”， 便可求出平均每天要做多少套（图4-4）。

285÷3=95（套）

综合算式：

（660-75×5）÷3

=285÷3

=95（套）

27

答略。

例5 某装配车间，甲班有20人，平均每人每天可做72个零件；乙班有24人，平均每人
每 天可做68个零件。如果装一台机器需要12个零件，那么甲、乙两班每天生产的零件可以装
多少台机器 ？（适于四年级程度）

解：根据“甲班有20人，平均每人每天可做72个零件”这两个条件 可求出甲班一天生产
多少个零件（图4-5）。


72×20=1440（个）

根据“乙班有24人，平均每天每人可做68个零件” 这两个条件可求出乙班一天生产多少
个零件（图4-5）。

68×24=1632（个）

根据甲、乙两个班每天分别生产1440个、1632 个零件，可以求出甲、乙两个班一天共生
产多少个零件（图4-5）。

1440+1632=3072（个）

再根据两个班一天共做零件3072个和装一 台机器需要12个零件这两条件，可求出两个班
一天生产的零件可以装多少台机器。

3072÷12=256（台）

综合算式：

（72×20+68×24）÷12

=（1440+1632）÷12

=3072÷12

=256（台）

答略。

28

例6 一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100 套，工作20天后，每天多加工20
套。提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务？（适于四年级 程度）

解：根据每天加工100套，加工20天，可求出已经加工多少套（图4-6）。

100×20=2000（套）

根据计划加工2480套和加工了2000套，可求出还要加工多少套（图4-6）。


2480-2000=480（套）

根据原来每天加工100套，现在每 天多加工20套，可求出现在每天加工多少套（图4-6）。

100+20=120（套）

根据还要加工480套，现在每天加工120套，可求出还要加工多少天（图4-6）。

48O÷120=4（天）

综合算式：

（2480-100×20）÷（100+20）

=480÷120

=4（天）

答略。

刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思 路图，当对综合法的解题方法已经很熟悉时，
就可以不再画思路图，而直接解答应用题了。


解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。

29

=49.5（千克）

答略。


解：此题先后出现两个标准量：“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱的重量”。

将题中已知条件的顺序变更一下：丙块地产高粱450千克，丙块地比乙


条件，可求出乙块地产高粱是：


（这里乙块地的产量是标准量1）

30

（这里甲块地的产量是标准量1）

综合算式：


=546（千克）

答略。


第五讲 分析法 < br>从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题
方法叫分 析法。

用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未知的， 就
要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。

分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。

例1 玩具厂计划每天生产200件玩 具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超
过计划多少件？（适于三年级程度）

解：这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件，必须具备两个
条件（ 图5-1）：①实际每天生产多少件；②计划每天生产多少件。


计划每天生产200件是已知条件。实际每天生产多少件，题中没有直接告诉，需要求出来。

31

要求实际每天生产多少件，必须具备两个条件（图5-1）： ①一共生产了多少件；②已经
生产了多少天。这两个条件都是已知的：①一共生产了1260件；②已经 生产了6天。

分析到这里，问题就得到解决了。

此题分步列式计算就是：

（1）实际每天生产多少件？

1260÷6=210（件）

（2）平均每天超过计划多少件？

210-200=10（件）

综合算式：

1260÷6-200

=210-200

=10（件）例2 四 月上旬，甲车间制造了257个机器零件，乙车间制造的机器零件是甲车
间的2倍。四月上旬两个车间共 制造多少个机器零件？（适于三年级程度）
解：要求两个车间共制造多少个机器零件，必须具备两个条 件（图5-2）：①甲车间制造
多少个零件；②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造257个零件， 乙车间制造多少个零件
未知。
下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个
条件。
这两个条件（图5-2）是：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造的零件是甲车间的几
倍。 这两个条件都是已知的：①甲车间制造257个，乙车间制造的零件数是甲车间的2倍。
分析到此，问题就得到解决了。

此题分步列式计算就是：
（1）乙车间制造零件多少个？
32

257×2=514（个）
（2）两个车间共制造零件多少个？
257+514=771（个）
综合算式：
257+257×2
=257+514
=771（个）
答略。
例3 某车间要生产180个 机器零件，已经工作了3天，平均每天生产20个。剩下的如果
每天生产30个，还需要几天才能完成？ （适于四年级程度）
解：要求还需要几天才能完成，必须具备两个条件（图5-3）：①还剩下多少个 零件；②
每天生产多少个零件。在这两个条件中，每天生产30个零件是已知条件，还剩多少个零件未< br>知。

先把“还剩多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出还剩 下多少个零件，必须具备的两个条件（图5-3）是：①要生产多少个零件；②
已经生产了多少个零件。 要生产180个零件是已知条件，已经生产多少个零件未知。
然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算 出已生产多少个零件，必须知道的两个条件（图5-3）是：①每天生产多少个零件；
②生产了几天。这 两个条件题中都已经给出：每天生产20个零件，生产了3天。
分析到此，问题就得到解决。
上面的思考过程，分步列式计算就是：
（1）已经生产了多少个零件？
33

20×3=60（个）
（2）剩下多少个零件？
180-60=120（个）
（3）还要几天才能完成？
120÷30=4（天）
综合算式：
（180-20×3）÷30
=（180-60）÷30
=120÷30
=4（天）
答略。
例4 王明买了24本笔记本和6支 铅笔，共花了9.60元钱。已知每支铅笔0.08元，每本
笔记本多少钱？（适于五年级程度） 解：要算出每本笔记本多少钱，必须具备两个条件（图5-4）：①买笔记本用了多少钱；
②买了多 少本笔记本。从题中已知买了24本笔记本，买笔记本用的钱数未知。
先把买笔记本用的钱数作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出买笔记 本用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买笔记本、铅笔共用多
少钱；②买铅笔用多少钱。 已知买笔记本、铅笔共用9.60元，买铅笔用去多少钱未知。
然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。
要算出买铅笔用多少钱，必须知道的两个条 件（图5-4）是：①买多少支铅笔；②每支铅
笔多少钱。这两个条件在题中都是已知的：买6支铅笔， 每支0.08元。

34

分析到此，问题就得到解决。
此题分步列式计算就是：
（1）买铅笔用去多少元？
0.08×6=0.48（元）
（2）买笔记本用去多少元？
9.60-0.48=9.12（元）
（3）每本笔记本多少元？
9.12÷24=0.38（元）
列综合算式计算：
（9.60-0.08×6）÷24
＝（9.60-0.48）÷24
=9.12÷24
=0.38（元）
答：每本笔记本0.38元。
例5 仓库里共有化肥2520袋，两辆车同时往外运，共运30次，每次甲车运51袋。每次
甲车比乙车多运 多少袋？（适于五年级程度）
解：求每次甲车比乙车多运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：① 甲车每次运多少袋；
②乙车每次运多少袋。甲车每次运51袋已知，乙车每次运多少袋未知。

先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。
要算出乙车每次运多少袋，必须具备两 个条件（图5-5）：①两车一次共运多少袋；②甲
车一次运多少袋。甲车一次运51袋已知；两车一次 共运多少袋是未知条件。
35

然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算 出两车一次共运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①一共有多少袋化肥；②两
车共运多少次。这 两个条件都是已知的：共有2520袋化肥，两车共运30次。
分析到此，问题就得到解决。
此题分步列式计算就是：
①两车一次共运多少袋？
2520÷30=84（袋）
②乙车每次运多少袋？
84-51=33（袋）
③每次甲车比乙车多运多少袋？
51-33=18（袋）
综合算式：
51-（2520÷30-51）
=51-33
=18（袋）
答略。
*例6 把627.5千克梨装在纸 箱中，先装7箱，每箱装梨20千克，其余的梨每箱装37.5
千克。这些梨共装多少箱？（适于五年级 程度）
解：要算出共装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①先装多少箱。②后装多少箱。先装7箱已知，后装多少箱未知。
先把“后装多少箱”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出后装多少 箱，必须具备两个条件（图5-6）：①后来一共要装多少千克；②后来每
箱装多少千克。后来每箱装3 7.5千克已知，后来一共装多少千克未知。
36

要 把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出，并找出回答这一问题所需要的两个条
件。要求后来一共 要装多少千克，必须具备两个条件（图5-6）：①梨的总重量；②先装了多
少千克。梨的总重量是62 7.5千克已知的；先装了多少千克是未知的，要把它作为一个问题提
出来，并找出回答这个问题所需要 的两个条件。
这两个条件（图5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。这两个条件都 是
已知的：先装的每箱装梨20千克，装了7箱。
分析到此，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：
①先装多少千克？
20×7=140（千克）
②后来共装多少千克？
627.5-140=487.5（千克）
③后来装了多少箱？
487.5÷37.5=13（箱）
④共装多少箱？
7+13=20（箱）
综合算式：
7+（627.5-20×7）÷37.5
=7+（627.5-140）÷37.5
=7+487.5÷37.5
37

=7+13
=20（箱）
答略。
注意：开始 学习用分析法解应用题时，一定要画思路图，当对分析法的解题方法已经很熟
悉时，可不再画思路图，而 直接分析解答应用题了。

节约了15％。问六月份比四月份少用煤多少吨？（适于六年级程度）
解：此题中出现两个标 准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤
量和六月份的用煤量都与五月份的用煤 量有直接联系。
要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少吨。 要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六月份比五月份
节约多少。 这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是：
3200×（1-15％）=2720（吨）
要算出四月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五月份比四月份
节约多少。这 两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是：

知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨。
3600-2720=880（吨）
综合算式：

=3600-2720
=880（吨）
答略。

38

答略。

第六讲 分析-综合法

综合法和分析法是解应用题时 常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时，由于单纯用综
合法或分析法时，思维会出现障碍，所以 要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和
综合法结合起来解应用题的方法叫做分析- 综合法。

*例1 运输队要把600吨化肥运到外地，计划每天运22吨。运了15天以后 ，剩下的化肥
要在10天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级程度）

解：解此题要运用分析法和综合法去思考。

先用综合法思考。根据“原计划每天运2 2吨”和“运了15天”这两个条件，可以求出已
经运出的吨数（图6-1）。


根据要“运600吨”和已经运出的吨数，可以求出剩下化肥的吨数（图6-1）。

接下去要用哪两个数量求出什么数量呢？不好思考了。所以用综合法分析到这儿，接着要
用分析法思考了 。

要求“每天比原计划多运多少吨”，必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多< br>少吨”。“原计划每天运22吨”是已知条件，“后来每天运多少吨”不知道，这是此题的中
间问 题（图6-2）。


要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要 在多少天内运完”。这两
个条件中，第二个条件是已知的，“要在10天内运完”，“剩下多少吨”是未 知的中间问题。

我们在前面用综合法分析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了。

39

所以本题分析到这里就可以解答了。

此题分步列式解答时，要从图6-1的上面往下看，接着从图6-2的下面往上看。

（1）已经运多少吨？

22×15=330（吨）

（2）剩下多少吨？

600-330=270（吨）

（3）后来每天运多少吨？

270÷10=27吨）

（4）每天比原计划多运多少吨？

27-22=5（吨）

综合算式：

（600-22×15）÷10-22

=（600-330）÷10-22

=270÷10-22

=27-22

=5（吨）

答略。
*例2 某鞋厂原计 划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双。问这个鞋厂
提前几天完成原计划的任务 ？（适于五年级程度）
解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。
先用分析法思考。 要算出提前几天完成计划，必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数”
（图6-3）。“原计划天数”是 30
40

天，已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中间问题。
要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”（图6-3）。
到 此可以往下思考，要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件？但有的人觉得这
样思考时不顺当， 思路会“卡壳”，这时就要换用综合法进行思考。
由“原计划30天做皮鞋13500双”，可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图6-4）。

由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做50双”，可用加法算出“实际
每天做 的皮鞋数”（图6-4）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时，得 从图6-4的上
面往下面推想，然后从图6-3的后面（下面）往前推想。
（1）看图6-4 的思路图。通过把原计划做的13500双除以计划做的30天，可以得到原计
划每天做多少双皮鞋。
13500÷30=450（双）
（2）在计划每天做的450双皮鞋上，加上实际每天多做 的50双，得到实际每天做的皮鞋
数。
450+50=500（双）
（3）接着看 图6-3的思路图。从思路图的下面往上推想，皮鞋总数除以实际每天做的皮
鞋数500双，得到实际制 做的天数。
13500÷500=27（天）
41

（ 4）接着往上看，从原计划做的30天，减去实际做的天数27天，就得到提前完成计划
的天数。
30-27=3（天）
把上面分步计算的算式综合为一个算式是：
30-13500÷（13500÷30+50）
=30-13500÷500
=30-27
=3（天）
答略。
*例3甲、乙两队同时开凿一条216 0米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿20米，乙队
从另一端起，每天比甲队多开凿5米。两队在离中 点多远的地方会合？（适于五年级程度）
解：看图6-5。要求两队在离中点多远的地方会合，需要知 道隧道的中点及会合点离一端
的距离（分析法）。
每天20米每天比甲队多5米

隧道全长2160米，中点到一端的距离可以通过2160÷2求得（综合法）。
要求出会合 点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开凿的米数。要
求甲队开凿的米数，就要知 道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已知）和开凿的天数（分析法）。
甲队每天开凿20米已知，开凿的 天数不知道。
要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米（分析法）。
已知甲队每天开凿20米，乙队每天比甲队多开凿5米，这样可以求出乙队每天开凿多少
米，从 而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。
此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。
（1）乙队每天开凿多少米？
20+5=25（米）
42

（2）甲乙两队一天共开凿多少米？
20+25=45（米）
（3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？
2160÷45=48（天）
（4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离）
20×48=960（米）
（5）甲队到中点的距离是多少米？
2160÷2=1080（米）
（6）会合点与中点间的距离是多少米？
1080-960=120（米）
综合算式：
2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）]
=1080-20×48
=1080-960
=120（米）
答略。
*例4某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队8名队员共采集11.6千克，第二
小队 6名队员比第一小队少采集2.8千克，第三小队10名

克？（适于五年级程度）
解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选择出与所求数
量有直接联系 的数量关系。而用分析法分析，能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系，
找到解题所需要的数量后 ，再用综合法分析。
要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树种多少 千克”
和“全体队员的人数”（图6-6）。
43

要求 “三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克；要
求“全体队员人数” 必须知道各小队的人数（图6-6）。
三个小队的人数都已经知道，第一小队采集11.6千克也已知 ，只是第二、三小队各采集
多少还不知道。
往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图6-6）。

由“第一小队共采 集11.6千克”和“第二小队比第一小队少采集2.8千克”，可求出第
二小队采集多少千克；由“第 二小队采集的重量”和“第

往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多 少千克；也可以由各小队
的人数之和求出“全体队员的人数”。
到此本题就可以解出来了。
本题分步列式解答的方法是：
（1）第二小队采集多少千克？
11.6-2.8=8.8（千克）
（2）第三小队采集多少千克？

44

（3）三个小队共采集多少千克？
11.6+8.8+13.2=33.6（千克）
（4）三个小队有多少队员？
8+6+10=24（人）
（5）平均每人采集多少千克？
33.6÷24=1.4（千克）
综合算式：

=33.6÷24
=1.4（千克）
答略。
*例5甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小 时40千米的速度由甲城开往乙城，
行车15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇。这时 快车开到甲城还需要多少
小时？（适于六年级程度）
解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是：
先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还 需要多少小时”，必须知道两个条件（图
6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米 。这两个条件题目中都没给出，
应把它们分别作为中间问题。

接着思考，要求相遇 地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小时行多少千米
必须具备哪两个条件？„„如果思路 不“卡壳”，就一直思考下去，直到解答出所求问题。如
果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。另画一 个思路图（图6-8）。
45

图6-8中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是：

快车已行的路程是：
210-90=120（千米）
快车每小时所行的路程是：
120÷2=60（千米）
到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需要的时间是：
90÷60=1.5（小时）
综合算式：

答略。

第七讲 归一法
先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为 标准，计算出所求数
量的解题方法叫做归一法。

归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。

用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方
法解答比较麻烦 ，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。

（一）一次直进归一法

46

通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一 次直进归一
法。

1.解整数、小数应用题

例1某零件加工小组， 5天加工零件1500个。照这样计算，14天加工零件多少个？（适
于三年级程度）

解：（1）一天加工零件多少个？

1500÷5=300（个）

（2）14天加工零件多少个？

300×14=4200（个）

综合算式：

1500÷5×14=4200（个）

答略。

此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型，下面的题都在此类型题的基 础上有所扩
展。

例2 用一台大型抽水机浇地，5小时浇了15公顷。照这样计算， 再浇3小时，这台抽水
机比原来多浇多少公顷地？（适于三年级程度）

解：（1）一小时浇地多少公顷？

15÷5=3（公顷）

（2）3小时浇地多少公顷？

3×3=9（公顷）

综合算式：

15÷5×3=9（公顷）

答略。例3一辆汽车3小 时行驶了123.6千米。照这样的速度，再行驶4小时，这辆汽
车一共行驶了多少千米？（适于五年级 程度）
解：（1）一小时行驶多少千米？
123.6÷3=41.2（千米）
（2）前后共行驶多少小时？
47

3+4=7（小时）
（3）一共行驶多少千米？
41.2×7=288.4（千米）
综合算式：
123.6÷3×（3+4）
=41.2×7
=288.4（千米）
答略。
2.解分数应用题

经行驶了4份，还剩下全路程的7-4=3（份）。还可知，行驶4份用的时间是8小时。
（1）行驶1份用的时间是：
8÷4=2（小时）
（2）行驶剩下的3份用的时间是：
2×3=6（小时）
答略。
数量是单位“1”。把六月份的伐木数量平均分成6份，五月份的伐木数量就相当于六月
份伐木数量 的5份。
（1）一份木材是多少立方米？
240÷5=48（立方米）
48

（2）因为六月份比五月份多伐一份，所以六月份的伐木数量是：
240+48=288（立方米）
答略。
兔，其余的是灰
兔。已知黑兔比白兔多21只。求灰免有多少只？（适于六年级程度）
12份，白兔占5份，则灰兔占20-12-5=3（份）。
（1）黑兔比白兔多21只，这21只所对应的份数是：
12-5=7（份）
（2）每一份的只数是：
21÷7=3（只）
（3）灰兔的只数是：
3×3=9（只）
答略。
程度）
运进一些红糖后，把两种糖的总重量平 均分成10份，红糖占3份，白糖占
的数量用表7-1表示。
49



7份。把上面

表7-1

（1）白糖的重量是：
63O÷5×4=504（千克）
（2）运来红糖后两种糖的总重量是：
504÷7×10=720（千克）
（3）运来的红糖是：
720-630=90（千克）
答略。
（二）一次逆转归一法
通过一步计算求出单位数量，再求总数量里包含多少个单位数量的解题 方法，叫做一次逆
转归一法。
例1 一列火车6小时行驶390千米。照这样的速度，要行驶 1300千米的路程，需要多少
小时？（适于三年级程度）
解：（1）一小时行驶多少千米？
390÷6=65（千米）
（2）行驶1300千米需要多少小时？
1300÷65=20（小时）
综合算式：
1300÷（390÷6）
=1300÷65
=20（小时）
答略。
50

此题是一次逆转归一的基本题，下面的题都在此题的基础上有所扩展。 例2某人骑自行车从甲地到乙地，2小时行了26千米，剩下的路程是52千米。按照这样
的速度， 此人从甲地到乙地要行几小时？（适于四年级程度）
解：（1）一小时行多少千米？
26÷2=13（千米）
（2）行驶52千米用几小时？
52÷13=4（小时）
（3）从甲地到乙地要行几小时？
2+4=6（小时）
综合算式：
2+52÷（26÷2）
=2+52÷13
=2+4
=6（小时）
答略。
例3 学校买来135米塑料绳，先剪下9米做了5根跳绳。照这样计算，剩下的塑料 绳可
以做多少根跳绳？（适于五年级程度）
解：（1）一根跳绳有多少米？
9÷5=1.8（米）
（2）剩下的塑料绳有多少米？
135-9=126（米）
（3）剩下的绳子可以做多少根跳绳？
126÷1.8=70（根）
综合算式：
（135-9）÷（9÷5）
51

=126÷1.8
=70（根）
答略。
（三）二次直进归一法
通过两步计算求出单位数量，再求若干个单位数量和的解题方法叫做二次直进归一法。
*例1 4辆同样的卡车7次运货物224吨。照这样计算，9辆同样的卡车10次可以运货物
多少吨？（适于五 年级程度）
解：摘录整理题中的条件，排列成表7-2。
（1）4辆卡车一次运货多少吨？
224÷7=32（吨）
（2）一辆卡车一次运货多少吨？
32÷4=8（吨）
（3）9辆卡车一次运货多少吨？
8×9=72（吨）
表7-2

（4）9辆卡车10次运货多少吨？
72×10=720（吨）
综合算式：
224÷7÷4×9×10
=8×9×10
=720（吨）
答略。
52

此题是二次直进归一的基本题，下面的题在此基础上都有所变化。
*例2 某水库上游有农田需抽水浇地，抽水站七月上旬用一台柴油机从

农田用水量要增加，这个抽 水站准备同时用4台柴油机抽水。这个抽水站最少还应准备多
少千克柴油？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-3。

分成5份中的4份，所以5份中的1份是：
200÷4=50（千克）
表7-3

（2）一台柴油机一天用油多少千克？
50÷10=5（千克）
（3）4台柴油机21天用油多少千克？
5×4×21=420（千克）
（4）还应准备柴油多少千克？
420-200=220（千克）
综合算式：
200÷4÷10×4×21-200
=5×4×21-200
=420-200
=220（千克）
53

答略。
*例3 冬天 ，有12头牛3天吃干草720千克。牵走3头牛后，有720千克干草要给剩下
的牛吃4天，干草是不 是够用？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-4。
（1）1头牛1天吃干草多少千克？
720÷12÷3=20（千克）
（2）牵走3头牛后，剩下几头牛？
12-3=9（头）
表7-4

（3）9头牛4天吃干草多少千克？
20×9×4=720（千克）
综合算式：
720÷12÷3×（12-3）×4
=20×9×4
=720（千克）
答：720千克干草正好够用。
*例4 用手工剪羊毛，第一天4人6小时剪羊毛120千克 。第二天增加了同样能干的3个
人，还是工作6小时。问两天一共剪羊毛多少千克？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-5。
（1）1人1小时剪羊毛多少千克？
120÷4÷6=5（千克）
（2）增加3个人后共有多少个人？
54

4+3=7（人）
表7-5

（3）7个人6小时剪多少千克羊毛？
5×7×6=210（千克）
（4）两天一共剪多少千克羊毛？
120+210=330（千克）
综合算式：
120+120÷4÷6×（4+3）×6
=120+5×7×6
=120+210
=330（千克）
答略。
（四）二次逆转归一法 < br>通过两步计算，求出单位数量之后，再求出总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫
做二次逆 转归一法。
*例1 3台拖拉机8小时耕地4.8公顷。照这样计算，9公顷地，用5台拖拉机耕，需 要
多少小时？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-6。
（1）1台拖拉机1小时耕地多少公顷？
4.8÷3÷8=0.2（公顷）
（2）5台拖拉机耕9公顷土地用多少小时？
表7-6
55

9÷5÷0.2=9（小时）
综合算式：
9÷5÷（4.8÷3÷8）
=9÷5÷0.2
=9（小时）
答略。
此题是适于用二次逆转归一法解的基本题，下面的题在此基础上都有所扩展。
*例2 7名工 人10小时生产机器零件420个。在缺席2名工人的情况下，要生产330个
机器零件，要用多少小时 ？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列出表7-7。
（1）1名工人1小时生产多少个机器零件？
表7-7

420÷7÷10=6（个）
（2）缺席2名工人，剩下多少名工人？
7-2=5（名）
（3）5名工人生产330个机器零件要用多少小时？
330÷5÷6=11（小时）
综合算式：
330÷（7-2）÷（420÷7÷10）
56

=330÷5÷6
=11（小时）
答略。
*例3 有900立方米的土，需要25人12天挖完。如果增加5人，可以提前几天挖完？（适
于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-8。
设提前x天挖完，则实际完成的天数是（12-x）天。
表7-8

（1）原来1人1天挖土多少立方米？
900÷12÷25=3（立方米）
（2）增加5人后共有多少人？
25+5=30（人）
（3）30人多少天挖完？
900÷30÷3=10（天）
（4）可以提前几天挖完？
12-10=2（天）
综合算式：
12-9000÷（25+5）÷（900÷25÷12）
=12-900÷30÷3
=12-10
=2（天）
答略。
57

第八讲 归总法
已知单位数量和 单位数量的个数，先求出总数量，再按另一个单位数量或单位数量的个数求未
知数量的解题方法叫做归总 法。

解答这类问题的基本方法是：

总数量=单位数量×单位数量的个数；

另一单位数量（或个数）=总数量÷单位数量的个数（或单位数量）。

例1 李明从 学校步行回家，每小时走4千米，5小时到家。如果他每小时走5千米，几
小时到家？（适于三年级程度 ）

解：要求每小时走5千米，几小时到家，要先求出学校到家有多远，再求几小时到家。因< br>此，

4×5÷5

=20÷5

=4（小时）

答：如果他每小时走5千米，4小时到家。

例 2 王明看一本故事书，计划每天看 15页，20天看完。如果要在12天看完，平均每
天要看多少页？（适于三年级程度）
解：要求12天看完，平均每天看多少页，必须先求出这本故事书一共有多少页，再求平
均每天看多 少页。因此，

15×20÷12

=300÷12

=25（页）

答：如果要在12天看完，平均每天要看25页。例3 某工厂制造一 批手扶拖拉机，原计
划每天制造6台，30天完成。实际上只用了一半的时间就完成了任务。实际每天制 造多少台？
（适于四年级程度）
解：原来时间的一半就是30天的一半。
6×30÷（30÷2）
=180÷15
58

=12（台）
答：实际每天制造12台。
例4 永丰化肥厂要生产一批化肥，计划 每天生产45吨，24天可以完成任务。由于改进
生产技术，提高了工作效率，平均每天比原计划多生产 15吨。实际几天完成任务？（适于四
年级程度）
解：计划生产的这批化肥是：
45×24=1080（吨）
改进生产技术后每天生产：
45+15=60（吨）
实际完成任务的天数是：
1080÷60=18（天）
综合算式：
45×24÷（45+15）
=45×24÷60
=1080÷60
=18（天）
答：实际18天完成任务。
例5 有一批化肥，用每辆载重6吨的汽 车4辆运送25次可以运完。如果改用每辆载重8
吨的汽车5辆，几次能够运完这批化肥？（适于五年级 程度）
解：这批化肥的重量是：
6×4×25=600（吨）
5辆载重8吨的汽车一次运：
8×5=40（吨）
能够运完的次数是：
600÷40=15（次）
综合算式：
59

6×4×25÷（8×5）
=600÷40
=15（次）
答：15次能够运完。
例 6 一项工程，20人每天工作8小时，30天可以完成。现在改 用40人，每天工作10
小时，现在几天可以完成？（适于五年级程度）
解：完成这项工程共用工时：
8×20×30=4800（个）
现在每天完成工时：
10×40=400（个）
可以完成的天数是：
4800÷400=12（天）
综合算式：
8×20×30÷（10×40）
=4800÷400
=12（天）
答略。
例7 印一本书，原计划印2 70页，每页排24行，每行排30个字。因为要节约用纸，现
在改为每页排30行，每行排36个字。 这本书要印多少页？（适于五年级程度）
解：原计划要印的总字数：
30×24×270=194400（个）
改排后每页排字：
36×30=1080（个）
这本书要印的页数是：
194400÷1080=180（页）
60

综合算式：
30×24×270÷（36×30）
=194400÷1080
=180（页）
答：这本书要印180页。
*例8 服装厂加工一批童装，原计划每天加工210套，7天完成。实际

任务？（适于六年级程度）
解：实际上每天加工童装：

这批童装的总套数是：
210×7=1470（套）
实际需要天数是：
1470÷294=5（天）
综合算式：

=1470÷294
=5（天）
答 略。
例 9 工厂有一批煤，原计划每天烧 6吨，可以烧 70天，技术革新后，每天节约1.8吨。
照这样计算，这批煤可以多烧多少天？（适于五年级程度）
61

解：这批煤的总吨数是：
6×70=420（吨）
现在每天烧的吨数是：
6-1.8=4.2（吨）
现在能烧的天数是：
420÷4.2=100（天）
可多烧的天数是：
100-70=30（天）
综合算式：
6×70÷（6-1.8）-70
=420÷4.2-70
=100-70
=30（天）
答略。
例 10 挖一条水渠，原计划每天挖土 135立方米，20天挖完。实际上每天多挖了45立
方米。这样可以提 前几天完成任务？（适于五年级程度）
解：挖土的总任务是：
135×20=2700（立方米）
实际上每天的挖土量是：
135+45=180（立方米）
实际上只需要的天数是：
2700÷180=15（天）
提前完成任务的天数是：
20-15=5（天）
综合算式：
62

20-[135×20÷（135+45）]
=20-[2700÷180]
=20-15
=5（天）
答略。
*例 11 一堆煤，原计划每天运75吨，20天可以运完。运了2天后，

程度）
解：这批煤总吨数是：
75×20=1500（吨）
运2天后，剩下的吨数是：
1500-75×2=1350（吨）
现在每天运的吨数是：

还需要运的天数是：
1350÷100=13.5（天）
提前完成任务的天数是：
20-2-13.5=4.5（天）
综合算式：

=18-1350÷100
=18-13.5
=4.5（天）
63

答略。

第九讲 分解法
修理工人要掌 握一台机器的构造和性能，有一个好办法：把机器拆开，对一个一个零件进行研
究，然后再装配起来。经 过这样拆拆装装，就能够熟悉机器的构造和性能了，这是日常生活中
常见的现象。我们可以从中发现“由 整体到部分，由部分到整体”的认识事物的规律。分析应
用题也要用到这种方法。

一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。在分析应用题时，可把一道复
杂的应用题先拆 成几道基本应用题，从中找到解题的线索。我们把这种解题的思考方法称为分
解法。



例1 工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天。现在改进烧煤技术后，每天比< br>原计划节约1吨。现在这批煤可以烧几天？（适于四年级程度）

解：这道题看上去很复杂，可以把它拆成三道一步计算的应用题。

（1）工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天，这批煤有多少吨？（60吨）
< br>（2）原计划每天烧5吨，现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约1吨。现在每天烧煤
多少吨？ （4吨）

（3）工厂运来一批煤重60吨，现在改进烧煤技术每天烧4吨，现在这批煤可以烧多少天？

以上三道一步计算的应用题拼起来就是例1。经过这样拆拆拼拼，这道复杂应用题的来龙
去脉就 弄清楚了。根据这三道一步应用题的解题线索，问题便可得到解决。

分步列式计算：

（1）这批煤的重量是：

5×12=60（吨）

（2）现在每天烧煤的吨数是：

5-1=4（吨）

（3）现在这批煤可以烧的天数是：

60÷4=15（天）

综合算式：

5×12÷（5-1）

64

=60÷4

=15（天）

答略。

例 2 胜利小学要挖一个长方形的沙坑，长 4米、宽 2米、深0.45 米，按每人每小时挖
土0.2方计算，应组织多少人才能用1小时完成任务？（适于五年级程度） 解：这道题是由两道小题组成，一道是已知长、宽、深，求长方体沙坑的体积，一道是已
知总共要挖 的土方和每人每小时可挖的土方，求人数。把它分解成两道题来算，就不难了。
要挖土方：
4×2×0.45=3.6（方）
所需人数：
3.6÷0.2=18（人）
综合算式：
4×2×0.45÷0.2
=3.6÷0.2
=18（人）
答：需要组织18人。
*例 3 东山村播种 1600亩小麦，原计划用 5台播种机，每 台播种机每天播种20亩。实
际播种时调来8台播种机。这样比原计划提前几天完成？（适于五年级程度 ）
解：把此题拆成四道基本应用题。
（1）原计划每天每台播种20亩，5台播种机一天播种多少亩？
20×5=100（亩）
（2）每天播种100亩，播种1600亩要多少天？
1600÷100=16（天）
（3）每天每台播种20亩，8台播种机播种1600亩需要多少天？
1600÷（20×8）=10（天）
（4）比原计划提前几天完成？
65

16-10=6（天）
综合算式：
1600÷（20×5）-16000÷（20×8）
=1600÷100-1600÷160
=16-10
=6（天）
答略。
*例4 一辆汽车从甲城经过乙城到达丙城，共用了36小时。已知甲城到乙城的路程 是640
千米，汽车以每小时32千米的速度行驶。其余路程汽车以每小时27千米的速度行驶。求甲城
到丙城的路程是多少千米？（适于五年级程度）
解：可以把这道题分解成四道基本应用题。
（1）甲城到乙城的路程是 640千米，这辆汽车以每小时32千米的速度行驶，要行驶多
少小时？
640÷32=20（小时）
（2）从甲城经过乙城到达丙城行驶36小时，从甲城到乙城行 驶20小时，乙城到丙城需
要行驶多少小时？
36-20=16（小时）
（3）从乙城到丙城以每小时27千米的速度行驶，用了16小时，所行的路程是多少千米？
27×16=432（千米）
（4）甲城到乙城的路程是640千米，乙城到丙城的路程是4 32千米，甲城到丙城的路程
有多少千米？
640+432=1072（千米）
综合算式：
640+27×（36-640÷32）
=640+27×16
=640+432
=1072（千米）
66

答略。
*例5 16人 3天平整土地 67.2亩。如果每人每天工作效率提高25％，2 0人平整280亩
土地需要多少天？（适于六年级程度）
解：（1）16人3天平整土地67.2亩，每人每天平均平整土地多少亩？
67.2÷16+3=1.4（亩）
（2）每人每天平整土地1.4亩，工作效率提高25％后，每人每天平整土地多少亩？
1.4×（1+25％）=1.75（亩）
（3）工作效率提高后，每人每天平整土地1.75亩，20人每天平整土地多少亩？
1.75×20=35（亩）
（4）20人每天平整土地35亩，280亩土地需要平整多少天？
280÷35=8（天）
综合算式：
280÷[67.2÷16÷3×（1+25％）×20）]
=280÷[1.4×1.25×20]
=280÷35
=8（天）
答略。

10天完成。每天必须比以前多加工多少个零件？（适于六年级程度）
解：把这道题拆成下面的五道基本应用题：

（2） 9天加工了450个零件，平均每天加工多少个？
450÷9=50（个）
67

（3）要加工1200个零件，已经加工了 450个，还剩多少个？
1200-450=750（个）
（4）要在 10天内加工剩下的 750个零件，每天平均加工多少个？
750÷10=75（个）
（5）现在平均每天加工 75个，以前平均每天加工50个，现在比以前平均每天多加工多
少个？
75-50=25（个）
综合算式：

=750÷10-450÷9
=75-50
=25（个）
答：现在比以前平均每天多加工25个。
*例7 快、中、慢三辆车从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三
辆车 分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行驶24千米，中车每
小时行驶2 0千米。慢车每小时行驶多少千米？（适于六年级程度）
解：已知慢车12分钟追上骑车人，先求出三 辆车出发时与骑车人的距离和骑车人的速度，
便可按追及问题来解题。因此，这个问题分解成下面的六道 比较简单的应用题来解（图9-1）。

（1）已知快车、中车每小时分别行驶24千米、20千米，它们6分钟各行驶多少千米？
快车行驶：
68

（2）快车在距出发点2. 4千米的B处追上了骑车人，中车已行驶到了距出发点2千米的
A处，这时中车与骑车人相距多少千米？
2.4-2=0.4（千米）
（3）中车10分钟追上骑车人，中车到A处已走了6分钟，还需几分钟才能追上骑车人？
10-6=4（分钟）
（4）中车与骑车人相距0.4千米，中车每小时行驶20千米，同时 出发，中车4分钟追上
骑车人，骑车人每小时行多少千米？
因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设骑车人的速度是每小时行v千米，则得：
（5）快车与骑车人同时出发，快车与骑车人每小时分别行24千米、14千米，骑车人在
前，快车 在后，6分钟快车追上骑车人，出发时快车与骑车人相距多少千米？

（6）慢车与骑车人相 距1千米，它们同时出发，向同一个方向行驶，骑车人每小时行14
千米，慢车12分钟追上骑车人，慢 车每小时行驶多少千米？
因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设慢车每小时行v千米，则得，
1

=5+14
69

=19（千米）
（此题列综合算式很复杂，这里不再列出。）
答略。

第十讲 分组法
在日常生活和生产中，有些事物的数量是按照一定的规律，一组一组有秩序地出现的。只要能
看 出哪些数量是同一组的，并计算出总数量中包含有多少个这样的同一组的数量，就便于计算
出这一组数量 中的每一种物品各是多少个，从而解答出应用题。这种解答应用题的方法叫做分
组法。

例1 某汽车制造厂，计划在本月装配98辆汽车。当第一车间每装配5辆吉普车时，第二
车间 则装配2辆大卡车。求本月该厂装配吉普车、大卡车各多少辆？（适于五年级程度）

解：因为 当第一车间每装配5辆吉普车时，第二车间装配2辆大卡车，所以在这同一时间
内两个车间一共装配汽车 ：

5+2=7（辆）

把7辆汽车看作一组，看98辆汽车要分成多少组：

98÷7=14（组）

因为在一组中有5辆吉普车、2辆大卡车，所以本月装配吉普车：

5×14=70（辆）

本月装配大卡车：

2×14=28（辆）

答略。



例2 80名小学生正好做了80朵小红花，每名女学生做3朵小红花，每3名男学生做1
朵小红花。求这80 名小学生中有男、女生各多少名？（适于五年级程度）

解：因为每名女学生做3朵小红花，每 3名男学生做1朵小红花，所以每名女学生和每3
名男学生共做小红花：

3+1=4（朵）

把4朵小红花看作一组，看80朵小红花中有多少组：

70

80÷4=20（组）

因为做每一组花时有1名女生、3名男生。所以女生人数是：

1×20=20（名）

男生人数是：

3×20=60（名）

答略。例 3 用 1000个黑珠、白珠串成一串。珠子的 排列顺序是：一个白珠、一个黑珠、
两个白珠。问这一串珠子中有多少个白珠？最后一个珠子是黑色的还 是白色的？（适于五年级
程度）
解：这一串珠子的排列顺序是：一白、一黑、两白，不断出现 ，也就是“三个白珠”与“一
个黑珠”为一组。
这1000个珠子可以分为多少组：
1000÷（1+3）=250（组）
因为每一组中有3个白珠，所以白珠的总数是：
3×250=750（个）
因为每一组最后的那个珠子是白色的，所以第250组最后的一个 ，也就是第1000个珠子，
一定是白色的。
答略。
例 4 院子里有一群鸡和一 群兔子，共有100条腿。已知兔子比鸡多一只，求有多少只鸡，
多少只兔子？（适于五年级程度）
解：因为兔子比鸡多一只，所以去掉这一只兔子后，鸡兔共有腿：
100-4=96（条）
因为去掉一只兔后，鸡兔的只数一样多，所以可以把一只鸡和一只兔作为一组，每一组鸡、
兔共 有腿：
4+2=6（条）
一共有多少组鸡、兔，也就是有多少只鸡；
96÷6=16（组）
一共有兔：
71

16+1=17（只）
答：有16只鸡，17只兔。
例 5 有一摞扑克牌共60 张，都是按红桃2张、梅花1张、方片3张的次序摞起来的。
求这一摞扑克有红桃、梅花、方片各多少张 ？（适于五年级程度）
解：因为都是按红桃2张、梅花1张、方片3张的次序摞起的，所以可把2张红 桃、1张
梅花、3张方片看作是一组，这一组共有扑克牌：
2+1+3=6（张）
60张扑克可分为：
60÷6=10（组）
60张牌中有红桃：
2×10=20（张）
有梅花：
1×10=10（张）
有方片：
3×10=30（张）
答略。
*例6 某工厂召开职工代表大会，把会议室的桌凳 组合起来使用。3个人坐一条凳子，2
个人用1张桌子，132名代表正好坐满。求有桌子多少张，凳子 多少条？（适于五年级程度）
解：因为3个人坐一条凳子，2个人用一张桌子，所以2条凳子、3张桌 子组合为一组比
较适当，这一组的人数是（图10-1）：

3+3=6（人）
或 2×3=6（人）
132名代表可分成多少组：
72

132÷6=22（组）
因为每一组中有3张桌子，所以22组共有桌子：
3×22=66（张）
因为每一组中有2条凳子，所以22组共有凳子：
2×22=44（条）
答略。
*例7 蜘蛛、蝴蝶共有腿506条，蜘蛛的只数是 蝴蝶只数的2倍。已知蜘蛛有8条腿，蝴
蝶有6条腿。求蜘蛛、蝴蝶各有多少只？（适于五年级程度）
解：一只蜘蛛有8条腿，2只蜘蛛有腿：
8×2=16（条）
把2只蜘蛛和1只蝴蝶作为一组，它们共有腿：
16+6=22（条）
506条腿可分成的组数：
506÷22=23（组）
因为每一组中有2只蜘蛛，所以23组中有蜘蛛：
2×23=46（只）
因为每一组中有一只蝴蝶，所以23组中有蝴蝶23只。
答略。
*例8 三年级的 小朋友用90张红、绿、黄三色的彩色纸做纸花。每2朵花用红纸3张，
每3朵花用绿纸2张，每6朵花 用黄纸5张。最后，三色彩纸都用完。求90张纸中有红、绿、
黄纸各多少张？（适于六年级程度）解： 一朵花用红纸：

一朵花用绿纸：

一朵花用黄纸：
73

一朵花共用红、绿、黄三色纸：

90张纸可做多少朵花：
90÷3=30（朵）
30朵花用红纸：

30朵花用绿纸：

30朵花用黄纸：

答：90张纸中有红纸45张，绿纸20张，黄纸25张。


第十一讲 份数法


把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为 1份数，然后先
求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。< br>
（一）以份数法解和倍应用题

已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。

例1某 林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树
各有多少棵？（适于四 年级程度）

74

解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。

因此，得：

320÷（3+1）=80（棵）„„„„„„„槐树

80×3=240（棵）„„„„„„„杨树

答略。

例2 甲、 乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10
吨。甲、乙两个煤场各 存煤多少吨？（适于四年级程度）

解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤 数量比乙煤场存煤数量的4
倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相 当于乙煤场存煤
数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨 ，（490+10）
吨就正好是（1+4）份数。

所以乙场存煤：

（490+10）÷（1+4）

=500÷5

=100（吨）

甲场存煤：

490-100=390（吨）

答略。

例3 妈妈给了李平10 .80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。李平错买成3瓶啤酒，
4瓶香槟酒，剩下0.60元。求 每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）

解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶 香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比
每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1 份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80
元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10. 80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。

每瓶香槟酒的价钱是：

（10.80-0.60×4）÷（4+3）

=8.4÷7

=1.2（元）

每瓶啤酒的价钱是：

75

1.2+0.60=1.80（元）

答略。

（二）以份数法解差倍应用题

已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。

例1 三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，这样今年水田的亩
数正好是旱田的3 倍。该村原有旱田多少亩？（适于五年级程度）

解：该村原有的水田比旱田多230亩（图1 1-1），今年把35亩旱田改为水田，则今年水
田比旱田多出230+35×2= 300（亩）。根 据今年水田的亩数正好是旱田的3倍，以今年旱田
的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正好 是2份数（图11-2）。



今年旱田的亩数是：

（230+35×2）÷ 2

=300÷2

=150（亩）

原来旱田的亩数是：

150+35=185（亩）

综合算式：

（230+35×2）÷2+35

=300÷2+35

=150+35

=185（亩）

76

答略。

*例2 和平小学师生步行去春游。队伍走出10.5千米后，王东骑自行车 去追赶，经过1.
5小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小时 各行多少
千米？（适于五年级程度）

解：根据“追及距离÷追及时间=速度差”，可 求出王东骑自行车和师生步行的速度差是
10.5÷1.5=7（千米小时）。已知骑自行车的速度是步 行速度的2.4倍，可把步行速度看作是
1份数，骑自行车的速度就是2.4份数，比步行速度多2.4 -1=1.4（份）。以速度差除以份数
差，便可求出1份数。

10.5÷1.5÷（2.4-1）

=7÷1.4

=5（千米小时）„„„„„„„„„„步行的速度

5×2.4=12（千米小时）„„„„„„„„„„„„骑自行车的速度

答略。

（三）以份数法解变倍应用题

已知两个数量原来的倍数关 系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做
变倍应用题。

变倍应用 题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数
量的变化，从而计算出“ 1”份（倍）数是多少。

*例1大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小 卡车的3倍。两车行
至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时 ，大卡车的载货
量变成小卡车的2倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度）

解：出发时，大卡车载货量是小卡车的3倍；到乙站时，小卡车增加了1300千克货物，
要保 持大卡车的载货重量仍然是小卡车的3倍，大卡车就应增加1300×3千克。

把小卡车增加 1300千克货物后的重量看作1份数，大卡车增加1300×3千克货物后的重
量就是3份数。而大卡 车增加了1400千克货物后的载货量是2份数，这说明3份数与2份数
之间相差（1300×3-14 00）千克，这是1份数，即小卡车增加1300千克货物后的载货量。

1300×3-1400

=3900-1400

=2500（千克）

出发时，小卡车的载货量是：

77

2500-1300=1200（千克）

出发时，大卡车的载货量是：

1200×3=3600（千克）

答略。

*例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛，男生人数 是剩下女生
人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍。
这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度）

解：把最后剩下的男生人数看作1份 数，根据“最后剩下的女生人数是男生人数的5倍”
可知，剩下的女生人数为5份数。

根据45名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的2倍”，而最后剩下的女
生人数是5份 数，可以算出参加长跑前男生人数的份数：

5×2=10（份）

因为最后剩下的男生人数是1份数，所以参加长跑的45名男生是：

10-1=9（份）

每1份的人数是：

45÷9=5（人）

因为最后剩下的女生人数是5份数，所以最后剩下的女生人数是：

5×5=25（人）

原有女生的人数是：

25+15=40（人）

综合算式：

45÷（5×2-1）×5+15

=45÷9×5+15

=25+15

=40（人）

答略。

78

（四）以份数法解按比例分配的应用题
把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。
例1一个工 程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是24人、21人、18人。现
在要挖2331米长的水 渠，若按人数的比例把任务分配给三个组，每一组应挖多少米？（适于
六年级程度）
解：甲、 乙、丙三个组应挖的任务分别是24份数、21份数、18份数，求出1份数后，用
乘法便可求出各组应 挖的任务。
2331÷（24+21+18）=37（米）
37×24=888（米）„„„„„„„甲组任务
37×21=777（米）„„„„„„„乙组任务
37×18=666（米）„„„„„„„丙组任务
答略。
例2生产同一种零件， 甲要8分钟，乙要6分钟。甲乙两人在相同的时间内共同生产53
9个零件。每人各生产多少个零件？（ 适于六年级程度）
解：由题意可知，在相同的时间内，甲、乙生产零件的个数与他们生产一个零件所需 时间
成反比例。
把甲生产零件的个数看作1份数，那么，乙生产零件的个数就是：

生产零件的总数539个就是：

甲生产的个数：

乙生产的个数：

答略。
79

（五）以份数法解正比例应用题
成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一种 量的任意两个数值的比等于
另一种量的两个对应的数值的比。
含有成正比例关系的量，并根据 正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做正比例
应用题。
这里是指以份数法解正比例应用题。
例1某化肥厂4天生产化肥32吨。照这样计算，生产2 56吨化肥要用多少天？（适于六
年级程度）
解：此题是工作效率一定的问题，工作量与工作时间成正比例。
以4天生产的32吨为1份数，256吨里含有多少个32吨，就有多少个4天。
4×（256÷32）
=4×8
=32（天）
答略。
例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（适于六年级程度）
解：每40 0粒大豆重80克，这一数量是一定的，因此大豆的粒数与重量成正比例。如把
400粒大豆重80克看 作1份数，则24000粒大豆中包含多少个400粒，24000粒大豆中就有多
少个80克。
24000÷400=60（个）
24000粒大豆的重量是：
80×60=4800（克）
综合算式：
80×（24000÷400）=4800（克）
答略。
（六）以份数法解反比例应用题
成反比例的量有这样的性质：如果两种量成反比例，那么一种 量的任意两个数值的比，等
于另一种量的两个对应数值的比的反比。
80

含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题， 叫做反比例
应用题。
这里是指以份数法解反比例应用题。
例1有一批水果，每箱装 36千克，可装40箱。如果每箱多装4千克，需要装多少箱？
（适于六年级程度）
解：题中 水果的总重量不变，每箱装的多，则装的箱数就少，即每箱装的重量与装的箱数
成反比例。
如果把原来要装的40箱看做1份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的：

现在需要装的箱数是：

答略。

天的用煤量看做1份数，那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量的：

用煤天数与每天用煤量成反比例，原来要用24天的煤，现在可以用的天数是：

答略。
（七）以份数法解分数应用题
分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一 个数的几分之几是多少；求一个数是另一个
数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
81

例1长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少13，求女职工人 数比男职工人数多百分之
几？（适于六年级程度）
解：从题中条件可知，男职工人数相当于女职工人数的：

如果把女职工人数看作3份，那么男职工人数就相当于其中的2份。
所以，女职工人数比男职工人数多：
（3-2）÷2=50％
答略。

那么黄旗占：

如果把21面黄旗看作1份数，总数量“1”中包含有多少个745 ，旗的总面数就是21的
多少倍。

答略。

棉花谷多少包？（适于六年级程度）
解：由题意可知，甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下
82

成8份时，甲仓库剩下的是2份；把乙仓库的棉花分成5份时，乙仓库剩下的也是2份。
但是 ，乙仓库剩下的2份比甲仓库剩下的2份多130包。可以看出，乙仓库的1份比甲仓
库的1份多出：
130÷2=65（包）
如果把乙仓库原有的棉花减少5个65包，再把剩下的棉花平均分成 5份，这时乙仓库的
每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。
这样，从两仓库棉花的总数2 600包中减去5个65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其
中甲仓库8份，乙仓库5份），其中的 8份就是甲仓库原有的包数。
（2600-65×5）÷（8+5）×8
=2275÷13×8
=1400（包）„„„„„„„„„„„甲仓库原有的包数
2600-1400=1200（包）„„„„„乙仓库原有的包数
答略。
（八）以份数法解工程问题
工程问题就是研究工作量、工作时间及工作效率之间相互关系的问 题，这种问题的工作量
常用整体“1”表示。
例1一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对 开出，经12小时相遇。相遇后，快车又
行8小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？（ 适于六年级程度）
解：由“相遇后快车又行8小时到达乙站”可知，慢车行12小时的路程快车只需行8小
时。
把快车行这段路程所需的8小时看作1份数，则慢车所需的份数是：

答略。
83

*例2加工一批零件，甲单独完成需要30天，乙单独完成的时间比甲少

解：由题意可知，甲单独完成需要30天，乙单独完成所需天数是：

如果把乙工作的6天看作1份数，那么甲完成相同的工作量所需时间就

答略。
（九）以份数法解几何题
*例1一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图 11-3）。每个小长方
形的周长都是16厘米。这个正方形的周长是多少？（适于五年级程度）

解：在每个长方形中，长都是宽的3倍。换句话说，如果宽是1份，则长为3份，每个长方形的周长一共可分为：
3×2+1×2=8（份）
因为每个长方形的周长为16厘米，所以每份的长是：
16÷8=2（厘米）
长方形的长，也就是正方形的边长是：
2×3=6（厘米）
正方形的周长是：
84

6×4=24（厘米）
答略。
*例2长 方形长宽的比是7∶3。如果把长减少12厘米，把宽增加16厘米，那么这个长方
形就变成了一个正方 形。求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度）
解：根据题意，假设原来长方形的长为7份，则宽就是3分，长与宽之间相差：
7-3=4（份）
由于长方形的长要减少12厘米，宽增加16厘米，长方形才能变成正方形 ，因此原长方形
长、宽之差为：
12+16=28（厘米）
看得出，4份与28厘米是相对应的，每一份的长度是：
28÷4=7（厘米）
原来长方形的长是：
7×7=49（厘米）
原来长方形的宽是：
7×3=21（厘米）
原来长方形的面积是：
49×21=1029（平方厘米）
答略。



第十二讲 消元法
在数学中，“元” 就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。
当题中有两个或两个以上的未 知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数，
使未知数减少到一个，才便于找到解题 的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关
系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将 所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的
解题方法叫做消元法。

（一）以同类数量相减的方法消元

例 买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1 张办公桌和5把椅子共用540元。求买1
张办公桌和1把椅子各用多少钱？（适于四年级程度）

85

解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把 数，另一类是钱数。先把题中的
数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表12-1。这就是说，同 一件事中的数量横向对
齐，单位名称相同的数量上下对齐。

表12-1


从表12-1第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下有关< br>椅子的数量：

5-2=3（把）

3把椅子的钱数是：

540-336=204（元）

买1把椅子用钱：

204÷3=68（元）

把买1把椅子用68元这个数量代入原题，就可以求出买1张办公桌用的钱数是：

336-68×2

=336-136

=200（元）

答略。（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元
解题时，可用题中某两个数的和，或某两 个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消
元的目的。
1.以两个数的和代换某数
*例 甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。两个书架
上 各有多少本书？（适于四年级程度）
解：题中的数量关系可用下面等式表示：
甲+乙=584 ①
甲+88=乙 ②
86

把②式代入①式（以甲与88的和代换乙），得：
甲+甲+88=584
甲×2+88=584
2甲=584-88
=496
甲=496÷2
=248（本）
乙=248+88
=336（本）
答略。
2.以两个数的积代换某数
*例 3双皮鞋和7 双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮
鞋、布鞋各值多少钱？（适于四 年级程度）
解：因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同，所以3双皮鞋的钱数与5×3=15（双）布鞋 的
钱数一样多。
这样可以认为242元可以买布鞋：
15+7=22（双）
每双布鞋的钱数是：
242÷22=11（元）
每双皮鞋的钱数是：
11×5=55（元）
答略。
3.以两个数的商代换某数
*例 5支钢 笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每
支钢笔、圆珠笔各值多少 钱？（适于五年级程度）
87

解：根据“一支钢笔的钱数与4支 圆珠笔的钱数一样多”，可用12÷4=3（支）的商把12
支圆珠笔换为3支钢笔。
现在可以认为，用48元可以买钢笔：
5+3=8（支）
每支钢笔值钱：
48÷8=6（元）
每支圆珠笔值钱：
6÷4=1.5（元）
答略。
4.以两个数的差代换某数
*例 甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙 多90元。三个人各有多少
钱？（适于五年级程度）
解：题中三个人的钱数有下面关系：
甲+乙+丙=235 ①
甲-乙=80 ②
甲-丙=90 ③
由②、③得：
乙=甲-80 ④
丙=甲-90 ⑤
用④、⑤分别代替①中的乙、丙，得：
甲+（甲-80）+（甲-90）=235
甲×3-170=235
甲×3=235+170
=405
甲=405÷3
88

=135（元）
乙=135-80
=55（元）
丙=135-90
=45（元）
答略。
（三）以较小数代换较大数的方法消元
在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。
*例 18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一名男学生比每一名女学生少
采集1千克。每一 名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度）
解：题中说“每一名男学生比每一名女学生 少采集1千克”，则18名男生比女生少采集
1×18=18（千克）。假设这18名男生也是女生（以 小代大），就应在78千克上加上18名男
生少采集的18千克松树籽。
这样他们共采集松树籽：
78+18=96（千克）
因为已把18名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生：
14+18=32（名）
每一名女学生采集松树籽：
96÷32=3（千克）
每一名男学生采集松树籽：
3-1=2（千克）
答略。
（四）以较大数代换较小数的方法消元
在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。
*例 胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元。已知每个足球比
每个篮球贵8元，篮 球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度）
89

解：假设把5个足球换为5个篮球，就可少用钱：
8×5=40（元）
这时可认为一共买来篮球：
9+5=14（个）
买14个篮球共用钱：
432-40=392（元）
篮球的单价是：
392÷14=28（元）
足球的单价是：
28+8=36（元）
答略。
（五）通过把某一组数乘以一个数消元
当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时 ，应通过把某一组数量乘以一个
数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。
*例 2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。求一匹马
和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度）
解：把题中条件摘录下来，排列成表12-2。
表12-2

把第①组中的数量乘以3得表12-3。
表12-3

90

第③组的数量中，羊的只数是9只；第②组的数量 中，羊的只数也是9只。这样便可以从
第②组的数量减去第③组的数量，从而消去羊的只数，得到2匹马 吃草20千克。
一匹马吃草：
20÷2=10（千克）
一只羊吃草：
（38-10×2）÷3
=18÷3
=6（千克）
答略。
（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元
当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的 数量，并且不能通过把某一组数量乘以
一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的 目的时，应当通过把两组数
量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再 消元。
*例1 买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱，买4块橡皮和7支铅笔用2元钱。求一块橡< br>皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度）
解：把题中条件摘录下来排列成表12-4。
表12-4

要消去一个未 知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数，
从而使两组数中有对应相等的 两个同一类的数。因此，把第①组中的各数都乘以4，把第②组
中的各数都乘以3，得表12-5。
表12-5

91

③-④得：3支铅笔用钱0.72元，一支铅笔的价格是：
0.72÷3=0.24（元）
一块橡皮的价格是：
（1.68-0.24×6）÷3
=（1.68-1.44）÷3
=0.24÷3
=0.08（元）
答略。
*例2 有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往5个大杯和3个小杯里面放满 砂糖，
共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。求一个大杯和一个小杯分别可
以放入砂糖多少克？（适于五年级程度）
解：摘录题中条件排列成表12-6。
表12-6

把表12-6中①组各数都乘以5，②组各数都乘以3，得表12-7。
表12-7

③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，
一个大杯里面可以放入砂糖：
960÷16=60（克）
一个小杯里面可以放入砂糖：
92

（420-60×5）÷3
=（420-300）÷3
=40（克）
答略。


第十三讲 比较法
通过对 应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生
联系与区别的原因 ，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。

在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较 ，有些条件不能直接比较。在条件不能直接
比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的 陈述方式及数量的大小，创造条
件比较。

（一）在同一道题内比较

在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他
题目。

1.直接比较

例1 五年级甲班要种一些树。如果每人种5棵，则剩下75棵； 如果每人种7棵，则缺1
5棵。问这个班有多少人？这批树苗有多少棵？（适于四年级程度）

解：将两种分配方案进行比较，就会发现，第二次比第一次每人多种：

7-5=2（棵）

第二次比第一次多种：

75+15=90（棵）

90棵中含有多少个2棵就是全班的人数：

90÷2=45（人）

这批树苗的棵数是：

5×45+75=300（棵）

或7×45-15=300（棵）

答略。

93

*例2 四季茶庄购进两批茶叶， 第一批有35箱绿茶和15箱红茶，共重2925千克。第二
批有35箱绿茶和28箱红茶，共重364 0千克。两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程
度）

解：将前后两批茶叶的箱 数与箱数、重量与重量分别比较，可发现，第二批红茶箱数比第
一批红茶箱数多：

28-15=13（箱）

第二批红茶比第一批红茶多：

3640-2925=715（千克）

因此，可得每一箱红茶重量：

715÷13=55（千克）

每一箱绿茶重量：

（2925-55×15）÷35

=（2925-825）÷35

=2100÷35

=60（千克）

答略。

2.画图比较

有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出 数量关系，可借助
画图作比较，就容易看出数量关系。


解：作图13-1，比较已修过米数与未修过米数的关系。


94

可看出，这段公路一共分为（7+2）份。


答略。

3.列表比较

有些应用题适于借助列表的方法比较条件。 在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件
摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表 。这就是说，要尽量使同一件事情
的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。

例 赵明准备买2千克苹果和3千克梨，共带6.8元钱。到水果店后，他买了3千克苹果
和2 千克梨，结果缺了0.4元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱？（适于五年级程度）

解：摘录已知条件排列成表13-1。

表13-1


比较①、②两组数量会看出：由于多买了1千克苹果，少买了1千克梨，才缺了0.4元。

可见1千克苹果比1千克梨贵0.4元。

从买2千克苹果、3千克梨的6.8元中去 掉买2千克苹果多用的钱，便可以把买2千克苹
果当成买2千克梨，则一共买梨（2+3）千克，用钱：

6.8-0.4×2=6（元）

每千克梨的价钱是：

6÷（2+3）=1.2（元）

每千克苹果的价钱是：

95

1.2+0.4=1.6（元）

答略。（二）和容易解的题比较
当一道应用题比较复杂时，可先回忆过去是不是学过类似的、 较容易解的题，回忆起来后，
可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。
1.与常见题比较
例 4名骑兵轮流骑3匹马，行8千米远的路程，每人骑马行的路程相等。求每人骑马行
的路程 是多少？（适于四年级程度）
小学生对这类题不易理解，如与下面的常见题作比较就容易理解了。
有3篮苹果，每篮8个，平均分给4人，每人得几个？
把这两道题中的条件都摘录下来，一一对应地排列起来：
3匹马„„„„„„„„„3篮苹果
每匹马都行8千米„„„„每篮都装8个苹果
4人骑马行的路程相等„„4人得到的苹果一样多
解答“苹果”这道题的方法是：
8×3÷4
通过这样的比较，自然会想出解题的方法。
解：8×3÷4=6（千米）
答：每人骑马行的路程是6千米。
2.与基本题比较
例 甲、乙两地相距10.5千米，某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地到甲地每小
时走 3千米。求他往返于甲、乙两地的平均速度。（适于五年级程度）
在解答此题时，有的同学可能这样解：（5+3）÷2=4（千米）。这是错误的。
把上题与下面的题作比较，就会发现问题。
甲、乙两地相距12千米，某人从甲地到乙地走了4小时，他每小时平均走多少千米？
解此题的方法是：12÷4=3（千米）。这是总路程÷总的时间=平均速度。
前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式，所以是错误的。
96

解：本题的总路程是：
10.5×2
总时间是：
10.5÷5+10.5÷3
所以他往返的平均速度是：
10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=3.75（千米小时）
答略。
3.把逆向题与顺向题比较
例 王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多


题，不易找出解题方法。
把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下，就可得出解题方法。


答略。
（三）创造条件比较
对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用 题，应适当变换条件，创造可以比
较的条件，再进行比较。
97

*例1 学校食堂第一次买来2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次买来5袋大米和4
袋 面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（适于五年级程度）解：摘录题
中条件，列 成表13-2。
表13-2

从表13-2中的条件看，题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。
因为大米袋数2和 5的最小公倍数是10，所以把第一次买来的袋数2乘以5（把面粉的袋
数3，重量275也要乘以5） ，把第二次买来的袋数乘以2（把面粉的袋数4，重量600也要乘
以2），得表13-3。
此时题中条件便可以比较了。
表13-3

看表13-3，把两次买来粮食的数量比较一下，大米的袋数相同，面粉第一次比第二次多
买：
15-8=7（袋）
因此，第一次买的粮食比第二次多：
1375-1200=175（千克）
每袋面粉重：
175÷7=25（千克）
每袋大米重：
（275-25×3）÷2
=（275-75）÷2
=100（千克）
98

答略。
*例2 1支 铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共值2.35元；2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共
值3.30元；3支 铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共值4.05元。求1支铅笔、1块橡皮、1把卷笔
刀各值多少钱？（适于 五年级程度）
解：摘录题中条件排列成表13-4。
表13-4

从表13-4看，题中条件不能直接比较。因此，要创造条件比较。
因为橡皮的块数2、3、 3的最小公倍数是6，所以①×3，②×2，③×2，得表13-5。此
时题中条件便可以比较了。
表13-5

⑥-⑤，得：
2支铅笔价钱+2把卷笔刀价钱=1.5（元），即，
1支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=0.75（元）„„„„„„„„„„⑦
⑥-④，得：
3支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=1.05（元）„„„„„„„„„„⑧
⑧-⑦，得：
2支铅笔价钱=0.30（元）
1支铅笔价钱=0.15（元）
把1支铅笔价钱0.15元代入⑦，得出1把卷笔刀的价钱是：
99

0.75-0.15=0.60（元）
根据①可求出一块橡皮的价钱数：
（2.35-0.15-0.6×3）÷2
=0.4÷2
=0.2（元）
答略。
*例3 甲、乙两人共需做140 个零件，甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％，
这时甲、乙共剩下32个零件未完成。求 甲、乙两人各需做多少个零件？（适于六年级程度）
解：已知“甲做了自己任务的80％，乙做了自己 任务的75％”后共剩下32个零件，甲、
乙两人所做零件个数不相等，因此，甲所做零件的80％与乙 所做零件的75％不可直接比较。
此时就要创造条件比较了。
已知甲做自己任务的80％，假设乙也做自己任务的80％，那么甲乙就共剩下零件：
140×（1-80％）=28（个）
这比原来已知的“甲、乙共剩下32个零件”少：
32-28=4（个）
这4个所对应的分率是：
80％-75％=5％
所以，乙需做的零件是：
4÷5％=80（个）
甲需做的零件是：
140-80=60（个）
答略。

第十四讲 演示法

100