吉林建工教务处-换届时间

第一讲 平均数（一）
专题简析：
把几个不相等的数，在总数不变的条 件下，通过移多补少，使
它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量×平均数
例1 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘
子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？
分析与解答：
（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=126（个）；
（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）
（3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=74（个）
由（1）（2）两个等式可知：
1箱苹果 比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就
可以算出：1箱桃有（74－18）÷2 =28（个），1箱苹果有28＋18=46
（个）或74—28=46（个）。

1

练 习 一
1，一次考试，甲、乙、 丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均
分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分 ？


2，甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，
甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。
求四人的平均体重是多少千克？


3，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树
18棵 ，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树
19棵。三个小组各植树多少棵？


例2 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，
平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？

2

分析：女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人
比全班平均分低9 1.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分
0.8×21=16.8（分），应补给每 个男生0.7分，16.8里包含有24
个0.7，即全班有24个男生。
练 习 二
1，两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平
均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？


2，有 两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，
平均每亩产量是101.5千克；另一块 田平均每亩产量是85千克。
这块田是多少亩？


3，把甲级和乙级糖混 在一起，平均每千克卖7元，乙知甲级糖有
4千克，平均每千克8元；乙级糖有2千克，平均每千克多少 元？

例3 某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数
就变成了3。被改的数原来是多少？

3

分析：原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3 =9，9
比6多出了3，是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是
4－3=1。
练 习 三
1，已知九个数的平均数是72，去掉一个数之后，余下的数的平均
数是78。去掉的数是多少？


2，有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数 改为1，那么这五
个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？


3， 甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。
可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄 成了87分，因此，算得四
人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分？


例4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成
绩时将一位同学的98 分误作89分计算了。经重新计算，全班的平

4

均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？
分析：98分比89分多9分。 多算9分就能使全班平均每人的成绩
上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2 ，五一班就有几
名同学。
练 习 四
1，五（1）班有40人，期中数学考试 ，有2名同学去参加体育比
赛而缺考，全班平均分为92分。缺考的两位同学补考均为100分，
这次五（1）班同学期中考试的平均分是多少分？


2，某班的一次测验，平均 成绩是91.3分。复查时发现把张静的89
分误看作97分计算，经重新计算，该班平均成绩是91. 1分。问全
班有多少同学？


3，五个数的平均数是18，把其中一个数 改为6后，这五个数的平
均数是16。这个改动的数原来是多少？
例5 把五个数从小到大 排列，其平均数是38。前三个数的平均数
是27，后三个数的平均数是48。中间一个数是多少？

5

分析：先求出五个数的和：38×5=190，再求出前三个数 的和：27
×3=81，后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个
数的和 ，这样，中间的那个数就算了两次，必然比190多，而多出
的部分就是所求的中间的一个数。
练 习 五
1，甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是
18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？


2，十名参赛者 的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6
人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分 是多少分？
3，下图中的○内有五个数A、B、C、D、E，□内的数表示与它
相连的所有○ 中的平均数。求C是多少？

第２讲 平 均 数（二）

例1 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，

6

才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验？
分析与解答：100分 比86分多14分，这14分必须填补到前几次
的平均分84分中去，使其平均分成为86分。每次填补 86－84=2
（分），14里面有7个2，所以，前面已经测验了7次，这是第8
次测验。
练 习 一
1，老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了
5朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了7朵。求有多少个同
学在做花？

< br>2，一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成
绩是94分，如果数学算在内， 平均每门95分。已知他数学得了
100分，问这位同学一共考了多少门功课？

3 ，两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳152次。甲组有6人，平
均每人跳140次，如果乙组平均每人 跳160次，那么，乙组有多少
人？
例2 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的

7

平均 成绩是89分，政治、数学两科平均91.5分，政治、英语两科
平均86分，英语比语文多10分。小 亮的各科成绩是多少分？
分析与解答：因为语文、英语两科平均分84分，即语文＋英语=168分，而英语比语文多10分，即英语－语文=10分，所以，语文是
（168－10）÷2=79分 ，英语是79＋10=89分。又因为政治、英语
两科平均86分，所以政治是86×2－89=83分 ；而政治、数学两科
平均分91.5分，数学是91.5×2－83=100分；最后根据五科的平均成绩是89分可知，自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）=94
分。
练 习 二
1，甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，
乙、丙两数的 平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数
是多少？
2，小华的前几次数学测验的平 均成绩是80分，这一次得了100分，
正好把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验？

3，五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四
个数的平均数是 10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？


8

例3 两地相距360千米，一艘汽艇顺水行全程需要10小时，已
知这条河 的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小
时多少千米？
分析与解答：用往返的 路程除以往返所用的时间就等于往返两地的
平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程 时所
用的时间。因为360÷10=36（千米）是顺水速度，它是汽艇的静
水速度与水流速度 的和，所以，此汽艇的静水速度是36－6=30（千
米）。而逆水速度=静水速度－水流速度，所以汽 艇的逆水速度是
30－6=24（千米）。逆水行全程时所用时间是360÷24=15（小时），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=28.8（千米）。
练 习 三
1，甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时
到达甲码头，已知汽船在静水中每小 时行驶21千米。求汽船从甲
码头顺流行驶几小时到达乙码头？


2，一 艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静
水速度是每小时30千米，水速每小时3千 米。现在正好是顺流而
行，行全程需要几小时？

9

3， 甲船逆水航行300千米，需要15小时，返回原地需要10小时；
乙船逆水航行同样的一段水路需要2 0小时，返回原地需要多少小
时？


例4 幼儿园小班的20个小朋友 和大班的30个小朋友一起分饼干，
小班的小朋友每人分10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友< br>的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干？
分析与解答：只要知道了大、小班小朋友分得的平均 数，再乘（30
＋20）人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小
班小朋友的 平均数多2块，30个小朋友一共多2×30=60（块），这
60块平均分给20个小班的小朋友，每 人可得60÷20=3（块）。因
此，大、小班小朋友分得平均块数是10＋3=13（块）。一共分掉 13
×（30＋20）=650（块）。
练 习 四
1，数学兴趣小组里有4 名女生和3名男生，在一次数学竞赛中，
女生的平均分是90分，男生的平均分比全组的平均分高2分， 全
组的平均分是多少分？


10

2，两组同学 跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下；第二组有
20人，平均每人比两组同学跳的平均数多5下， 两组同学平均每
人跳几下？


3，一个技术工带5个普通工人完成了一项 任务，每个普通工人各
得120元，这位技术工人的收入比他们6人的平均收入还多20元。
问 这位技术工得多少元？



例5 王强从A地到B地，先骑自行车行完 全程的一半，每小时行
12千米。剩下的步行，每小时走4千米。王强行完全程的平均速
度是每 小时多少千米？
分析与解答：求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用
的时间。由 于题中没有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设
全程为24千米（也可以设其他数），这样，就可 以算出行全程所用
的时间是12÷12＋12÷4=4（小时），再用24÷4就能得到行全程
的平均速度是每小时6千米。

11

练 习 五
1 ，小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5
千米。求小明往返的平均速度。


2，运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑150米，后
一半 路程中每分钟跑100米。求他在整个长跑中的平均速度。


3，把一份书稿平均 分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙
每分钟打20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？


第3讲 长方形、正方形的周长
同学们都知道，长方形的周长=（ 长＋宽）×2，正方形的周长
=边长×4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形
和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形
或正方形的图形的周长，还需同学们 灵活应用已学知识，掌握转化
的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周

12

长。
例1 有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张 纸都是
边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的
周长。
思路与导航 根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半
同时向左、右、上、下平移（如 图b），转化成一个大正方形，这
个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是18×4=72厘米。

练习一
1，下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的
周长。

13

2，下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。

3，有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠
着，求重叠后图形的周长。

例2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，
截掉的面积为 192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？
思路导航 把截掉的192平方厘米分成A、B 、C三块（如图），
其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起

14

拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部< br>分的周长的一半。176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44
×2=88（厘米）。

练习二

1，有一个长方形，如果长减少 4米，宽减少2米，面积就比
原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方
形的周长。

2，有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按
下图叠放 在一起，这个图形的周长是多少？

3，有一块长方形广场，沿着它不同 的两条边各划出2米做绿
化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。求划去的绿化带
的 面积是多少平方米？

15

例3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周
长是多少？

思路导航 从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围
成，其中三条横着，三条竖着。三 条横着的线段和是（a＋b）×2，
三条竖着的线段和是b×2。所以，整个图形的周长是（a＋b）× 2
＋b×2，即2a＋4b。
练习三
1，有一张长40厘米，宽30厘米 的硬纸板，在四个角上各剪
去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸
板 的周长。


2，一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成
下图（1）所示长方形，求所拼长方形的周长。



16

3，求下面图形（图2）的周长（单位：厘米）。

图（1） 图（2）


例4 下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。

思路导航 我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移
到左边，其和正好是4厘米。再把 下面的线段全部平移到下面，其
和也正好是4厘米。因此，阴影部分的周长与边长是4厘米的正方
形的周长是相等的。


练习四

17

1，求下面图形的周长（单位：厘米）。


2，在（ ）里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的周长（ ）乙的周长

3，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。


例5 如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最

18

大的长方形的周长。
分析 根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边 长。因
为BC=EF，CF=DE，所以，AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米 ），
这正好是最大长方形周长的一半。因此，最大长方形的周长是（9
＋6）×2=30（厘米 ）。

练习五
1，下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）



2，下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，

19

零件长35厘米，高30厘米。这个零件的周长是多少厘米？



3，有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠
着，求重叠图形的周长。




第4讲 长方形、正方形的面积

20

专题简析：
长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边 长。掌握并
能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习过程中，我们 常常会遇到一些已知条件比
较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。
这 就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”
等方法，使复杂的问题转化为普通的 求长方形、正方形面积的问题，
从而正确解答。
例1 已知大正方形比小正方形边长多2厘 米，大正方形比小正方
形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘
米？
2
B

2
A

分析 从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积 大
出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因
此，用40平方厘米减去阴 影部分的面积，再除以2就能得到长方
形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。
求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。
练 习 一

21

1，有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。



2，正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结
果得 到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少
平方厘米？


3，把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面
积比原长方形多181平方分米的正 方形。求这个正方形的边长是多
少分米？

22

例2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小
的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求 ，求第四个长方形的
面积。


分析 因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。
练 习 二
1，下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积
分别是24平方厘 米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的
面积。
A
M
32
F
P
24
30
D
N
C



B
E

2，下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积

23

如图所示（单位：平方厘米），求A和B的面积。
15A
24
12
B



45

3，下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方
形的宽是8厘米，求整个图形 的面积。
8
8
5
8
8



例3 把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正
方形，已知两个正方形的面积相差40平 方分米，大正方形的面积
是多少平方分米？

分析 我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个
正方形的面积差40平 方分米就是图中的A和B两部分，如图。如
果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成 一

24

个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米， 宽是40
÷20=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此，
大正方形的边长 就是（20+2）÷2=11（分米），面积是11×11=121
（平方分米）
练 习 三
1，一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下
的面积比原来减少了 1350平方米。这块地原来的面积是多少平方
米？


2，一个正方形， 如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来
增加95平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？


3，有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面
面积是 80平方米。求草坪的面积。



25

例4 有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1
倍，并画出来。

分析 由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计
算出所画正方形的边长 或面积。我们可以利用两个正方形之间的关
系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角 三角
形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方
形面积的2倍。
练 习 四
1，四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，
如 果大、小正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一
个长方形的宽。



2，正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。
如果此图的周 长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？

26

3，正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。



例5 有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正
方形拼成的。一 个正方形的面积是多少平方厘米？
分析 三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是 原正
方形边长的8倍，正方形的边长为72÷8=9（厘米），一个正方形
的面积就是9×9= 81（平方厘米）。
练 习 五
1，五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方 形的周长是
36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？



27

2，有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？


3，有一个小长方形，它 和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD
（如下图），已知大长方形的面积是35平方厘米，且周长比 原来小
长方形的周长多10厘米。求原来小长方形的面积。

第5讲 分类数图形
专题简析：
我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出
的结果准确 。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类
数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而 有秩序、有条理
并且正确地数出图形的个数。
例题1 下面图形中有多少个正方形？

28

分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个 小正方形组
成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形
有4× 1=4个。因此图中共有18＋10＋4=32个正方形。
练习一
1，下图中共有多少个正方形？

2，下图中共有多少个正方形？

3，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？

29

例题2 下图中共有多少个三角形？

分析 为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，
然后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；
（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。
练习二
1，下面图中共有多少个三角形？

30

2，数一数，图中共有多少个三角形。


3，数一数，图中共有多少个三角形？


31

例题3 数出下图中所有三角形的个数。

分析 和三角形AF G一样形状的三角形有5个；和三角形ABF
一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三 角形有5
个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状
的三角形有5个 ，共35个三角形。
练习三
数出下面图形中分别有多少个三角形。

例题4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一
个正方形，这样的正方形有多少个？


32

分析 把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以
看出：

（1）最小的正方形有6个；
（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；
（3）中间还可围成2个正方形。
所以共有6＋2＋2=10个。
练习四
1，下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共
能围成多少个长方形？


2，下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一
共能围成多少个三角形？

33

3，下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一
共能围成多少个梯形？

例题5 数一数，下图中共有多少个三角形？

分析 我们可以分类来数：
1，单一的小三角形有16个；
2，两个小三角形组合的有10个；
3，四个小三角形组合的有8个；
4，八个小三角形组合的有2个。
所以，图中一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。


34

练习五
1，图中共有（ ）个三角形。

2，图中共有（ ）个三角形。



3，图中共有（ ）个正方形。

第6讲 尾数和余数
专题简析：
自然数末位的数字称 为自然数的尾数；除法中，被除数减去商
与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的， 利

35

用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析 因为213=210＋3，把210 分解质因数：210=2×3×5×
7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14， 3×5=15，
3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位 数。
练习一
1，写出除109后余4的全部两位数。

2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪
些？

3，写出除1290后余3的全部三位数。

例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是
几？
（2）（2 1×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21
×26）]积的尾数是几？
分析 （1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多
少个125相乘，个位还是5；

36

（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100
个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然
是6，所以不管多少个（21×26 ）连乘，积的个位还是6。
练习二
1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？


2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？


3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）
[1000个 （12×63）]积的尾数是几？


例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
分析 （1）我们先列举前几个4的积， 看看个位数在怎样变
化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4
× 4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数

37

< br>字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的
个位是6。
（ 2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以
“9，1”两个数字不断重复，51÷2= 25……1，余数是1，说明51
个9本乘积的个位是9。
练习三
1，24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？


2，1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？


3，94×94 ×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个
49]，差的个位是多少？


例题4 把17化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多
少？
分析 因为17≈0.7……，化成的小数是一个无

38

限循环小数，循 环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……
4，所以，小数点后面的第100位是 第17个循环节的第4个数字，
是8。
练习四
1，把111化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。


2，57写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？


3，有一串数 ：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第
三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在 这串数中，第1000个
数被3除后所得的余数是多少？


例题5 555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
分析 如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一
除，看一看余数在按怎样的规律变化。

39

从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个 数字
不断重复出现。2001÷6=333……3，所以，当商是整数时，余数是
4。
练习五
1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？


2，当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6]


（2）444…4÷74[200个4]


（3）888…8÷7[200个8]

40

（4）111…1÷7[50个1]

第７讲 一般应用题（一）
专题简析：
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在
一起，有的已 知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和
顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构 特征和解题规
律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示
手段帮助分析。 在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，
逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发， 找出必须的两
个条件（分析法）。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活
运用这两种方法 。
例1 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加少先
队活动，剩下的同学相 当于原来4个班的人数。原来每班多少人？
分析与解答：从每班选16人参加少先队活动，6个班共选 16×6=96
（人）。剩下的同学相当于原来4个班的人数，那么，96人就相当
于原来（6 －4）个班人人数，所以，原来每班96÷2=48（人）。
练 习 一
1，五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”

41

后，五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款
多少？


2，把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，
正好 运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？


3，老师把一批树苗平均分给 四个小队栽，当每队栽了6棵时，发
现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？


例2 某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零
件。这样，不仅提前3天完成原计划加工零件的任务，而且还多加
工了120个零件。这个车间 实际加工了多少个零件？
分析 如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多56
×3＋120=288（个）。为什么会多加工288个呢？是因为每天多加
工了56－50=6（个） 。因此，原计划加工的天数是288÷6=48（天），

42

实际加工了50×48＋120=1520（个）零件。
练 习 二 < br>1，汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多
行了10千米，这样比原计划 提前2小时到达了乙地。甲、乙两地
相距多少千米？


2，小明骑车上学 ，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，
有一天因下雨，他每分钟只能行120米，结果迟到了 5分钟。他家
离学校有多远？


3，加工一批零件，原计划每天加工80 个，正好按期完成任务。由
于改进了生产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4天完
成加工任务，而且还多加工了100个。他们实际加工零件多少个？


例3 甲 、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途
停了15天没有加工。40天后，乙所加工的零 件个数正好是甲的一

43

半。这时两人各加工了多少个零件？
分析 甲工作了40天，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了
25天，所以他加工的零件 正好是甲的一半，也就是甲20天加工的
零件和乙25天加工的零件同样多。由于甲每天比乙多加工6个 ，
20天一共多加工6×20=120（个）。这120个零件相当于乙25-20=5
（天） 加工的个数，乙每天加工120÷（25-20）=24（个）。乙一
共加工了24×25=600（个 ），甲一共加工了600×2=1200（个）
练 习 三
1，甲、乙二人加工一批帽 子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因
事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍， 这
时两人各加工帽子多少个？


2，甲、乙两车同时从A、B两地相对开 出，甲车每小时比乙车多行
20千米。途中乙因修车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，
而乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B两地相距多少千米？
3，甲、乙两人承包一项工程，共得工 资1120元。已知甲工作了
10天，乙工作了12天，且甲5天的工资和乙4天的工资同样多。
求甲、乙每天各分得工资多少元？

44

例4 服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。实际每天
比计划多加工60件，照这 样做了15天，就超过原计划件数350件。
原计划加工上衣多少件？
分析 由于每天比计 划多加工60件，15天就比原计划的15天多
加工60×15=900（件），这时已超过计划件数3 50件，900件中去
掉这350件，剩下的件数就是原计划（20－15）天中的工作量。所
以，原计划每天加工上衣（900－350）÷（20－15）=110（件），
原计划加工110×2 0=2200（件）。
练 习 四
1，用汽车运一堆煤，原计划8小时运完。实际每小 时比原计划多
运1.5吨，这样运了6小时就比原计划多运了3吨。原计划8小时
运多少吨煤？

2，汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比原计
划多行15千米 ，行了8小时后，发现已超过乙20千米。甲、乙两
地相距多少千米？


45

3，小明看一本书，原计划8天看完。实际每天比原计划少看 了4
页。这样，用10天才看完了这本书。这本书一共有多少页？


例5 王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20
个，结果提前5在完成任务。王师傅一共做 了多少个零件？
分析 按实际做法再做5天，就会超产（60＋20）×5=400（个）。
为什么会超产400个呢？是因为每天多生产了20个，400里面有
几个20，就是原计划生产几天 。400÷20=20（天），因此，王师傅
一共做了60×20=1200（个）零件。
练 习 五
1，食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划
节约了0.1吨 ，这样比原计划多烧了2天。这批煤一共有多少吨？
2，造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨 ，实际每天比原计划
多生产1.5吨，结果提前2.5天完成了任务。实际用了多少天？


3，机床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际每天生产

46

18台，这样比原计划提前3天完成了任务。这批机床一共有多少
台？


第８讲 一般应用题（二）
专题简析：
较复杂的 一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交
织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化 ”向基本的问
题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问
题简单化，从而 正确解答。
例1 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，
用短管子铺需 要35根。已知这两种管子的长相差2米，这段排水
管道长多少米？
分析 因为每根长管子 比每根短管子长2米，25根长管子就比25
根短管子长50米。而这50米就相当于（35－25）根 短管子的长度。
因此，每根短管子的长度就是50÷（35－25）=5（米），这段排水
管道 的长度应是5×35=175（米）。
练 习 一
1，生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8小

47

时。如果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个？


2，一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们
觉得每组人数太少 便重新分组，正好每组9人，这样比原来减少了
2组。参加游戏的小朋友一共有多少人？


3，甲、乙二人同时从A地到B地，甲经过10小时到达了B地，
比乙多用了4小时 。已知二人的速度差是每小时5千米，求甲、乙
二人每小时各行多少千米？


例2 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙
都比丙多拿24千克。结帐 时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹
果多少元？
分析 三人拿同样多的钱买苹果应该分 得同样多的苹果。24×2÷
3=16（千克），也就是丙少拿16千克苹果，所以得到24×2=48 元。
每千克苹果是48÷16=3（元）。

48

练 习 二
1，甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿
了13支，乙拿了 7支，因此，甲又给了乙6角钱。每支铅笔多少
钱？


2，春游时小明和 小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小
红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别 给了小明
和小军各2.2元钱。每个面包多少元？


3，“六一”儿童节 时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英买
来了和红纸同样价格的5张黄纸。老师把这些纸平均分给 了小华、
小英和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。老师
把9元钱怎样分给小 华和小英？


例3 甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是 5
吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是

49

10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？
分析 大汽车 一次运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油10÷5=2
（升）；小汽车一次运2吨，耗油5升，平均 运1吨货耗油5÷2=2.5
（升）。显然，为耗油量最少应该尽可能用大卡车。177÷5=35（辆）……2吨，余下的2吨正好用小卡车运。因此，用35辆大
汽车和1辆小汽车运耗油量最少。
练 习 三
1，五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，
并且都是整数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得
多少分？


2，用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买
1角的邮票多少张？


3，某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，
55人会打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会？


50

例4 有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了
三种报纸，其中北京日报34份，江海晚报30份，电视报22份。
那么订江海晚报和电视报的共有多少 家？
分析 这栋楼共订报纸34+30+22=86（份），因为每家都订2份不
同的报纸 ，所以一共有86÷2=43家。在这43家居民中，有34家
订了北京日报，剩下的9家居民一定是订 了江海晚报和电视报。
练 习 四
1，五（1）班全体同学每人带2个不同的水果去慰 问解放军叔叔，
全班共带了三种水果，其中苹果40个，梨32个，桔子26个。那
么，带梨和 桔子的有多少个同学？


2，在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学 每人手里
都拿两种颜色的气球，共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有56
只，黄色的有60只 ，绿色的有46只。那么，手拿红、绿两种气球
的有多少个同学？



51

3，学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小队的同学
们每人都参加了其中的两个小组，其中9人参加球类小组，6人参
加美术小组，7人参加音乐小组的活 动。参加美术和音乐小组活动
的有多少个同学？


例5 一艘轮船发生 漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此
时已进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台 每分钟抽
水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？
分析 50分钟内，两台抽水 机一共能抽水（18＋14）×50=1600（桶）。
1600桶水中，有800桶是开始抽之前就漏 进的，另800桶是50分
钟又漏进的，因此，每分钟漏进水800÷50=16（桶）。
练 习 五
1，一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。
两管齐开，20分 钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进
水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？


2，某工地原有水泥120吨。因工程需要，又派5辆卡车往工地送

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水泥，平均每辆卡车每天送25吨，3天后工地上共有水泥101吨。
这个工地 平均每天用水泥多少吨？


3，一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用 24小时运完。
如果让两队同时合运，几小时运完？


第９讲 一般应用题（三）
专题简析
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：
1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
例1 甲、乙两工人生产同样 的零件，原计划每天共生产700个。
由于改进技术，甲每天多生产100个，乙的日产量提高了1倍， 这
样二人一天共生产1020个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
分析 二人实际每天比原计划多生产1020－700=320（个）。这320

53