AM:ABMN:BC2:3
，因为
AM4cm
，
AB4 236
cm
，所以
BM642cm


【巩固】 如图，已知
DE
平行
BC
，
BO:EO3:2
，那么AD:AB
________。

【解析】 由沙漏模型得
BO:E OBC:DE3:2
，再由金字塔模型得
AD:ABDE:BC2:3
．

11
【例 7】 如图，
ABC
中，
AEAB
，
ADAC
，
ED
与
BC
平行，
EOD的面积是1
44
平方厘米。那么
AED
的面积是 平方厘米。

11
【解析】 因为
AEAB
，
ADA C
，
ED
与
BC
平行，
44
根据相似模型可知< br>ED:BC1:4
，
EO:OC1:4
，
S
COD4S
EOD
4
平方厘米，
则
S
CDE
415
平方厘米，
15
又因 为
S
AED
:S
CDE
AD:DC1:3
，所以< br>S
AED
5
(平方厘米)．
33

【例 8】 在图中的正方形中，
A
，
B
，
C
分别是所在边的中点 ，
VCDO
的面积是
VABO
面
积的几倍？

【解析】 连接
BC
，易知
OA
∥
EF
，根据相似 三角形性质，可知
OB:ODAE:AD
，且
OA:BEDA:DE1:2，所以
VCDO
的面积等于
VCBO
的面积；由
11
C DO
的面积是
OABEAC
可得
CO3OA
，所以
S
VCDO
S
VCBO
3S
VABO
，即
V24
VABO
面积的3倍。

【例 9】 如图，线段
AB< br>与
BC
垂直，已知
ADEC4
，
BDBE6
，那么图中阴影部分
面积是多少？

【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴
看看．
作辅 助线
BO
，则图形关于
BO
对称，有
S
VADO
 S
VCEO
，
S
VDBO
S
VEBO
，且
S
VADO
:S
VDBO
4:62:3
．
设VADO
的面积为2份，则
VDBO
的面积为3份，直角三角形
ABE< br>的面积为8份．
因为
S
VABE
610230
，而 阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为
308415
．
解法二：连接
DE
、
AC
．由于
ADEC4
，
BDBE 6
，所以
DE
∥
AC
，根
据相似三角形性质，可知
DE:ACBD:BA6:103:5
，
根据梯形蝴蝶定理，
S
VD OE
:S
VDOA
:S
VCOE
:S
VCOA
3
2
:

35

:

35
< br>:5
2
9:15:15:25
，
所以
S
阴影:S
梯形ADEC


1515

:
9151525

15:32
，即
S
阴影
< br>15
；
S
32
梯形ADEC
1115
又
S
梯形ADEC
101066=32
，所以
S
阴影
S
梯形ADEC
15
．
2232

【例 10】 (
2008
年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形
AB CD
和
EFGH
都是平行四边形，四边形
ABCD
的面积是
16
，
BG:GC3:1
，则
四边形
EFGH
的面积
________．

【解析】 因为
FGHE为平行四边形，所以
ECAG
，所以
AGCE
为平行四边形．
11
BG:GC3:1
，那么
GC:BC1:4
，所以
S
YAGCE
S
YABCD
164
．
44
又< br>AEGC
，所以
AE:BGGC:BG1:3
，根据沙漏模型，
33
FG:AFBG:AE3:1
，所以
S
YFGHE
S< br>YAGCE
43
．
44

【例 11】 已知三角形
ABC
的面积为
a
，
AF:FC2:1
，
E是
BD
的中点，且
EF
∥
BC
，
交
C D
于
G
，求阴影部分的面积．

【解析】 已知
AF:FC2:1
，且
EF
∥
BC
，利用相似三角形性质 可知
2
EF:BCAF:AC2:3
，所以
EFBC
，且S
VAEF
:S
VABC
4:9
．
3
1< br>又因为
E
是
BD
的中点，所以
EG
是三角形
DBC
的中位线，那么
EGBC
，
2
12
EG:EF: 3:4
，所以
GF:EF1:4
，可得
S
VCFG
:S
VAFE
1:8
，所以
23
a
S
VCFG
:S
VABC
1:18
，那么
S
VCFG

．
18

【例 12】 已知正方形
ABCD
，过
C
的直线分别交
AB
、
AD
的延长线于点
E
、
F，且
AE10cm
，
AF15cm
，求正方形
ABCD的边长．

【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有
BC :AFCE:EF
，
BCDCCECF
DC:AECF:EF
，设正方形 的边长为
xcm
，所以有
1
，
AFAEEFEF
x x
即
1
，解得
x6
，所以正方形的边长为
6cm．
1510
x15x
方法二：或根据一个金字塔列方程即

，解得
x6

1015

【例 13】 如图，三角形
A BC
是一块锐角三角形余料，边
BC120
毫米，高
AD80
毫
米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在
BC
上，其余两个顶点分别在
AB
、
AC
上，这个正方形零件的边长是多少？

【解析】 观察图中有金字塔模型
5
个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有
PNAPPHBPPNPHAPBP
，，设正方形的边长为
x
毫米，
1
，即
BCABADABBCADABAB
xx
1
，解得
x48
，即正方形的边长为
48
毫米．
12080

【巩固】如图，在
△ABC
中，有长方形
DE FG
，
G
、
F
在
BC
上，
D
、< br>E
分别在
AB
、
AC
上，
AH
是
△ ABC
边
BC
的高，交
DE
于
M
，
DG :DE1:2
，
BC12
厘米，
AH8
厘米，求长方形的长和 宽．

【解析】 观察图中有金字塔模型
5
个，用与已知边有关系的两个金 字塔模型，所以
DEADDGBDDEDGADBD
，，所以有设
DGx
， 则
DE2x
，
1
，
BCABAHABBCAHABA B

所以有
2xx244848
，
2x
，因此长方形 的长和宽分别是
厘米
，
1
，解得
x
12877724
厘米．
7

【例 14】 图中
ABCD
是边长 为
12cm
的正方形，从
G
到正方形顶点
C
、
D< br>连成一个三角
形，已知这个三角形在
AB
上截得的
EF
长度为
4cm
，那么三角形
GDC
的面积是
多少？

【解析】 根据题中条件，可以直接判断出
EF
与
DC
平行，从而三 角形
GEF
与三角形
GDC
相
似，这样，就可以采用相似三角形性质 来解决问题．
做
GM
垂直
DC
于
M
，交
AB
于
N
．
因为
EF
∥
DC
，所以三角 形
GEF
与三角形
GDC
相似，且相似比为
EF:DC4:12 1:3
，
所以
GN:GM1:3
，又因为
MNGMGN1 2
，所以
GM18

cm

，
1
所以 三角形
GDC
的面积为
1218108

cm
2
．
2

【例 15】 如图，将一个边长为
2
的正 方形两边长分别延长
1
和
3
，割出图中的阴影部分，
求阴影部分的面 积是多少？

EM1
NF3
【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：；，

1223
2312
5
5
则
NF
，
EM
，
9
3
1

9

5

1

S
阴


2



2


2

5

3

30

【例 16】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面
积之和等 于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．

【解析】 设大、小正方形的边 长分别为
m
厘米、
n
厘米(
mn
)，则
m
2
n
2
52
，所以
若
m5
，则
m
2
n
2
5
2
25052
，不合题意，所 以
m
只能为6或7．检
m8
．
验可知只有
m6
、
n4
满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4
厘米．根据相似三角形 性质，
BG:GFAB:FE6:43:2
，而
BGGF6
，得< br>1
BG3.6
(厘米)，所以阴影部分的面积为：
63.610.8< br>(平方厘米)．
2

【例 17】 如图，图中已经标出两个三角形的面积为
3
和
4
，
O
是矩形一条对角线的中点，
那么阴影部 分的一块直角三角形的面积是多少？

1
【解析】 连接
OB
,面 积为
4
的三角形占了矩形面积的，所以
S
△OEB
431,所以
4
OE:EA1:3
,所以
CE:CA5:8
,由三 角形相似可得阴影部分面积为
525
8()
2

．
88

【例 18】 已知长方形
ABCD
的面积为
70< br>厘米，
E
是
AD
的中点，
F
、
G
是
BC
边上的
三等分点，求阴影
△EHO
的面积是多少厘米？

【解析】 因为
E
是
AD
的中点 ，
F
、
G
是
BC
边上的三等分点，由此可以说明如果把长方 形
的长分成
6
份的话，那么
EDAD3
份、
BFFG GC2
份，大家能在图形中
找到沙漏
△EOD
和
△BOG
：有
ED
所以
OD
相当于把
BD
∶BG=3∶4
，
∶BO3∶4
，
分成(
34
)
7
份，同理也 可以在图中在次找到沙漏：
△EHD
和
△BHF
也是沙漏，
ED∶B F3∶2
，由此可以推出：
HD∶BH3∶2
, 相当于把
BD
分成(
32
)
5
份，
那么我们就可以把
BD
分成
35
份(
5
和
7
的最小公倍数)其中
OD
占
15
份，
BH
占
14
35
份，
HO占
6
份，连接
EB
则可知
△BED
的面积为
7 04
，在
BD
为底的三角
2
356
形中
HO< br>占
6
份，则面积为：
3
(平方厘米).
235

【例 19】
ABCD
是平行四边形，面积为72平方厘米，
E
、
F
分别为
AB
、
BC
的中点，
则图中阴影部分的面 积为 平方厘米．

【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．
设
G
、H
分别为
AD
、
DC
的中点，连接
GH
、EF
、
BD
．
1
可得
S
VAED
=S
平行四边形ABCD
， < br>4
对角线
BD
被
EF
、
AC
、
GH
平均分成四段，又
OM
∥
EF
，所以
23
DO:E DBD:BD2:3
，
OE:ED

EDOD

: ED

32

:31:3
，
44
1111
所以
S
VAEO
S
平行四边形 ABCD
726
(平方厘米)，
3434
S
VADO
2S
VAEO
12
(平方厘米)．
同理可得
S
V CFM
6
平方厘米，
S
VCDM
12
平方厘米．
所以
S
VABC
S
VAEO
S
VCFM366624
(平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为
24121248
(平方厘米)．
方法二： 寻找图中的沙漏，
AE:CDAO:OC1:2
，
FC:ADCM:AM1: 2
，
11
因此
O,M
为
AC
的三等分点，
S
△ODM
S
平行四边形ABCD
7212
(平方厘米)，
66
11
S
△AEO
S
△OCD
122 6
(平方厘米)，同理
S
△FMC
6
(平方厘米)，所以
44
S
阴影
72126648
(平方厘米)．

【例 20】 如图，三角形
PDM
的面积是8平方厘米，长方形
ABCD< br>的长是6厘米，宽是
4厘米，
M
是
BC
的中点，则三角形APD
的面积是 平方厘米．


【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一
般需要通过这一点做垂 线．
取
AD
的中点
N
，连接
MN
，设
M N
交
PD
于
K
．
则三角形
PDM
被分成 两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边
MK
，可知三
18
角形
PDM
的面积等于
MKBC8
(平方厘米)，所以
MK=
(厘 米)，那么
23
84
NK4
(厘米)．
33
8因为
NK
是三角形
APD
的中位线，所以
AP2NK(厘米)，所以三角形
APD
3

18
的面积为
68
(平方厘米)．
23

【例 21】 如图，长方形< br>ABCD
中，
E
为
AD
的中点，
AF
与BE
、
BD
分别交于
G
、
H
，
OE< br>垂直
AD
于
E
，交
AF
于
O
，已知
AH5cm
，
HF3cm
，求
AG
．


【解析】 由于
AB
∥
DF
，利用相似三角形性质可以得 到
AB:DFAH:HF5:3
，
又因为
E
为
AD< br>中点，那么有
OE:FD1:2
，
3
所以
AB:OE5 :10:3
，利用相似三角形性质可以得到
2
AG:GOAB:OE10:3< br>，
111040
而
AOAF

53
4

cm

，所以
AG4

cm
．
221313

1
【例 22】 右图中正方形的面积为1，
E
、
F
分别为
AB
、
BD
的中点，
GCFC
．求
3
阴影部分的面积．


【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影 部分的面积要通过比例求
解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质 ．
阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可
以作
FH
垂直
BC
于
H
，
GI
垂直
B C
于
I
．
根据相似三角形性质，
CI:CHCG:CF1:3
，又因为
CHHB
，所以
1155
CI:CB1:6
， 即
BI:BC

61

:65:6
，所以
S
VBGE

．
22624

【例 23】 梯形< br>ABCD
的面积为12，
AB2CD
，
E
为
AC< br>的中点，
BE
的延长线与
AD
交
于
F
，四边 形
CDFE
的面积是 ．

【解析】 延长
BF
、
CD
相交于
G
．
11
由于< br>E
为
AC
的中点，根据相似三角形性质，
CGAB2CD
，
GDGCAB
，
22
再根据相似三角形性质，
AF:FDA B:DG2:1
，
GF:GB1:3
，而
S
ABD
: S
BCD
AB:CD2:1
，
11
所以
S
BCD
S
ABCD
124
，
S
GBC
2S
BCD
8
．
33
S
18
111
1

11

又
GDF

，
SEBC
S
GBC
，所以
S
CDFE


1

S
GBC
S
GBC

．
33
S
GBC
236
2

26


【例 24】 如图，三角形
ABC
的面积为60平方厘米，
D
、
E
、
F
分别为各边的中点，
那么阴影部分的面积是 平方厘米．

【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积， 可以将其转化为两个三角形
的面积之差．而从图中来看，既可以转化为
BEF
与EMN
的面积之差，又可以转
化为
BCM
与
CFN
的面积之差．
(法1)如图，连接
DE
．
由于
D
、< br>E
、
F
分别为各边的中点，那么
BDEF
为平行四边形，且面 积为三角形
ABC
面积的一半，即30平方厘米；那么
BEF
的面积为平行 四边形
BDEF
面积的
一半，为15平方厘米．

根据几何五 大模型中的相似模型，由于
DE
为三角形
ABC
的中位线，长度为
B C
的
1
一半，则
EM:BMDE:BC1:2
，所以
E MEB
；
3
1
EN:FNDE:FC1:1
，所以
ENEF
．
2
111
那么
EMN
的面积占
BEF
面积的< br>
，所以阴影部分面积为
236

1

15
1

12.5
(平方厘米)．

6

(法2)如图，连接
AM
．
根据燕尾定理 ，
S
ABM
:S
BCM
AE:EC1:1
，
S
ACM
:S
BCM
AD:DB1:1
，
11
所以
S
BCO
S
ABC
6020
平方 厘米，
33
111
而
S
BDC
S
ABC< br>6030
平方厘米，所以
S
FCN
S
BDC7.5
平方厘米，
224
那么阴影部分面积为
207.512.5
(平方厘米)．
【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：
⑴利用面积公式：底

高
2
；
⑵利用整体减去部分；
⑶利用比例和模型．

【例 25】 如图,
ABCD
是直角梯形 ，
AB4,AD5,DE3
，那么梯形
ABCD
的面积是
多少 ?

【解析】 延长
EO
交
AB
于
F< br>点，分别计算
△AOD,△AOB,△DOC,△BOC
的面积，再求和．

DE∶BFDO∶OB3∶1

∴
S
△AOD
∶S
△AOB
3∶1
；
S
△DOC
S
△BOC
3∶1

S
△AOD
S
△BOC

1
又∵
S
△ABD
4510

2
3
∴
S
△AOD
S
△ABD
7.5
,
S
△AOB
2.5,S
△BOC
7 .5,S
△DOC
3S
△BOC
37.522.5

4
∴
S
梯形ABCD
7.52.57.522.540


【例 26】 边长为
8
厘米和
12
厘米的两个正方形并放在一起， 那么图中阴影三角形的面
积是多少平方厘米？

【解析】 给图形标 注字母，按顺时针方向标注，大正方形为
ABCD
，小正方形为
MNDE
，< br>EB
分别交
AC,AD
于
O,H
两点，
AO∶OC AB∶EC12∶203∶5
，
AH∶BCAO∶OC3∶5

S
△ADC
9∶40
∴
AO∶AC3∶8
，
AH∶AD3∶5
，
S
△AHO
∶
1
∵
S
△ADC
12
2
72

2
99
∴
S
△AHO
S
△ADC
7216.2

4040

【例 27】 如右图，长方形
ABCD
中，
E F16
，
FG9
，求
AG
的长．

【解析】 因为
DA
∥
BE
，根据相似三角形性质知
又因为
DF
∥
AB
，
所以
DGAG
，

GBGE
DGFG
，
GBGA
AGFG
，即
AG
2
GEFG259225 15
2
，所以
AG15
．

GEGA

【例 28】 (第
21
届迎春杯试题)如图，已知正方形
ABCD
的边长为
4
，
F
是
BC
边的中
点，
E是
DC
边上的点，且
DE:EC1:3
，
AF
与BE
相交于点
G
，求
S
△ABG


【解析】 方法一：连接
AE
，延长
AF
，
DC
两 条线交于点
M
，构造出两个沙漏，所以有
AB:CMBF:FC1:1
， 因此
CM4
，根据题意有
CE3
，再根据另一个沙漏
4432< br>有
GB:GEAB:EM4:7
，所以
S
△ABG
．
S
△ABE
(442)
471111
方法二： 连接
AE,EF
，分别求
S
△ABF
4224
，< br>S
△AEF
4441232247
，根据
S△ABF
:S
△AEF
BG:GE4:7
，所以
S
△ABG

4
S
△ABE
47
定理
432
．
(442)
1111
蝴蝶

【例 29】 如图所 示，已知平行四边形
ABCD
的面积是1，
E
、
F
是
AB
、
AD
的中点，
BF
交
EC
于
M
，求
BMG
的面积．

【解析】 解法一：由题意可得，
E
、
F
是
AB
、
AD
的中点，得
EFBD
，而
FD:BCFH:H C1:2
，
EB:CDBG:GD1:2
所以
CH:CFGH:EF2:3
，
并得
G
、
H
是
BD
的三等分点，所以
BG GH
，所以
BG:EFBM:MF2:3
，
21111
所 以
BMBF
，
S
BFD
S
ABD
S< br>YABCD

；
52224
1121211
又因为
BGBD
，所以
S
BMG
S
BFD
< br>．
33535430
解法二：延长
CE
交
DA
于
I
，如右图，
可得，
AI:BCAE:EB1:1
，
从而可以确定
M
的点的位置，

BM:MFBC:IF2:3
，
21

BMBF
，
BGBD
(鸟头定理)，
53
212111
可得
S
BMG
S
BDF
S
YABCD


5353430

【例 30】 (清华附中入学试题)正方形
ABCD
的面积是120平方厘米，E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，四边形< br>BGHF
的面积是 平方厘米．

【解析】 欲求四边形
BGHF
的面积须求出
EBG
和
 CHF
的面积．
1
由题意可得到：
EG:GCEB:CD1:2
，所以可得：
S
EBG
S
BCE

3
将
AB
、
DF
延长交于
M
点，可得：
BM:DCMF:FDBF:FC1:1
，

12
而< br>EH:HCEM:CD(ABAB):CD3:2
，得
CHCE
，
25
1121
而
CFBC
，所以
S
CHFS
BCE
S
BCE

2255
111

S
BCE
ABBC12030

224
1177

S
四边形BGHF
S< br>EBC
S
EBC
S
EBC
S
EBC< br>3014
．
351515
本题也可以用蝴蝶定理来做 ，连接
EF
，确定
H
的位置(也就是
FH:HD
)，同样也
能解出．

【例 31】 如图，已知
S
△ABC
14
,点
D,E,F
分别在
AB,BC,CA
上，且
AD2, BD5,AFFC
，
S
四边形DBEF
S
△ABE
则
S
△ABE
是多少？

【解析】
△ABC< br>的面积已知，若知道
△ABE
的面积占
△ABC
的几分之几就可以计算 出
△ABE
的面积．连接
CD
．
∵
S
四边形DBEF
S
△ABE

∴
S
△DEF
S
△ADE

∴
AC
与
DE
平行，
∴
S
△ADE
S
△CDE

∴
S
△ABE
S
△CDB

∵
AD2
，
BD5

∴
S
VACD
:S
VCDB
2:5

5 S
5
∴
S
△ABB
S
△CDB

△AB C
1410

77

【例 32】 如图，长方形
A BCD
中，
E
、
F
分别为
CD
、
AB边上的点，
DEEC
，
FB2AF
，求
PM:MN:NQ< br>．


【解析】 如图，过
E
作
AD
的平行线交
PQ
于
G
．
由于
E
是
DC
的中点，所以
G
是
PQ的中点．
由于
DEEC
，
FB2AF
，所以
AF :DE2:3
，
BF:CE4:3
．
根据相似性，
PM:MG AM:MEAF:DE2:3
，
GN:NQEN:NBEC:BF3:4
，
2333644
于是
PMPG
，
MNPGGQPG，
NQGQPG
，
5573577
2364
所以
PM:MN:NQ::7:18:10
．
5357

【例 33】 如 下图，
D
、
E
、
F
、
G
均为各边的三等分 点，线段
EG
和
DF
把三角形
ABC
分成四部分，如果四边 形
FOGC
的面积是24平方厘米，求三角形
ABC
的面积．

【解析】 设三角形以
AB
为底的高为
h
，
由于
FG:AB2:3
，所以
ED:FG1:2
；
122
所以三角形
OGF
以
GF
为底的高是
hh
；
339
2
又因为三角形
CFG
以
FG
为底的高是
h
，
3

22
所以三角形
OGF
的面 积与三角形
CGF
的面积之比
h:h1:3
，
93
3
所以三角形
CFG
的面积为
2418
(平方厘米)，
31
224
而三角形
CFG
的面积占三角形
ABC
的

，
339
4
所以三角形
ABC
的面积是
1840.5
(平 方厘米)．
9

【例 34】 (
2008
年第十二届香港保良局 小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，
ABCD
为
正方形，
AMNBD EFC1cm
且
MN2cm
，请问四边形
PQRS
的面积为多
少？

MQMB
MPPC
【解析】 (法
1
)由
ABCD
，有，所以
PC2PM
，又，所以


QCEC
MNDC
11111
MQQCMC
，所以
PQMCMCMC
，所以
S
SPQR
占
S< br>AMCF
的，
22366
12
所以
S
SPQR1(112)
(cm
2
)
．
63
1RB ER
(法
2
)如图，连结
AE
，则
S
ABE448
(
cm
2
)
，而，所以

2A BEF
RBAB2216
，()．而
cm
2
2S
AB R
S
ABE
8
EFEF333
11MNMP
，
S
MBQ
S
ANS
343
(
cm
2
)，因为

22DCPC
1114
所以
MPM C
，则
S
MNP
24
(
cm
2
)，阴影部分面积等于
3233
1642
S
ABR
S
ANS
S
MBQ
S
MNP
33
(< br>cm
2
)。
333