山西金融职业技术学院-企业安全文化理念

第一周 平均数（一）
专题简析：
把几个不相等的数，在总数不变的条件 下，通过移多补少，使它们完全相等，求得
的相等的数就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量×平均数
例1 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平 均每箱36个，
苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？
分析与解答：（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；
（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）
（3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个）
由（1）（2）两个等式可知：
1箱苹果 比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74
－18）÷2 =28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。
1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个）
1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个）
1箱苹果有多少个：28＋18=46（个）
练 习 一
1，一次考试，甲、 乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人
平均分95分。问：甲、丁各得多 少分？


2，甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、 丙、丁三人共重126
千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？


3，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙 两组平
均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？




例2 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人 ，平均每人92分；男生
平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？
分析：女生每人比全 班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2
1

< br>－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0 .7
分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。
练 习 二
1，两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平
均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？


2，有 两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5
千克；另一块 田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩？


3，把甲级和乙级糖混在一起， 平均每千克卖7元，乙知甲级糖有4千克，平均每千克8
元；乙级糖有2千克，平均每千克多少元？

例3 某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数
原来是多少？
分析：原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为
把那个 数改成了4。因此，原来的数应该是4－3=1。
练 习 三
1，已知九个数的平均数 是72，去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是
多少？


2，有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8。这
个改动的数 原来是多少？


3，甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90 分。可是，甲在抄分数
时，把自己的分错抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次 考试中
得了多少分？


例4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分 ，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98
分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91 .7分，五一班有多少名同学？
分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上 升91.7－91.5=0.2
（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。
练 习 四
1，五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分< br>为92分。缺考的两位同学补考均为100分，这次五（1）班同学期中考试的平均分是多
2

少分？


2，某班的一次测验，平均成绩是91.3分。 复查时发现把张静的89分误看作97分计算，
经重新计算，该班平均成绩是91.1分。问全班有多少 同学？


3，五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数 是16。这个改动
的数原来是多少？
例5 把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三 个数的平均数是27，后三个数的平
均数是48。中间一个数是多少？
分析：先求出五个数的 和：38×5=190，再求出前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：
48×3=144。用 前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然
比190多，而多出的部分就是 所求的中间的一个数。
练 习 五
1，甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、 乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均
年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？


2，十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。
那么 第5人和第6人的平均分是多少分？
3，下图中的○内有五个数A、B、C、D、E，□内的数表示与 它相连的所有○中的平均数。
求C是多少？

第２周 平 均 数（二）
例1 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考10 0分，才能把平均成绩提高
到86分。问这是他第几次测验？
分析与解答：100分比86分 多14分，这14分必须填补到前几次的平均分84分中去，使
其平均分成为86分。每次填补86－8 4=2（分），14里面有7个2，所以，前面已经测验
了7次，这是第8次测验。
练 习 一
1，老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了5朵。如果师生合起
3

来算，正好平均每人做了7朵。求有多少个同学在做花？


2，一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学
算在内，平均 每门95分。已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？

3，两组同学进 行跳绳比赛，平均每人跳152次。甲组有6人，平均每人跳140次，如果
乙组平均每人跳160次， 那么，乙组有多少人？
4

例2 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、 英语、自然五科的平均成绩是89分，政
治、数学两科平均91.5分，政治、英语两科平均86分，英 语比语文多10分。小亮的各
科成绩是多少分？
分析与解答：因为语文、英语两科平均分84 分，即语文＋英语=168分，而英语比语文多
10分，即英语－语文=10分，所以，语文是（168 －10）÷2=79分，英语是79＋10=89
分。又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是8 6×2－89=83分；而政治、数学两
科平均分91.5分，数学是91.5×2－83=100分； 最后根据五科的平均成绩是89分可知，
自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）=94分。
练 习 二
1，甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙 两数的平均数
是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？
2，小华的前几次数学测 验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正好把这几次的平
均分提高到85分。这一次是他第几次 测验？

3，五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是 10，
那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？

例3 两地相距360千米 ，一艘汽艇顺水行全程需要10小时，已知这条河的水流速度为
每小时6千米。往返两地的平均速度是每 小时多少千米？
分析与解答：用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要
求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为360÷10=36（千米）是顺
水速度，它是汽艇的静水速度与水流速度的和，所以，此汽艇的静水速度是36－6=30（千
米）。而 逆水速度=静水速度－水流速度，所以汽艇的逆水速度是30－6=24（千米）。逆水
行全程时所用时 间是360÷24=15（小时），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=28.8
（千米） 。
练 习 三
1，甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达 甲码头，已知汽船
在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？


2，一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度是每小 时30千
米，水速每小时3千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时？
3，甲船逆水航 行300千米，需要15小时，返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的
一段水路需要20小时，返 回原地需要多少小时？


例4 幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋 友一起分饼干，小班的小朋友每人分
10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块。求一 共分掉多少块饼干？
分析与解答：只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘（30＋20）人就能求出饼
5

干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块，30个小朋友一
共多2×30=60（块），这60块平均分给20个小班的小朋友，每人可得60÷20=3（块）。
因此，大、小班小朋友分得平均块数是10＋3=13（块）。一共分掉13×（30＋20）=650
（块）。
练 习 四
1，数学兴趣小组里有4名女生和3名男生，在一次数学 竞赛中，女生的平均分是90分，
男生的平均分比全组的平均分高2分，全组的平均分是多少分？

2，两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下；第二组有20人，平均每人比两< br>组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳几下？


3，一个技术工带 5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120元，这位技术工
人的收入比他们6人的平均收入 还多20元。问这位技术工得多少元？



例5 王强从A地到B地， 先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米。剩下的步行，
每小时走4千米。王强行完全程的平均速 度是每小时多少千米？
分析与解答：求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。由于 题中没
有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设全程为24千米（也可以设其他数），这样，
就可以算出行全程所用的时间是12÷12＋12÷4=4（小时），再用24÷4就能得到行全程
的 平均速度是每小时6千米。
练 习 五
1，小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路 返回时每小时行5千米。求小明往返的平
均速度。


2，运动员进行长跑 训练，他在前一半路程中每分钟跑150米，后一半路程中每分钟跑100
米。求他在整个长跑中的平均 速度。


3，把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙每分 钟打20个字。打
这份书稿平均每分钟打多少个字？



第3周 长方形、正方形的周长
同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。长方形、
6

正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求
表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握
转化的思考方法 ，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
例1 有5张同样大小的纸如下图（a） 重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，
重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
思路与导航 根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、
下平移（如 图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠
后的图形的周长相等。因此 ，所求周长是18×4=72厘米。

练习一
1，下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

2，下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。

3，有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的
7

周长。

例2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截 去4厘米，截掉的面积为192
平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？
思路导航 把 截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是
192－4×4=176（平方 厘米）。把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方
形的长就是这块木板剩下部分的周长的 一半。176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长
是44×2=88（厘米）。

练习二
1，有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，< br>且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。

2，有两个相同的长方形，长 是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这
个图形的周长是多少？

3，有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍
是长方形，且 周长为280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？
例3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？
8

思路导航 从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三
条竖着。三 条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。所以，整个图形
的周长是（a＋b）× 2＋b×2，即2a＋4b。
练习三
1，有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板 ，在四个角上各剪去一个同样大小的正方
形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。


2，一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示长 方
形，求所拼长方形的周长。


3，求下面图形（图2）的周长（单位：厘米）。

图（1） 图（2）



例4 下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。


9

思路导航 我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移到左边，其和 正好是4
厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。因此，阴影部分的周长
与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。


练习四
1，求下面图形的周长（单位：厘米）。


2，在（ ）里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的周长（ ）乙的周长

3，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。


例5 如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。
分析 根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为BC=EF，CF=DE，
所 以，AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。因
此，最大长方形的周长是（9＋6）×2=30（厘米）。
10

练习五
1，下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）



2，下面是一个零件的平面 图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高
30厘米。这个零件的周长是多少厘米？



11

3，有两个相同的长方形，长7厘米， 宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周
长。




第4周 长方形、正方形的面积
专题简析：
长方形的面积=长×宽，正方形的面 积=边长×边长。掌握并能运用这两个面积公式，
就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习 过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复
杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目 。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割
补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普 通的求长方形、正方形面积的问
题，从而正确解答。
例1 已知大正方形比小正方形边长多 2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘
米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
2
B

2
A

分析 从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积 大出的40平方厘米，可
以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的 面积，再
除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。
求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。
练 习 一
1，有一 块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小
路的面积。



12

2，正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边 减少18厘米，结果得到一个与原正方形
面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？


3，把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多 181平
方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？
13

例2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个 长
方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

分析 因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB= 35×6，而CE
×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。
练 习 二
1，下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、
30平 方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
A
M
B
32
F
P
24
30
D
N
C



2，下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位 ：平方
厘米），求A和B的面积。
15A
24
12
B
E

45



3，下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。
8
8
5
8
8



例3 把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形
的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？
14

分析 我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平
方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，
A和B正好组成 一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2
（分米），即大、小两 个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）
÷2=11（分米），面积是11 ×11=121（平方分米）
练 习 三
1，一块正方形，一边划出1.5米，另一边 划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少了
1350平方米。这块地原来的面积是多少平方米？


2，一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘 米。原
来正方形的面积是多少平方厘米？


3，有一个正方形草坪，沿草 坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。求
草坪的面积。

例4 有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。

分析 由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边
长 或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分
别作出4个等腰直角 三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原
正方形面积的2倍。
练 习 四
1，四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面
15

积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。



2，正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？


3，正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。



例5 有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。一个正方< br>形的面积是多少平方厘米？
分析 三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是 原正方形边长的8倍，正
方形的边长为72÷8=9（厘米），一个正方形的面积就是9×9=81（平 方厘米）。
练 习 五
1，五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长 是36厘米，求每个正方
形的面积是多少平方厘米？


2，有一张长方形 纸，长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩
下部分的周长是多少厘米？


3，有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD（如下图）， 已知大长方
形的面积是35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。求原来小长方形的16

面积。





第5周 分类数图形

专题简析：
我们在数数的时候，遵循不重复、不 遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但是在
数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法 能够帮助我们找到图形的规
律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
例题1 下面图形中有多少个正方形？

分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组 成的有6×3=18个，
2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。因此图中 共有18＋10＋4=32
个正方形。
练习一
1，下图中共有多少个正方形？

2，下图中共有多少个正方形？
17

3，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？




例题2 下图中共有多少个三角形？

分析 为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类
三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；
（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。
练习二
1，下面图中共有多少个三角形？
18

2，数一数，图中共有多少个三角形。


3，数一数，图中共有多少个三角形？

19

例题3 数出下图中所有三角形的个数。

分析 和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角 形ABF一样形状的三角形有
10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形 的三角形有5个；
和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。
练习三
数出下面图形中分别有多少个三角形。

例题4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方
形有多少个？

分析 把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：

（1）最小的正方形有6个；
（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；
（3）中间还可围成2个正方形。
20

所以共有6＋2＋2=10个。
练习四
1，下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？


2，下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角
形？

3，下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？

例题5 数一数，下图中共有多少个三角形？

分析 我们可以分类来数：
1，单一的小三角形有16个；
2，两个小三角形组合的有10个；
3，四个小三角形组合的有8个；
4，八个小三角形组合的有2个。
所以，图中一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。

练习五
1，图中共有（ ）个三角形。
21

2，图中共有（ ）个三角形。



3，图中共有（ ）个正方形。

第6周 尾数和余数
专题简析：
自然数末位的数字称 为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余
数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的， 利用这种规律能解决一些看起来无从下手的
问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析 因为213=210＋3，把210分解质因数：210 =2×3×5×7，所以，符号题目
要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3× 7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3
×7=42，一共有7个两位数。
练习一
1，写出除109后余4的全部两位数。

2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？

3，写出除1290后余3的全部三位数。

22

例题2 （1）125×125×125ׄ„×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26 ）×（21×26）ׄ„×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是
几？
分析 （1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位
还是5；
（2 ）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数
是几就行了。因为个位 6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积
的个位还是6。
练习二
1，21×21×21ׄ„×21[50个21]积的尾数是几？


2，1.5×1.5×1.5ׄ„×1.5[200个1.5]积的尾数是几？


3，（12×63）×（12×63）×（12×63）ׄ„×（12×63）[1000个（12× 63）]
积的尾数是几？


例题3 （1）4×4×4ׄ×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9ׄ×9[51个9]积的个位数是几？
分析 （1）我们先列举前几个4的积， 看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；
4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4× 4的个位是6„„由此可见，积的尾数
以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数 ，说明50个4相乘，积的个位
是6。
（2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的 个位是以“9，1”两个数字不
断重复，51÷2=25„„1，余数是1，说明51个9本乘积的个位 是9。
练习三
1，24×24×24ׄ×24[2001个24]，积的尾数是多少？


2，1×2×3ׄ×98×99，积的尾数是多少？

< br>3，94×94×94ׄ×94[102个94]－49×49ׄ×49[101个49]，差的个位 是多
少？


例题4 把17化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
23

分析 因为17≈0.7„„，化成的小数是一个无限循环小数，循环节
“142857”共有6个数字。由于 100÷6=16„„4，所以，小数点后面的第100位是第17
个循环节的第4个数字，是8。
练习四
1，把111化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。


2，57写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？


3，有一串数 ：5、8、13、21、34、55、89„„，其中，从第三个数起，每个数恰
好是前两个数的和。在 这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？


例题5 555„55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
分析 如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按
怎样的规律变化。

从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现。2001
÷6 =333„„3，所以，当商是整数时，余数是4。
练习五
1，444„4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？


2，当商是整数时，余数各是几？
（1）666„6÷4[100个6]


（2）444„4÷74[200个4]


24

（3）888„8÷7[200个8]

（4）111„1÷7[50个1]


第７周 一般应用题（一）
专题简析：
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是
间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明
显的结构 特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演
示手段帮助分析。在分析应 用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问
题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须 的两个条件（分析法）。在实际解时，可以
根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。
例1 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相
当于原来4个班的人数 。原来每班多少人？
分析与解答：从每班选16人参加少先队活动，6个班共选16×6=96（人） 。剩下的同学
相当于原来4个班的人数，那么，96人就相当于原来（6－4）个班人人数，所以，原来
每班96÷2=48（人）。
练 习 一
1，五个同学有同样多的存款，若每 人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的
钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款多少？


2，把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走了这 堆货物
的一半。这堆货物一共有多少箱？


3，老师把一批树苗平均分给 四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的树苗正好是原
来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？


例2 某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零件。这样， 不仅提前3
天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120个零件。这个车间实际加工了多少个零件？
分析 如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多56×3＋120=28 8（个）。为
什么会多加工288个呢？是因为每天多加工了56－50=6（个）。因此，原计划加工 的天数
是288÷6=48（天），实际加工了50×48＋120=1520（个）零件。
练 习 二
1，汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10千米，这样比
25

原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？

2，小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分
钟只能行 120米，结果迟到了5分钟。他家离学校有多远？


3，加工一批零件，原计划 每天加工80个，正好按期完成任务。由于改进了生产技术，
实际每天加工100个，这样，不仅提前4 天完成加工任务，而且还多加工了100个。他
们实际加工零件多少个？


例3 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了15天没有加工。
40 天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？
分析 甲工作了40天 ，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零
件正好是甲的一半，也就是甲20天 加工的零件和乙25天加工的零件同样多。由于甲每
天比乙多加工6个，20天一共多加工6×20=1 20（个）。这120个零件相当于乙25-20=5
（天）加工的个数，乙每天加工120÷（25- 20）=24（个）。乙一共加工了24×25=600（个），
甲一共加工了600×2=1200（ 个）
练 习 三
1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事 休息了5天，20天
后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个？



2，甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多行20千米。途 中乙因修
车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B
两地相距多少千米？
3，甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120元。已知甲工作了10天，乙 工作了12天，
且甲5天的工资和乙4天的工资同样多。求甲、乙每天各分得工资多少元？



例4 服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。实际每天比计划多加工 60件，照
这样做了15天，就超过原计划件数350件。原计划加工上衣多少件？
分析 由于每天比计划多加工60件，15天就比原计划的15天多加工60×15=900（件），
这时已超 过计划件数350件，900件中去掉这350件，剩下的件数就是原计划（20－15）
天中的工作量 。所以，原计划每天加工上衣（900－350）÷（20－15）=110（件），原计
划加工110 ×20=2200（件）。
26

练 习 四
1，用汽车运一 堆煤，原计划8小时运完。实际每小时比原计划多运1.5吨，这样运了6
小时就比原计划多运了3吨。 原计划8小时运多少吨煤？

2，汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比 原计划多行15千米，行了
8小时后，发现已超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米？


3，小明看一本书，原计划8天看完。实际每天比原计划少看了4页。这样，用10天才看完了这本书。这本书一共有多少页？



例5 王师傅原计划每 天做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结果提前5在完成
任务。王师傅一共做了多少个零件？
分析 按实际做法再做5天，就会超产（60＋20）×5=400（个）。为什么会超产400个< br>呢？是因为每天多生产了20个，400里面有几个20，就是原计划生产几天。400÷20=20（天），因此，王师傅一共做了60×20=1200（个）零件。
练 习 五
1 ，食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划节约了0.1吨，这样比
原计划多烧了 2天。这批煤一共有多少吨？
2，造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实际每天比原计划多 生产1.5吨，结果
提前2.5天完成了任务。实际用了多少天？


3， 机床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际每天生产18台，这样比原计划提
前3天完成了任务 。这批机床一共有多少台？



第８周 一般应用题（二）
专题简析：
较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起， 但是，再
复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时
要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。
例1 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管 子铺需要25根，用短管子铺需要35根。
已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米？
分析 因为每根长管子比每根短管子长2米，25根长管子就比25根短管子长50米。而
这 50米就相当于（35－25）根短管子的长度。因此，每根短管子的长度就是50÷（35
27

－25）=5（米），这段排水管道的长度应是5×35=175（米）。
练 习 一
1，生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8小时。如果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个？


2，一班的小朋友在操场上做 游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重
新分组，正好每组9人，这样比原来减少了2 组。参加游戏的小朋友一共有多少人？


3，甲、乙二人同时从A地到B地，甲经 过10小时到达了B地，比乙多用了4小时。已
知二人的速度差是每小时5千米，求甲、乙二人每小时各 行多少千米？



例2 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果， 分配时甲、乙都比丙多拿24千克。
结帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元？
分析 三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。24×2÷3=16（千克），也就是
丙少拿16千克苹果，所以得到24×2=48元。每千克苹果是48÷16=3（元）。
练 习 二
1，甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支，
因此，甲又给了乙6角钱。每支铅笔多少钱？


2，春游时小明和小军拿出同样多 的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三
人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军 各2.2元钱。每个面包多少元？


3，“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买 来了7张红纸，小英买来了和红纸同样价格
的5张黄纸。老师把这些纸平均分给了小华、小英和另外两名 同学，结果另外两名同学
共付给老师9元钱。老师把9元钱怎样分给小华和小英？



例3 甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是
2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输
时耗油 最少？
分析 大汽车一次运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油10÷5=2（升）；小汽车一次 运
2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油5÷2=2.5（升）。显然，为耗油量最少应该尽可能用
28

大卡车。177÷5=35（辆）„„2吨，余下的2吨正好用小卡车运。因此 ，用35辆大汽车
和1辆小汽车运耗油量最少。
练 习 三
1，五名选手在一 次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整数。如果最
高分是90分，那么得分最少的 选手至少得多少分？


2，用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多少张？



3，某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会 打乒乓球。可
以肯定至少有多少人四项都会？



例4 有一 栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日
报34份，江海晚报30份 ，电视报22份。那么订江海晚报和电视报的共有多少家？
分析 这栋楼共订报纸34+30+22 =86（份），因为每家都订2份不同的报纸，所以一共有
86÷2=43家。在这43家居民中，有3 4家订了北京日报，剩下的9家居民一定是订了江
海晚报和电视报。
练 习 四
1，五（1）班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果，
其中苹果4 0个，梨32个，桔子26个。那么，带梨和桔子的有多少个同学？



2，在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿两种颜色的气球，
共有红、黄、绿 三种颜色。其中红色有56只，黄色的有60只，绿色的有46只。那么，
手拿红、绿两种气球的有多少 个同学？


3，学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小队的同学们每 人都参加了其中的
两个小组，其中9人参加球类小组，6人参加美术小组，7人参加音乐小组的活动。参 加
美术和音乐小组活动的有多少个同学？



例5 一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。一台
29

抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少
桶 ？
分析 50分钟内，两台抽水机一共能抽水（18＋14）×50=1600（桶）。1600桶 水中，有
800桶是开始抽之前就漏进的，另800桶是50分钟又漏进的，因此，每分钟漏进水800
÷50=16（桶）。
练 习 五
1，一个水池能装8吨水，水池里装有一个 进水管和一个出水管。两管齐开，20分钟能把
一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求 出水管每分钟放水多少吨？


2，某工地原有水泥120吨。因工程需要，又派5 辆卡车往工地送水泥，平均每辆卡车每
天送25吨，3天后工地上共有水泥101吨。这个工地平均每天 用水泥多少吨？


3，一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时 运完。如果让两队同时合运，
几小时运完？


第９周 一般应用题（三）

专题简析
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：
1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
例1 甲、乙两工人生产同样 的零件，原计划每天共生产700个。由于改进技术，甲每天
多生产100个，乙的日产量提高了1倍， 这样二人一天共生产1020个。甲、乙原计划每
天各生产多少个零件？
分析 二人实际每 天比原计划多生产1020－700=320（个）。这320个零件中，有100个
是甲多生产的，那 么320－100=220（个）就是乙日产量的1倍，即乙原来的日产量，甲
原来每天生产700－2 20=480（个）。
练 习 一
1，工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进 行技术改造后，1号锅炉每月节约1吨
煤，2号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。 原来两个锅炉每月各烧煤
多少吨？
2，甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个 。由于更换了机器，甲每天多
做40个，乙每天生产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300个 。甲、乙原计划
每天各生产多少个零件？
30

3，甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因有人请假，每天
比计划少挖 15米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的2倍，这样两队每天一共
挖了150米。求两队原计 划每天各挖多少米？



例2 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘 米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，
竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的长。
分析 因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿了40厘米，所以湿
了的 部分是40×2=80（厘米）。这时，湿的部分比它的一半长13厘米，说明竹竿的长度
是（80－1 3）×2=134（厘米）。
练 习 二
1，有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下 的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长
方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？


2，有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。这根竹
竿原 来长多少厘米？


3，两根电线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米 ，剩下部分第一根是第二根
长度的4倍。两根电线原来各长多少米？



例3 将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5米。长8米的总长
度比 长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？
分析 设这15段中有X段是8米长的，则有（15 －X）段是5米长的。然后根据“8米的
总长度比5米的总长度多3米”列出方程，并进行解答。
练 习 三
1，某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡每分钟 走102米。上
坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米？


2 ，食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知买回的大
米比面粉多16 5千克，求买回大米、面粉各多少千克？

31

3，老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠笔每支1.2元，
买圆珠 笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱？



例4 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙
少做400个零件。 又同时加工4小时后，甲总共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙
每小时各加工零件多少个？
分析 （1）在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（个）零件，甲每小时
比乙多加工4600÷4=1150个零件。
（2）在前4小时内，甲实际只加工了 4－2.5=1.5小时，甲1.5小时比乙1.5小时
应多做1150×1.5=1725个零件，因 此，1725＋400=2125个零件就是乙2.5小时的工作量，
即乙每小时加工2125÷2.5 =850个，甲每小时加工850＋1150=2000个。
练 习 四
1，甲、乙二 人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙邻先于甲4千米。
又经过3小时，甲反而领先 了乙17千米。求二人的速度。


2，师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早2 小时开工，当师傅生产了2小时后，发现
自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了2小时，师傅反而比 徒弟多生产了10个。师
傅每小时生产多少个零件？


3，甲每小时生产 12个零件，乙每小时生产8个零件。一次，二人同时生产同样多的零
件，结果甲比乙提前5小时完成了 任务。问：甲一共生产了多少个零件？



例5 加工一批零件，单给 甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。已知甲每小时比乙
少做3个零件，这批零件一共有多少个？
分析 因为甲每小时比乙少做3个零件，8小时就比乙少做3×8=24（个）零件，所以，
24个零件就是甲（10－8）小时的工作量。甲每小时加工24÷（10－8）=12（个），这批
零 件一共有12×10=120（个）。
练 习 五
1，快、慢两车同时从甲地开往乙地 ，行完全程快车只用了4小时，而慢车用了6.5小时。
已知快车每小时比慢车多行25千米。甲、乙两 地相距多少千米？
2，妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。已知每千克梨比每
32

千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱？


3，师 徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加工的零件相等。如果
师傅每小时比徒弟多加 工3个零件，那么，徒弟每小时加工多少个零件？




第10周 数 阵

专题简析：
填“幻方”是同学们比较熟悉的 一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是
一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数 阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用 字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些
字母（或符号）应具备的条件，为解答数 阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试< br>验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
例题1 把5、6、7、8、9五个 数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的
和与竖行三个数的和都是21。
先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D
＋E=35 ，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。
把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7 。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个
数填进方格，如图b。
练 习 一
1，把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是
12。
33

2，把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是
13。

3，将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例题2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析 设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋„„＋10＋a
34

＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4 =5，2＋3=5。
当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3， 5，7，
10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6 ，7，
8）。
练习二
1，把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2，把1 ——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的
和都相等，且和最大。

3，将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、
中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例题3 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、
且最大。
35

分析 设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、 b、c都被
计算了两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。1 ＋2＋
3＋4＋5＋6=21，21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。在 1—
—6六个数中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12，所以有下面的填法：

练习三
1，将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2，将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。
36

3，将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。

例题4 将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

分析 首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线段上的总和
是1＋2＋3＋4＋5＋6＋ 7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和相等，所以（28＋2a）除以
3应该没有余数。由于28 ÷3=9„„1，那么2a除以3应该余2，因此，a可以为1、4或
7。当a=1时，（28＋2×1 ）÷3－1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的
填法。
练 习 四
1，将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
37

2，将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相
等。

3，将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以
及横行、竖行上四个数的和都等于18。

例题5 如下图(a)四个小三角形的顶点处有 六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个
质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的 和相等。问这六个质数的积
是多少？
38

分析 设每 个小三角形三个顶点处○内数的和为X。因为中间的小三角形顶点处的
数在求和时都用了三次，所以，四 个小三角形顶点处数的总和是4X=20＋2X，解方程得
X=10。由此可知，每个小三角形顶点处的 三个质数的和是10，这三个质数只能是2、3、
5。因此这6个质数的积是2×2×3×3×5×5= 900。如图（b）。

练习五
1，将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相
等。

2，将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边
上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？
39

3，将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角
形边上○内数之 和。





第11周 周期问题
专题简析：
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次
出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解
题时也常 常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并
充分加以利用，把要求的问 题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
例题1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5 个红，再4个黄，再3个绿，再
2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白„„如此 涂下去，到2001
个小球该涂什么颜色？
分析 根据题意可知，小木球涂色的次序是5红 、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋
4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷ 15=133„„6，也就是经过133
个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个 球涂黄色。
练习一
1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么
颜色？


2，有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么
40

颜色？


3，17=0.7„„，小数点后面第100个数字是多少？


例题2 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什
么颜 色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
分析 （1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9 盏灯看作一组，47÷9=5
（组）„„2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后 一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）„„2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏） ，占总数的
122015
；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的；黄灯共有3×5=15（ 盏），占总数的。
474747
练习二
1，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占
黄旗的几分之几？


2，黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○„„， 第
2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？


3，在10 0米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两
个女生，再一个男生的规律站立 着。这些同学中共有多少个女生？


例题3 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
分析 一个星期是7天，因 此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周
期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。 计算天数时为了方便，我们采用“算尾
不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1，没有 余数说明8号仍是星期一。
题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天，92 ÷7=13„„1，余1天
就是从星期一往后数一天，即星期二。
练习三
1，2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？


2，如果今天是星期五，再过80天是星期几？


41

3，以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？
例题4 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以
哪个字母为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
„ „ „ „
„ „ „ „
分析 这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这一列数中的第100 1个数，
1001÷8=125„„1，即2001是这列数中第126组的第一个数，所以它所在的那 一列是以
字母B为代表的。
练习四
1，将偶数2、4、6、8、„„按下图依次排列，2014出现在哪一列？
A B C D E
8 6 4 2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
„ „ „ „
„ „ „ „
2，把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
„ „ „
„ „ „
3，
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学 爱）。求
第460组是什么？



42

例题5 888„„8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？
分析

从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、 2、0不断重
复出现。我们可以用100除以6，观察余数就知道所求问题了。
100÷6=16„„4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。
练习五
1，444„„4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？



2，444„„4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？

3，111„„1[1000个1]÷7当商是整数时，余数是几？





第12周 盈亏问题
专题简析：
盈亏问题又叫盈不足问题 ，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某
种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种 标准分，分配后又会有不足（亏），求物
品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋 友，每人分3块，多12
块；如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏 的情况，
就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次 所分之差=人数；还有一些非标准的
盈亏问题，它们被分为四类：
1，两盈：两次分配都有多余；
43

2，两不足：两次分配都不够；
3，盈适足：一次分配有余，一次分配够分；
4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：
1，“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
2，“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
3，“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总
数。
例1 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一
半； 如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名
学生？
分析 （1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男
生多2人；
（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，这时男生为女
生人数的一半， 即现在女生有4×2=8人。原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共
有7＋5=12人。
练 习 一
1，学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔 增加8盒，
两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？



2，操场上有两堆货物，如果甲堆增加8 0吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重；苦甲、
乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。 两堆货物一共有多少吨？



3，五（1）班的优秀学生中，苦增加2名 男生，减少1名女生，则男、女生人数同样多；
苦减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。 这些优秀学生中男、女生各多
少人？
例2 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给 小朋友，则少4个；如果每个小朋
友只发给4个，则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友？共有多少 个苹果？
分析 如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数大于4；如果每个小朋友只发给< br>4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿4＋4=8个苹果。因为小朋友
人数大 于4，所以，一定是每人少拿1个，有8÷1=8个小朋友，有8×4＋4=36个苹果。
练 习 二
1，给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。有多少个
小 朋友？有多少个梨？
44

2，老把一些铅 笔奖给三好学生。每人5支则多4支，每人7支则少4支。老师有多少支
铅笔？奖给多少个三好学生？



3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每 船坐6人；如果减
少一条船，正好每条船上坐9人。这个班一共有多少个同学？



例3 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个；如果< br>分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人，这筐苹果有多少个？
分析 如果大 班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人5个就多余3
×5＋10=25个。由于两班 人数相等，小班每人多分3个就要多分（25＋2）个苹果，用（25
＋2）÷（8－5）就能得到小班 同学的人数是9人，再用9×8－2就求出了这筐苹果有多
少个。
练 习 三
1，一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没
有砖可搬。这些 学生有多少人？这批砖有多少块？



2，老师给幼儿园小朋友分糖，每 人3块还多10块；如果减少2个小朋友再分，每人4
块还多7块。原来有多少个小朋友？有多少块糖？


3，筑路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。实际每天多筑80米，这样， 比原计划
提前3天完成了筑路任务。要筑的路有多长？



例4 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给
中班的小朋友，平均每 人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多
少块？
分析 这箱饼干分给 小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋
友，平均每人可多分4块。说明中班的 人数是小班人数的6÷4=1.5倍。因此，这箱饼干
45

分给小班的小朋友 ，每位小朋友可多分到6×1.5=9块，一共可分到6＋9=15块饼干。
练 习 四
1，老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借给甲组的女同学，每人可借
6本。如果只 借给甲组的男生，平均每人借到几本？


2，甲、乙两组同学做红花，每人做8朵 ，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红
花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这些红花 让乙组同学单独做，每人要做
几朵？



3，老师把一袋糖分给 小朋友。如果只分给小班，每人可得12块；如果只分给中班和小
班，每人只能分到4块。如果这袋糖只 分给中班，每人可分到几块？



例5 全班同学去划船，如果减少一 条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每
条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
分析 根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，也就是少9个同学；每船坐6人，
就要 增加一条船，也就是多出6个同学。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9＋6=15
人，15里面包 含5个（9－6），说明有5条船。知道了有5条船，就可以求全班人数：9
×（5－1）=36人。
练 习 五
1，老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得 5个；如果
增加一个同学，正好每人分得4个。这篮苹果一共有多少个？



2，五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减少一只船，正好每只船上价8人。五年级共有多少人？



3，一个旅游团去旅馆住 宿，6人一间，多2个房间；若4人一间又少2个房间。旅游团
共有多少人？



46

第13周 长方体和正方体（一）
专题简析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要
注意几点：
1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变
化；
3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
例题1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平
方厘米？（单位：厘米）

分析 （1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10
×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个
零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实 ，朝上的两个面的面积和正好
与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的 面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？
练习一
1，一个长5厘米 ，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部
分的表面积和体积各是多少？


2，把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求
47

这根木料原来的体积。


3，有一个长8厘米，宽1厘米 ，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉
一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积 各是多少？



例题2 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方 体的孔（如图），你能算出它的体
积和表面积吗？（单位：厘米）

分析 （1） 先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，
所以体积减少了2×2× 2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；
（2）长方体完整的表面 积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于
挖去了一个孔，它的表面积减少了 一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5
个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的 表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
练习二
1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。



2，有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正
方 体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
48

< br>3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积
和表面积各是 多少？



例题3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体， 拼成的长方体的表面积比原来
的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米 ？

分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。正方体有6个这样的
面 ，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
练习三
1，把两个完全 一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原
来两个长方体的表面积的和减少了46 平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的
长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米 ？


49

2，一根长80厘米，宽和高都是 12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最
大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？


3，把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多
少平方分米？



例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的 体积是288立方厘米，
求大长方体的表面积。

分析 要求大长方体的表面积， 必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表
示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h= 14a,2a=3b即b=23a，砖的体积是
33
a*23a*14a=16a。由16a= 288可知，a=12，b=23*12=8,h=14*12=3。
大长方体的长是12×2=24 厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求
了。
练习四
1，一块 小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成
的大正方体的表面积是多少 平方厘米？



2，一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的
表面积。

3，有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几
种不同的长方体？用图画出来。



50

例题5 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽 、高
以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
分析 长方体的前 面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于此长方
体的长、宽、高用厘米为单位的数都是 质数，所以有209=11×19=11×（17＋2），即长、
宽、高分别为11、17、2厘米。知 道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习五
1，有一个长方体，它的前面和上面的面 积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质
数，那么这个长方体的体积是多少？


2，一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。
3，一 个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分
米、4分米、25分米，求正 方体体积。




第十四周 长方体和正方体（二）
专题简析
在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：
把一个物体 变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸
入水中，物体在水中会占领一 部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例题1 有两个无盖的长方体水箱， 甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长
40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长3 0厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲
水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多 少厘米？
分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并
靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们
只要先求出原来 甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底
面积和：40×3 2＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
练习一
1，有两个水 池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6
分米、宽和高都是4分米。现在要从 甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面
同样高。问水面高多少？


51

2，有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深 35厘米，箱中水面高
10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水 面高多少
厘米？

3，一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把 它煅烧成一横截面面
积是0.1平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。



例2 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成
一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
分析 因为正方体的六个面都相等，而54= 6×9=6×（3×3），所以这个正方体的
棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96 =6×（4×4），棱长是4厘米；
150=6×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算 出它们的体积，这个大正方
体的体积就等于它们的体积和。
练习二
1，有三个正方 体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平
方厘米。现将三块铁熔成一个大正 方体，求这个大正方体的体积。


2，将表面积分别为216平方厘米和384平 方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方
体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。



3，把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方 体的表面积
是多少平方分米？



例题3 有一个长方体容器 ，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水
深3分米。如果把一块边长2分米的正方体 铁块浸入水中，水面上升多少分米？
分析 铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水 中后，它就占了8立方
分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积（5 ×4）
就能得到水上升的高度了。
练习三
1，有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分 米、水深2分米。把一块假山石浸入水中
后，水面上升0.8分米。这块假山石的体积是多少立方分米？
52

2，有一个正方体容器，边长是24厘 米，里面注满了水。有一根长50厘米，横截
面是12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中 。问：会溶出多少立方厘米的
水？



3，有一块边长是5厘米 的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁
后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的 底面积是多少平方厘米？



例题4 有一个长方体容器（如下图）， 长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深
6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面 的水深应该是多少厘米？

分析 首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘 米）。当容器竖起来以后，水
流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200 平方厘米的长方体。
只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
练习四
1，有 两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米、宽2
分米，里面的水深1.5分米 。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？



2，有一块边长 2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面
是一个长4厘米、宽2厘米的长方形， 求它的长。
3，像例题中所说，如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少
厘米？


53

例题5 长方体不同的三个面的面积 分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这
个长方体的体积是多少立方厘米？
分析 长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的。因此，
15×10×6=（长×宽× 高）×（长×宽×高），而15×10×6=900=30×30。所以，这个长
方体的体积是30立方 厘米。
练习五
1，一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和 8平方
厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？



2，一个 长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方
厘米，且长、宽、高都是质 数，这个长方体的体积是多少立方厘米？



3，一个长方体的体积是4 8立方厘米，并且长、宽、高是三个连续的偶数。这个长
方体的表面积是多少平方厘米？




第十五周 长方体和正方体（三）
专题简析：
解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，
熟悉计算方法，仔细分 析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一
个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向 切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积
的两倍。
例题1 一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，
表面积增加多少厘米？
分析 把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的线共
锯6次，每 锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方
厘米的面积。因 此，锯好后表面积增加432平方厘米。
54

练习一
1，把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比
原来所有的小正方体 的表面积之和少多少平方厘米？



2，有一个棱长是1米的正方体木块 ，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表
面积增加多少平方米？



3，把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，
没有涂颜色 的面积是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？



例题2 有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个
正方 体木块原来的表面积是多少平方厘米？
分析 把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的 面积是24÷2=12平
方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积是12×6=72平 方厘米。
练习二
1，把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少
平方厘米？



2，有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯 成两个长方
体，表面积最多增加多少平方分米？
3，有三块完全一样的长方体积木，它们的长 是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现
把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平 方厘米？


55

例题3 有一个正方体， 棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体，
这些小正方体的表面积的和是多少？

想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个3×3平方分米的面，你能用这
种 思路来计算所求问题吗？
练习三
1，用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体 ，至少需要多少个小正
方体？如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？


2，有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米
的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？



3 ，把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是
多少平方厘米？



例题4 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？

56

分析 按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个；
（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1个。
练习四
1，把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正
方体，这些小 正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没
有涂色的各有多少个？

2，把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂
上 颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？



3，把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成1立方分米的小正方体，
在 这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？



例题5 一个长 方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体
积相等的小长方体，这三个小长 方体表面积的和最大是多少平方厘米？
分析 这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4 ）×2=148平方厘米，每切
割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小长方体要切2刀，一共增加 2×2=4个面。
要求表面积和最大，应该增加4个6×5=30平方厘米的面。所以，三个小长方体表 面积
和最大是148＋6×5×4=268平方厘米。
练习五
1，有三块完全一样 的长方体木块，每块长8厘米、宽5厘米、高3厘米。要把它
们粘成一个大的长方体，这个长方体的表面 积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘
米？



2，把8个 同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是
72平方厘米，拼成的大正方体的 表面积是多少平方厘米？



3，把一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米的长方体，截成两个长方体，
57

使这两个长方体的表面积的和最大，求它们的表面积和是多少平方厘米？


第１６周 倍数问题（一）
专题简析：
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的
和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个 数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根
据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或 “差”相当于这样的几倍，最后用除
法求出1倍数。
例１ 两根同样长的铁丝，第一根剪去 18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一
根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？
分析 由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多
（3－1）倍。因此，8÷（3－1）=4（厘米）。就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4
＋26= 30厘米。
练 习 一
1，两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这 个0去掉，就得到另一个加
数。这两个加数各是多少？



2， 两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根
的3倍。两根绳 子原来各长多少米？



3，一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个 苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。
原来两筐水果一共有多少个？



例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来
甲组有图书多少本？
分析 甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18本，则
甲 组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6
就正好对应着后 来乙组的（5－3）倍。因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12
本，乙组原来有12＋ 6=18本，甲组原来有18×3=54本。
练 习 二
1，原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2
58

倍。原来二人各有多少张画片？



2，一个书 架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，
上层的本数正好是下层的5 倍。原来下层有多少本书？



3，幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍 ，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数
正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？
例3 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4
个苹果 ，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。大班共有多少个同学？
分析 因为苹果是梨的2倍，每组分 3个梨和3×2=6个苹果最后就一起分完。可每组分
4个苹果，少分6－4=2个，所以有8组同学， 全班有7×8=56人。
练 习 三
1，高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100 棵。如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树
苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。两种树苗原 来各有多少棵？



2，高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的 2倍。如果每小组分到杉树6棵，杨
树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。两种树原来各的多 少棵？



3，同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子 的3倍。如果每位老人拿2
个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。同学们把水果 分给了几位
老人？




例4 有两筐桔子，如果从 甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿
出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2 倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？
分析 根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多 ”可知，原来甲筐比乙筐
多8×2=16个橘子；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐 多16＋13×2=42
个。因此，乙筐里还有42÷（2－1）=42个，原来乙筐里有42＋13= 55个，甲筐里原来
有55＋16=71个。
59

练 习 四
1，甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓
取14 吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？



2，兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元；弟弟买了3
支笔，每支 笔1.2元，现在弟弟的钱是哥哥的3倍。兄弟两人原来各有多少元？

3，学校组织夏令营 活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；如
果参加的男生名额给4个女生，则男 生是女生人数的一半。原定夏令营中男、女生各多
少人？



例5 甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30
吨。 若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙粮库原来各有粮食多
少吨？
分析 因为甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，如果每天乙粮库运30吨，甲粮库运出30×2=60吨，两粮库的粮食就会同时运完。而实际上甲粮库每天只运出40吨，所以，每天就少运
60－40 =20吨。80吨里包含有4个20吨，也就是已经运了4天，因此，甲粮库原有粮食
40×4＋80= 240吨，乙粮库原有240÷2=120吨。
练 习 五
1，果园里桃树的棵数是梨 树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24
棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷 洒完，而桃树还剩下24棵。果园里有桃树和
梨树各多少棵？

2，小朋友带着一篮 桔子和苹果送给敬老院的老人们，每个老人分各3个苹果和5个桔子，
最后苹果分完，篮子里还剩下7个 桔子。如果原来桔子的个数是苹果的2倍，那么，分
给了几个老人？原来有多少个苹果？



3，甲、乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元 钱时，两
人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存有多少钱？




60

第１７周 倍数问题（二）
专题简析：
解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找
出其它几个数与这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准数。由于倍数应用题中
数量关系 的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧，灵活解题。
和倍问题的数量关系是：
和数÷（倍数＋1）=较小数
较小数×倍数=较大数
差倍问题的数量关系是：
差数÷（倍数－1）=较小数
较小数×倍数=较大数
例1，养鸡场的母鸡只数是公 鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡只数就
是公鸡的4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡 ？
分析 养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，母鸡增加60×6=360只，那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。可实际母鸡只增加了60只，比360
只少 300只。因此，现在母鸡只数只有公鸡的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只数
是300÷2=15 0只，原来有公鸡150－60=90只，一共养了90×（1＋6）=630只鸡。
练 习 一
1，今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明
多少岁 ？
2，原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉
的 2倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？



3，饲养场的白兔只 数是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白
兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原 来养白兔和黑兔各多少只？



例2 有1800千克的货物，分装在 甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙
车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙 三辆车各装货物多少千克？
分析 如果丙车多装200千克，就和乙车装的货物同样多，这样三辆车 装的总重量就是
1800＋200=2000千克。再把2000千克平均分成4份，就得到乙车上装的 货物是500千克，
甲车上装500×2=1000千克，丙车上装有500－200=300千克。
练 习 二
1，三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少 200箱。三堆
货物各多少箱？
61

2，甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数
各是多少 。



3，把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍 多5本，中层放的本数是
上层的2倍多1本。问：上、中、下三层各放书多少本？



例3 甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出
四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？

练 习 三
1，某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四分之三去 排练团体操，
剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？



2，食堂存有同样重量的大米和面粉，吃大米的四分之三和60千克面粉后，剩下的面粉的重量地大米的3倍。原来存有大米和面粉各多少千克？



3，有 两堆水泥，甲堆有4.5吨，已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，
乙堆有水泥多少吨？



例4 A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A 站向B站开出汽车12
辆，B站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公共汽车辆 数是A
站的3倍？
练 习 四
1，甲有邮票42张，乙有邮票48张。每次甲 给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多少
次后，甲的邮票张数是乙的2倍？

62

2，甲仓存有大米650袋，乙仓存有大米400袋。每天从甲、 乙仓各运出50袋，多少天
后甲仓的大米袋数是乙仓的6倍？



3，有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升，每次往两只杯子中各倒进8毫
升水，倒几 次后，一只杯中的水是另一杯的2倍？


例5 甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这
三个数。

练 习 五
1，有三个小组，甲组的人数比乙组的2倍多6人，乙组的人数是丙组的2倍 。三个小组
一共有90人，每个小组各有多少人？



2，某工厂共有工人560人，其中男工比女工的3倍少40人，男工和女工各有多少人？



3，三种水果共132个，已知苹果的个数比梨的3倍少6个，梨的个数比桔子的 3倍多2
个。三种水果各有多少个？



第18周 组合图形面积（一）
专题简析：
组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的 。组合的形式分为两
种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问 题
的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：
1，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；
2，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；
3，适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
例1 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？
63

分析与解答 由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积 公
式来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，
这个正 方形的面积是12×12，那么，一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。


练 习 一
1，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）




2，已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。





3，有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加 3厘米，那么面积
就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。



例2 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点
64

把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。

分析与解答 图中的两 个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可
拼得一个大正方形。这两个正方形的边长 分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和4×2=8（厘
米）。中间长方形的面积只要用总面积减去这两 个拼起来的正方形的面积就可以得到。即：
12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）
练 习 二
1，（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。


2，如下图长方形ABCD的面积是 16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF
的面积。


3，求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。



例3 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积 是7平方厘米。三
角形CDH的面积是多少平方厘米？
65

分析 设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。
（1）梯形EFAD的面积是（a+ b）×b÷2，三角形EFC的面积也是（a+b）×b÷2。
所以，两者的面积相等。
（2 ）因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积－梯形EFHD的面积，而三角形CDH
的面积=三角 形EFC的面积－梯形EFHD的面积，所以，三角形CDH的面积与三角形AFH
的面积相等，也是7 平方厘米。
练 习 三
1，图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。


2，下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）



3，下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？

66

例4 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？

分析 要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度。连接FC后就能得到一个三
角形EFC，用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积：8×
20÷ 2－8×8÷2=48平方厘米。FD=48×2÷20=4.8厘米，所求梯形的面积就是（4.8＋8）×8÷2=51.2平方厘米。
练 习 四
1，如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。


2，在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米）



3，图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方 厘米。
求平行四边形的面积。
67

例5 图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED
的长。

分析 因为三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，所以，三角形BCE< br>的面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米。三角形BCE的面积是6×4＋6=30平方厘米，
EC的长则是30×2÷6=10厘米。因此，ED的长是10－4=6厘米。

练 习 五
1，如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积
比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH长多少厘米？

2，图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
68

3，正方形的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分B的面积是 7平方厘米，求阴影部分A
和C的和是多少平方厘米？

第十九周 组合图形的面积
专题简析：
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1，两个三角形等底、等高，其面积相等；
2，两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
例题1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

分析 按照一般解法 ，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求
面积。其实，只要连接AC，显然三角形A EC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，
我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。面积是 ：6×3÷2=9平方厘米。


练习一
1，求下图中阴影部分的面积。
69

2，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）




3，下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。




例题2 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）
的面积。
70

分析 三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三 角形ABC的高是三角形BCD高的
15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形AB C的面积是三角形BCD的1.5
倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。

练习二
1，下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形 AEC的面积相
等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。


2，图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。



3，图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。
71

例题3 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），
求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

分析 1，因为三角形ABD与 三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形
ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6 平方厘米。
2，因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，
即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘
米。
练习一
1，如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形AB CD的面积是
多少平方厘米？


2，下图的梯形ABCD中，下底是上底 的2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面
积是三角形BDE面积的多少倍？
72

3，下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12 厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面
积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？



例题4 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是 20平方厘米，求三角形
ABC的面积。

分析 （1）因为CE=3AE，所以 ，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，是
20×（1＋3）=80平方厘为；
（ 2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是80
÷2=40平 方厘米。因此，三角形ABC的面积是80＋40=120平方厘主。

练习四
73

1，把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的面积（ ）乙的面积。


2，如图，在三角形AB C中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形
的面积是108平方厘米，求三角形CD E的面积。



3，下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘 米，F是AE的中点，三角形ABC的BC
边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？

74

例题5 边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的多少倍？
分析 题中的已知条件不 能计算出两种三角形的面积，我们可以用边长是3厘米的
正三角形拼一个边长是9厘米的正三角形，从而 看出它们之间的倍数关系。从下图中可
以看出：边长9厘米的正三角形是边长3厘米的正三角形面积的9 倍。

练习五
1，边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍？


2，一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是
三角形底长的 2倍。这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？



3，有两种自然的放 法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面
积是36平方厘米，两个正方形的面积分别 是多少？



第二十周 数字趣题
专题简析：
75

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是我们最常见的国际通用的阿 拉伯数字（或称为
数码）。数是由十个数字中的一个或几个根据位值原则排列起来，表示事物的多少或次 序。
数字和数是两个不同的概念，但它们之间有密切的联系。这里所讲的数字问题是研
究一个 若干位数与其他各位数字之间的关系。数字问题不仅是研究一个若干位数与其他
各位数字之间的关系。数 字问题不仅有一定规律，而且还非常有趣。
解答数字问题可采用下面的方法：
1，根据已知条件，分析数或数字的特点，寻找其中的规律；
2，将各种可能一一列举，排除不符合题意的部分，从中找出符合题意的结论；
3，找出数中数字之间的相差关系和倍数关系，转化成“和倍”、“差倍”等问题。
4，条件复杂时，可将题中条件用文字式、竖式表示，然后借助文字式、竖式进行
分析推理。
例题1 一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千
位数 字的3倍。这个四位数是多少？
分析 由于个位数字是千位数字的3倍，而百位数字和十位上数字又 是个位上数字
的3倍，所以，千位上的数字只能是1，否则，百位和十位上的数字将大于9。因此，这< br>个四位数的千位是1，个位是3，而百位和十位上都是9，即1993。
练习一
1， 有一个四位数，千位和个位上的数字相同，且百位上的数字是十位上的3倍，
十位上数字是个位上的3倍 。这个四位数是多少？


2，一个三位数的各位数字之和是17，其中十位数字比 个位数字大1。如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原数大198，求原数 。
3，有一个三位数，各位数字的和是17，其中百位数字比个位数字的5倍还多2，
请写出 这个三位数。


例题2 把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的五位数加 上8000，所得的和正好
是原来四位数的35倍。原来的四位数是多少？
分析 把数字6 写到一个四位数的左边，得到的数就比原来的四位数增加了60000，
再加上8000，一共增加了6 8000。这时所得的数是原数的35倍，比原数增加了34倍，
所以原数是68000÷34=200 0。
练习二
1，有一个三位数，如果把数字4写在它的前面可得到一个四位数，写在它的后 面
也能得到一个四位数，已知这两个四位数相差2889，求原来的四位数。

< br>2，把数字8写在一个三位数的前面得到一个四位数，这个四位数恰好是原三位数
的21倍。原三 位数是多少？
76

3，有一个三位数，它的个位数字是3，如果 把3移到百位，其余两位依次改变，
所得的新数与原数相差71。求原来的三位数。



例题3 有一个四位数，个位数字与千位数字对调，所得的数不变。若个位与十 位的数字
对调，所得的数与原数的和是5510。原四位数是多少？
分析 根据已知条件，设原数为ABCA，则后来的数是ABAC，写成竖式：
A B C A
+ A B A C
5 5 1 0
（1）从千位看，A一定是2；
（2）从个位看，C一定是8；
（3）从百位看，B一定是7。
所以，原四位数是2782。
练习三
1 ，有一个四位数，个位数字与百位数字的和是12，十位数字与千位数字的和是9。
如果个位数字与百位 数字交换，所得新数比原数大396，原数是多少？



2，张家的门牌 号码是一个三位数，这个三位数的三个数字都不同，且三个数字的
和是6，还是满足这些条件的三位数中 最大的一个数。请你写出这个门牌号码。



3，一个两位数，十位的数 字比个位数字少1，把这个两位数的个位与十位数字对
调，所得新数与原数的和是165。求原来的两位 数。



例题4 一个六位数的末位数字是7，如果把7移动到首位， 其它五位数字顺序不动，新
数就是原来数的5倍。原来的六位数是多少？
分析 用字母表示 出未知的五位数，原数为ABCDE7，新数为7ABCDE。根据题意可
写出下面的竖式，再从个位推 算起。
（1）个位7×5=35，E是5；
（2）十位5×5＋3=28，D是8；
（3）百位8×5＋2=42，C是2；
77

（4）千位2×5＋4=14，B是4；
（5）万位4×5＋1=21，A是1。
原数是142857。
练习四
1，如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000。原
数是多少？



2，有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至第一位，其余数 字顺序不变，
所得新六位数是原数的4倍。原六位数是多少？



3，有一个两位数的两个数字中间夹一个0，那么，所得的三位数比原数大6倍。
求这个两位数。



例题5 某地区的邮政编码可用AABCCD表示，已知这六个数字 的和是11，A与D的和乘
以A等于B，D是最小的自然数。这个邮政编码是多少？
分析 D是最小的自然数，即D是1，要满足（A＋1）×A=B和六个数字的和是11
这两个条件，A只能是 2。则B=（2＋1）×2=6。A＋A＋B＋D=2＋2＋6＋1=11，C一定是0。
因此，这个邮 政编码是226001。
练习五
1，一个三位数，个位上的数字是十位上数字的4倍，十位 上的数字是百位上数字
的2倍。这个三位数必定是多少？




2，有一个六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是从小到大的三个连续
自然数，这六 个数字的和恰好等于末尾的两位数。求这个六位数。



3，求各位上数字之和等于34的最小的四位数。


78

第二十一讲 假设法解题

专题简析
假设法是解应用题时常用的一种思维方法。在一些应用题中，要求两个或两个以上
的未 知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未
知量是同一种量，然后 按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的
矛盾加以适当的调整，最后找到答案。
例题1 有5元和10元的人民币共14张，共100元。问5元币和10元币各多少张？
分析 假设这14张全是5元的，则总钱数只有5×14=70元，比实际少了100－70=30< br>元。为什么会少了30元呢？因为这14张人币民币中有的是10元的。拿一张5元的换一
张10 元的，就会多出5元，30元里包含有6个5元，所以，要换6次，即有6张是10
元的，有14－6= 8张是5元的。
练习一
1，笼中共有鸡、兔100只，鸡和兔的脚共248只。求笼中鸡、兔各有多少只？



2，一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。问2分和5分的各有多少枚？




3，营业员把一张5元人币和一张5角的人民币换成了28张票面为一 元和一角的人
民币，求换来这两种人民币各多少张？



例题2 有一元、二元、五元的人民币50张，总面值116元。已知一元的比二元的多2
张，问三种面值的人民 币各有几张？
分析 （1）如果减少2张一元的，那么总张数就是48张，总面值就是114元，这
样一元的和二元的张数就同样多了；
（2）假设这48张全是5元的，则总值为5×48=2 40元，比实际多出了240－114=126
元，然后进行调整。用2张5元的换一张1元和一张2元 的就会减少7元，126÷7=18
次，即换18次。所以，原来二元的有18张，一元的有18＋2= 20张，五元的有50－18
－20=12张。
练习二
1，有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元。其中7元的和5元的
79

张数相等，三种价格的电影票各有多少张？


2，有一元 、五元和十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多2
张。问三种人民币各有多少张？



3，有1角、2角、4角、5角的邮票共26张，总计6.9元。其中 1角和2角的张
数相等，4角的和5角的张数相等。求这四种邮票各有多少张？



例题3 五（1）班有51个同学，他们要搬51张课桌椅。规定男生每人搬2张，女生两
人搬1张。这个班有男、女生各多少人？
分析 假设51个全是男生，能搬2×51=10 2张课桌椅，比实际搬的多出了102－
51=51张。用2个男生换成2个女生就少搬3张，51÷3 =17，因此这个班有2×17=34个
女同学，有51－34=17个男同学。
练习三 < br>1，甲、乙二人共存550元钱，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己存款中的70
元时，两人 余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存多少元钱。



2，学校春游共用 了10辆客车，已知大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，
大客车比小客车一共多坐520人。 大、小客车各几辆？



3，班级买来50张杂技票，其中一部分是1元 5角一张的，另一部分是2元一张的，
总共的票价是88元。两种票各买了多少张？



例题4 用大、小两种汽车运货。每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱。 现有18车
货，价值3024元。若每箱便宜2元，则这批货价值2520元。大、小汽车各有多少辆？
分析 根据“若每箱便宜2元，则这批货价值2520元”可以知道，3024－2520=504< br>元，504元中包含有252个2元，即这批货有252箱。假设18辆都是大汽车，则装货18
×18=324（箱），比实际箱数多324－252=72箱。一辆大汽车换一辆小汽车可少运18－12=6
80

箱，72里面有12个6，所以，有12辆小汽车，有18－12=6辆大汽车。
练习四
1，一辆卡车运矿石，晴天每天运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次 ，
平均每天运14次。这几天中有几天是雨天？


2，有鸡蛋18筐，每 只大箩容180个，每只小箩容120个，这批蛋共值302.4元。
若将每个鸡蛋便宜2分出售，这些 蛋可卖252元。问：大箩、小箩各有几个？


3，运来一批西瓜，准备分两类卖 ，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批
西瓜共值290元。如果每千克西瓜降价0. 04元，这批西瓜只能卖250元。有多少千克大
西瓜？
例题5 甲、乙二人投飞镖比赛， 规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。两人各投
10次，共得152分。其中甲比乙多得16分， 两人各中多少次？
分析 我们可以先算出每人各得多少分。甲得（152＋16）÷2=84分，则 乙得152
－84=68分。甲投10次，假设10次都投中就该得10×10=100分，而事实只得 了84分，
少得100－84=16分，因为脱靶一次不仅得不到10分还要倒扣6分。因此甲共脱靶1 6÷
（10＋6）=1次，甲中了10－1=9次。再用同样的思路可以分析出乙中靶几次。
练习五
1，甲组工人生产一种零件，每天生产250个。按规定每个合格记4分，生产一只< br>不合格要倒扣15分。该组工人4天共得了2752分，问：生产合格的零件共多少只？


2，某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵。已知男
生共比女生多种56棵，求男、女生各多少人。


3，王师傅有2元、5元、10 元的人民币共118张，共计500元。其中5元与10
元的张数相等，求三种人民币各多少张。



第二十二周 作图法解题
专题简析：
用作图的 方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较
快地找到解题的途径，它对解答 条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。
在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相 互之间的关系，求其中一个数或者
几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段 图进行分析，从
81

而列出算式。
例题1 五（1）班的男生人 数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱
队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（ 1）班原有男、女生各多少人？
分析 根据题意作出示意图：

从图中可以看出 ，由于女生比男生多抽去26－18=8名去合唱队，所以，剩下的男
生人数是女生人数的3倍，而这8 名同学正好相当于剩下女生人数的2倍，剩下的女生
人数有8÷2=4名，原来女生人数是26＋4=3 0名。
练习一
1，两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下 部分，第
一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？



2，甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，
第二筐剩下 的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？


3，哥哥现存的钱是弟弟的 5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存
款正好相等。哥哥原来存有多少钱？



例题2 同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花
比紫花多几朵？
分析 通过线段图来观察：
82

从图中可以看出：红 花比紫花多的朵数由两部分组成，一部分是36朵，另一部分
是12朵，所以，红花比紫花多36＋12 =48朵。
练习二
1，奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅
多几只？


2，批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运 来
的香蕉比苹果少多少筐？



3，期末测试中，明明的语文得 了90分。数学比语文和作文的总分少70分。明明
的数学比作文高多少分？



例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2< br>棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。
原来四个小 组各植树多少棵？
分析 图中实线表示四个小组实际植树的棵数：

从图中可以看出，把丙组植的棵数看作1份，甲组和乙组共植了这样的4份，丁组
83

也植了这样的4份。因此，我们可以先求出丙组植树的棵数：45÷（1＋4＋4）=5棵，从
而得出甲组植了5×2－2=8棵，乙组植了5×2＋2=12棵，丁组植了5×4=20棵。
练习三
1，甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁
数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。



2，甲、乙 、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5，乙分得的个数减
去24，丙把分得的个数送给别 人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果
多少个？




3，甲、乙、丙、丁一共做370个零件，如果把甲做的个数加10，乙做的个数减20，< br>丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件正好相等，求乙实际做了多少个？




例题4 五（1）班全体同学做数学竞赛题，第一次及格人数是不及 格人数的3倍多4人，
第二次及格人数增加5人，使及格的人数是不及格人数的6倍。五（1）班有多少 人？
分析

第二次及格人数增加5人，也就是不及格人数减少5人。若不及格 人数减少5人，
及格人数也减少5×3=15人，那么及格人数仍是不及格人数的3倍多4人。可事实上 及
格的人数不但没有减少15人，反而增加了5人，因此多了（15＋5＋4）人不我出了（6
－3）倍。所以第地次不及格的人数是（15＋5＋4）÷（6－3）=8人，全班8×（1＋6）
=5 6人。
练习四
1，有两筐水果，甲筐水果的个数是乙筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲 筐，
这时甲筐的水果恰好是乙筐的5倍。原来两筐各有多少个水果？

84

2，某车间有两个小组，A组的人数比B组人数的2倍多2人。如 果从B组中抽10
人去A组，则A组的人数是B组的4倍。原来两组各有多少人？



3，五（1）班上学期体育达标的人数比未达标人数的5倍多2人，今年又有2倍同
学达标，这样，达标的人数正好是未达标人数的7倍。这个班共有多少个同学？




例题5 用绳子测井深，把绳了三折来量，井外余16分米；把绳子四折来量，井外余4
分米。求井深和绳长。

分析 从图中可以看出：把绳子三折来量，井外余16分米，也就是绳长比井深的
3倍还多16×3=48分米；把绳子四折来量，井外余4分米，也就是绳长比井深的4倍还
多4×4= 16分米。把这两种情况进行对比便可知道：48－16=32分米正好就是井深。因此，
绳长是32× 3＋48=144分米。
练习五
1，用一根绳子量大树的周长，把绳子2折后正好绕大树2 圈；若把绳子3折后，
绕大树一圈还余30厘米。求大树的周长和绳长。


2，有一根绳子和一根竹竿，把绳子对折后比竹竿长2为，把绳子四折后比竹竿短
85

2米。竹竿长几米？绳子长几米？



3，用一 个杯子向一个空瓶里倒水，如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进
7杯水，连瓶共重600克。 一杯水重多少克？空瓶重多少克？




第二十三周 分解质因数

专题简析：
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式 表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2
×3，75=3×5×5。
我们数学课 本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，
把一个数分解成质因数相乘的形 式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利
解题。
例题1 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的
分法？
分析 先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、
18，除去1 和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。
练习一
1，有60个同学分成人数 相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于
15人。有哪几种分法？


2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？


3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。

例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多
少种分法？
分析 先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不
能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24
颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。
练习二
86

1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，
每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。


2，四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？


3，把 1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。
甲说：“我的三个数 的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的
积是63。”甲、乙、丙各拿 了哪几张卡片？

例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
分析 14=2×7 55=5×11
24=2×2×2×3 56=2×2×2×7
27=3×3×3 99=3×3×11
可以看出，这八个数中，共含 有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为
要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数 中应含有四个2，三个3，一个5，一
个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、 27、56、2）。
练习三
1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个
完整的算式。
□□×□□=1288


2，有三个自然数a、b、c，已知a×b=3 0，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的积是
多少？


3，把 40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积
相等。


例题4 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每 人植树一
样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？
分析 根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如
果每人植7棵， 这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48
人。
练习四
87

1，3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路 人数相等的纵队去植树。已知
李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学 生。


2，小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比 座位号数
大6。小青买的电影票是几排几座？

3，把一篮苹果分给4人，使四人的 苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之
积是1920。这篮苹果共有多少个？



例题5 下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。
□□×□□=1995
分析 要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995 有相同的质
因数。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995 。因为要满足“数字各不
相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字的和是：2＋1＋9 ＋5=17。
练习五
1，在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
□□□×□=1995


2，有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数 ，且体积是39270立方厘
米，求这个长方体的表面积。
3，有三个自然数a，b，c，已 知a×b=35，b×c=55，a×c=77，求三个数之积是多
少？



第二十四周 分解质因数（二）
专题简析：
许多题目，特别 是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类
题目，我们可以用分解质因数的方法求 解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，
能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。
例题1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？
分析 三个质数相加的和 是偶数，必有一个质数是2。80－2=78，剩下两个质数的
和是78，而且要使它的积最大，只能是 41和37。因此，这三个质数是2、37和41。
最大积是2×37×41=3034
练习一
88

1，有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？

2，张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数
三者的积是2910。 求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？



3，写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。



例题2 长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？
分析 这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解质因数看一看。
375=5 ×5×5×3，因为5×5比5×3正好多10，所以，此长方形的长是5×5=25米，宽
是5×3= 15米，它们的和是40米。
练习二
1，237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。
2，有 4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最
大的几岁？



3，有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块 长
方形场地的周长。



例题3 某班同学在班主任老师带领 下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种
树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每人种 了多少棵？
分析 根据每人种树棵数×参加人数=1073，把1073分解质因数：1073=2 9×37，
再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是3的倍数多1，由于只有37比3的倍数多1，所以有37人，平均每人种29棵。


练习三
1，一 个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240
立方厘米，那么，这个长 方体的表面积是多少？


89

2，老师用216元买一 种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买
3支。每支钢笔原价多少元？



3，王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同
样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？



例题4 把155186和221187约分。
分析 这两个分数的分子和分母都比较大 ，不能一眼看出分子和分母的公约数。我
们可以先求出分子与分母的差，如果差是质数，就直接用这个质 数去约分；如果差是合
数，就把这个合数分解质因数，然后用其中的一个质数去约分。
（1）186－155=31，31是质数，用31约分得：155186=56；
（2）221－187=34，34=2×17，用17约分得：221187=1311。
练习四
请用上面的方法把下面的几个分数约分。
4669 143117 247323 161253



例题5 小明用2.16元买 了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他
还能多买3张。小明买了多少张画片？
分析 根据题意可知：画片的单价×张数=216分，它们乘积的质因数和216的质
因数相 同。我们可以先把216分解质因数，再写成两数相乘的形式分析：216=2^3×3^3=8
×27 =9×24，显然，216分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张。所以，
小明买了2 4张画片，符合题意。
练习五
1，求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？



2，自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？



3，将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的数
就正好是得钱人数的12倍，求获奖人数和每人分得的钱数。
90

第25周 最大公约数
专题简析：
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公
约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互
质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
例题1 一张长方形的纸 ，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，
而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法 ？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多
少块？
分析 7分米5厘米=75厘米，6分 米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同
时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。 75和60的公约数有1、3、5、15，所
以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么 边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数
15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）× （60÷15）=20块。
练习一
1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸， 裁成同样大小的正方形，
至少能裁多少块？

2，一块长45厘米、宽30厘米的长 方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，
所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？



3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方 形
的面积最大是多少？



例题2 一个长方体木块，长2. 7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的
正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最 大是多少分米？
分析 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要 把长方体切成大
小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方< br>91

体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
练习二
1，一个长方体木块的 长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要
把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余 ，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘
米？



2，有50个 梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且
每个小组分得的三种水果的个数 也相同，最多可以分给几个小组？



3，五年级三个班分别有24人、 36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相
等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？ 每班各可以分几组？




例题3 有三根钢管，它们的长度 分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截
成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘 米？
分析 要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480
的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。240、200和
4 80的最大公约数是40，所以每小段最长是40厘米。
练习三
1，有一个长方体木块，长 60厘米、宽40厘米，高24厘米。如果要切成同样大小
的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘 米？



2，用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面 积相等的正方形，并且最
后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？



3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个
外，其他工人 加工的都同样多。已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人
多加工7个；第二批加工1 800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600
92

个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少人？




例题4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360 米，乙、丙村相距675
米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙 、丙两
村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
分析 由于甲乙、乙 丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675
÷2=337.5米平均分成若 干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=360
÷2，337.5= 675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
练习四
1，一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路边植
树，要求相 邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间
的距离最多有多少米？



2，有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具， 最多可以分成多少份
同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？



3，甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？



例题5 用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面 积相等的正方形，并且最
后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
分析 前面的例题已 经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约
数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大 ，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种
求两个数的最大公约数的方法。

第一步：1072÷469，余134；
第二步：469÷134，余67；
第三 步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072
÷67）×（ 469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。
这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。
练习五
93

1，用辗转相除法求568和1065的最大公约数。


2，试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。


3，判断1111115015是不是最简分数。

第二十六周 最小公倍数（一）
专题简析：
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公 倍数，叫做这几个数
的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1 时，[a、b]= a
×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即（a、b）×[a、b]= a×b
要解 答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，
若要求的数对已知条件来 说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要
避免和最大公约数问题混淆。
例题1 两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
分析 根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先
求出这两个数的乘积，再把这 个积分解成两个数。根据题意：

当a
1
b
1
分别是1和 6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a
1
b
1
分别是2 和3
时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。所以，这两个数是15和90或者30和45 。
练习一
1，两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？


2，两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？


3，两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另 一个数
是多少？


94

例题2 两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？
分析 我们把这两个自然数称 为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙
两数的最大公约数与最小公倍数的积。根据这一规律 ，我们可以求出这两个数的最大公
约数是360÷120=3。又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中， 3×a×b=120，a和b一定是互质
数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b 是1和40时，所求的数是
3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5= 15和3×8=24。
练习二
1，求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。


2，已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。


3，已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。



例题3 甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去 一次，乙
4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他
们三人又在图书馆相会？
分析 从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是 3、4、5
的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书
馆相会。
练习三
1，1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一 辆，2路车每隔15
分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要 过多
少分钟又这三种路线的车同时发车？



2，甲、乙、丙从 同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑
一圈用80秒，丙跑一圈用10 0秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？

3，五年级一班的同学每周一都要去 看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的
同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的 同学同一天去看张爷爷，那么，再
过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？


95

例题4 一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多
少块？
分析 把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现
在要求长方体砖块最少，它的 棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱
长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就 能求出长方体砖的块数。
练习四
1，用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一 个正方体，至少需要用
这样的长方体多少块？


2，有200块长6厘米 、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一
个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多 少立方厘米？



3，一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5 分米，要把它切成大小相等的正方
体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？



例题5 甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿60 0米的环形跑道从同一
地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？
分析 甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要
600÷2= 300秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300
的最小公倍数。 200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时
从出发点出发。
练习五
1，有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后< br>第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，
求二人 的速度。



2，一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑 车而行，甲每秒行8米，
乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发 ？


96

3，甲、乙、丙三人在一条长24 0米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑
5米，丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发，再经过 多少时间三人又从此处同时出发？


第二十七周 最小公倍数（二）
专题简析：
最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是 已知数的
最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成
已知数的最小公倍数，从而求出结果。
例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？
分析 根据已知 条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7
和4这三个数整除，即10、7和4 的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。
[10，7，4]=140
140－3=137
即：这个自然数最小是137。
练习一
1，学校六 年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，
11人一行也余2人。六年级最少 多少人？


2，一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？



3，一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。这袋糖至
少有多少块？



例题2 有一批水果，总数在1000个以内。如果 每24个装一箱，最后一箱差2个；如果
每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最 后一箱只有30个。这批水
果共有多少个？
分析 根据题意可知，这批水果再增加2个后， 每24个装一箱，每28个装一箱或
每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个 ，就正好是24、28
和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据 “总数在1000
以内”确定水果总数。
[24，28，32]=672
672－2=670（个）
97

即：这批水果共有670个。
练习二
1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所
学校至少有多少人？


2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个 装一袋、5个装一袋或6个、7个、8
个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？


3，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了
半 桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装
10千克，丙种桶每 桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？



例题3 一盒 围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这
盒棋子在150至200 颗之间，问共有多少颗？
分析 由已知条件可知：这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、15的 公倍数。
换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。我们可以先求4、6、15的最小公倍
数，然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。4、6、15
的最小公倍数是60。
60×3－1=179颗，即这盒棋子共179颗。
练习三
1，有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树
苗数在150至 200之间，求共有多少棵树苗。


2，五（1）班的五十多位同学去大扫除，平 均分成4组多2人，平均分成5组多3
人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？




3，有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个 。这批水果至少
有多少个？



98

例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间 相
距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根
不必 移动？
分析 从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端开始，是< br>50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300，所以，从
第 一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6，就是6根不必移动。去掉最
后一根 ，中途共有5根不必移动。
练习四
1，插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米 ，现在改为5米。如果起点
一面不移动，还可以有几面不移动？


2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植一棵树，由
于小树长大了， 必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？



3 ，学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。
后来增加了一些彩旗 ，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5
面彩旗没动。问：现在彩旗的间隔是多 少米？



例题5 在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分 别将木棍平均分成了10等份、
12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多 少段？
分析 因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60÷30－1=1处，另两
种情 况分别有2处和4处。因此，木棍总共被锯成（10＋12＋15－2）－1－2－4=28段。
练习五
1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分< br>成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多
少小段？



2，父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步 60厘米。在
120米内一共留下多少个脚印？
99

3，在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，黄
气球每隔4 米挂一个，。如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两
端外，中间挂有多少个红气 球？

第28周 行 程 问 题（一）
专题简析：
行程应 用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的
主要数量关系是：路程=速度 ×时间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。
例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出 ，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48
千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少 千米?

分析与解答 从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了 32×2=64（千米）。两车
同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢？因为甲车每小时比乙车 多行56-48=8（千
米）。64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要 用（56+48）
×8就能得出。
32×2÷（56－48）=8（小时）
（56＋48）×8=832（千米）
答：东、西两地相距832千米。
练 习 一
1，小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相 向而
行，并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米？


2，一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车
每小时行6 5千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。甲、乙两地相
距多少千米？



3，甲、乙二人同时从东村到西村，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米， 结果甲比乙
早5分钟到达西村。东村到西村的路程是多少米？
100