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试一试3： 食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10
千克。已知买回的大米比面粉多165 千克，求买回大米、面粉各多少千克？













例4：甲、乙两名工人加 工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此
前4小时甲比乙少做400个零件。又同时加工4小时 后，甲总共加工的零
件反而比乙多4200个。甲、乙每小时各加工零件多少个？
分析：（1 ）在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（个）零
件，甲每小时比乙多加工4 600÷4=1150个零件。
（2）在前4小时内，甲实际只加工了4－2.5=1.5小 时，甲1.5小时
比乙1.5小时应多做1150×1.5=1725个零件，因此，1725＋400 =2125个
零件就是乙2.5小时的工作量，即乙每小时加工2125÷2.5=850个，甲每小时加工850＋1150=2000个。
14
试一试4：师徒二人生产同一种零件 ，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅
生产了2小时后，发现自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了2 小时，
师傅反而比徒弟多生产了10个。师傅每小时生产多少个零件？






例5：加工一批零件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。 已知
甲每小时比乙少做3个零件，这批零件一共有多少个？
分析：因为甲每小时比乙少做3个 零件，8小时就比乙少做3×8=24（个）
零件，所以，24个零件就是甲（10－8）小时的工作量 。甲每小时加工24
÷（10－8）=12（个），这批零件一共有12×10=120（个）。 试一试5：快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4小时，
而慢车用了6.5小时。 已知快车每小时比慢车多行25千米。甲、乙两地
相距多少千米？

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专题九 周期问题
专 题简析：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往
复出现，其连续两次出现所经过的 时间叫做周期。周期问题解答步骤和技
巧
（1）先确定1个周期里有几个对象。
（2）总数÷周期里的对象数=周期数……余数
（3）没有余数最后1个对象就是周期里的最 后1个对象。有余数，余几
最后1个对象就是周期里的第几个对象。

例题1：将奇 数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001
所在的列以哪个字母为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …
分析：这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这一列数中的第1001
个数，1001÷8=125……1，即2001是这列数中第126组的第一个数，所
以它所 在的那一列是以字母B为代表的。


试一试2：把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？
15
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
… … …
… … …
例题:2： 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？
分析：
从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余
数以1、4、6、5、2、 0不断重复出现。我们可以用
100除以6，观察余数就知道所求问题了。
100÷6=16……4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、
2、0中的第4个数，即5。
试一试2： 444……4[100个4]÷6当商是整数时，
余数是几？

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专题10 盈亏问题
专题简析：盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；
还有一 些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：
1，两盈：两次分配都有多余；
2，两不足：两次分配都不够；
3，盈适足：一次分配有余，一次分配够分；
4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时
我们可以记住：
1，“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与
分配对象总数；
2，“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与
分配对象总数；
3，“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参
与分配对象总数。

例1:某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男
生为总数 的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的
一半。乒乓球队共有多少名学生？ 分析:（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可
知：女生比男生多2人；
（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，
这时男生为 女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。原来女生有8－1=7
人，男生有7－2=5人，共有7 ＋5=12人。
16
试一试1：操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25 吨，则
两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3
倍。两堆货物一 共有多少吨？






例2：幼儿园老师拿 出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少4个；
如果每个小朋友只发给4个，则老师自己也能留下 4个。有多少个小朋友？
共有多少个苹果？
分析：如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋 友人数大于4；如果每
个小朋友只发给4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少
拿4＋4=8个苹果。因为小朋友人数大于4，所以，一定是每人少拿1个，
有8÷1=8个小朋友，有 8×4＋4=36个苹果。
试一试：老师把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支，每人7支则< br>少4支。老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？

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例3：幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的 学生每人5个
余10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人，
这筐苹 果有多少个？
分析：如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人
5个就 多余3×5＋10=25个。由于两班人数相等，小班每人多分3个就要
多分（25＋2）个苹果，用（ 25＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的人数
是9人，再用9×8－2就求出了这筐苹果有多少个。
试一试3：老师给幼儿园小朋友分糖，每人3块还多10块；如果减少2
个小朋友再分，每人4 块还多7块。原来有多少个小朋友？有多少块糖？








例4：幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得 6
块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小
班的小朋友，平均每 人分得多少块？
分析：这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分
给中 班的小朋友，平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的6
÷4=1.5倍。因此，这箱饼干分 给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6
×1.5=9块，一共可分到6＋9=15块饼干。
17
试一试4：甲、乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每个同
学一朵。如果把 这些红花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这
些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？





例5：全班同学去划船，如果减少一条船，每条 船正好坐9个同学；如果
增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
分析： 根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，也就是少9个同学；
每船坐6人，就要增加一条船，也就 是多出6个同学。因此，每船坐9人
比每船坐6人可多坐9＋6=15人，15里面包含5个（9－6） ，说明有5条
船。知道了有5条船，就可以求全班人数：9×（5－1）=36人。
试一试5 ：老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同
学正好分得5个；如果增加一个同学，正 好每人分得4个。这篮苹果一共
有多少个？

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专题11 长方体和正方体(一)
专题简析:解答稍复杂的立体图形问题要注意:
1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通
起来；
2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所
发生的变化；
3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

例题1:一个零件 形状大小如下图：算一算，它
的体积是多少cm
3
？表面积是多少平方厘米？
（单位：cm）
分析:（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求
它的体积，左边的长方体体积 是10×4×2=80
（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米） ，
整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比 较复杂，其实，朝上的两个面的面
积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝 左
的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）
×2=2 32（平方厘米）。
试一试：一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如
图），剩下部分的表面积和体积各是多少？



18 例题2：有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你
能算出它的体积和表面积 吗？（单位：厘米）
分析：（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（cm
3
），
由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（cm
3
），
这个零件的体积是240－8=232（cm
3
）；
（2）长方体完整的表 面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），
但由于挖去了一个孔，它的表面积减少 了一个（2×2）平方厘米的面，同
时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件 的表面
积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
试一试2：有一个棱长是4厘米的正 方体，从它的
一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩
下物体的体积和表面积各是多少 ？

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例题3：一个正方体和一个长方体拼成了一个新 的长方体，拼成的长方体
的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面
积是多少平方厘米？



分析：一个正方体和一个长方体拼成新的长方 体，其表面积比原来的长方
体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方 厘
米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75
（平方厘米 ）。
试一试3：一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的
一端锯下一个 最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？












19
例题4 :一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体
的长、宽、高以厘为为单位的数都 是质数。这个长方体的体积和表面积各
是多少？
分析:长方体的前面和上面的面积是长×宽＋ 长×高=长×（宽＋高），由
于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11 ×
19=11×（17＋2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、
高求 体积和表面积就容易了。
试一试4:有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、
宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

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专题12 长方体和正方体(二)
专题简析:把一个物体 变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成
一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一 部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例题1:有两个无盖的长方体水箱，甲 水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，
甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30 厘米，宽24
厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，
现在水 面高多少厘米？
分析:由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两
个水 箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×
水面的高度。这样，我们只要先求出 原来甲水箱中的体积：40×32×
20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40 ×32＋30×24=2000
（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
试一试1：1，有 两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙
水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。现 在要从甲水池中抽一部分
水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？





20
例2：将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米 和150平方厘米的三个
铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
分析：因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正
方体的棱是3厘米 。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4
×4），棱长是4厘米；150=6×（5× 5），棱长是5厘米。知道了棱长就可
以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和 。
试一试2：有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平
方厘米和294 平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体
的体积。

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例题3：有一个长方体容器，从里面量长5dm、宽4dm 、高6dm，里面注有
水，水深3dm。如果把一块边长2dm的正方体铁块浸入水中，水面上升多少dm？
分析：铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了
8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积
除以底面积（5×4）就能得到 水上升的高度了。
试一试3：有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块
假 山石浸入水中后，水面上升0.8分米。这块假山石的体积是多少立方分
米？







例题4：有一个长方体容器（如下图），长30 cm、宽20cm、高10cm，里面
的水深6cm。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深 应该是多
少cm？
分析：首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米）。当容 器竖起来
以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200
平 方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
试一试4：有两个长方体水缸，甲缸 长3分米，宽和高都是2分米；乙缸
长4分米、宽2分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进 甲缸，
21
水在甲缸里深几分米？




例题5：长方体不同的三个面的面积分别为10cm
2
、15 cm
2
和6 cm
2
。这个
长方体的体积是多少cm？
分 析：长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的。
因此，15×10×6=（长× 宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6=900=30
×30。所以，这个长方体的体积是30 立方厘米。
试一试5：一个长方体，不同的三个面的面积分别是35 cm
2
、21 cm
2
和15
cm
2
，且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少cm
3
？












3

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专题13 长方体和正方体（三）
专题简析：解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方
体、正方体的特征，熟悉计算方 法，仔细分析每一步操作后表面几何体积
的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方
体沿 水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的
表面积等于切面面积的两倍。
例题1：一个棱长 为6厘米的正方体木块，如果把
它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加
多少厘米？
分析：把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米
的正方体，可以按下图中的线共锯6次，每锯 一次
就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加
36×2×6=432平方厘米的面 积。因此，锯好后表
面积增加432平方厘米。
试一试1：有一个棱长是1米的正方体木块， 如果
把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米？






例题2：有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了2 4
平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？
22
分析：把正方 体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是24
÷2=12平方厘米，而正方体有6个这样的 面。所以原正方体的表面积是
12×6=72平方厘米。
试一试2：有一个正方体木块，长4 分米、宽3分米、高6分米，现在把
它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？




例题3：有一个正方体，棱长是3dm。如果按下图把它切成棱长是1 dm的
小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？
分析：在切的过程中，每切一切，就会 增加两个面。
共切2＋2＋2=6次，增加6×2=12面。加上正方体
原先的6个面，这些小 正方体的面积的和就相当于
大正方体18个面的面积之和。18×（3×3）=162dm
3< br>。
试一试3：有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、
高4厘米，如果把它锯成棱长是 1厘米的小正方体，
一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？

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例题4: 一个长方体的长、宽、高 分别是6cm、5cm和4cm，若把它切割成
三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最 大是多少平方厘
米？
分析：这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4）×2=1 48平方厘
米，每切割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小长方体要切2刀，
一共增加2 ×2=4个面。要求表面积和最大，应该增加4个6×5=30平方
厘米的面。所以，三个小长方体表面 积和最大是148＋6×5×4=268平方
厘米。
试一试4：把8个同样大小的小正方体拼 成一个大正方体，已知每个小正
方体的表面积是72平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米 ？














23

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专题14 倍数问题（一）
专题简析：解答倍数问题， 必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为
标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系 ，确定“和”
或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。

例１：两根同 样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余
下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根 铁丝各长多少厘米？
分析：由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。因此，8÷（3－1）=4（厘米）。就是现在第
二根铁丝的长度， 它原来长4＋26=30厘米。
试一试1：两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9 米，剩
下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少米？


例2 ：甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙
组的5倍。原来甲组有图书多少本？
分析：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6
×3=18本，则甲组 仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反
而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来 乙组的（5－3）倍。因此，
后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12本，乙组原来有12＋6 =18本，
甲组原来有18×3=54本。
试一试2：原来小明的画片是小红的3倍，后来二 人各买了3张，这样小
明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？

24
例3：幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，每组
领3个梨和4个 苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。大班共有多
少个同学？
分析：因为苹果是梨的2 倍，每组分3个梨和3×2=6个苹果最后就一起
分完。可每组分4个苹果，少分6－4=2个，所以有 8组同学，全班有7
×8=56人。
试一试3：高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100 棵。如果每个小组
分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。
两 种树苗原来各有多少棵？



例4：有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放 进乙筐，两筐的桔子就同样多；
如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐
原来各有多少个桔子？
分析：根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知， 原
来甲筐比乙筐多8×2=16个橘子；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，
甲筐就比乙筐 多16＋13×2=42个。因此，乙筐里还有42÷（2－1）=42
个，原来乙筐里有42＋13= 55个，甲筐里原来有55＋16=71个。
试一试4：甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入 乙仓，则两仓所存
货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原
来两 仓各存货物多少吨？

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专题15 倍数问题（二） 专题简析：解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，找出其
它几个数与这个标准数的倍 数关系，再用除法求出这个标准数。
和倍问题的数量关系是：
和数÷（倍数＋1）=较小数
较小数×倍数=较大数
差倍问题的数量关系是：
差数÷（倍数－1）=较小数
较小数×倍数=较大数
例1：养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只 ，结
果母鸡只数就是公鸡的4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？
分析：养鸡场原来母鸡的只 数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，母鸡
增加60×6=360只，那么，后来的母鸡只数还是公鸡 的6倍。可实际母鸡
只增加了60只，比360只少300只。因此，现在母鸡只数只有公鸡的4
倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只数是300÷2=150只，原来有公鸡150
－60=90只， 一共养了90×（1＋6）=630只鸡。
试一试1：今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸 爸的年龄就是
小明的4倍。今年小明多少岁？



例2：有18 00千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆
车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙
车比 丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？
25
分析：如果丙车多装2 00千克，就和乙车装的货物同样多，这样三辆车装
的总重量就是1800＋200=2000千克。再 把2000千克平均分成4份，就得
到乙车上装的货物是500千克，甲车上装500×2=1000千 克，丙车上装有
500－200=300千克。
试一试2：三堆货物共1800箱，甲堆的箱 数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比
丙堆少200箱。三堆货物各多少箱？




例3：甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，
从乙书 架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。乙书
架原来有书多少本？
1
分析：借出后，甲剩下600×(1－ )=400本
3
乙剩下（400－150）÷2=125本
3
乙原来125÷（1－ ）=500本
4
试一试3：某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四< br>分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有
学生多少人？

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专题16 组合图形面积（一）
专题简析：组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种： 一是拼合组合，二是重叠组合。要正确解答组合图
形的面积，应该注意以下几点：
1、切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；
2、仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而
成的；
3、适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4、采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
例1: 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是
多少平方厘米？
分析：由于 此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形
的面积公式来计算它的面积。我们可以假设 有4个这样的三角形，且拼成
了下图正方形。显然，这个正方形的面积是12×12，那么，一个三角形 的
面积。就是12×12÷4=36平方厘米。
试一试1：求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）





例2：正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个
角的顶点 把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中
间长方形的面积。
26 < br>分析：图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，
两个大三角形平移后可拼得一个大正方形 。这两个正方
形的边长分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和4×2=8（厘
米）。中间长方 形的面积只要用总面积减去这两个拼起来
的正方形的面积就可以得到。
即：12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）
试一试2：下图长方形ABCD的 面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中
点，求三角形AEF的面积。






例3:四边形ABCD和四边形DE FG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7
平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？
分析:设大正方形的边长是a，小正方形的边长
是b。
（1）梯形EFAD的面积是 （a+b）×b÷2，三角
形EFC的面积也是（a+b）×b÷2。所以，两者
的面积相等。
（2）因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积－梯形EFHD的面积，而三
角形CDH 的面积=三角形EFC的面积－梯形EFHD的面积，所以，三角形CDH
的面积与三角形AFH的面积 相等，也是7平方厘米。

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试一试3：
（1）图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。






（2）下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单
位：厘米）






例4:下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是
多少平方厘米？
分析：要求梯形的面积，关键是要求出上底
FD的长度。连接FC后就能得到一个三角形
EFC，用三角形EBC的面积减去三角形FBC的
面积就能得到三角形EFC的面积：8×20÷2
－8×8÷2=48 cm
2
。FD=48×2÷20=4.8cm，所求梯形的面积 就是（4.8＋8）
×8÷2=51.2cm
2
。
27
试一试4：如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分
的面积。





例5：图中ABCD是长方形，三角形EFD的 面积比三角形ABF的面积大6
平方厘米，求ED的长。
分析：因为三角形EFD的面积比三 角形ABF
的面积大6平方厘米，所以，三角形BCE的
面积比长方形ABCD的面积大6平方 厘米。三
角形BCE的面积是6×4＋6=30平方厘米，EC
的长则是30×2÷6=10厘 米。因此，ED的长
是10－4=6厘米。
试一试4：如图，平行四边形BCEF中，BC= 8厘米，
直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三
角形ADH的面积大8平方厘米。 求AH长多少厘
米？

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专题17 组合图形的面积(二)
专题简析：在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还
可以记住下面三点：
1、两个三角形等底、等高，其面积相等；
2、两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3、两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。

例题1：如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）
分析：按照一般 解法，首先要求出梯形的面积，然
后减去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要
连接AC， 显然三角形AEC与三角形DEC同底等高
其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一
个 三角形ABC。面积是：6×3÷2=9平方厘米。
试一试1：
（1）求下图中阴影部分的面积。




（2）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）




28
（3）下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面
积。



例题2：下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC< br>（阴影部分）的面积。
分析：三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形
ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它们都以
BC为边为底，所以，三角形ABC的 面积是三角形BCD
的1.5倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。
试一试2：
（1）下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AE C
的面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。




（2）图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

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（3）图中三角形ABC 的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，
求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。



例题3：两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角 形的面
积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？
（单位：平方厘米）
分析 ：1、因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，
所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形 DOC
的面积相等，也是6平方厘米。
2、因为三角形BOC的面积是三角形DOC 面积的2倍，所以BO的长度
是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三 角
形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。
试一试3：
（1）如下图，图中BO= 2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD
的面积是多少平方厘米？





（

29
2）下图的梯形ABCD中 ，下底是上底的2倍，E是AB的中点。那么梯形
ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？






（3）下图梯形ABCD中，AD= 7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角
形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米 ？






例题4：在三角形ABC中，D C=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20cm
2
，求
三角形ABC的面积。
分析：（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积
是三角形ADE面积的4倍，是2 0×（1＋3）=80 cm
2
；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD 的面积是三
角形ADC面积的一半，是80÷2=40平方厘米。因此，
三角形ABC的面积是 80＋40=120平方厘主。

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试一试4：
下图中，BD =2厘米，DE=4cm，EC=2cm，F是AE的中点，三角形ABC的BC
（2）有两种自然的放 法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角
三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别 是多少？
边上的高是4cm，阴影面积是多少cm
2
？







例题5：边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积
的多少倍？
分析：题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积，
我们可以用边长是3厘米的正三角形拼一个边长是 9
厘米的正三角形，从而看出它们之间的倍数关系。从
下图中可以看出：边长9厘米的正三角形 是边长3厘
米的正三角形面积的9倍。
试一试5：
（1）边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的
多少倍？




30

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专题18 假设法解题
专题简析：假设法是解 应用题时常用的一种思维方法。在一些应用题中，
要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求 的两个或几个未知
数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条
件进 行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最
后找到答案。
例题1：有5元和10元的人民币共14张，共100元。问5元币和10元币
各多少张？ < br>分析：假设这14张全是5元的，则总钱数只有5×14=70元，比实际少了
100－70=3 0元。为什么会少了30元呢？因为这14张人币民币中有的是
10元的。拿一张5元的换一张10元的 ，就会多出5元，30元里包含有6
个5元，所以，要换6次，即有6张是10元的，有14－6=8张 是5元的。
试一试1：笼中共有鸡、兔100只，鸡和兔的脚共248只。求笼中鸡、兔
各有多少只？








例题2：有一 元、二元、五元的人民币50张，总面值116元。已知一元的
比二元的多2张，问三种面值的人民币各 有几张？
31
分析1：（1）如果减少2张一元的，那么总张数就是48张，总面值就是
114元，这样一元的和二元的张数就同样多了；（2）假设这48张全是5
元的，则总值为5 ×48=240元，比实际多出了240－114=126元，然后进
行调整。用2张5元的换一张1元 和一张2元的就会减少7元，126÷7=18
次，即换18次。所以，原来二元的有18张，一元的有 18＋2=20张，五
元的有50－18－20=12张。
分析2：（1）如果减少2张一元 的，那么总张数就是48张，总面值就是
114元。由于1元和2元现在张数相等，可以把1元和2元的 都看作是1.5
元一张的。这样，就变成有1.5元和5元的人民币48张，总面值114元。
假设全是5元一张的，就比实际多了：48×4－114=126元。“为什么会比
实际多126元？” 是因为把1.5元一张的也看作是5元一张的了，每张多
算5－1.5=3.5元，因此1.5元一张的 有126÷3.5=36张。5元的有：48
－36=12张；2元的有36÷2=18张；1元的有1 8＋2=20张。
试一试2：有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元。其中7元的和5元的张数相等，三种价格的电影票各有多少张？

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例题3：五（1）班有5 1个同学，他们要搬51张课桌椅。规定男生每人搬
2张，女生两人搬1张。这个班有男、女生各多少人 ？
分析：假设51个全是男生，能搬2×51=102张课桌椅，比实际搬的多出
了102－ 51=51张。用2个男生换成2个女生就少搬3张，51÷3=17，因
此这个班有2×17=34个 女同学，有51－34=17个男同学。
试一试3：学校春游共用了10辆客车，已知大客车每辆坐1 00人，小客车
每辆坐60人，大客车比小客车一共多坐520人。大、小客车各几辆？









例题4：用大 、小两种汽车运货。每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12
箱。现有18车货，价值3024元。若每 箱便宜2元，则这批货价值2520
元。大、小汽车各有多少辆？
分析：根据“若每箱便宜2 元，则这批货价值2520元”可以知道，3024
－2520=504元，504元中包含有252个 2元，即这批货有252箱。假设18
辆都是大汽车，则装货18×18=324（箱），比实际箱数多 324－252=72箱。
一辆大汽车换一辆小汽车可少运18－12=6箱，72里面有12个6，所 以，
有12辆小汽车，有18－12=6辆大汽车。
32
试一试4：有鸡蛋18 筐，每只大箩容180个，每只小箩容120个，这批蛋
共值302.4元。若将每个鸡蛋便宜2分出售 ，这些蛋可卖252元。问：大
箩、小箩各有几个？







例题5：甲、乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒 扣6
分。两人各投10次，共得152分。其中甲比乙多得16分，两人各中多少
次？
分析：我们可以先算出每人各得多少分。甲得（152＋16）÷2=84分，
则乙得152－84= 68分。甲投10次，假设10次都投中就该得10×10=100
分，而事实只得了84分，少得10 0－84=16分，因为脱靶一次不仅得不到
10分还要倒扣6分。因此甲共脱靶16÷（10＋6）= 1次，甲中了10－1=9
次。再用同样的思路可以分析出乙中靶几次。
试一试5：某班42 个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人
种2棵。已知男生共比女生多种56棵，求男、女 生各多少人。

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专题19 作图法解题
专题简析：用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，
一目了 然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的
应用题，能起化难为易的作用。 在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求
其中一个数或者几个数问题等应用 题时，我们可以抓住题中给出的数量关
系，借助线段图进行分析，从而列出算式。

例题1：五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26
名女生参加合唱队后，剩下的 男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、
女生各多少人？
分析：根据题意作出示意图：


从图中可以看出，由于女生比男生多抽去26－18=8名去合唱队，所
以，剩下的男生人数是女生人数的3倍，而这8名同学正好相当于剩下女
生人数的2倍，剩下的女生人数 有8÷2=4名，原来女生人数是26＋4=30
名。
试一试1：甲、乙两筐水果个数一样多 ，从第一筐中取出31个，第二筐中
取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各 有多
少个？



33
例题2：同学们做纸花，做了 36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还
多12朵。红花比紫花多几朵？
分析：通过线段图来观察：

从图中可以看出：红花比紫花多的朵数由两部分组成， 一部分是36
朵，另一部分是12朵，所以，红花比紫花多36＋12=48朵。
试一试2： 批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还
多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？




例题3：甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如 果甲组多植2
棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那
么四个组 植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？
分析：图中实线表示四个小组实际植树的棵数：




从图中可以看出，把丙组植的棵数看作1份，甲组和乙组共 植了这
样的4份，丁组也植了这样的4份。因此，我们可以先求出丙组植树的棵
数：45÷（1 ＋4＋4）=5棵，从而得出甲组植了5×2－2=8棵，乙组植了
5×2＋2=12棵，丁组植了5× 4=20棵。

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试一试3：甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙 数减去4，
丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。




例题4：用绳子测井深，把绳了三折来量，井外余16dm；把绳子四折来量，< br>井外余4dm。求井深和绳长。
分析：把绳子三折来量，井外余16分米，也就
是绳长 比井深的3倍还多16×3=48分米；把绳
子四折来量，井外余4分米，也就是绳长比井
深的 4倍还多4×4=16分米。把这两种情况进
行对比便可知道：48－16=32分米正好就是井
深。因此，绳长是32×3＋48=144分米。
试一试4：用一个杯子向一个空瓶里倒水，如果倒 进3杯水，连瓶共重440
克；如果倒进7杯水，连瓶共重600克。一杯水重多少克？空瓶重多少克？








34 例题5：五（1）班全体同学做数学竞赛题，第一次及格人数是不及格人数
的3倍多4人，第二次及 格人数增加5人，使及格的人数是不及格人数的
6倍。五（1）班有多少人？
分析：通过线段图来观察：

第二次及格人数增加5人，也就是不及格人数减少 5人。若不及格
人数减少5人，及格人数也减少5×3=15人，那么及格人数仍是不及格人
数 的3倍多4人。可事实上及格的人数不但没有减少15人，反而增加了5
人，因此多了（15＋5＋4） 人不我出了（6－3）倍。所以第地次不及格的
人数是（15＋5＋4）÷（6－3）=8人，全班8× （1＋6）=56人。
试一试5：某车间有两个小组，A组的人数比B组人数的2倍多2人。如
果从B组中抽10人去A组，则A组的人数是B组的4倍。原来两组各有
多少人？

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专题20 分解质因数（一）
专题简析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数 相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例
如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。
其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许
多难题的突破口，从而顺利解题。

例题1：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共
有多少种 不同的分法？
分析：先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分
法。
试一试1：195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有
几种排法？





例题2：有168颗糖，平均分成若干份，每份 不得少于10颗，也不能多于
50颗。共有多少种分法？
分析：先把168分解质因数，16 8=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10
颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=1 2颗，2×7=14颗，3×7=21
颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分 法。
35
试一试2：把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。





例题3：将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99
分析：14=2×7 55=5×11
24=2×2×2×3 56=2×2×2×7
27=3×3×3 99=3×3×11
可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和
二个 11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有
四个2，三个3，一个5，一个7 和一个11。经排列为（5、99、24、14）
和（55、27、56、2）。
试一试3： 把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两
组四个数的乘积相等。

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例题4：王老 师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和
学生每人植树一样多，那么他们一共植了53 9棵。这个班有多少个学生？
每人植树多少棵？
分析：根据每人植树棵数×人数=539棵， 把539分解质因数。539=7×7
×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如 果每人植树11
棵，这个班共有7×7－1=48人。
试一试4： 3月12日是植树节，李 老师带领同学们排成两路人数相等的
纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了1 11棵
树，求有多少个学生。















36
例题5：下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。
□□×□□=1995
分析：要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有
相同的质因数。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。
因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字
的和是：2＋ 1＋9＋5=17。
试一试5：有三个自然数a，b，c，已知a×b=35，b×c=55，a×c =77，求
三个数之积是多少？

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专题21 分解质因数（二）
专题简析：掌握并灵活应用分解质因数 的知识，能解答许多一般方法不能
解答的与积有关的应用题。
例题1：三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？
分析：三个质数相加的和是偶 数，必有一个质数是2。80－2=78，剩下两
个质数的和是78，而且要使它的积最大，只能是41 和37。因此，这三个
质数是2、37和41。 最大积是2×37×41=3034
试一试1：有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？






例题2：长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的
和是多少米？ < br>分析：这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解质因数看
一看。375=5×5 ×5×3，因为5×5比5×3正好多10，所以，此长方形的
长是5×5=25米，宽是5×3=15 米，它们的和是40米。
试一试2：有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，
这4个孩子中最大的几岁？



37
例题3：某班 同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，
如果师生每人种树一样多，一共种了1073 棵，那么，平均每人种了多少
棵？
分析：根据每人种树棵数×参加人数=1073，把107 3分解质因数：1073=29
×37，再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是3的倍数 多
1，由于只有37比3的倍数多1，所以有37人，平均每人种29棵。
试一试3：王老师 带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。如果师生
每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平 均每人擦了多少块？






155221
和
186187
分析：这两个分数的分子和分母都比较大 ，不能一眼看出分子和分母的公
例题4：把155186和221187约分。
约数。我们可以 先求出分子与分母的差，如果差是质数，就直接用这个质
数去约分；如果差是合数，就把这个合数分解质 因数，然后用其中的一个
质数去约分。
①186－155=31,31是质数,用31约分得：
1555
= ；
1866
22113
= 。
18711
②221－187=34,34=2×17,用17约分得：

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试一试4：请用上面的方法把下面的几个分数约分。
46143

69117







< br>例题5：小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1
分钱，那么他还能多 买3张。小明买了多少张画片？
分析：根据题意可知：画片的单价×张数=216分，它们乘积的质因 数和
216的质因数相同。我们可以先把216分解质因数，再写成两数相乘的形
式分析：21 6=2^3×3^3=8×27=9×24，显然，216分可以买8分的画片27
张，也可以买9分的 画片24张。所以，小明买了24张画片，符合题意。
试一试5：求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？






38