任命书怎么写-乡愁阅读答案

数学


SHU XUE
适用于小学五年级奥数




戴氏教育集团武胜总校 编制

目 录
第1讲 平均数（一） .................................. .................................................. .................................................. ......1
第２讲 平均数（二） ........................... .................................................. .................................................. .............4
第3讲 长方形、正方形的周长 ............... .................................................. .................................................. .........7
第4讲 长方形、正方形的面积 ................... .................................................. .................................................. ...11
第5讲 分类数图形 ............................. .................................................. .................................................. .............16
第6讲 尾数和余数 ................... .................................................. .................................................. .......................20
第７讲 一般应用题（一） ....... .................................................. .................................................. .......................22
第８讲 一般应用题（二） ...... .................................................. .................................................. ........................25
第９讲 一般应用题（三） ...... .................................................. .................................................. ........................28
第10讲 数 阵 ...... .................................................. .................................................. ......................................31
第11讲 周期问题 ............................................. .................................................. .................................................3 6
第12讲 盈亏问题 ................................. .................................................. .................................................. ...........39
第13讲 长方体和正方体（一） ............... .................................................. .................................................. .....42
第14讲 长方体和正方体（二） ..................... .................................................. .................................................4 5
第15讲 长方体和正方体（三） ........................... .................................................. ...........................................48
第16讲 倍数问题（一） ................................. .................................................. .................................................5 2
第17讲 倍数问题（二） .............................. .................................................. .................................................. ..55
第18讲 组合图形面积（一） ......................... .................................................. .................................................5 8
第19讲 组合图形的面积 .............................. .................................................. .................................................. ..62
第20讲 数字趣题 .............................. .................................................. .................................................. ..............67
第21讲 假设法解题 ................. .................................................. .................................................. .......................70
第22讲 作图法解题 ........ .................................................. .................................................. ................................73
第23讲 分解质因数 .................................................. .................................................. ........................................76
第24讲 分解质因数（二） ............................... .................................................. ...............................................79
第25讲 最大公约数 .................................. .................................................. .................................................. ......81
第26讲 最小公倍数（一） ...................... .................................................. .................................................. ......85
第27讲 最小公倍数（二） ...................... .................................................. .................................................. ......88
第28讲 行程问题（一） ....................... .................................................. .................................................. .........91
第29讲 行程问题（二） .................... .................................................. .................................................. ............94
第30讲 行程问题（三） .................. .................................................. .................................................. ..............97
第31讲 行程问题（四） ............... .................................................. .................................................. ............... 100
第32讲 算式谜 ................ .................................................. .................................................. .............................. 103
第33讲 包含与排除（容斥原理） ...................................... .................................................. .......................... 107
第34讲 置换问题 .... .................................................. .................................................. ...................................... 110
第35讲 估值问题 ................................... .................................................. .................................................. ....... 113
第37讲 简单列举 ....................... .................................................. .................................................. ................... 119
第38讲 最大最小问题 ......... .................................................. .................................................. ......................... 122
第39讲 推理问题 ..... .................................................. .................................................. ..................................... 125
第40讲 杂题 ............................................... .................................................. .................................................. ... 130

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第1讲 平均数（一）
专题简析：
把几个 不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是
平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量×平均数
例1.有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均 每箱36个，苹果和桃平均每箱
37个。一箱苹果多少个？




变式训练
1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、 丁二人平均分95分。问：
甲、丁各得多少分？



2.甲、乙 、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二
人的 平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？



3.甲、乙、 丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，
乙、丙两 组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？




例2. 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？



变式训练
1.两组学生进行 跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。
乙组有 多少人？

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2.有两块棉田，平均每亩产量是92.5 千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5千克；另一块田
平均每亩产量是85千克。这块田 是多少亩？



3.把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元，乙知 甲级糖有4千克，平均每千克8元；乙级糖有2千
克，平均每千克多少元？



例3.某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少？



变式训练
1.已知九个数的平均数是72，去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是多少？



2.有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数改为1，那么这五个 数的平均数为8。这个改动的数原来是
多少？



3.甲、乙、 丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错
抄成了87 分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分？


例4.五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计 算
了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？


变式训练
1.五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班 平均分为92分。缺考的
两位同学补考均为100分，这次五（1）班同学期中考试的平均分是多少分？



2.某班的一次测验，平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的8 9分误看作97分计算，经重新计算，该
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班平均成绩是91.1分。问全班有多少同学？



3.五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16。 这个改动的数原来是多少？



例5.把五个数从小到大排列，其平均数 是38。前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48。中间一
个数是多少？



变式训练
1，甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均 年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那
么乙的年龄是多少岁？


2，十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？



3，下图中的○内有五个数A、B、C、 D、E，□内的数表示与它相连的所有○中的平均数。求C是多少？












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第２讲 平均数（二）
例1.小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提 高到86分。问这是他
第几次测验？



变式训练
1 .老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了5朵。如果师生合起来算，正好平均每
人做了7朵。求有多少个同学在做花？



2.一位同学在期中测验中， 除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门
95分。已知他数学得了1 00分，问这位同学一共考了多少门功课？



3.两组同学进行跳绳比 赛，平均每人跳152次。甲组有6人，平均每人跳140次，如果乙组平均每人跳160
次，那么，乙 组有多少人？



例2.小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、 自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均
91.5分，政治、英语两科平均86分，英语比语 文多10分。小亮的各科成绩是多少分？



变式训练
1.甲 、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？
甲、丙两个数的平均数是多少？



2.小华的前几次数学测验的平均 成绩是80分，这一次得了100分，正好把这几次的平均分提高到85分。
这一次是他第几次测验？

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3.五个数排一排，平均数是9。如果前四 个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和
第五个数的平均数是多少？



例3.两地相距360千米，一艘汽艇顺水行全程需要10小时，已知这条河的水 流速度为每小时6千米。往
返两地的平均速度是每小时多少千米？



变式训练
1.甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码头，已 知汽船在静水中每小时行
驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？



2.一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度是每小 时30千米，水速每小时3
千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时？



3.甲船逆水航行300千米，需要15小时，返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的 一段水路需要20
小时，返回原地需要多少小时？



例4.幼 儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分10块，大班的小
朋友 每人比大、小班小朋友的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干？



变式训练
1.数学兴趣小组里有4名女生和3名男生，在一次数学竞赛中，女生的平均分是9 0分，男生的平均分比
全组的平均分高2分，全组的平均分是多少分？



2.两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下；第二组有20人，平均每人比两组同学跳的平 均数
多5下，两组同学平均每人跳几下？

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3.一个技术工带5个普通工人完成了一项 任务，每个普通工人各得120元，这位技术工人的收入比他们6
人的平均收入还多20元。问这位技术 工得多少元？





例5.王强从A地到B地，先骑 自行车行完全程的一半，每小时行12千米。剩下的步行，每小时走4千米。
王强行完全程的平均速度是 每小时多少千米？



变式训练
1.小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米。求小明往返的平均速度。



2.运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑150米，后一 半路程中每分钟跑100米。求他在整个
长跑中的平均速度。



3.把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打20个字。打这份书稿平均每分< br>钟打多少个字？
















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第3讲 长方形、正方形的周长
专题简析：

同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长× 4。长方形、正方形的周长公
式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面 上看起来不是长方形或正方形
的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复 杂的问题转化为标准的图形，
以便计算它们的周长。
例1.有5张同样大小的纸如下图（a） 重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一
半，求重叠后图形的周长。

变式训练
1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
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3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。
< br>例2.一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。现在这 块
木板的周长是多少厘米？




变式训练
1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个
正方形。求这个正方形的周长。





2.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？

3.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下 的部分仍是长方形，且周长为280
米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？



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例3.已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？

变式训练
1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正 方形后准备做一个长方体
纸盒，求被剪后硬纸板的周长。




2.一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示长方形，求所拼长方形的 周长。



3.求下面图形（图2）的周长（单位：厘米）。

图（1） 图（2）



例4.下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。


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变式训练
1.求下面图形的周长（单位：厘米）。

2.在（ ）里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的周长（ ）乙的周长



3.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。

例5.如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。


变式训练
1.下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正 方形的周长发生了什么变化？（单
位：厘米）
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2.下面是一个零件的平面图， 图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。这个零件的周长
是多少厘米？



3.有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。

第4讲 长方形、正方形的面积
专题简析：
长方形的面积=长×宽，正方形的面 积=边长×边长。掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们
的面积。
但是，在平时的学习 过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地
用公式直接求出面积的题目 。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方
法，使复杂的问题转化为普 通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
例1.已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大 正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方
形的面积各是多少平方厘米？
2
B

2
A

变式训练
1.有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。
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2.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长 方形。
原正方形的面积是多少平方厘米？




3.把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。
求这个正方形的边长是多少分米？
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例2.一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小 的长方形，其中三个长方形的面积如下图
所求，求第四个长方形的面积。

变式训练
1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘 米、30平方厘米和32平
方厘米，求阴影部分的面积。
A
M
B
3 2
F
P
24
30
D
N
C

E


2.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图 所示（单位：平方厘米），求A和B
的面积。
15
45
A
24
12
B


3.下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。
8
8
5
8


例3.把20分米长的线段分成两段 ，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，
大正方形的面积是多少平方分 米？
8


变式训练
1.一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原来 减少了1350平方米。这块
地原来的面积是多少平方米？

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2.一个正方形，如果它的边长增加5厘米 ，那么，面积就比原来增加95平方厘米。原来正方形的面积是
多少平方厘米？



3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。求草坪的面积。

例4.有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。



变式训练
1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一 个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49平方
米和4平方米，求其中一个长方形的宽。

2.如图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。如果此图的周长是56 厘米，那么，这
个图形的面积是多少？

3，正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。
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例5.有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大 小相等的正方形拼成的。一个正方形的面积是多少平
方厘米？



变式训练
1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，求每个 正方形的面积是多少平
方厘米？





2. 有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多
少厘米？





3.有一个小长方形，它和一个正方 形拼成了一个大长方形ABCD（如下图），已知大长方形的面积是35平
方厘米，且周长比原来小长方 形的周长多10厘米。求原来小长方形的面积。








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第5讲 分类数图形

专题简析：
我们在数数的时 候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的
时候，往往就不容易了 。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确
地数出图形的个数。
例1.下面图形中有多少个正方形？

变式训练
1.下图中共有多少个正方形？

2.下图中共有多少个正方形？

3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？
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例2.下图中共有多少个三角形？
变式训练
1.下面图中共有多少个三角形？
2.数一数，图中共有多少个三角形。

3.数一数，图中共有多少个三角形？
学

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例3.数出下图中所有三角形的个数。





变式训练
1.数出下面图形中分别有多少个三角形。

例4.如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？

变式训练
1.下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？

2.下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？

3.下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？
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例5.数一数，下图中共有多少个三角形？


变式训练
1.图中共有（ ）个三角形。

2.图中共有（ ）个三角形。

学

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3.图中共有（ ）个正方形。

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第6讲 尾数和余数
专题简析：
自然数末位的数字称为自然数的尾数 ；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数
在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能 解决一些看起来无从下手的问题。
例1.写出除213后余3的全部两位数。



变式训练
1.写出除109后余4的全部两位数。



2. 178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？



3.写出除1290后余3的全部三位数。



例2.（1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？

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变式训练
1. 21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？



2. 1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？



3. （12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（1 2×63）]积的尾数是几？



例3.（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？


变式训练
1. 24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？



2. 1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？



3. 94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？



例4.把17化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？



变式训练
1. 把111化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。



2. 57写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？
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3. 有一串数：5、8、1 3、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在
这串数中，第 1000个数被3除后所得的余数是多少？



例5. 555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？



变式训练
1. 444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？



2.当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6] （2）444…4÷74[200个4]（3）888…8÷7 [200个8]（4）111…1÷7[50个
1]


第７讲 一般应用题（一）
专题简析：
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一 起，有的已知条件是间接的，数量关
系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有 明显的结构特征和解题规律可循。解
答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析 。在分析应用题的数量关系时，我们
可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发 ，找出必须的两个条件（分析法）。
在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。 < br>例1.五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来4个班的
人数。原来每班多少人？



变式训练
1.五个同学 有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱正好等于原来3
人的存款数 。原来每人存款多少？



2.把一堆货物平均分给6个小组运，当每个 小组都运了68箱时，正好运走了这堆货物的一半。这堆货物
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一共有多少箱？



3. 老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。
这批树苗一共有多少棵？



例2. 某车间按计划每天应加工50个 零件，实际每天加工56个零件。这样，不仅提前3天完成原计划加
工零件的任务，而且还多加工了12 0个零件。这个车间实际加工了多少个零件？



变式训练
1 .汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10千米，这样比原计划提前2小时
到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？



2.小明骑车上学，原计 划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分钟只能行120米，
结果迟到了5分钟 。他家离学校有多远？


3.加工一批零件，原计划每天加工80个，正好按期完 成任务。由于改进了生产技术，实际每天加工100
个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而且还多加 工了100个。他们实际加工零件多少个？



例3.甲、乙二人加工零 件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了15天没有加工。40天后，乙所加工
的零件个数正好是甲 的一半。这时两人各加工了多少个零件？



变式训练
1.甲 、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子
正 好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个？




2.甲 、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多行20千米。途中乙因修车用了2小时，6
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小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B两地相距多少千米？




3.甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120元。已知甲工作了1 0天，乙工作了12天，且甲5天的工资
和乙4天的工资同样多。求甲、乙每天各分得工资多少元？




例4. 服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务 。实际每天比计划多加工60件，照这样做了15天，
就超过原计划件数350件。原计划加工上衣多少 件？



变式训练
1.用汽车运一堆煤，原计划8小时运完。 实际每小时比原计划多运1.5吨，这样运了6小时就比原计划多
运了3吨。原计划8小时运多少吨煤？



2.汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比原计划 多行15千米，行了8小时后，发现已
超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米？


3.小明看一本书，原计划8天看完。实际每天比原计划少看了4页。这样，用10天才看完 了这本书。这
本书一共有多少页？



例5.王师傅原计划每天 做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结果提前5在完成任务。王师傅一共
做了多少个零件？



变式训练
1.食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨， 实际每天比原计划节约了0.1吨，这样比原计划多烧了2天。
这批煤一共有多少吨？



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2.造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实 际每天比原计划多生产1.5吨，结果提前2.5天完成了
任务。实际用了多少天？




3，机床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际每天生产18 台，这样比原计划提前3天完成了任
务。这批机床一共有多少台？



















第８讲 一般应用题（二）
专题简析：
较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起， 但是，再复杂的应用题都可
以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时要善于分 析，把复杂的问题简单化，
从而正确解答。
例1.工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子 铺需要25根，用短管子铺需要35根。已知这两种管子的
长相差2米，这段排水管道长多少米？



变式训练
1.生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单 独生产要用8小时。如果甲每小时比乙多生产10个零件，
这批零件一共有多少个？
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2.一班的小朋友在 操场上做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重新分组，正好每组
9人，这样比原来 减少了2组。参加游戏的小朋友一共有多少人？



3.甲、乙二人同时 从A地到B地，甲经过10小时到达了B地，比乙多用了4小时。已知二人的速度差是
每小时5千米，求 甲、乙二人每小时各行多少千米？



例2.甲、乙、丙三人拿出同样多 的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿24千克。结帐时，甲和乙都
要付给丙24元，每千克苹果多 少元？



变式训练
1.甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔 若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又给了
乙6角钱。每支铅笔多少钱？



2.春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没 有带食品，结果三人平均分了这些面
包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。每个面包多少元？



3.“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英买来 了和红纸同样价格的5张黄纸。老师
把这些纸平均分给了小华、小英和另外两名同学，结果另外两名同学 共付给老师9元钱。老师把9元钱怎
样分给小华和小英？




例3.甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大、小 卡车
跑一趟的耗油量分别是10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？



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变式训练
1.五名选手在一次数学竞赛中共得404分 ，每人得分互不相同，并且都是整数。如果最高分是90分，那
么得分最少的选手至少得多少分？



2.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多少张？




3.某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰 ，55人会打乒乓球。可以肯定至少有多少
人四项都会？




例4.有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报34份，江海 晚
报30份，电视报22份。那么订江海晚报和电视报的共有多少家？



变式训练
1.五（1）班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种 水果，其中苹果40个，
梨32个，桔子26个。那么，带梨和桔子的有多少个同学？



2.在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿两种颜色的 气球，共有红、黄、绿三
种颜色。其中红色有56只，黄色的有60只，绿色的有46只。那么，手拿红 、绿两种气球的有多少个同
学？

3.学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组， 第一小队的同学们每人都参加了其中的两个小组，其中9
人参加球类小组，6人参加美术小组，7人参加 音乐小组的活动。参加美术和音乐小组活动的有多少个同
学？




例5.一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。一台抽 水机每分钟抽水
18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？

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变式训练
1.一个水池能装8吨 水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20分钟能把一池水放完。已知
进水管每分钟往池 里进水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？




2.某工 地原有水泥120吨。因工程需要，又派5辆卡车往工地送水泥，平均每辆卡车每天送25吨，3天后
工 地上共有水泥101吨。这个工地平均每天用水泥多少吨？





3.一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时运完。如果让两队同时合运， 几小时运完？

















第９讲 一般应用题（三）

专题简析
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：
1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3.拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4.检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
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例1.甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个 。由于改进技术，甲每天多生产100个，乙
的日产量提高了1倍，这样二人一天共生产1020个。甲 、乙原计划每天各生产多少个零件？



变式训练
1.工厂里 有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后，1号锅炉每月节约1吨煤，2号锅炉每月
烧煤量 减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？




2.甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。由于更换了机器，甲每天多做4 0个，乙每天生
产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300个。甲、乙原计划每天各生产多少个 零件？




3.甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共 挖100米，实际甲队因有人请假，每天比计划少挖15米，
而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的 2倍，这样两队每天一共挖了150米。求两队原计划每天各挖
多少米？




例2.把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底， 这时，竹竿湿的部分比它
的一半长13厘米。求竹竿的长。



变式训练
1.有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米 的长方形框架。这根铁
丝原来长多少厘米？



2.有一根竹竿 ，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。这根竹竿原来长多少厘米？




3.两根电线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下 部分第一根是第二根长度的4倍。两根
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电线原来各长多少米？




例3.将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5米。长8米的总长度比 长5米的总长
度多3米。这根铁丝全长多少米？



变式训练
1.某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡每分钟走102米。上坡路比下坡 路少220
米。这段小坡路全长多少米？




2.食 堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知买回的大米比面粉多165千
克，求买回大米、面粉各多少千克？




3.老师买回两种笔 共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠笔每支1.2元，买圆珠笔比买铅笔
共多用了1. 6元。求买这些笔共用去多少钱？




例4.甲、乙两名工人 加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少做400个零件。
又同时加工4小 时后，甲总共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙每小时各加工零件多少个？



变式训练
1.甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙 邻先于甲4千米。又经过3小时，
甲反而领先了乙17千米。求二人的速度。

2. 师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅生产了2小时后，发现自己比徒弟少做20
个零件。二人又生产了2小时，师傅反而比徒弟多生产了10个。师傅每小时生产多少个零件？


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3.甲每小时生产12个零件，乙每小时生 产8个零件。一次，二人同时生产同样多的零件，结果甲比乙提
前5小时完成了任务。问：甲一共生产了 多少个零件？




例5.加工一批零件，单给甲加工需10小 时，单给乙加工需8小时。已知甲每小时比乙少做3个零件，这
批零件一共有多少个？



变式训练
1.快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4 小时，而慢车用了6.5小时。已知快车每小时
比慢车多行25千米。甲、乙两地相距多少千米？




2.妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或2 5千克的梨。已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7
元，妈妈一共带了多少钱？





3.师徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加工 的零件相等。如果师傅每小时比徒弟
多加工3个零件，那么，徒弟每小时加工多少个零件？











第10讲 数 阵

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专题简析：
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游 戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的
填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号 ）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）
应具备的条件，为解答数阵问题提供方 向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，
再由填数的可能情况，确定应填的数。
例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五 个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都
是21。

变式训练
1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例2.将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
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变式训练
1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格 以及对角线四
格内四个数的和都是18。

例3.将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。


变式训练
1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

学习成就梦想 教育领跑未来 第 33 页 共 135 页

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3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。

例4.将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

变式训练
1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

第1题 第2题 第3题
2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。
3. 将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数
的 和都等于18。

例5.如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中 分别填上六个质数，它们的和是20，
而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是 多少？

变式训练
1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。
学习成就梦想 教育领跑未来 第 34 页 共 135 页

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2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角 形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并
且尽可能大。这五个数之和最大是多少？

3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。



















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第11讲 周期问题
专题简析：
周期问题是指事物在运动 变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时
间叫做周期。在数学上，不仅有 专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的
问题。这些数学问题只要我们发 展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对
应，就能找到解题关键。 例1.流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又< br>依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？



变式训练
1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？



2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？



3. 17=0.7……，小数点后面第100个数字是多少？



例2.有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯 是什么颜色的？三种颜色
的灯各占总数的几分之几？



变式训练
1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？


学习成就梦想 教育领跑未来 第 36 页 共 135 页

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2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列 着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？
其中，黑珠共有多少颗？



3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端 开始，按先两个女生，再一个男生的规
律站立着。这些同学中共有多少个女生？

例3. 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？



变式训练
1. 2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？



2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？



3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？



例4. 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …
变式训练
1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？
A B C D E
8 6 4 2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
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… … … …
… … … …


2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
… … …
… … …
3.下表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热） ，第二组为（学爱）。求第460组是什么？

例5. 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？




变式训练
1. 444……4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？




2. 444……4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？




3. 111……1[1000个1]÷7当商是整数时，余数是几？








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第12讲 盈亏问题
专题简析：
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象 ，如果按某种标准分，则分
配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的 数量和分配对象的数量。例
如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块 ，少8块。小朋友有多少人？
饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：
1.两盈：两次分配都有多余；
2.两不足：两次分配都不够；
3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；
4.不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：
1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。
例1 .某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男
生 ，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生？




变式训练
1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色 粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；
如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买 来两种粉笔各多少盒？


学习成就梦想 教育领跑未来 第 39 页 共 135 页

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2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增 加25吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走5
吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一共 有多少吨？



3.五（1）班的优秀学生中，苦增加2名男生，减少1 名女生，则男、女生人数同样多；苦减少1名男生，
增加1名女生，则男生是女生的一半。这些优秀学生 中男、女生各多少人？




例2.幼儿园老师拿出苹果发给小 朋友。如果平均分给小朋友，则少4个；如果每个小朋友只发给4个，则
老师自己也能留下4个。有多少 个小朋友？共有多少个苹果？


变式训练
1.给小朋友分梨，如果每人 分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。有多少个小朋友？有多少个
梨？



2.老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支，每人7支则少4支。老师有多少支铅笔 ？奖给多少个
三好学生？



3.有一个班的同学去划船，他们 算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人；如果减少一条船，正好每
条船上坐9人。这个班一共有多 少个同学？



例3.幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班 的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每
人8个缺2个。已知大班比小班多3人，这筐苹果有多 少个？



变式训练
1.一些学生搬一批砖，每人搬4块，其 中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。这些学
生有多少人？这批砖有多少块？


学习成就梦想 教育领跑未来 第 40 页 共 135 页

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2.老师给幼儿园小朋友分糖，每人3块还多10块； 如果减少2个小朋友再分，每人4块还多7块。原来
有多少个小朋友？有多少块糖？




3.筑路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。实际每天多筑80 米，这样，比原计划提前3天完成了筑
路任务。要筑的路有多长？




例4.幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班 的小朋友，平
均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？



变式训练
1.老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借 给甲组的女同学，每人可借6本。如果只借给
甲组的男生，平均每人借到几本？



2.甲、乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让 甲组同学单独
做，每人要多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？



3.老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得12块；如果只分给中 班和小班，每人只能分到4
块。如果这袋糖只分给中班，每人可分到几块？



例5.全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船 正好坐6个同
学。这个班有多少个同学？



变式训练
1.老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个；如果增加一个同学，正好每人分得4个。这篮苹果一共有多少个？
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2.五年级同学去划 船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减少一只船，正好每只船上价8人。
五年级共有多少人 ？




3.一个旅游团去旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间又少2个房间。旅游团共有多少人？









第13讲 长方体和正方体（一）
专题简析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：
1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
例1.一个零件形状大小如下 图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘
米）

变式训练
1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部 分的表面积和体积各是
多少？

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2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。





3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长 方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求
切掉正方体后的表面积和体积各是多少？


例2.有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它 的体积和表面积吗？（单
位：厘米）

变式训练
1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。

2.有一 个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积
和表面 积各是多少？

3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？
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例3.一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体 ，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增
加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘 米？

变式训练
1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方 体的表面积比原来两个长方体的表面积的
和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的 长方体的长是24厘米，那么它的体积是多
少立方厘米？




2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的 表面
积减少了多少平方厘米？



3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？


例4.把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立 方厘米，求大长方体的表面
积。

变式训练
1.一块小正方体的表面积是 6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是
多少平方厘米？



2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。

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3.有24个正方体，每个正方 体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图
画出来。




例5.一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长 方体的长、宽、高以厘为为单位的数都
是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？




变式训练
1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是8 8平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的
体积是多少？



2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。




3.一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高 分别是6分米、4分米、25分米，求
正方体体积。


第14讲 长方体和正方体（二）
专题简析
在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：
把一个物体变形为另一种形状的 物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水
中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例1.有两个无盖的长方体水箱，甲水 箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，
水面高20厘米；乙水箱长30厘 米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面
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高度一样，现在水面高多少厘米？




变式训练
1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米， 乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水 面同样高。问水面高多少？





2.有一个长方体 水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20
厘米的正 方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？





3.一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0 .1平方分米的钢
筋，求这根据钢筋的长。




< br>例2.将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体 （不
计损耗），求这个大正方体的体积。



变式训练
1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成
一个大正方体，求这个大正方体的体积。




2.将 表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长
是13厘米，宽7厘米，求它的高。

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3.把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少平方分米？




例3.有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、 高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一
块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米 ？




变式训练
1.有一个小金鱼缸，长4分米、 宽3分米、水深2分米。把一块假山石浸入水中后，水面上升0.8分米。
这块假山石的体积是多少立方 分米？




2.有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注 满了水。有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方
形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溶 出多少立方厘米的水？





3.有一块边长是5厘 米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁后，水面下降了0.5厘米。
这个长方体容器 的底面积是多少平方厘米？




例4.有一个长方体容器（如 下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这
个容器盖紧，再朝左竖起 来，里面的水深应该是多少厘米？

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变式训练
1.有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和 高都是2分米；乙缸长4分米、宽2分米，里面的水深1.5分
米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸 里深几分米？



2.有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一 根长方体，这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘
米的长方形，求它的长。



3.像例题中所说，如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少厘米？



例5.长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米 和6平方厘米。这个长方体的体积是多
少立方厘米？




变式训练
1.一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方 厘米，这个长方体的体积
是多少立方厘米？



2.一个长方体 ，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是
质数，这 个长方体的体积是多少立方厘米？



3.一个长方体的体积是48立方 厘米，并且长、宽、高是三个连续的偶数。这个长方体的表面积是多少平
方厘米？


第15讲 长方体和正方体（三）
专题简析：
解答有关长方体和正方体的拼、切 问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，
仔细分析每一步操作后表面几何体积的等 比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂
直方向切割成两部分，新增加的表面积等 于切面面积的两倍。
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例1.一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘 米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？

变式训练
1.把27块棱长是1厘米 的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的
表面积之和少多少平方厘 米？



2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米？



3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样 的小长方体，没有涂颜色的面积是60
平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？




例2.有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24 平方厘米，这个正方体木块原来的表
面积是多少平方厘米？




变式训练
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？



2.有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方 体，表面积最多增加多少
平方分米？



3.有三块完全一样的 长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现把三块积木拱成一个大的
长方体，怎样搭表面 积最大？最大是多少平方厘米？


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例3.有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它 切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面
积的和是多少？

想一想：在切 的过程中，每切一切，就会增加两个3×3平方分米的面，你能用这种思路来计算所求
问题吗？
变式训练
1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方 体？如果要摆一个棱长
是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？


< br>2.有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共能锯
多少个？这些小正方体的表面积和是多少？



3.把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米？



例4.一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？

变式训练
1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，这些小正方体中 ，
一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？


2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已 知两面被涂上
红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？
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3.把1立方米的正 方体木块的表面涂上颜色，然后切成1立方分米的小正方体，在这些小正方体中，六个
面都没有涂色的有 多少个？




例5.一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、 5厘米和4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，
这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘 米？




变式训练
1.有三块完全一样的长方体木 块，每块长8厘米、宽5厘米、高3厘米。要把它们粘成一个大的长方体，
这个长方体的表面积最大是多 少平方厘米？最小是多少平方厘米？




2.把8个同样大小 的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是72平方厘米，拼成的大
正方体的表面积是 多少平方厘米？




3.把一个长、宽、高分别为7厘米、6 厘米、5厘米的长方体，截成两个长方体，使这两个长方体的表面
积的和最大，求它们的表面积和是多少 平方厘米？











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第16讲 倍数问题（一）
专题简析：
倍数 问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，
求这几个 数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，
再根据其 它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。
例1 .两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米？



变式训练
1.两个数的和是 682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各
是多少？



2.两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩 下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子
原来各长多少米？



3.一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍。原来两筐水果一共有多少个？



例2.甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6 本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？



变式训练
1.原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人各 有
多少张画片？



2.一个书架分上、下两层，上层的书的本 数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是
下层的5倍。原来下层有多少本书？



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3.幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍， 吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的5倍。
原来买来苹果和梨共多少个？



例3.幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，每组领3个梨 和4个苹果，结果梨正好
分完，苹果还剩下16个。大班共有多少个同学？



变式训练
1.高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。如果每个小组分给 杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉
树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。两种树苗原来各有多少棵？



2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如果每小组 分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉
树正好分完，杨树还剩20棵。两种树原来各的多少棵？



3.同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老 人拿2个桔子和4个苹果，
那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。同学们把水果分给了几位老人？



例4.有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样 多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，
甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？



变式训练
1.甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入 乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取14吨放入甲仓，
则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货 物多少吨？




2.兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥 买了5本书，平均每本8.4元；弟弟买了3支笔，每支笔1.2
元，现在弟弟的钱是哥哥的3倍。兄弟 两人原来各有多少元？
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3.学校组织夏令营 活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；如果参加的男生名额
给4个女生，则男 生是女生人数的一半。原定夏令营中男、女生各多少人？




例5.甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？




变式训练
1.果园里桃树的棵数是梨树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知 他每天喷洒24棵桃树和10棵梨树，
几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下24棵。果园里有桃树和 梨树各多少棵？





2.小朋友带着一篮桔子和苹 果送给敬老院的老人们，每个老人分各3个苹果和5个桔子，最后苹果分完，
篮子里还剩下7个桔子。如 果原来桔子的个数是苹果的2倍，那么，分给了几个老人？原来有多少个苹果？





3.甲、乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元 钱时，两人余下的钱正好相
等。求甲、乙原来各存有多少钱？









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第17讲 倍数问题（二）
专题简析：
解决倍数问题的关键是，必须确定一个数 作为标准数，并根据题中的已知条件，找出其它几个数与
这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准 数。由于倍数应用题中数量关系的变化，要求同学们在解
题过程中注意解题技巧，灵活解题。
和倍问题的数量关系是： 差倍问题的数量关系是：
和数÷（倍数＋1）=较小数 差数÷（倍数－1）=较小数
较小数×倍数=较大数 较小数×倍数=较大数
例1.养鸡场 的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡只数就是公鸡的4倍。原
来养鸡场一 共养了多少只鸡？




变式训练
1.今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明多少岁？



2.原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克， 大米的重量是面粉的2倍。食堂里原
来存有大米、面粉各多少千克？



3.饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑 兔的
7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？



例2.有1 800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比
丙车多 装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？



变式训练
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1.三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱 数比丙堆少200箱。三堆货物各多少箱？



2.甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数各是多少。



3.把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5 本，中层放的本数是上层的2倍多1本。
问：上、中、下三层各放书多少本？



例3.甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四 分之三后，甲书
架的书是乙书架的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？



变式训练
1.某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四分之 三去排练团体操，剩下的男生人数是
女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？



2.食堂存有同样重量的大米和面粉，吃大米的四分之三和60千克面粉后，剩下的面粉的重 量地大米的3
倍。原来存有大米和面粉各多少千克？



3.有 两堆水泥，甲堆有4.5吨，已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，乙堆有水泥多少吨？




例4.A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每 小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出
汽车8辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公 共汽车辆数是A站的3倍？




变式训练
1.甲有 邮票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多少次后，甲的邮票张
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数是乙的2倍？



2. 甲仓存有大米650袋，乙仓存有大米400袋。每天从甲、乙仓各运出50袋，多少天后甲仓的大米袋数
是乙仓的6倍？




3.有两杯水，一杯有水104毫升， 另一杯有水24毫升，每次往两只杯子中各倒进8毫升水，倒几次后，
一只杯中的水是另一杯的2倍？



例5.甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这三个数。




变式训练
1.有三个小组，甲组的人数比乙组的 2倍多6人，乙组的人数是丙组的2倍。三个小组一共有90人，每
个小组各有多少人？




2.某工厂共有工人560人，其中男工比女工的3倍少40人，男工和女工各有多少人？




3.三种水果共132个，已知苹果的个数比梨的3倍少6个，梨的个 数比桔子的3倍多2个。三种水果各有
多少个？








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第18讲 组合图形面积（一）
专题简析：
组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种 ：一是拼合组合，
二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要 正确解答组合图形
的面积，应该注意以下几点：
1，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；
2，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；
3，适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
例1.一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？

变式训练
1.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）


2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。

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3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平 方厘
米。求原来梯形的面积。









例2.正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方 形的四个角的顶点把正方形的四条边
各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。

变式训练
1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。


2.如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。

3.求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
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例3.四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形C DH的面积是
多少平方厘米？

变式训练
1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。



2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）


3.下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？


例4.下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？

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变式训练
1.如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。






2.在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能 大，正方形的面积是多少？（单位：
厘米）



3.图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积 大10平方厘米。求平行四边形的面
积。

例5.图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。

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变式训练

1.如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米， 直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面
积大8平方厘米。求AH长多少厘米 ？

2.图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。

3.正方形的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分B的面积是7平方厘米，求阴影部分A 和C的和是多少平方
厘米？


第19讲 组合图形的面积
专题简析：
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1，两个三角形等底、等高，其面积相等；
2，两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
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3，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
例1.如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

变式训练
1.求下图中阴影部分的面积。

2.求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）




3.下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。





例2.下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。
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变式训练
1.下图中，三角形ABC的面积 是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，
求三角形 AFE的面积。

2.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

3.图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的 面积（ADFC不是正方
形）。


例3.两条对角线把梯形ABCD分割 成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形
的面积各是多少？（单位：平方厘 米）



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变式训练
1.如下图，图中BO=2DO， 阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

2.下图的梯形A BCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面积是三角形BDE面积的多
少倍 ？

3.下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形B OC的面积比三角形AOD的面积
大多少平方厘米？

例4.在三角形ABC中，D C=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

变式训练
1.把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的面积（ ）乙的面积。
2.如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是 AC的三等分点。已知三角形的面积是108平方厘米，
求三角形CDE的面积。
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3.下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2 厘米，F是AE的中点，三角形ABC的BC边上的高是4厘米，阴
影面积是多少平方厘米？

例5.边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的多少倍？

变式训练
1.边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍？





2.一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长 是上底的2倍，梯形上底的长又是三角形底长的2倍。这个
梯形的面积是三角形面积的多少倍？





3.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角 三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个
正方形的面积分别是多少？
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第20讲 数字趣题
专题简析：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是我 们最常见的国际通用的阿拉伯数字（或称为数码）。数是由十
个数字中的一个或几个根据位值原则排列起 来，表示事物的多少或次序。
数字和数是两个不同的概念，但它们之间有密切的联系。这里所讲的数字 问题是研究一个若干位数
与其他各位数字之间的关系。数字问题不仅是研究一个若干位数与其他各位数字 之间的关系。数字问题不
仅有一定规律，而且还非常有趣。
解答数字问题可采用下面的方法：
1，根据已知条件，分析数或数字的特点，寻找其中的规律；
2，将各种可能一一列举，排除不符合题意的部分，从中找出符合题意的结论；
3，找出数中数字之间的相差关系和倍数关系，转化成“和倍”、“差倍”等问题。
4，条件复杂时，可将题中条件用文字式、竖式表示，然后借助文字式、竖式进行分析推理。
例1.一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍。这个
四位数是多少？



变式训练
1.有一个四位数，千位和个 位上的数字相同，且百位上的数字是十位上的3倍，十位上数字是个位上的3
倍。这个四位数是多少？



2.一个三位数的各位数字之和是17，其中十位数字比个位数字大1 。如果把这个三位数的百位数字与个位
数字对调，得到的新三位数比原数大198，求原数。



3.有一个三位数，各位数字的和是17，其中百位数字比个位数字的5倍还多2，请写出这个三位数。
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例2.把数字6写到 一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得的和正好是原来四位数的35倍。
原来的四位 数是多少？



变式训练
1.有一个三位数，如果把数字4写 在它的前面可得到一个四位数，写在它的后面也能得到一个四位数，已
知这两个四位数相差2889，求 原来的四位数。


2.把数字8写在一个三位数的前面得到一个四位数，这个四位 数恰好是原三位数的21倍。原三位数是多
少？



3.有一个 三位数，它的个位数字是3，如果把3移到百位，其余两位依次改变，所得的新数与原数相差71。
求原 来的三位数。



例3.有一个四位数，个位数字与千位数字对调，所得 的数不变。若个位与十位的数字对调，所得的数与原
数的和是5510。原四位数是多少？




变式训练
1.有一个四位数，个位数字与百位数字的和是1 2，十位数字与千位数字的和是9。如果个位数字与百位数
字交换，所得新数比原数大396，原数是多 少？




2.张家的门牌号码是一个三位数，这个三位数的三 个数字都不同，且三个数字的和是6，还是满足这些条
件的三位数中最大的一个数。请你写出这个门牌号 码。



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3.一个两位数，十位的数字比个位数字少1，把这个两位数的个 位与十位数字对调，所得新数与原数的和
是165。求原来的两位数。



例4.一个六位数的末位数字是7，如果把7移动到首位，其它五位数字顺序不动，新数就是原来数的5 倍。
原来的六位数是多少？



变式训练
1.如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000。原数是多少？




2.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至第一 位，其余数字顺序不变，所得新六位数是原数的
4倍。原六位数是多少？




3.有一个两位数的两个数字中间夹一个0，那么，所得的三位数比原数大6倍。求这个两位数。




例5.某地区的邮政编码可用AABCCD表示，已知这六 个数字的和是11，A与D的和乘以A等于B，D是最小
的自然数。这个邮政编码是多少？




变式训练
1.一个三位数，个位上的数字是十位上数字的4 倍，十位上的数字是百位上数字的2倍。这个三位数必定
是多少？


< br>2.有一个六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是从小到大的三个连续自然数，这六个数字的和
恰好等于末尾的两位数。求这个六位数。

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3.求各位上数字之和等于34的最小的四位数。














第21讲 假设法解题

专题简析
假设法是解应用题时常用的一 种思维方法。在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时
可以先假设要求的两个或几个未知 数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知
条件进行推算，并对照已知条件， 把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。
例1.有5元和10元的人民币共14张，共100元。问5元币和10元币各多少张？



变式训练
1.笼中共有鸡、兔100只，鸡和兔的脚共248只。求笼中鸡、兔各有多少只？



2.一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。问2分和5分的各有多少枚？




3.营业员把一张5元人币和一张5角的人民币换成了28张票面为一 元和一角的人民币，求换来这两种人
民币各多少张？


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例2.有一元、二元、五元的人民币50张，总面值1 16元。已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人
民币各有几张？




变式训练
1.有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元。其中 7元的和5元的张数相等，三种价格的电
影票各有多少张？




2.有一元、五元和十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多2张。问三种人民币各 有多
少张？




3.有1角、2角、4角、5角的邮 票共26张，总计6.9元。其中1角和2角的张数相等，4角的和5角的
张数相等。求这四种邮票各有 多少张？




例3.五（1）班有51个同学，他们要搬51 张课桌椅。规定男生每人搬2张，女生两人搬1张。这个班有
男、女生各多少人？



变式训练
1.甲、乙二人共存550元钱，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己 存款中的70元时，两人余下的钱正
好相等。求甲、乙原来各存多少元钱。



2.学校春游共用了10辆客车，已知大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，大客车 比小客车一共多坐
520人。大、小客车各几辆？



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3.班级买来50张杂技票，其中一部分是1元5角一张的，另一 部分是2元一张的，总共的票价是88元。
两种票各买了多少张？


< br>例4.用大、小两种汽车运货。每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱。现有18车货，价值3024 元。若
每箱便宜2元，则这批货价值2520元。大、小汽车各有多少辆？



变式训练
1.一辆卡车运矿石，晴天每天运20次，雨天每天可运12次，它一共 运了112次，平均每天运14次。这
几天中有几天是雨天？



2.有鸡蛋18筐，每只大箩容180个，每只小箩容120个，这批蛋共值302.4元。若将每个鸡蛋便宜 2分
出售，这些蛋可卖252元。问：大箩、小箩各有几个？




3.运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批 西瓜共值290元。
如果每千克西瓜降价0.04元，这批西瓜只能卖250元。有多少千克大西瓜？




例5.甲、乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱 靶一次倒扣6分。两人各投10次，共得152分。
其中甲比乙多得16分，两人各中多少次？




变式训练
1.甲组工人生产一种零件，每天生产 250个。按规定每个合格记4分，生产一只不合格要倒扣15分。该
组工人4天共得了2752分，问 ：生产合格的零件共多少只？




2.某班42个同学参加植 树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵。已知男生共比女生多种56棵，
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求男、女生各多少人。




3.王师傅有2元、5元、10元的人民币共118张，共计500元。其中5元与10元的 张数相等，求三种人
民币各多少张。

















第22讲 作图法解题
专题简析：
用作图的方法把应用题的数量关系 提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的
途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应 用题，能起化难为易的作用。
在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一 个数或者几个数问题等应
用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算 式。
例1.五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩 下的男生人
数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？




变式训练
1.两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后， 剩下部分，第一根是第二根长度的3
倍。这两根电线原来共长多少厘米？


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2.甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31 个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一
筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？



3.哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人 的存款正好相等。哥哥原来
存有多少钱？



例2.同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？




变式训练
1.奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅多几只？




2.批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多 24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？



3.期末测试中，明明的语文 得了90分。数学比语文和作文的总分少70分。明明的数学比作文高多少分？



例3.甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数 扩
大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？




变式训练
1.甲、乙、丙、丁四个数的和是10 0，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正
好相等。求这四个数。



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2.甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5 ，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送
给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹 果多少个？




3.甲、乙、丙、丁一共做370个零件，如 果把甲做的个数加10，乙做的个数减20，丙做的个数乘以2，丁
做的个数除以2，四人做的零件正好 相等，求乙实际做了多少个？



例4.五（1）班全体同学做数学竞赛 题，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人，第二次及格人数增
加5人，使及格的人数是不及格人数 的6倍。五（1）班有多少人？




变式训练
1. 有两筐水果，甲筐水果的个数是乙筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲筐，这时甲筐的水果恰好是乙
筐 的5倍。原来两筐各有多少个水果？



2.某车间有两个小组，A组的 人数比B组人数的2倍多2人。如果从B组中抽10人去A组，则A组的人数
是B组的4倍。原来两组各 有多少人？



3.五（1）班上学期体育达标的人数比未达标人数的5 倍多2人，今年又有2倍同学达标，这样，达标的
人数正好是未达标人数的7倍。这个班共有多少个同学 ？




例5.用绳子测井深，把绳了三折来量，井外余16分 米；把绳子四折来量，井外余4分米。求井深和绳长。




变式训练
1.用一根绳子量大树的周长，把绳子2折后正好绕大树2圈；若把绳子3折后，绕 大树一圈还余30厘米。
求大树的周长和绳长。
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2.有一根绳子和一 根竹竿，把绳子对折后比竹竿长2为，把绳子四折后比竹竿短2米。竹竿长几米？绳子
长几米？




3.用一个杯子向一个空瓶里倒水，如果倒进3杯水，连瓶 共重440克；如果倒进7杯水，连瓶共重600克。
一杯水重多少克？空瓶重多少克？


















第23讲 分解质因数

专题简析：
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，75=3 ×5×5。
我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个 数分解
成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。
例1.把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？




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变式训练
1.有60个同学分成人数相等的小组去慰问 解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？




2. 195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？




3.甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。




例2.有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？




变式训练
1.把462名学生分成人数相等的若 干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人
数及分成的组数。




2.四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？



3.把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙 三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积
是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我 的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张
卡片？



例3.将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
2、5、14、24、27、55、56、99


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变式训练
1.下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。
□□×□□=1288



2.有三个自然数a、b、c，已知 a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的积是多少？



3.把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。



例4.王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和 学生每人植树一样多，那么他们一共
植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？



变式训练
1. 3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人 数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植
树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生 。




2.小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是 391，而且排数比座位号数大6。小青买的电影票是
几排几座？




3.把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是192 0。这篮苹果共有
多少个？



例5.下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。
□□×□□=1995

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变式训练
1.在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
□□□×□=1995



2.有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是3 9270立方厘米，求这个长方体的表面
积。




3 .有三个自然数a，b，c，已知a×b=35，b×c=55，a×c=77，求三个数之积是多少？



















第24讲 分解质因数（二）

专题简析：
许多题目，特别是一 些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用
分解质因数的方法求解。 因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积
有关的应用题。
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例1.三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？




变式训练
1.有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？


< br>2.张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求 张明
的成绩、名次和年龄分别是多少？



3.写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。



例2.长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？




变式训练
1. 237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。



2.有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？



3.有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。




例3.某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均 分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了
1073棵，那么，平均每人种了多少棵？


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变式训练
1.一个长方体的长、宽、高是三个连续的自 然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个
长方体的表面积是多少？



2.老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多 买3支。每支钢笔原价多少
元？


3.王老师带同学们擦玻璃，同学们恰 好平均分成3组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那
么，平均每人擦了多少块？


例4.把155186和221187约分。



变式训练
1.请用上面的方法把下面的几个分数约分。
4669 143117 247323 161253


例5.小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。 小明
买了多少张画片？



变式训练
1.求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？



2.自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？



3.将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的数就正好是 得钱人数的12
倍，求获奖人数和每人分得的钱数。

第25讲 最大公约数
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专题简析：
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数， 其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。我们可以
把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果 （a、b）=1，则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
例1.一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？


变式训练
1.把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？



2.一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方 形而无剩余，所锯成的正方形的边长最
长是多少厘米？




3.将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？



例2.一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。 要把它切成大小相等的正方体木块，不许有
剩余，正方体的棱长最大是多少分米？


变式训练
1.一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把 它切成大小相等的正方
体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？



2.有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组， 并且每个小组分得的三种水果
的个数也相同，最多可以分给几个小组？



3.五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班 同学不
能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？


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例3.有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和 480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每
小段最长可以是多少厘米？


变式训练
1.有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。如果要切成同样大 小的小正方体，这些正方
体的棱长最长是多少厘米？



2.用 一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方
形的边长最长是多少？



3.工人加工了三批零件，每加工一批零件， 除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同
样多。已知他们第一批共加工2100个， 其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中王
师傅比每个工人多加工6个；第三批 加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有
多少人？



例4.一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米 。现在准备在路边
裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树 ，求相邻两棵树之
间的距离最多是多少米？



变式训练 1.一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路边植树，要求相邻两树 间的
距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？



2.有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具， 最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼
物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？




3.甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？

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例5.用一张长1072毫米、宽469毫 米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正
方形的边长最长是多少？





变式训练
1.用辗转相除法求568和1065的最大公约数。




2.试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。




3.判断1111115015是不是最简分数。





















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第26讲 最小公倍数（一）
专题简析：
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公 倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1 时，[a、b]= a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
即（a、b）×[a、b]= a×b
要解 答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对
已知条件来 说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。
例1.两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？



变式训练
1.两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？



2.两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？



3.两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？



例2.两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？



变式训练
1.求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。



2.已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。

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3.已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。



例3.甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去 一次，丙5天
去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会 ？




变式训练
1. 1路、2路和5路车都从 东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车
每隔20分钟发一辆。当 这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？



2.甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒 ，丙
跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？




3.五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次， 三班的同学每两周去看一
次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他 们三个班的同学再次同一
天去张爷爷家？



例4.一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？




变式训练
1.用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？



2.有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这 些木块堆成一个尽可能大的正方体，这
个正方体的体积是多少立方厘米？
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3.一个长方体长2.7米、宽 1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这
些小正方体的棱长最多 是多少分米？



例5.甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米， 三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，
经过多少时间三人又同时从出发点出发？




变式训练
1.有一条长400米的环形跑道，甲 、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时
同地出发，同向而行，则10分钟 后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。




2.一环 形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行
5米 。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？




3. 甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若
三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？













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第27讲 最小公倍数（二）
专题简析：
最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时 ，我
们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出 结果。
例1.有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？



变式训练
1.学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人 一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年
级最少多少人？



2.一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？



3.一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。这袋糖至少有多少块？



例2.有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最 后一箱差2个；如果每28个装一箱，最
后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。 这批水果共有多少个？




变式训练
1.一所学校 的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？

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2.有一批乒乓球，总数在1000个以内 。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一
个。这批乒乓球到底有多少个？



3.食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后 一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后
一桶少7千克。如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千 克，丙种桶每桶能装12千克，那么，
食堂至少买回多少千克油？


例3 .一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200< br>颗之间，问共有多少颗？



变式训练
1.有一批树苗 ，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150至200之间，
求共 有多少棵树苗。



2.五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成 4组多2人，平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）
班有多少位同学？




3.有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。这批水果至少有多少个？



例4.从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两 根电线杆之间相距50米，现在要改成
每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根 不必移动？



变式训练
1.插一排红旗共26面。原来每两 面之间的距离是4米，现在改为5米。如果起点一面不移动，还可以有
几面不移动？

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2.一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距 离是90米。原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改
为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间 有几棵不必移动？




3.学校开运动会，在400米环形跑 道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。后来增加了一些彩旗，就
把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不 动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。问：现在彩旗的间隔是多少米？




例5.在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12 等份和15等份。
如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？




变式训练
1.用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成1 2等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木
棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共 锯成多少小段？





2.父子二人在雪地散步，父 亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。在120米内一共留下多少个
脚印？




3.在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6 米挂一个，黄气球每隔4米挂一个，。
如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端 外，中间挂有多少个红气球？






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第28讲 行程问题（一）
专题简析：
行程应用题是专门讲物体运动的 速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是：
路程=速度×时间。知道三个量中的 两个量，就能求出第三个量。
例1.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米， 乙车每小时行48千米。两车在距中
点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米?




变式训练
1.小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米 ，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120
米处相遇。学校到少年宫有多少米？




2.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽 车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，
当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。 甲、乙两地相距多少千米？



3.甲、乙二人同时从东村到西村，甲每 分钟行120米，乙每分钟行100米，结果甲比乙早5分钟到达西村。
东村到西村的路程是多少米？

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例2.快车和慢车同时从甲、乙两地相向开 出，乙车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千
米，这时快车与慢车还相距7千米。慢 车每小时行多少千米？



变式训练
1，兄弟二人同时从学校 和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，
这时兄弟二人还相距 30米。弟弟每分钟行多少米？




2.汽车从甲地开往乙地 ，每小时行32千米。4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时
56千米的速度行驶 ，再行几小时到达乙地？


3.学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去 参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学都能植这批
树苗的一半还多20棵。如果这批树苗全部给五（ 1）班的同学去植，平均每人植多少树？




例3.甲、乙二 人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即
返回东村，在 距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？




变式训练
1.甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲到 达B地后立即返回A地，
在离B地3.2千米处与乙相遇。A、B两地间的距离是多少千米？




2.小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走 20米。30分钟后小平到家，到家后
立即原路返回，在离家350千米处遇到小红。小红每分钟走多少 千米？



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3.甲、乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时 比乙快8千米。上午11时甲到达B地后立即返回，
在距B地24千米处与乙相遇。求A、B两地相距多 少千米？




例4.甲、乙两车早上8点分别从A、B两地同 时出发相向而行，到10点时两车相距112.5千米。两车继续
行驶到下午1点，两车相距还是112 .5千米。A、B两地间的距离是多少千米？




变式训练
1.甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米；又 行3小时，两车又相距120
千米。A、B两地相距多少千米？




2.东、西两村相距36千米，甲、乙二人同时从东西两村相向出发，3小时后，丙骑车从东 村出发去追甲，
结果三人同时在某地相遇。已知甲每小时行4千米，乙每小时行5千米，求丙的速度。




3.两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发， 一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间
不断往返送信。如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了 30千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4
千米，求两队同学的行走速度。




例5.甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时 两车相距112.5千米。两车继续行驶到
下午1时，两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距 离是多少千米？





变式训练
1.甲、 乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米。又行3小时，两车又相距120
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千米。A、B两地相距多少千米？



2.快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出，中午12时两车还相距50千米。继续 行驶到14时，
两车又相距170千米。甲、乙两地相距多少千米？




3.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，匀速前进。如果各人按原定速度前进，4小 时相遇；如果两
人各自比原计划少走1千米，则5小时相遇。A、B两地相距多少千米？










第29讲 行程问题（二）
专题简析：
本周的主要问题是“追及问题” 。 < br>追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。追及问题的基
本数量关系是：
速度差×追及时间=追及路程
解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之 所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。
抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道 理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分
析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解 题。
例1.中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。两车同时从相距60千米的两地同方 向开出，且
中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？




变式训练
1.一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的 速度是每小时65千米。
摩托车多长时间能够追上？

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2.兄弟二人从100米跑道的 起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米；哥哥在
后，每分钟跑140米。 几分钟后哥哥追上弟弟？



3.甲骑自行车从A地到B地，每小时行1 6千米。1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千
米，结果两人同时到达B地。A、B两 地相距多少千米？





例2.一辆汽车从甲地开往 乙地，要行360千米。开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故
障修车2小时。因为要 按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的？







变式训练
1.小王家离工厂3千 米，他每天骑车以每分钟200米的速度上班，正好准时到工厂。有一天，他出发几分
钟后，因遇熟人停 车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米。小王是在离工厂多远处遇
到熟人的？



2.一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时能到达。 这辆汽车以每小时36千米的速度行驶
一段时间后，因排队加油用去了15分钟。为了能在8小时内到达 乙地，加油后每小时必须多行7.2千米。
加油站离乙地多少千米？




3.汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后能到达乙地。汽车出发1小时后原路 返回甲地取东西，
然后立即从甲地出发。为了能在原来时间内到达乙地，汽车必须以每小时多少千米的速 度驶向乙地？


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例3.甲、乙两人以每分钟60米的速度同 时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙
继续前进。甲取东西用去5分钟的时间 ，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。甲骑车多少分钟才
能追上乙？




变式训练
1.兄弟二人同时从家出发去学校，哥哥每分钟走 80米，弟弟每分钟走60米。出发10分钟钟后，哥哥返
回家中取文具，然后立即骑车以每分钟310 米的速度去追弟弟。哥哥骑车几分钟追上弟弟？



2.快车每小时行6 0千米，慢车每小时行40千米，两车同时从甲地开往乙地。出发0.5小时后，快车因故
停下修车1. 5小时。修好车后，快车仍用原速前进，经过几小时才能追上慢车？



3.甲、乙二人加工同样多的零件，甲每小时加工20个，乙每小时加工15个。一天，乙比甲早工作2小时，< br>到下午二人同时完成了加工任务。他俩一共加工了多少个零件？




例4.甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。 出发后10分
钟，甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米，求甲、乙二人的速度各 是多少？



变式训练
1.爸爸和小明同时从同一地点 出发，沿相同方向在环形跑道上跑步。爸爸每分钟跑150米，小明每分钟跑
120米，如果跑道全长9 00米，问：至少经营几分钟爸爸从小明身后追上小明？



2.在30 0米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米。两人起跑
后的 第一次相遇点在起跑线前多少米？



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3.环湖一周共400米，甲、乙二人同时从同一地点 同方向出发，甲过10分钟第一次从乙身后追上乙。若
二人同时从同一地点反向而行，只要2分钟二人就 相遇。求甲、乙的速度。



例5.甲、乙、丙三人步行的速度分别是每 分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙在公路上
B处，三人同时出发，甲与乙、丙相 向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。



变式训练
2.甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。甲、乙二 人在B地，丙在A地与甲、
乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又过2分钟和甲相遇。求A、B两地的 路程。




3.甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60 米、80米、100米。甲、乙二人从B地同时同向出发，丙
从A地同时同向去追甲和乙。丙追上甲后又 经过10分钟才追上乙。求A、B两地的路程。



3.A、B两地相距 1800米，甲、乙二人从A地出发，丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行。已知甲、
乙、丙三人的 速度分别是每分钟60米、80米和100米，当乙和丙相遇时，甲落后于乙多少米？



第30讲 行程问题（三）
专题简析：
很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易。
列方程解答行 程问题的优点是可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟悉的数
量关系。因此，对于 一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟
悉的等量关系列出方 程，方便解题。
例1.A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米；半小时 后，乙车从B地开往A地，
每小时行42千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？



变式训练
1.甲、乙两地相距658千米，客车从甲地开出，每小时行58千米。 1小时后，货车从乙地开出，每小时行
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师

62千米。货车开出几小时后与客车相遇？




2.小军和小明分别从相距1860米的两处相向出发，小军出发5分钟后小明才 出发。已知小军每分钟行120
米，小明骑车每分钟行300米。求小军出发几分钟后与小明相遇？




3.甲、乙两地相距446千米，快、慢两车同时从甲、乙 两地相对开出，快车每小时行68千米，慢车每小
时行35千米。中途慢车因修车停留半小时，求共经过 几小时两车在途中相遇。




例2.一辆汽车从甲地开往乙地 ，平均每小时行20千米。到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往
返一次共用7.5小时。求 甲、乙两地间的路程。




变式训练
1.汽车从甲 地开往乙地送货。去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米，往返一次共用8小时45
分。求甲 、乙两地间的路程。




2.一架飞机所带的燃料最多可用9 小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可
飞1200千米。这架飞机最多 飞多少千米就要往回飞？




3.师徒二人加工一批零件。师 傅每小时加工35个，徒弟每小时加工28个。师傅先加工了这批零件的一半
后，剩下的由徒弟去加工。 二人共用18小时完成了加工任务。这批零件共有多少个？




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