约翰施特劳斯-杜晓婷

小学各题型奥数题及答案
一．比例问题
1．AB两人在河边钓鱼,A钓了三 条,B钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是三
人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过 路人留下10元,A、B怎么分？
答案：A收8元，B收2元。
解：
“三人将 五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6
元。
又因为“A钓了三条”，相当于A吃之前已经出资3*6＝18元，“B钓了两条”，相当于B吃之
前已 经出资2*6＝12元。
而AB两人吃了的价值都是10元，所以
A还可以收回18-10＝8元
B还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。

2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍 保持原售价，因此，每份利润下降
了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案2225
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则 今年的成本提高110，就是22份，利润下降
了25，今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下 降利润的2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的2225。

3．A B两车分别从甲乙两地出发,相向而行,出发时,A.B的速度比是5:4,相遇后,A的速度减少
20 %,B的速度增加20%,这样,当A到达乙地时,B离甲地还有10千米,那么甲乙两地相距多少
千米 ?
解：
原来A.B乙的速度比是5:4
现在的A：5×（1-20％）＝4
现在的B：4×（1+20％）4.8
A到乙地后，B离甲地还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米

4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原来 的34，则面积是原来
的916。
根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高
现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427
或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27

5．某市场运来香蕉、苹果 、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共45
吨。橘子正好占总数的13分之2。 一共运来水果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨

橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213

说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份

二．工程问题
1 ．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水
要10小 时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还
是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼
此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲 队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效
率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且 要求两队合作的天数尽可能少，那
么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙 的工效为130，甲乙的合作工效为120*45+130*910
＝7100，可知甲乙合作工效>甲 的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天 内实在来不及
的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2
小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根 据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙
做2小时一共 的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么
恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮
流做 ，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项
工程要多少天完 成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法
就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2

又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成了 任
务时，徒弟完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两 次一共全部完工，那么徒弟第二次
后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚好是 120个。

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均 每人栽10棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管 ，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管
也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲 管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管
用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开 丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是
甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

三．动物同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的
脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为
396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也就
是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的
相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数

四．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123 456789.....2005,这个多位数
除以9余数是多少?
解：
首先研究 能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能
被9整除；如果各个位 数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29… …90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是
10+20+30+… …+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；

同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除
（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈1 02.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
102，也有可能是 103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和是1 7.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位
数字与个位数字对调,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6 ．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然
数的平方, 这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714

解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcd e（字母上无法加横线，请将整个看成一个六
位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字
与百位数字互换,千位 数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

五．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1 ＝120种不同的排法，但是因为
是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有 120÷5＝24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法， 总共又
2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59

4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解 ：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头
的点，因此追及的路程应 该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向 并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平
均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几 米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方
100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火
车鸣笛 时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出
1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现在离它10米远的 前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它
跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的 动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑 9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。由“猎犬跑
2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时 间，猎犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝53a米。从而
可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a＝6 ：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，
本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两< br>地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多
少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解

9．甲乙两车同时从AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后
立即返回。第二次相遇时离B地的距 离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了120
千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程， 从开始到第二次相
遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相 遇前
各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走
了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A 地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时
出发相向而行，相 遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。
第二次相遇点第一次相遇点之间 有（）千米