2015高考数学-夏天作文

分数求和


分数求和的常用方法：
1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从
而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的
拆分，使得其中一部分分数可以互 相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分
化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出
结果。

典型例题
一、公式法：
计算：
7
…
2
1，成等差数列，我们
2008
分析：这道题中相邻两个加数之间相差
可以运用等差 数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。
7
…
2
12007
=（＋）×2007÷2
20082008
1
=
1003

2

二、图解法：
计算： ＋＋＋
1
2
1
4
1
8
111
＋＋
163264
分析：解法一，先画出线段图：

从图中可以看出： ＋＋＋
1
2
1
4
1
8
111163
＋＋=1－=
1632646464
解法二:观察算式，可以发现后一 个加数总是前一个加数的一半。因
此，只要添上一个加数
算式之和。
1
11111
＋＋＋＋＋
8
24163264
1
1111111
= ＋＋＋＋＋（＋）－
8
241632646464
1
111111
= ＋＋＋＋（+）－
8
2416323264
11
，就能凑成，依次向前类推，可以求出
6432
……
1
2
63
=
64
= ×2－
1

64
解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这 一特点，
我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。
111
＋＋ ①
163264
1
11111
那么，2（ ＋＋＋＋＋）×2
8
24163264
1
1111
=1+ ＋＋＋＋
8
241632
设 ＋＋＋
1
2
1
4
1
8
②

用②－①得
2x－1+ ＋＋＋
63

64
1
2
1
4
1
8
1
1111111
＋－（ ＋＋＋＋＋）
8
4
所以， ＋＋＋

1
2
1
4
1
8
11163
＋＋=
16326464

三、裂项法
1、计算：+＋
1
2
1
6
11111
＋＋＋……＋＋

分析：由于每个分数的分 子均为1，先分解分母去找规律：2=1
×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5× 6，……110=10×11，
这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型：因为
1
11111111
1
1
1－，－，－，……，
3
123 4
3
212262324
1
1
11
。这样将连加运算 变成加减混合运算，中间分数互相
110
1011
1011
抵消，只留下头 和尾两个分数，给计算带来方便。
1111111
+＋＋＋＋……＋＋
26
111
111111
=1－＋－＋－＋……＋－＋-
339
224101011
1
=1－
11
10
=
11

11
111
＋＋＋……＋＋
1559
29333337
913
1111
44
4
1
4
1
分析：因为=1－，=－，=－……=－
5
59
59
913
9
1513
2933
29
1
4
11
， =－。所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大4
33
3337
3337
2、计算：
倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。
11
111
＋＋＋……＋＋
1559
29333337< br>913
44
444
=（＋＋＋……＋＋）÷4
1559
29333337
913
1111
11111
=（1－＋－＋－＋… …＋－＋－）÷4
5599
1329333337
1
=（1－）÷4
37
9
=
37
4444444
4
3、计算：21－－－－－－－－
3195
255
11
411
分析：因为=4×=4×=4×（1－）×,
33
3132
11
4111
=4×=4×=4×(－)×,
35
1515352

1
41111
=4×=4×=4×(－)×,
5
35355772
……
411
111
=4×=4×=4×(－)×.
15172
2552551517
所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
444444
4
－－－－－－
195
255
11111111
=21－4×（1－+－+－＋……＋－）×
3355
715172
1
=21－2×(1－)
17
2
=19
17
19899
4、计算：＋＋＋＋＋……＋＋
26122
21－ －
4
3
分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为：
9
=1－=1－，=1－=1－，=1－=1－，
221266231212342 0
1198991
1
=1－=1－，……，=1－=1－.然后再裂项相
20 4599009900
99100
消。
19899
＋＋＋＋＋……＋＋
26122
11111
=（1－）＋（1－）＋（1－）＋(1－)＋……＋(1－)
2612209900
11111
=1×99－(＋＋＋＋……＋)
2612209900
1111
1
=99－(＋＋＋＋……＋)
12233445
99100
1
=99－(1－)
100
1
=99
100
1111

5、计算：1＋+……+
121231 234123......100
分析：可以看出，第一项的分母为1，第二项的分母为 两个数相加，
依此类推，最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。这样，
利用等差数列 求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。
再裂项求和。
解法一：1＋
1111

+……+
12123123 4123......100

12
1111

 ......
(12)2(13)3(14)4(1100)100
1 2
2222
22222
=
......
1223 3445100101
1
=2×（1－）
101
99
=
1

101
解法二：原式=
212121212
......
122(12)2(12 3)2(1234)2(12......99100)
2222

......
122334100101
1111
=2×（）
......
122334100101
1
=2×（1－）
101
99
=
1

101
1111
6、计算：


…＋
12 32343459899100
=
分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数 之差：
11111111
()
，
(
)
，……
1232122323422334
1111
此时，可消中间，留两 头进行巧算。
()
，
98991002989999100
1
11
1
11
1
原式=×（）＋×（）+……＋×
222
12232334
11
（）

989999100
1
111111
=×（＋＋……＋） < br>
2
12232334989999100
1
11< br>=×（）

2
1299100
4949
=
19800

1234567
+－－＋＋－
2004
891 12002
－＋＋－……－－＋＋
2004
2
分析：算式中共有2002个 分数，从第二个分数开始依次往后数，
2004
2001
每四个分数为一组，到为止， 共有500组，每组计算结果都是
2004
四、分组法：计算，

0.
12345678
（－－＋）＋（－－＋
20042004
91020012 002
）＋－……+（－－＋）＋
2004
12002

20042004
2003
=
2004
原式

五 、代入法：计算（1+

）×（

）－（1＋

）
×（

）
分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，
化难为易。
设

，

，则
原式=（1）×B－(1)×A
＋－A－
－A
11
23
1
=
5
1< br>2
1
3
1
4
1
2
1
3
1< br>4
1
2
1
3
1
4
1
2
1< br>3
1
4
1
5
1
2
1
3
1< br>4
1
5
1
2
1
3
1
4
1< br>5
=(

)－(

)
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4

热点习题
计算：
135791113

【1】
4949494 9494949
1
1111111
2、
1
【
】
248163264128
128
6
111111
3、

【
】
7
2612203042
11111
......
4、
1988198919891990199019912007200820082009< br>113

【
】
556
1
11111
......
5、【】
3 9
13151517171935373739
1、

511111
71113
【41
】
14
61220304 2
1
5
7、

【
6
】
8261220304256
10
40
8、

【
1 0
】

21
39
5791
9、
1 

612210
2334
45
56
6 7
78899101011
【原式=1－＋－－+－
45
5 6
67
782334899101011
2334451011
=1－（）+（）－()+…－（）

23233434454510 111011
11111111
=1－(

)+(

) －(

)+…－(

)
3243541110
11
9
=1－

=
】 211
22

10、－－－－＋＋
2002
7199819992
＋…＋＋－－－－＋＋
20022002
3
【从第三个分数开始依次往后数 ，每8个分数为一组，到最后
2002
2002
一个分数为止，共有250组，每组计 算结果都是0.所以，原式
2002
3
12
】
20022002< br>2002
111
11、(1+

)×（

）－(1+

)×
23452345623456
1111
(

)
2345
11111111
111
【设1

，

，原式×（
）－（）×】
666
234 52345
1121231234
12、
+…+
()()( 
)
2334445555
1231819
（
...）
2020202020
111111
【原式1
1
2+2+…+9=（+9）×19÷2=95】
222222
1921
13、2001 年是中国共产党建党80周年，是个有特殊意义的分
2001
1921
数。如果下式大 于，那么n最小等于多少？
2001
6、2+
35
1111
......

122334n(n1)
【1－
11921
1
＞，n＞< br>24
】
n12001
8
234

－……－ < br>1(12)(12)(123)(123)(1234)
14、
1

10

(123......9)(123. .....10)
【先对分母用等差数列求和，再整体裂项求和。
4
444
－…－

91011
12323 4345
1111
111
11
=1－4×[×()+×()＋…＋×（）

222
9101011
12232334
11< br>11
=1－4××（）=】

255
121011
11 11
15、
2

2

2
.......
2

2141611001
原式=1－
【利用公式
11< br>
11




变形各项。原式
a2
12

a1a1

1

11

50



】

2

21 1001

101
(2
2
4
2
6
2
......100
2
)(1
2
3
2
5
2
......99
2
)
16、
123... ...1098......1
【利用
a
2
b
2


ab

ab

变形，分母=100，分子=（ 2+1）（2-1）+
（4+3）（4-3）＋…＋（100＋99）（100-99）=3＋7＋11 ＋…＋
199=101×50,原式

10150
1
50
】
2
100