我懂事了-教师节是哪一天

实用标准
逻辑推理（一） 数字游戏
◇专 题 知 识 简 述◇

由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径.
为了 使同学们在思考问题时更严密更合理，会有很有据地想问题，而不是凭空猜想，这里
我们专门讨论一些有 关逻辑推理的问题。
解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析 推理，
排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。
◇例 题 解 析◇
例1 公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每
个 司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前
面的车的标志.调 度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而
让他们根据已知的情况进行判断 .他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机
看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”. 第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根
据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道.第一个 司机也很聪明，他根据第二、三
个司机的“不知道”，作出了正确的判断，说出了自己的目的地。
请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？
解：根 据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A市，说明第一、
二辆车不可能都开往A市. （否则，如果第一、二辆车都开往A市的，那么第三辆车的司机
立即可以断定他的车一定开往B市）。
再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A市的.（否则，如果第
一辆 车开往A市，则第二辆车即可推断他一定开往B市）。
运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B市。
例2 李明、王宁、张虎三个男同学 都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双
打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。
第一盘，李明和小华对张虎和小红；
第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛 ，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张
虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两 种可能了。
第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；
第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。
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实用标准
对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，
这样 就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，
只有第二种可能是合 理的。
所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。
例3 “迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：“如
果 我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说：“如
果丁没获奖，那 么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、
丙说的话都是正确的.那么没 能获奖的同学是___。
解：首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖.否则，假设丁没获奖，那 么丙也没获奖，
这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾。
其次考虑甲是否获奖，假设 甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也能获奖；再
根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得 出4个人全都能获奖，不可能.因此，只有
甲没有获奖。
例4 数学竞赛后，小明、小华、小 强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一
人得铜牌.王老师猜测：“小明得金牌；小华不得 金牌；小强不得铜牌.”结果王老师只猜
对了一个.那么小明得___牌，小华得___牌，小强得__ _牌。
分析 逻辑问题通常直接采用正确的推理，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃不合理的情形，最后得到问题的解答.这里以小明所得奖牌进行分析。
解：①若“小明得金牌”时，小华一定“不得金牌”，这与“王老师只猜对了一个”
相矛盾，不合题意。
②若小明得银牌时，再以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌，小强得铜牌，那么
王老 师没有猜对一个，不合题意；如果小华得铜牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，
也不合题意.
③若小明得铜牌时，仍以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌，小强得银牌，那么
王老 师只猜对小强得奖牌的名次，符合题意；如果小华得银牌，小强得金牌，那么王老师
猜对了两个，不合题 意。
综上所述，小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌符合题意。
例5 有三只盒 子，甲盒装了两个1克的砝码；乙盒装了两个2克的砝码；丙盒装了一个1
克、一个2克的砝码.每只盒 子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从
一只盒子里取出一个砝码，放到天平上称了 一下，就把所有标签都改正过来了.你知道这是
为什么吗？
分析 解决本题的关键是确定 打开哪只盒子：若打开标有“两个1克砝码”的盒子，则
该盒的真实内容是“两个2克砝码”或“一个1 克砝码，一个2克砝码”，当取出的是2
克砝码时，就无法对其内容作出准确的判断.同样，打开标有“ 两个2克砝码”的盒子时，
也会出现类似的情况.所以，应打开标有“一个1克砝码，一个2克砝码”的 盒子.而它的
真实内容应该是“两个1克砝码”或“两个2克砝码”。
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①若取出的是1克砝码，则该盒一定装有两个1克砝码，从而标 有“两个2克砝码”
的盒子里，不可能是两个2克或两个1克的砝码，而只能是一个1克，一个2克的砝 码了；
标有“两个1克砝码”的盒子自然装有两个2克砝码。
②若取出的是2克砝码，同 理可知，此盒装有两个2克砝码；标有“两个1克砝码”
的盒子里实际上是一个1克和一个2克的砝码； 标有“两个2克砝码”的盒子里实际上是
两个1克砝码.
按以上的推理结果，小明就将全部标签改正过来了。
例6 四人打桥牌，某人手中有13张牌，四种花 色样样有；四种花色的张数互不相同.红桃
和方块共5张；红桃与黑桃共6张；有两张将牌（主牌）.试 问这副牌以什么花色的牌为主？
解：①假设红桃为主.那么红桃有2张；方块有3张；黑桃有4张 ，因为共13张牌，
所以草花有4张，这样，黑桃为草花张数相同.与已知条件“四种花色的张数互不相 同”矛
盾，即红桃不是主牌。
②假设方块为主牌.那么方块有2张；红桃有3张；则黑桃也有3张，亦与已知矛盾。
③假设草花 为主牌.那么草花有2张.并且推得红桃+方块+黑桃共有11张牌.而已知“红
桃和方块共5张，红桃 与黑桃共6张”，即得红桃+方块+红桃+黑桃共11张牌.由此得到红
桃的张数应为零.与已知条件“ 四种花色样样有”相矛盾.说明草花不是主牌。
由以上推理得知，黑桃必为主牌.即黑桃有2张；红桃有4张；方块有1张.那么草花
有6张。
例7 S、B、J、R四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金，但他们都不知
道自己获得的是哪一门获学金.他们相互猜测：
S：“R得逻辑学奖”；
B：“J得英语奖”；
J：“S得不到数学奖”；
R：“B得语文奖”。
最后发现，数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的，其他两人都猜错了.那么他们
各得 哪门学科的奖学金？
分析 假设S猜对，即R得逻辑学奖.由已知条件“逻辑学获奖者所作的猜测 是正确的”，
则R猜对，那么B得语文奖，并且J、B均猜错.而由B猜错，可知J得数学奖，S只好得
英语奖，这又说明J猜“S得不到数学奖”是正确的.与前面的推理（J猜错）矛盾.所以S
的 猜测是错误的。
解：S猜错，即R得不到逻辑学奖，S不得数学奖且不得逻辑学奖.由此可知，J 的猜
测是正确的.则J得数学或逻辑学奖.于是推得，B猜错，故R猜对，即B得语文奖，S得英
语奖，所以R得数学奖，J得逻辑学奖。
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例8 A、B、C三人进行小口径步枪射击比赛，每个人射击6次，并且都得了71分.三人共
18次的得分情况，从小到大排列为：
1，1，1，2，2，3，3，5，5，10，10，10，20，20，20，25，25，50。
已知A首先射击两次，共得22分；C第一次射击只得3分，请根据条件判断，是谁击
中了靶心（击中靶 心得50分）？
解：我们先来推断A6次射击的情况.已知前两次得22分，6次共得71分，从
71-22＝49
可知，击中靶心的决不会是A.另一方面，在上面18个数中，两 数之和等于22的只可
能是20和2.再来推算一下四个数之和等于49的可能性.首先，在这四个数中 ，如果没有
25，是绝不可能组成49的.其次，由于49-25=24，则如果没有20，任何三个数 也不能组成
24.而24-20=4，剩下的两个数显然只能是1和3了.所以A射击6次的得分（不考 虑得分
顺序）应该是
20，2，25，20，3，1。
（可在前面18个数中，划去上述6个数）。
再来推断击中靶心的人6次得分的情况.从
71-50=21
可知，要在前面12个未被划去的数中，取5个数，使其和是21 .可以断定，这5个数
中，必须包括一个10，一个5，一个3，一个2，一个1.即6次得分情况为
50，10，5，3，2，1。
在前面12个未被划去的数中，划去上面这6个数。
剩下的6个数
25，20，10，10，5，1
就是第三个人的得分情况了。
从这6个数中没有3，而C第一次得了3分，可知这6个数是B射击的得分数.因此C
是击中靶心的人。
例9 在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话.
一次 我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗
子？”这四个人的回 答如下：
第一个人说：“我们四个人全都是骗子.”
第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子.”
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第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子.”
第四个人说：“我是老实人.”
请判断一下，第四个人是老实人吗？
解：①四个人当中一定有老实人.因为如果四个 人都是骗子，则谁也不会说“我们四个
人全都是骗子”.所以第一个人为骗子。
②第二个 人为骗子.因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗
子，则第二、三、四个人都 是老实人.但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，
故第二个人说的是假话，他是骗子。
下面再看第三个人的回答：如果第三个人是编子，则由①可知，第四个人一定是老实
人；若 第三个人是老实人，那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗
子还是老实人，都可 以推出第四个人是老实人。
所以，第四个人是老实人。
例10 某医院内科病房，A、 B、C、D、E、F、G七名护士每周轮流安排一个夜班.已经知道：
A的夜班比C的夜班晚一天，D的 夜班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早
三天；F的夜班在B和C的夜班的正中间，而且 是在星期四.问每个护士分别在星期几值夜
班？
解：除F以外，可将已知条件归纳如下：CA，E__D，B____G.这里的横线表示空位。
可见CA不能排在B____G中间，否则F就无法排在BC的正中间了.又F必排在三个空
位之一，因 此还有两个空位必定是E__D和B__G交叉填空.于是可排出：EBDFG或BFEGD两
种情况， 而CA只能加在任何一端，那么就有CAEBDFG，EBDFGCA，CABFEGD和BFEGD－CA四< br>种排位.其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件“F在BC的正中间”.所以七名护士值班
排序是：E星期一值班，B星期二值班，D星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星
期六值班 ，A星期日值班.
◇练习巩固◇
1.有一个珠宝店发生了一起盗窃案，被盗走了许多珍贵的 珠宝.经过几个月的侦破，查明作
案的人肯定是A、B、C、D中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进 行审讯，这四个人有这
样的口供：
A：“珠宝店被盗那天，我在别的城市，所以我是不可能作案的.”
B：“D是罪犯.”
C：“B是盗窃犯，他曾在黑市上卖珠宝.”
D：“B与我有仇，陷害我.”
因为口供不一致，无法判断谁是罪犯，经过进一步调查知道，这四个人只有一个说的
是真话 .你知道罪犯是谁吗？
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2.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：“甲是2号，乙是3号.”
钱说：“丙是4号，乙是2号.”
孙说：“丁是2号，丙是3号.”
李说：“丁是4号，甲是1号.”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？
3.对某班同学进行了调查，知道如下情况：
①有哥哥的人没有姐姐；
②没有哥哥的人有弟弟；
③有弟弟的人有妹妹。
试问：
（1）有姐姐的人一定没有哥哥，对吗？
（2）有弟弟的人一定没有哥哥，对吗？
（3）没有哥哥的人一定有妹妹，对吗？
4.某校办数学竞赛，A、B、C、D.E五位同学得了 前五名，发奖前，老师让他们猜一猜
各人的名次排列情况。
A说：B第三名，C第五名。
B说：E第四名，D第五名。
C说：A第一名，E第四名。
D说：C第一名，B第二名。
E说：A第三名，B第四名。
老师说：每个名次都有人猜对.那么，这五名同学的名次是怎样排列的？
◇练习答案◇
1. 根据B、D两人的话矛盾，可知两句话中必有一句真话，一句假话.假设B
说真话，那么D是罪犯，而A 也说了真话，产生了矛盾，所以只有D说真话，
其余三人均说假话，则A偷了珠宝。
2. 直接推理可得，由于每人只说对一半，且只有李提到了1号，故甲是1号，从而逐
步推出：乙是3号，丙 是4号，丁是2号。
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3.根据条件①得到（1）是对的；
“有弟弟且有哥哥”并不与①②③矛盾，因此得到（2）是不对的；根据条件②③得到
（3）是对的；
4.名次排列为：C、B、A、E、D解法如第2题.
◇教学反思◇
第二十五讲
逻辑推理（二）
数字游戏
月 日 课次
◇专 题 知 识 简 述◇
上一讲我们介绍了 有关逻辑推理问题的简单例子，它并没有用到专门的数学原理，而是直
接运用正确推理，解决逻辑问题的 .这一讲我们将利用图表解决一些较为复杂的逻辑推理问
题。
◇例 题 解 析◇
例11 一次数学考试，共六道判断题.考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“×”.
记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分.已知A、B、C、D、E、F、
G七人 的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分，并简单说明你的思
路。
分析 由于E得了9分，说明他只答错了一道题.先假定答错的是第1题，这样就有一
个标准答案，并由 此可分析其他人的得分.如出现矛盾，再假定E答错的是第2题，…，直
到判断出E答错的题号为止.有 了正确的答案，就可以写出G的得分。

解：假设E的第1题答错，那么A至少错3道题 ，一题未答，最多得5分，与A得7
分矛盾.所以E第1题答对。
假设E第2题答错，可知A最多得3分，矛盾.所以E第2题答对。
假设E第3题答错，则B最多得3分，矛盾.所以E第3题答对。
假设E第6题答错，则D最多得3分，矛盾.所以E第6题答对。
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实用标准
由于E得9分，因此E只答错一题，因此E第4题答错，于是A 的第2、4两题对，3、
6两题错.而A得7分，说明A的第5题是对的.由A、E两人的答案，可得一 标准答案如下
表：

按此标准评分，与题中所给A、B、C、D、E、F得分相 符合，所以E的第4题确实答错
了.上表的答案是正确的.故可知G得8分。
例12 李英、 赵林、王红三人参加全国小学生数学竞赛，他们是来自金城、沙市、水乡的
选手，并分别获得一、二、三 等奖.现在知道：
①李英不是金城的选手；
②赵林不是沙市的选手；
③金城的选手不是一等奖；
④沙市的选手得二等奖；
⑤赵林不是三等奖。
根据上述情况，王红是__的选手，他得的是__等奖。
解：为了便于分析，我们画表帮助思考.

根据条件①②，在相应的格中打上“×”。
由条件④得出：如果王红是沙市的选手，他得二等奖，那么由条件③可知：金城选手
不是一 等奖，只能是三等奖.又因为李英不是金城选手，只有赵林得三等奖.这与条件⑤矛
盾.所以王红不是沙 市选手，沙市选手应该是李英，他得二等奖.这样金城的选手只能是王
红，他得三等奖。
例13 李云和他哥哥参加一次集会，同时出席的还有其他两对兄弟.见面后有的人握手问候，
没有人和自己的兄弟问候，也没有人和同一个人握两次手.事后李云发现除自己外每个人握
手次数互不相 同，问李云握了几次手？李云的哥哥握了几次手？
解：设除李云（用0表示）之外的五个人分别是 A、B、C、D、E，他们握手的次数分
别是0次、1次、2次、3次、4次，那么他们的握手情况可以 用右图来表示，其中一条连
线表示握过手一次，没有连线即表示没握过手。
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从图中很容易看出：李云握手2次。
那么，谁是李云的哥哥呢？因为A是唯一没有和E握过手的人，所以A、E是一对兄弟.D
只和A、B没 握过手，而A已经是E的兄弟了，所以B、D也是一对兄弟.这样只剩下C是李
云的哥哥，他握手的次数 也为2次.
例14 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，
有A、B、C、D、E五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。
A猜：第二包是紫的，第三包是黄的；
B猜：第二包是蓝的，第四包是红的；
C猜：第一包是红的，第五包是白的；
D猜：第三包是蓝的，第四包是白的；
E猜：第二包是黄的，第五包是紫的。
猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每 包只有一人猜对.请你判断
他们各猜对了哪一包？
解：我们把题目中的条件列成一个表，就更清楚了。

根据已知条件，每一包都只有一人 猜对，而第一包只有C猜，所以C猜对了第一包，
是红的；又根据每人只猜对了一种，所以C猜第五包是 白的，猜错了；第五包只有C、E两
人猜，所以E猜第五包是紫的，猜对了；那么E猜第二包是黄的，猜 错了；紫颜色的珠子，
只有A、E两人猜，那么A猜第二包是紫的，猜错了；第二包有A、B、E三人猜 ，其中A、
E都猜错了，所以B猜第二包是蓝的，猜对了；那么B猜第四包是红的，猜错了；D猜第三< br>包是蓝的，也猜错了；所以A猜对的是第三包，是黄的；D猜对的是第四包，是白的。
总结 以上推理判断，A猜对了第三包是黄的，B猜对了第二包是蓝的，C猜对了第一包
是红的，D猜对了第四 包是白的，E猜对了第五包是紫的。
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注如果题中只给了一个条件：“每人都只猜对了一包”，你能判断他们都猜对了哪包
吗？
例15 有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2
个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的
比分。
分析 解决本题首先要明白两点常识：
①一个队踢进一个球，对方就失去一个球，所以三个队的总进球数应等于总失球数；
②两个队踢平，显然该场球的进、失球的总数应相等。
根据已知条件，可以列成表格如下：

解：已知每两个队要赛一场，一共要赛三场球.B是两战两胜，显然一场胜A，另一场< br>胜C；A踢平一场无疑是与C比赛的这场球。
由总进球数等于总失球数，则B队的进球数应为9个。
因为A与C两队进球总数是6个，那么除去 A、C对B的那两场球赛中，踢进B队的那
2球外，剩下的4个球便是A与C踢平那一场中双方各自踢进 对方的进球数的和，因此A
与C踢成2比2。
现在从C的进球数分析，由于C进球4个， 除去与A两平外，另外进的两个球是对B
比赛进的球数；再从C的失球数分析，因为C对A失两球，表中 C共失了5个球，因此另
外失的3个球就是对B失的球数.所以C对B是2比3。
再因为 B进球共9个，除去对C进的3个球，那么对A就进了6个球，A对B没有进
球，所以B对A是6比0。
例16 北京至福州列车里坐着6位旅客：A、B、C、D、E、F.分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州，已知
①A和北京人是医生；E和天津人是教师；C和上海人是工程师。
②A、B、F和扬州人参过军，而上海人从未参军。
③南京人比A岁数大；杭州人比B岁数大；F最年轻。
④B和北京人一起去扬州；C和南京人一起去广州。
试根据已知条件确定每位旅客的住址和职业。
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分析 由于职业可由住址确定，所以只需考虑确定旅客的住址。

解：下面我们利用表格进行推 理.表格中记号“√”表示这个人是来自这个城市；记号
“×”表示这个人不来自这个城市。
由①可知，A、C、E既不是北京人，也不是天津、上海人；由②可知，A、B、F不是上
海人，也不是 扬州人.于是得到D是上海人.那么他不是其他城市的人.如图（a）。
由③知，A和F不是南京人，那么A一定是杭州人.而其他旅客都不是杭州人.如下图
（b）。
由④可知，B不是北京人，也不是南京人；C不是南京人，那么B是天津人，C是扬州
人； 故F是北京人，E是南京人.如下图（c）。

综合上述推理，我们得到：
A是医生，来自杭州；B是教师，来自天津；
C是工程师，来自扬州；D是工程师，来自上海；
E是教师，来自南京；F是医生，来自北京。
例17 甲、乙、丙三人分别在北京、天津、上海的中学教数学、物理、化学.已知
①甲不在北京；
②乙不在天津；
③在北京的人不教化学；
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④在天津的人教数学；
⑤乙不教物理。
根据以上情况判断，甲、乙、丙三人分别在何处教何课程？
分析 根据已知条件，我们把 人、地区、科目这三类分别用点表示在三个集合内.规定：两
者之间有关系用实线连接，没有关系用虚线 连接.这样把问题转化为用图进行推理（如图
（a））.据此，下面的结果是显然的：①如果某一点用虚 线连接某一个集合的两个点，则
这点与这一集合内的第三个点应连实线；②如果在以不同集合内的点为顶 点的三角形中两
条边是实线，则第三条边也应该是实线.这样，上述三角形中若一条边为虚线，另一条边 为
实线，则第三条边一定为虚线.这两条结论是解题的依据.解题的关键是找到三个以实线为
边 的三角形。

解：根据题意，甲与北京、乙与天津、乙与物理、北京与化学之间连虚线； 天津与数
学之间连实线（如上图（b））.这样，根据上面的结论，乙与数学应连虚线，乙与化学应连实线。
从而天津与化学连虚线，上海与化学连实线，乙与上海连实线（如下页图（c））， 即
乙在上海教化学.由图（c）进一步可以看出，甲与上海应连虚线，甲与天津连实线.因而甲
与数学连实线（如下页图（d））.由此得出：甲在天津教数学，而余下就是丙在北京教物
理.


◇练习巩固◇

1.A、B、C、D四位同学参加60米赛跑 的决赛.赛前，四位同学对比赛结果各说了如下的一
句话：
A说：“我会得第一名.”
B说：“A、C都不会取得第一名.”
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C说：“A或B会得第一名.”
D说：“B会得第一名.”
结果有两位同学说对了.试问：谁会获得这次决赛的第一名？
2.A、B、C、D四人同住一间寝 室，其中一人在修指甲，一人在洗头，一人在画画，另
一人在看书，已知：
①A不在修指甲，也不在看书；
②B不在画画，也不在修指甲；
③若A不在画画，则D不在修指甲；
④C既不在看书，也不在修指甲；
⑤D不在看书，也不在画画。
请问：他们各自在干什么？
3.张、王、李三人分别 出生在北京、上海和武汉，他们分别是歌唱演员、相声演员和
舞蹈演员.已知：①小王不是歌唱演员，小 李不是相声演员；②歌唱演员不出生在上海；③
相声演员出生在北京；④小李不出生在武汉.试分别确定 他们的出生地和职业。
4.有甲、乙、丙、丁四人同住在一座四层的楼房里，他们之中有工程师、 工人、教师
和医生.如果已知：
①甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第四层；
②医生住在教师的楼上，在工人的楼下，工程师住最低层。
试问：甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？各自的职业是什么？

◇练习答案◇
1.利用图表可得A是第一名。
2.方法1：由①②③④⑤知，既不是A、B在修指甲， 也不是C在修指甲，以及A、C.D
不在看书，所以B在看书，修指甲的是D.但“D修指甲”与③的有 条件的结论矛盾.所以③
的条件是不成立的.这就得到A在画画.由④知C在洗头。
方法2：可用图表法进行推理。
3.小李是上海人，舞蹈演员；小王是北京人，相声演员；
小张是武汉人，歌唱演员。
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4.甲：教师，住二层；乙：工程师，住一层；丙：医生，住三层；丁：工人，住四层.
◇教学反思◇

8-1智巧趣题



知识点说明
智巧趣题顾 名思义，就是有趣的一类问题，但回答时要十分小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想
正确地解答 这类题目，一是细心，善于观察，全面考虑各种情况；二是要充分运用生活中学到的知识；三是需
要那么 一点思考问题的灵气和非常规的思考方法。本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学习奥数的兴
趣 ，激发学生学习奥数的灵感，充分调动学生学习奥数的积极性。
智巧趣题主要依靠巧妙的构思而解决问 题，其中包括火柴棍游戏、数的恰当排列、称量问题及直线或圆周
形状的报数问题。
【例 1】 用数字1，1，2，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，< br>两个3之间有3个数字。



【巩固】 把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？



【例 2】
12345679999999999




【例 3】 有10张，卡片分别标有从2开始的10个连续偶数。如 果将它们分成5组，每组两张，计算同组中两
个偶数和分别得到①34，②22，③16，④30，⑤8 。那么每组中的两张卡片上标的数各是多少？



【例 4】 售货 员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰好把其
中的一 盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球？



【例 5】 一口井深10米，一只蜗牛从井底白天往上爬2米，晚上又往下滑1米，请问要多长时间， 这只蜗牛
能爬出这口井？



【巩固】 蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需要几天几
夜？



【巩固】 青蛙沿着10米高的井往上跳，每次它向上跳半米，然后又落下去，问青蛙爬需要跳几次就能跳出井
外？

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【巩固】 一 只树蛙爬树，每次往上爬5厘米，又往下滑2厘米，这只青蛙这样上下了5次，实际往上爬了多少
厘米？



【例 6】 小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，并且 两衣袋中硬币的总钱数相等。当任意从左边
衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣 袋的钱总数要么比原来的钱数多2分，
要么比原来的钱数少2分，那么两个衣袋中共有多少分钱？



【例 7】 甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距< br>100
里，甲每小时走
6
里，乙每小时走
4
里。
如果 甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时
10
里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇
到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了多少里路？



【巩固】 孙小空和猪坚强一道坐火车从北京去天津玩，玩了两天后，他们又结伴回北京。非 常巧的是，他们往
返所坐的火车都是中午十二点整发车的，而途中所用的时间也都是半个小时。坐在火车 上，两个人看
着窗外的风景，突然，猪坚强说：“小空，我们在来回的路上，一定在同一个时间看到了相 同地方的
景色。”小空摇了摇头：“哪会这么巧？你又在骗我吧？”猪坚强向小空解释了理由，小空一听 ，原来
真是这样。那么同学们，你们能想明白，为什么这个看起来很不可思议的结论能成立么？



【例 8】 如图，这是用24根火柴摆成的两个正方形，请你只移动 其中的4根火柴，使它变成两个完全相同的
正方形。

【例 9】 请将16个棋 子分放在边长30厘米、20厘米、10厘米的3个盒子里，使大盒子里的棋子数是中盒子
里棋子数的2 倍，中盒子里的棋子数是小盒子里棋子数的2倍。问应当如何放置？



【例 10】 吝啬的卖酒老板老钱招聘卖酒伙计，他只给伙计两个分别为5升和3升的盛酒杯，要求满 足所有顾客
的买酒需求（当然顾客只需要整数升的酒），这下难倒了很多前来应聘的人，可是有一个聪明 的放牛
娃娃却做到了，你知道放牛娃娃是怎么样卖出一升酒的吗？



【巩固】 某人有12升啤酒一瓶，想从中倒出6升．但是他没有6升的容器，只有一个8升的容器和一 个5升
的容器．怎样的倒法才能使8升的容器中恰好装好了6升啤酒？



【巩固】 卖牛奶人有两桶10升装的牛奶．两个顾客各带容器去买2升牛奶．一个带的是5升的容器， 另一个
带的是4升的容器．这位卖牛奶人如何解决问题？



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【例 11】 一个农民携带一只狼，一只羊和 一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、羊、
白菜中的一样．而农民不在时，狼会 吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？



【例 12】 有一家五口人 要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们
的父亲贪吃且不爱 运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作
还算敏捷，过桥要6分 钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正是初一夜晚又是阴
天，不要说月亮，连一点星 光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有
两个人借助灯光过桥．但要命的 灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过
桥呢？



【巩固】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过， 否则桥会倒塌．过
桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同 ：小强用1分
种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就 要倒塌了．请
问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？



【巩固】 赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小河边，河岸 边只有
一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要2分钟，小八路划船需要3分钟，负伤的红军战士划 船
需要5分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式，三个人全部过河用时最少？



【例 13】 37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小 船(无船工)．他们要全部渡过河去，至少要使
用这只小船渡河多少次？




【巩固】 38个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载4人的小船(无船工)． 他们要全部渡过河去，至少要使用
这只小船渡河多少次？



【例 14】 有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任 意根火柴，
也可以同时从两堆中取相同数目的火柴．每次至少要取走一根火柴．谁取得最后一根火柴谁胜 ．如果
都采用最佳方法，那么谁将获胜？



【例 15】 黑 板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个数．规定在谁划过
之 后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？



【例 16】 两个人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁获胜．你选< br>择先报数还是后报数？怎样才能获胜？


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【巩固】 1111个空格排成一行，最左端空格中放有 一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个
格．规定将棋子移到最后一格者输．甲为了获 胜，第一步必须向右移多少格？



【巩固】 桌子上放着55根火柴， 甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双
方采用最佳方法，甲先取， 那么谁将获胜？



【例 17】 有11根火柴，两人轮流从中拿取， 每次至少取1根．先取者第一次取得数目不限（但不能全部取走），
以后每人取得数目不得超过另一人上 次取得数目的2倍规定取得最后一根者为胜．先取者的获胜策略
是什么？



【巩固】 有一堆火柴，甲先乙后轮流每次取走1～3根．取完全部火柴后，如果甲取得火柴 总数是偶数，那么
甲获胜，否则乙获胜．试分析这堆火柴的根数在1～11根时，谁将获．




【例 18】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚 伪币，伪币与真币和重量不同。现需弄清楚伪币究
竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天 平。那么怎样利用这架天平称两次，来达到目
的？





【例 19】 有大、中、小3个瓶子，最多分别可发装入水1000克、700克和300 克。现在大瓶中装满水，希望
通过水在3个瓶子间的流动动使得中瓶和小瓶上标出装100克水的刻度线 ，问最少要倒几次水？



【例 20】 把123，124，12 5三个数分别写在下图所示的A，B，C三个小圆圈中，然后按下面的规则修改这三
个数。第一步，把B 中的数改成A中的数与B中的数之和；第二步，把C中的数改成B中（已改过）
的数与C中的数之和；第 三步，把A中的数改成C中（已改过）的数与A中的数之和；再回到第一步，
循环做下去。如果在某一步 做完之后，A，B，C中的数都变成了奇数，则停止运算。为了尽可能多运
算几步，那么124应填在哪 个圆圈中？


【例 21】 （可以当作故事给学生出题）
0
国王带着
1
、
3
、
5
、
7
、
9
、
11
六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅
馆，可只有三间房。
0< br>国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；
一间是质数房，只 能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。
1
大臣说：“我是质数，我应该住质数房！”
“不对，你是奇数，我才应该住质数房！”
3
大臣说：
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他们闹得不可开交，最后只好请
0
国王来评判。可
0
国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你
们能帮助他们吗？你们能够设计几种 不同的住法呢？



【例 22】 若干个同样的盒子排成一排，小明把 五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，
然后他外出了。小光从每个有棋子的盒 子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下。小明
回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这 些盒子和棋子。问共有多少个盒子？



【例 23】 如图10-3 ，圆周上顺序排列着1，2，3，……，12这12个数。我们规定：把圆周上某相邻4个数的
顺序颠倒 过来，称为一次变换，例如1，2，3，4可变为4，3，2，1，而11，12，1，2可变为2，1，
12，11。问能否经过有限变换，将12个数的顺序变为如图10-4所示的9，1，2，3，……，8，1 0，
11，12？


【例 24】 在一块黑板上将1234567 89重复50次得到450位数3456789……。先删去这个数中从左
至右数所有位于奇数位上的数 字，再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字，……，依此类推。那
么，最后删去的是哪个数字？



【例 25】 如图10-5，在一个圆周上放了1枚黑色的和199 0枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑
子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚。当他 取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？

【例 26】 “上升数”是指一个数中右边数字 比左边大的自然数（如
34
，
568
，
2469
等），上升 数不包括一位数。
求所有上升数的个数。



【例 27】 去 年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，突然突
发奇想 ，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。崔老师把同学们写好
的纸条收走 后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一样。”这时下面有
个特别聪明的 同学，立刻说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释过自己这样说的原因后，
教室里的其他同 学们和崔老师都很佩服这个同学。那么同学们能够说出这个同学这样说的原因吗？



【例 28】 （丢番图是古希腊数学家，被誉为“代数学之父”。而丢番图的墓碑，就包含了一个很有趣的数学 问
题）以下就是丢番图的墓碑原文，同学们能从其中看出丢番图一共活了多少岁吗？
上帝给予的童年占六分之一，
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又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途。
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