善待生命-骆驼祥子读后感600

第1讲 找规律
一、知识要点
按照一定次序排列起来的一列数，叫做 数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：
2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了 发现数列中数排列的规律，并依据这个规
律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数， 只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其
余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数 的和、差考虑，有时还要从积、商考
虑。善于发现数列的规律是填数的关键。
二、精讲精练
【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）1，2，5，14，（ ），（ ）
【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）
练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（
（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（



）
）

【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
（1）






（3）


（1）





（3）



8
16
4
8
16
32
5 15 12
7 21 18
9 27



9
12
3
4
27
36


5 10
9 14

7
1
1
12
16

9
13
14

36 12

练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
3
5
7
9

8 12 12 16
14

10 14
32 16 64

【例题5】按规律填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）
（2）


23 31

41 23

35

24
2541 4643
练习5：根据规律，在空格内填数。
（1）198，297，396，（ ），（ ）
（2）


（3）



37 25

32 54

23 45
21 45 32


34


57
3864 2665
25
3895 2775

第2讲 有余除法

一、知识要点
把一些书平均分给 几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会
出现什么情况呢一种是全部分完，还有 一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人
数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比 除数小，这就是有余数除法计算中
特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数 已知，就可以确定除数，然后再根据被除
数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
二、精讲精练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几最小是几
【思路导航】除数是____，根据__________ __，余数可填_____________.根据
____________，又已知商、除数、余数 ，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被
除数为______________。列式如下 ：________________________________________
答：被除数最大是53，最小是______。
练习1：
(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小 就行。
余数最小为______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
练习2：
(1)下面算式中，被除数最小是几
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
【思路导航】根据“被除数 ＝商×除数＋余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，
所以本题中商×除数＝28－4＝24。 这两个数可能是1和24，____和____，____和____，
____和____，又因为余 数为4，因此除数可以是24,12,8,6,商分别为____，____，____，

____。 _______________________________________ __________________________
答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
练习3：
(1)下面算式中，除数和商各是几
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
__________ __________________________________________________ ______________
(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数
__________________________ ________________________________________________
【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些
数
【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数 相等，因为余数必须比除数小，所
以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了 。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习4：
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

(3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。

【例题5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商相等，被除数最小是几
【思路导航】题目中告诉我们余数是4,除 数和商相等，因为余数必须比除数小，所以
除数必须比4大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填_ ______，商也是______。由
算式____________________，所以被除数 最小是__________。
练习5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几
(1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9
(5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7

第3讲 配对求和
一、知识要点
被人称为“数学 王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算
出了1+2+3+4+……+99+ 100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢原来，他用了一种
简便的方法：先配对再求和。 数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列
从第二项起，每 一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变
的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ）


练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100


(3) 21+22+23+24+……+100


【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324


练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188


【例题3】有一堆木材叠堆在一起， 一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……
下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根

练习3：
(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位 ，第2排有11个座位，……
这个体育馆东区共有多少个座位


(2)有 一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数
连加的和是多少


(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指 向6敲
1下，这个钟一昼夜敲多少下


【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。


练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009


(3) 9997+9998+9999 (4) -9


【例题5】计算
-88-5-85-8-82-19-81

练习5：计算。
(1) 3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1


(2) -4-85-7-88-18-89-19


(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16

第4讲 加减巧算

一、知识要点
在进行加减运算时 ，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些
巧算的方法。加减法的巧算主要是运用 “凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看
做所接近的数进行简算。
进行加减巧算时， 凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多
加要减去，少加要再加，多减要加上 ，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加
法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达 到简算的目的。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法迅速算出结果吗
(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9


练习1：计算。
(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9


(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617


【例题2】计算。
(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264


(3) 877+345-677 (4) 528-248-152


练习2：计算。
(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365


(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)

【例题3】计算下面各题。
(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)


练习3：计算。
(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)


(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)


【例题4】2000---



练习4：计算。
(1) 800-99-6-4-95-5 (2) -40-50-60-70-80-90



【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1



练习5：计算。
(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006



(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99

第5讲 图形个数

一、知识要点
同学们，你想学会 数图形的方法吗要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长
方形……那就必须要有次序、有条理地 数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要 弄清图形中包含的基本图
形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和 。
二、精讲精练
【例题1】数出下图中有多少条线段

【思路导航】方 法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的
线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的
线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的
线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段
构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
练习1：
（1）数出下图中有多少条线段 （2）数出下图中有几个长方形

【例题2】数出图中有几个角


【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：
∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做 基本角来数，那么，由1个基本角构成的
角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3
个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
练习2：数出图中有几个角
（1） （2）


【例题3】数出右图中共有多少个三角形
【思路导航】方法一 ：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：△PAB、
△PAC、△PAD、3个；以 PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形

还有：△PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、
△PBC、△ PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、
△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个基
本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）三 角形。方法
三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，
即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
练习3：数出图中共有多少个三角形
（1） （2）



【例题4】数出下图中有多少个长方形

【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对
线段围成，线段 C D上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作
为长方形的长和宽，这里 共有6×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就
有6×3=18（个）长方形。 它的计算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。
练习4：（1）数出下图中有多少个长方形 （2）数出下图中有多少个正方形



【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次
【思路 导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端
点代表一个同学。
从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与
其余3个同学握手 共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同
学还要与最后1个同学握手共握手 1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）
练习5：
（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次
（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数

第6讲 植树问题

一、知识要点
爸爸给晶晶出了一 道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一
棵，已经植了9棵，问第一棵和第九 棵树相距多少米”晶晶一看，随口答题：“27米。”同
学们，晶晶答对了吗
这一类应用题我 们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔
长和棵数三者之间的关系。解答植 树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植
树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上 植树，棵数＝总距离÷间隔长。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木 头、爬楼梯问
题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长 ”、
“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植 一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9
棵，问第一棵和第九棵树相距多少米
【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：

根据“已经植了9 棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），
每个间隔是3米，所以第 一棵和第九棵相距3×8=24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。
练习1：
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有
多长 < br>（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条
走廊长多少 米
【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻
两棵 树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵 树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽
了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间 隔是7-1=6（个）。42米长的大
路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7米。
练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共 放了12把椅子，相
邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米

【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这
根钢管被锯成了多少段
【思路导航】我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段 数有7+1=8（段）。
列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。
练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，
这根圆木长多少米

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，
甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼
【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯 段数进行计算，
因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到 4楼
时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照
这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，
在同一时间里 ，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，
即他跑到了第10+1=1 1（楼）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛 ，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样
计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层

【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中
间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗
【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分 成的段数，所以插了红旗300÷6=50
（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就 等于红旗的面数，也是50面。
300÷6=50（面） 答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
练习5：
（1）有一个正方形水池，周长是2 00米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，
再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水 池周围一共装了几盏红灯几盏黄灯

（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每 隔12米植一棵樟树，两棵樟树
中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵

第7讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你 变得更聪明，头脑更
灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这 类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻
找解题的突破口，然后再利 用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得 到28=△
＋△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7 ＋7＋
7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
【例题2】下式中，□和△各代表几
□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×
△ =36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
练习2：
1．○和□各表示几
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
2．想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ）
3．□和○各代表几
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
【例题3】下式中，□和△各代表几
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面 有1个□，2个△，16减去14等于2，
即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2， 即□＋□＋□=16＋2，那么□=
（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。

练习3：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下式中，□和○各代表几
□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【 思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○，用48减去34得
到□＋○=14 ，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6×3）
÷2=8 。
练习4：
1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几
☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4 个△，
那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆
＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，
☆= 20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。
练习5：
1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）

第8讲 算式谜
一、知识要点
一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。
解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。
解算式谜的思考方法 是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数
先填上；不能确定的，要分几种情况，逐 一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字
的关系，抓准解题的突破口。
二、精讲精练
【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

答案：
【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的
百位上是 7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右上）
练习1：在□里填上适当的数，使算式成立。


【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式




【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除
数相乘的积想起，
5630
，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为一位数 ，
这个数只能是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为
369
。
练习2：在□里填上适当的数，使算式成立。




【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

答案：


【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易 知
道，被除数的十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能

是2；如果十位数字是9，那么商的个位是3或4。所以，这道题有三种填法（见上页）。
练习3： □里可以填哪些数字



【例题4】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

答案：

【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被除数个
位上应填7；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时
3412 , 8 4=32
，因
而除数可能是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位 上是3，
而商的百位上为0，商的千位是8或3，所以一共有两种填法（见上）。
练习4：在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。




【例题5】在下面□中填入适当的数，使算式成立。

答案：



【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积 是48，由此可求出除数
为6。再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被 除数的万
位是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，个位是8。（填法见上）
练习5：在下面□中填入适当的数，使算式成立。

第9讲 乘法速算
一、知识要点 < br>我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来
比较麻烦。其 实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。
计算乘法时，如果一个因数是25，另 一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再
扩整”。两位数、三位数及更高位数乘以11，可采用“ 两头一拉，中间相加”的办法，但
要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。 比如两位数乘以11，
我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变 。”
二、精讲精练
【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律
（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11
【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果 就是将这个数
的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，< br>和写在十位、百位……，哪一位上满十就向前一位进一。
（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717
练习1：很快算出下面各题的结果。
（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44
（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11
（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11
【例题2】下面的乘法计算有规律吗
（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25
【思路导 航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，
有几个4就有几个 100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675
（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950
练习2：速算。
（1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46
（5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25
【例题3】很快算出下面各题的结果。
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
【思路导航】因 为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+5），也就是用24加上
它的一半再乘以 10，24+12=36，再用36×10=360。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10

=36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170
练习3：很快算出下面各题的结果。
（1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15
【例题4】很快算出下面各题的结果。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
【思路导航】（1）我们可以先用4 5×10=450，这样就多加了一个45，因此我们还要
从450中减去1个45，即450-45= 405。
（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从32 00中
减去1个32，即3200-32=3168。
（3）我们可以先用78×1000= 78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000
中减去1个78，即78000-78 =77922。
从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数
与99相乘，就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以
1 000，再减去这个数。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
=45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78
=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922
练习4：计算。
（1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9
（4）45×99 （5）85×99 （6）728×99
（7）24×999 （8）3×999 （9）56×999
【例题5】下面的乘法计算有规律吗
（1）15×15 （2）25×25 （3）35×35
（4）45×45 （5）65×65 （6）95×95
【思路导航】通过计算我们发现，个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位
都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1的积，例如：




我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。
练习5：速算。
（1）55×55 （2）75×75 （3）85×85
（4）105×105 （5）125×125 （6）995×995

第10讲 添运算符号
一、知识要点
根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游
戏 。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。
添运算符号问题，通 常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数
字比较简单，可以从等式的结果入手，推 想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的
式子；2．如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑 先用几个数字凑出比较接近于等
式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的 特点，选择方法，
有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。
二、精讲精练
【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
【思路导 航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后一个
数是5，可以从下面几种情 况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。
（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）从□÷5=1 0考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个
数无法组成得数是50的算式。
练习1：
1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗
（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10
2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。
（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8
3．巧添运算符号，使等式成立。
（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3
【例题2】拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能试
一试吗 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3
【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想： （1）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这
两组的和、差 、积、商应该相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假设最后一步是除法 ，那么四个数分成两组，这两组的和、
积、商分别相等，相同的数相除也可得到1，有：
（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1
8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：
8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：
（8＋8＋8）÷8=3
练习2：

1.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2
4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3
3.用8个8组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。4 4 4 4 = 8
【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是8，而最后一个
数 是4，我们可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。
（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：
4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8
（2）从□－4=8考虑，□=12，前3个4必须组成得数是12的算式有：
4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8
（3）从□×4=8考虑，□=2，前面3个4必须组成得数是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8
（4）从□÷4=8考虑，□=32，前3个4必须组成得数是32的算式有：
（4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8
练习3：
1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗答
（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10
2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答
（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9
3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答
（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6
【例题4】在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
【思路导航】这道题的结果比 较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000
比较接近，如：555＋555=1110这 个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑出
110减掉就可以了。 555＋555－55－55＋5－5=1000
练习4：
1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3.用7个6组成4个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600
【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在 等号左边最
后两个数字2、1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0，然后再用倒推的方法< br>可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
练习5：
1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23
2．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
3．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14
第11讲 文字算式谜

一、知识要点 < br>一般说来，算式都是由一些数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母
组成，我们称 它为文字算式。
文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示< br>相同的数字，不同的文字或英文字母应表示不同的数字。
通过本周的学习，我们可以发现解文字 算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法基本是
一样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选 择解题的突破口，最后通过尝试找
寻正确答案。
二、精讲精练
【例题1】下式中， 每个字各代表一个不同的数字，其中“心”代表9，请问其他汉
字分别代表哪个数字


【思路导航】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1 ，
乘积就是1。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9ד中”的积个位数应该是3，所
以 “中”=7，往前一位进7；9ד乐”的积的个位数应是4，“乐”=6，往前一位进6；9
ד俱” 的积个位数应是5，“俱”=5，往前一位进5；9ד球”积个位数字应是6，“球”
=4，往前一位 进4；9ד足”的积个位数是7，所以“足”=3，往前一位进3；9ד年”
的积的个位数是8，“ 年”=2，往前一位进2；9×1＋2=11，即：
×9=1
练习1：
1．下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几





2．如果A、B满足下面算式，它们各代表几（上中）
3．上右图各个汉字分别代表几
【例题2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表
示几



【思路导航】由积的个位是2，乘数是3，可推出被 乘数个位上“学”是4，4×3=12，
在积的个位上写2，向十位进1；因为积的十位上“学”为4， 所以“数”×3应为3，推

出“数”为1；因为“数”为1，百位上“庚”×3末位应为 1，因而“庚”为7，千位上
5×3＋2=17，在千位上写7，向万位进1，因而“罗”为5，万位上 8×3＋1=25，在千位
上写5，向前一位进2，因而“华”为8。
练习2：
下面各个竖式中的汉字分别代表几 .



【例题3】在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字
【思路导航】仔细审题发现千 位a×9的结果是一位数，于是就可以确定a只能是1。
接着思考个位d×9=1是不可能的，所以应该 是d×9等于几十一，于是确定d=9。或者想
千位上1×9=9，所以d一定是9。最后确定剩下的c 为8。只有8×9=72，72＋8=80，积
中才会有0。
练习3：
1．下面（左下）竖式中的字母各代表几


2．上面（右上）竖式中的字母各代表几 A＋B＋C=（ ）
【例题4】下面 算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
如果以下3个等式成立：
小小×朋朋=友小小友
那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ）
爱爱×科科=爱学学爱
爱=（ ） 科=（ ） 学=（ ）
朋朋×朋朋=小小学学
【思路导航】通过观察，我们发现第三个等式最特 殊，它是相同的两位数相乘得到千
位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，11×11，22× 22得不到四位数，然后从
33×33试，我们发现88×88=7744，这样可以得出：朋=8，小 =7，学=4。将朋=8、小=7代
入第一个算式中得出77×88=6776，确定友=6。这样，0 ——9中，只剩下9，5，3，2，1，
0这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现55×99=54 45，所以爱=5，科=9。
练习4：


【例题5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗


新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）
× ×
×

【思路导航】从千位上看，千位上得数是2，假设新=2，那么百位上，“新＋年”不
可能等于 0，因而“新”不可能是2，只能是“新=1”。从百位上看，新＋年＋进来的数
=10，我们可判断“ 年”=7或8。而“新＋年=8”，即使个位进来2，十位上也不可能向百
位进2，因而“年”=8，十 位上“新＋年”=1＋8=9，而个位上已向十位进了1，因而“快”
=0，最后从“新＋年＋快＋乐” =11中可推出“乐”=1。即：
新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 乐=（ 1 ）
练习5：
1．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数 字，
请问这些汉字各代表几





2．上面（上中）各字母分别代表几
3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写

第12讲 填数游戏
一、知识要点
小朋友都喜爱做游戏。填 数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、分析
问题、发展能力。但有时也有一定的难度，不 过，只要你掌握了填写方法，填起来就很轻
松了。
填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键 的位置应填几，一般是图形的顶点及中间
位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先 计算所填数的总和与所提
供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题 就迎刃而
解了。
二、精讲精练
【例题1】 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢

【思路导航】我们 可以这样想，把1——9中间的5填到中心的○内，剩下八个数，
一大一小，搭配成和都是10的四组， 这样两条直线上五个数的和都是5＋10×2=25。
如果把1填在中心的○内，这样剩下的八个数可 以一大一小搭配成和都是11的四组，
这时两条直线上五个数的和是1＋11×2=23。
想想：两条直线上五个数的和还可以是多少
练习1：
1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢




2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图（中上图） 中7朵花里，使每条直线上
三个数的和相等。
3.把6、8、10、12、14、16、18 七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外圆上三个
数的和都是32。
【例题2】 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都
等于20。
【思路导 航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36，题中要使每
个五边形上五个数 的和等于20，那么两个五边形上数字的总和是20×2=40。两个五边形
上的数字总和比8个数的和 多40－36=4，多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，
多算了一次。1——8中只有1和 3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填
1.一个填3。20－（1＋3）=16，16 可以分成2＋6＋8和4＋5＋7，所以本题应该这样填：

练习2：
1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。




2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条 边的○内，使得每条边上的
三个数的和是21。
3.把1——8这八个数，分别填入下图的各 个□内，使得每一横行、每一竖行的三个
数的和是13。
【例题3】 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。




【思 路导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了两
次，多算了一次，所以4 边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋
9=44，所以4个顶点数 的和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点。 想
一想，有没有其他填法
. 练习3：
1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。




2.将1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一个顶点的数字为1。
3.把1——10这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之 和都相等，
而且最大。这个和是多少
【例题4】 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求最大的和是多少
【思路导航】要使每边上三个 数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为
四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用 了一次。由此我们可以列出求和的算式为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4

和不是整数， 说明四条边上的总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。
所以，最大的和为：（62－2 ）÷4=15
.练习4：
1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少



2.把1——8填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少 < br>3.将数字1——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这个
和可以是多 少
【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和
都是21。


【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数 ，恰好
每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是是
单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，
要使和为单 数，8要填入中间部分，如右上图。
练习5：
1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填 上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和
是15。



2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是
27。
3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使每个圆中4个数的和是
3 3。

第13讲 周期问题

一、知识要点
在日常生 活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有
春夏秋冬四个季节，一个星期 七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，
我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用 余数的知识来解答。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律， 也
就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
二、精讲精练
【例题1】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3 个黑
的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色


从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。
32÷6=5（组 ）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重
复5个周期后的第2个珠 子，应为红色。
练习1：
1.如图，算出第20个图形是什么
○△△□□□○△△□□□○△△……
2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么
3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗


【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几
【思路导航】我们知 道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从
10月1日到10月25日经过25－1 =24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包
括3个星期还多3天。所以从10月1 日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最
后一天起再过3天就应是星期四。
练习2：
年5月3日是星期四，5月20日是星期几
年8月1日是星期三，8月28日是星期几
年6月1日是星期五，9月1日是星期几
【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几 < br>【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3.积的个位是3；2
个3相乘积 的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；

5个3 相乘积的个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出
现，即每4个3积 的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位
数字是第25个周期中的 最后一个，即是1。
练习3：
个3相乘，积的个位数字是几
个2相乘，积的个位数字是几
个7相乘，积的个位数字是几
【例题4】有一列数按“186……”排列，那么前54个数字之和是多少
【思路导航】上面 一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“”，周期数是8。
要求出这列数字的和，就要先求出这 列数里共有多少组“”。
54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6组数字和是（4＋3 ＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6个数字之和是
4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以 ，这列数中前54个数字之和是240＋26=266。
练习4：
1.一列数按“4736294……”排列，那么前40个数字之和是多少
2.有一列数按“……”排列，那么前50个数字之和是多少
3.有一列数“723……”， 请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个与第
25个数字）所有数字的和是多少
【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前
后各有1页文字。如 果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页
【思路导航】已知这本童话书3页 插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1
页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3 页插图”看作一周期，128页中含
有128÷（1＋3）=32个周期，所以这本童话书共有插图3× 32=96页。
练习5：
1.校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了11 2盆花。如果第一盆花
是菊花，那么共摆了多少盆月季花
2.同学们做早操，36个同学排成 一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，
这列队伍中男生有多少人
3.一个圆形花 辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面
黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗

第14讲 数学趣题
.
一、知识要点
在日常生活中 ，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3个小朋友同时
唱一首歌要3分钟，100个小朋 友同时唱这首歌要几分钟类似这样的问题一般不需要较复
杂的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需 要用小朋友的灵感、技巧和机智获得答案。
对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和 思考，运用基础知识以及
自己的聪明才智巧妙地解决。
二、精讲精练
【例题1】如 果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6
个人一起从学校到儿童乐园要多 少小时
【思路导航】2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐
园 要3小时；6个人一起从学校到儿童乐园所用的时间与一个人所用的时间相等，所以6
个人一起从学校到 儿童乐园还是用3小时。
练习1：
个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟
只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫
个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到乙地要
用几小时
【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长
到5厘米 时要用多少天
【思路导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条毛毛虫在第30天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘
米 ；在第28天时，这条虫的身长为10÷2=5厘米。
练习2：
1.有一个池塘中的睡莲， 每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。问睡
莲要遮住半个池塘需要多少天
2. 一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到9厘米
时要用几天
3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32厘
米共要多少天
【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条
鱼

【思路导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼条
数 尽量多，那么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放1条，在
第二堆中放2条鱼 ，在第三堆中放3条鱼，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9（条）。
练习3：
1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子
2.老师为 共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队最
多可排几人
3.兔 妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。
问分得最多的一只小兔至 多分得几个
【例题4】把100只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带有6字。想一想，该怎样分
【思路导航】因为6×6=36只，这样就可以在每个篮子里装6只桃， 共装6个篮子，
还有一个篮子里装100－36=64只桃。64这个数，正好也含有数字6，符号题目 要求。
练习4：
1.把100个鸡蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数目都带有 6字，想想看，
应该怎样分
2.有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有数 字8。现在有200块
糖要分给一些人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案。
只箱子分别放有 1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只苹果，现在要从这7
只箱子里取出87只苹果，但每 只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取
【例题5】舒舒和思思到书店去买书，两人都 想买《动脑筋》这本书，但钱都不够。
舒舒缺2元8角，思思缺1分钱，用两个人合起来的儿买一本，仍 然不够。这本书多少钱
【思路导航】思思买这本书缺1分钱，两个人合起来的钱买一本书仍然不够，这 说明
舒舒根本没有钱，所以这本书的价钱是2元8角。
练习5：
1.小华和娟娟到 商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺9元4
角，娟娟缺1分，两人合起来买一个 仍然不够。这个文具盒多少钱
2.李华和张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6角， 张洁缺2分钱，
但两人合起来买一本仍不够。这种本子一本多少钱
3.王阿姨和李阿姨到商场 买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺600元，
李阿姨缺900元，用两人带的钱合起来买 这一台电视机正好。这台电视机多少钱

第15讲 乘除巧算

一、知识要点
前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑整”的方法 进行
巧算，实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要
牢 记以下几个计算结果：2×5=10，4×25=100，8×125=1000。
提高计算能力，除 了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。
巧算中，经常要用到一些运算定律， 例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善
于运用运算定律，是提高巧算能力的关键。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗
（1）25×17×4 （2）8×18×125 （3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
【思路导航 】（1）我们知道25×4=100，因而我们要尽量把25与4放在一块计算，
这样比较简便。所以我 们先算25×4=100，再与17相乘即100×17=1700；（2）因为8×
125=1000 ，因而我们先把8与125放在一块计算，8×125=1000，再乘18：1000×18=18000；< br>（3）已知25×4=100、125×8=1000，因此这道题我们要通过移位的方法把25与4相乘 ，
125与8相乘，然后再把1000与100相乘，1000×100=100000；（4）因为1 25×8=1000，
2×5=10，因而这道题也要移一移，先计算125×8=1000和2×5= 10，再计算1000×
10=10000。
练习1： 1.计算：（1）25×23×4 （2）125×27×8
2.计算：（1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25 （3）2×125×8×5
3.想一想，怎样算比较简便 125×16
【例题2】你有好办法计算下面各题吗
（1）25×8 （2）16×125 （3）16×25×25 （4）125×32×25
【思路导 航】（1）已知25×4=100，因为8=2×4，所以我们可以把25×8转化为25
×4×2.然 后先算25×4=100，再算出100×2=200。（2）125×8=1000，16=8×2.因而我< br>们可以把16×125转化为2×（8×125），然后算出8×125=1000，再乘2得到2000 ；（3）
因为25×4×100，16=4×4，这样可以将两个4分别与两个25相乘，所以原式就转 化为（4
×25）×（4×25），再分别计算，得到结果100×100=10000；（4）因为1 25×8=1000，
25×4=100，我们又发现32=4×8，所以可将4和8分别与25、12 5相乘，得到（125×8）
×（25×4），再分别算出结果为1000×100=100000。
练习2： 1.（1）25×12 （2）125×32 （3）48×125
2.（1）125×16×5 （2）25×8×5
3.（1）125×64×25 （2）32×25×25
【例题3】你能很快算出它们的结果吗

（1）82×88 （2）51×59
【思路导航】通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十
位上的数字 相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字加1再乘首位数
字，得数作为积的前两位 数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果
末位数字相乘的积是一位数，要在前面被 一个0。（1）82×88先用首位数字加1再乘首
位数字，即（8＋1）×8=72作为积的前两位数 字，再用两个末位数字相乘2×8=16作为积
的末位两个数字，所以82×88=7216；（2）5 1×59先用首位数字加1乘首位数字，即（5
＋1）×5=30作为积的前两位数字，再用两个末位数 字相乘1×9=9，它们的积是一位数，
要前9前面被一个0，作为积的末两个数字，所以，51×59 =3009。
练习3：
1.（1）72×78 （2）45×45
2.（1）81×89 （2）91×99
3.（1）42×48 （2）61×69
【例题4】简便运算：
（1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125
【思路导航】这里可以运 用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍
数（0除外），商不变，因而：（1）130 ÷5可将130和5同时乘2.使除除变为10，然后
再用260÷10=26；（2）4200÷25 可以将4200和25同时乘4，使除数变为100，然后再
用16800÷100=168；（3）3 4000÷125可以将34000和125同时乘8，使除数变为1000，
然后再用272000÷ 1000=272。
练习4：
1.你能迅速算出结果吗（1）170÷5 （2）3270÷5 （3）2340÷5
2.计算：（1）7200÷25 （2）3600÷25 （3）5600÷25
3.你有好办法计算下面各题吗
（1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125
【例题5】计算：31×25
【思路导航】题中31不能被4整 除，但31可拆成4×7＋3.这样就得到（4×7＋3）
×25，或者把25看作100÷4也可求出 得数。
（1）31×25 =（4×7＋3）×25 =（4×7＋3）×25 = 4×7×25＋3×25 = 775
（2）31×25 = 31×（100÷4）= 31×100÷4 = 775
练习5：
计算：（1）29×25 （2）17×25 （3）221×25
（4）322×25 （5）2561×25 （6）3753×25

第16讲 应用题（一）

一、知识要点
应用题是小 学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知识来
解决生产、生活中的一些实际问 题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，
找到问题的突破口。
在分析应用题 的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以从
问题出发，找到必须的两个条件。 在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活
运用这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题 的数量关系，解答就更容易了。
二、精讲精练
【例题1】学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍少5只，学校有排球、足
球共多少只
【思路导航】根据题意画出线段图
从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球的只数比 这样的2倍还少5只，用
24×2－5=43（只）可以求出足球的只数，再用43＋24=67只可以 求出两种球的总只数。
练习1：1.小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3倍少16 下，小军
每分钟比小红多跳几下
2.王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、
鹅多少只
3.少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3倍多14棵。少先队员种的
杨树、 柳树共多少棵
【例题2】人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花
有多少盆
【思路导航】从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数，郁金香的盆数是这样的
3倍少15 盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）
÷3=65（盆） 就可求出月季花的盆数。
练习2：1.小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资的2倍少 200元。小
明母亲每月工资多少元
2.饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只
3.水果店 卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还多
27千克，还剩多少千克水果
【例题3】小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只
数正好是 黑鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只

【思路导航】根据“黄鸡比黑鸡多13只，白 鸡比黄鸡多12只”，从线段图上我们可
以看出白鸡比黑鸡多13＋12=25只，这相当于黑鸡的2－ 1=1倍，这样也就求出黑鸡的只
数为25÷1=25只，黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只 数是25×2=50只。
练习3：1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条， 蓝围巾比
红围巾多20条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条 2.有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐
苹果个数是 乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果
3.男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女生 人数相等；如果少去一名男
生，女生人数是男生的2倍。参加交流会的男女生各多少人
【例题 4】用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果
每本20页，可以少装订 多少本
【思路导航】根据“如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16×
400=6400页；再用总页数6400÷20=320本求出如果每本20页可装订的本数，400－320 =80
本则表示少装订的本数。
练习4：1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克 ，可装30箱。如果每箱15
千克，可少装多少箱
2.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗 帘做成3米长，可做140幅。如果每幅窗帘
做成2米长，则可多做多少幅
3.同一批纸装订 同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本多装
订9页，则少装订多少本
【例题5】李师傅原计划6小时加工零件480个，实际2小时加工192个。照这样的
效率，可以提 前几小时完成
【思路导航】根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为192÷2=96（个小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即480÷96=5小时，
求出实际完成的时间。6－5=1小时，则表示提前完成的时间。
练习5：1.王奶奶计划10小时 做纸盒400个，实际3小时已加工150个。照这样的
效率，可以提前几小时完成
2.暑假 中，小宁30天共要写大字600个，实际12天已写大字360个。照这样的速度，
小宁可以提前几天 写完同样多的字
3.自行车制造厂四月份（30天）共生产自行车3600辆，五月份改进技术后9天 已生
产自行车1350辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务

第17讲 应用题（二）
.
一、知识要点
一般应用 题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，善
于思考，善于抓住关键，不管 什么问题都能迎刃而解。
解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中条件和条件、条件和 问题之
间的联系，找出解题方法，灵活解题。
二、精讲精练
【例题1】一列火车早 上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午
3时到达乙地，但实际到达时间是下午5 时整，晚点2小时。问火车实际每小时行驶多少
千米
【思路导航】由“这列火车早上5时出发 ，计划下午3时到达”可知，这列火车原计
划行驶12＋3－5=10小时，用原计划每小时行驶120 千米×计划行驶的10小时，便可得
到甲地到乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小 时，说明火车实际行驶了10＋
2=12小时，用1200÷12=100千米就可得到火车实际每小时 行的千米数。
练习1：1.一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4
时到达乙地。但实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米
2.一列火车早上6 时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下午6时到达乙城。
但实际到达时间是下午4时，提前 2小时。问火车实际每小时行驶多少千米
3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计 划每小时行驶60千米，下
午2时到达城西，实际到达时间是下午3时，晚到1小时。问实际每小时比计 划少行多少
千米
【例题2】小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳 没有买。
回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱给小红多少钱
【思 路导航】小宁和小红一共买了7＋5=12枝铅笔，三个人平均分，每人应得12÷3=4
枝，所以小佳 拿出的8角钱就相当于4枝铅笔的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是8÷4=2
角。小佳应给小宁2×（7 －4）=6角钱，应给小红2×（5－4）=2角钱。
练习2：1.三个好朋友去买饮料，小亮买了5 瓶，小华买了4瓶，阳阳没有买。到家
后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱给 小华多少钱
2.甲、乙、丙3人一起买了6个面包分着吃，甲、乙各拿出3个面包的钱，丙没有带钱。那么吃完后，丙应拿出4元8角钱，他应分别给甲、乙多少钱
3.张、王、李三家合用一个炉 灶，他们烧的柴同样多，张家出了4担柴，李家出了5
担柴，王家因无柴付18元。张、李家各得多少钱
【例题3】用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如
果倒进去 5杯牛奶，连瓶共重750克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克
【思路导航】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克（1） 5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克（2）

比较（1）、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－2=3瓶牛奶重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空
瓶重量是450－100×2=250克。
练习3：1.有12筐苹果，它们重量相等，我们 把它们装入一个大箱子里，如果装进2
筐苹果，连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重5 20千克。1筐苹果和大箱
子各重多少千克
2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶 水，连缸共重240千克；如果倒进7
桶水，连缸共重390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克 < br>3.有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满3杯水，连瓶重550克；如果注满
6杯水， 连瓶共重250克。一杯水多重
【例题4】一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠 子分放在9个盒
子里，把黄色珠子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的
珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒
【思路导航】把120粒珠子分放到盒子里以后，每 个盒子里的珠子粒数相等，那么就
可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然 后再求三种颜色的珠子各
几粒。红色珠子：6×9=54粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6 ×5=30粒。
练习4：1.一共有苹果、梨、橘子共105个，如果把苹果分放到4个盘中，把梨分 放
到5个盘中，把橘子分放到6个盘中，那么每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个
2 .一共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔分放到5个笼中，把灰兔分放到
11个笼中，把黑兔 分放到9个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只
3.共有科技书、文艺书和故事 书共360本，若把科技书分放到2个书架上，把文艺书
分放到3个书架上，把故事书分放到4个书架上 ，则每个书架上的本数相等。三种书各有
多少本
【例题5】在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如 果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个
筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原 来每个筐里有鸡蛋多少
个
【思路导航】根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5个筐 里鸡蛋个数的总
和”，说明6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和， 用取
出的50×6=300个鸡蛋除以4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。 < br>练习5：1.在6个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿出50个苹果，则6
个箱里剩 下的苹果个数的总和等于原来2个箱子的苹果个数的总和。原来每个箱里有多少
个苹果
2.某 商店有5箱皮球，如果从每箱里取出15个，那么5个箱里剩下皮球的个数正好
等于原来2箱皮球的个数 。原来每箱装了多少个皮球
3.有3个水桶，如果从每桶中倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量 正好等于原
来1桶的重量。原来每桶装多少千克水

第18讲 数字趣谈

一、知识要点
在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、 9是我们最常见、最熟悉的数，由这
些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就 会找到答案。本周的
习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分 类统
计法，相信你们能很好地掌握它。
二、精讲精练
【例题1】在10和40之间有多少个数是3的倍数
【思路导航】由尝试法可求出答案：
3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=24
3×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39
练习1：
1.在20和50之间有多少个数是6的倍数
2.在15和70之间有多少个数是8的倍数
3.两个整数之积为144，差为10，求这两个数。

【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数
【思路导航】求10和1000之间 有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻
烦。可以这样思考：
10÷3=3……1说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1说明1000以内有333个数是3的倍数。
333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。
练习2：
1.在1到1000之间有多少个数是4的倍数
2.在10到1000之间有多少个数是7的倍数
3.在100到1000之间有多少个数是3的倍数
【例题3】从1——9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不
同的写法
【思路导航】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
，5，6，7，8，9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求，但用第二小的2和最大的9相
加，和为11符合要 求，得11=2＋9。依次做下去，可得11=3＋8，11=4＋7，11=5＋6。
共有4种不同的写法。
练习3：

1.从1—9九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法

2.将15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。

3.将12分拆成3个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法
【例题4】2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人
单独去的， 三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人
【思路导航】2000年2月有 29天，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用
最小的几个数试乘（1除外）：2×3×4= 24，24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合题意。
所以，这三批学生的人数是人。
练习4：
年5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的乘积正好
等于这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人

2.学校进行运动会比赛 ，三（2）班参加其中三项体育比赛的人数各不相同，而且这
三项参赛人数之积在35到45之间。那么 三（2）班最少各有多少人参加这三项比赛

3.小明家有四种水果，每种水果的千克数不相 等，这四种水果的千克数的乘积在200
到250之间，那么这些水果最少共有多少千克
< br>【例题5】一本连环画共100页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，
排这本书的 页码共要用多少个铅字
【思路导航】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9个；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180个；
第100页，只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
练习5：
1.一本书共2 00页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多
少个铅字
2.《宇宙历险记》这本书共214页，编排这本书时共用多少个数码
3.编排《儿童漫画》的页码时共用了51个数码，这本书共多少页

第19讲 重叠问题

一、知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗 读比赛的12位同学每人发
一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么 回事对了，
因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，< br>我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原 理，即当两个计数部分
有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答 重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助
图形进行思考，找出哪些 是重复的，重复了几次明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
二、精讲精练
【例题1】 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从
后数起，红旗是第10面。这行 彩旗共多少面
【思路导航】根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数起红旗是第8面 ，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，
重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
练习1：
1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共
有多少人


2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个 。这一
行座位有多少个


3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从 后起起，李华都排在第8个。这一排共
有多少个同学


【例题2】同学们 排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右
数起是第3个，从前数起是第5个，从 后数起是第6个。做操的同学共有多少个
【思路导航】根据题意，画出下图：

由图可看出：小明的位置从左数第4个，右 数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；
从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=1 0人，所以做操的同学共有：6×10=60
人。
练习2：
1.同学们排队跳舞， 每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数
还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多 少人


2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左 数第2个，
从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人

3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6
个，从后数是 第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人


【例题3】把 两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一
起的木板长120厘米，中间重叠 部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的 长度就是重叠部分，重叠
的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每 块木板的长度是136
÷2=68厘米。
练习3：
1.把两段一样长的纸条粘合在 一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，
中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多 少厘米


2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重 合部分长11厘
米，这两块木板各长多少厘米

3.两根 木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中
间重叠部分长12厘米。 另一根木棍长多少厘米


【例题4】一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪 明题的有21人，做对第二道
聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人
【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题 和做对第二道题的人数加起
来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3 人，这多出的3人既在做
对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对 的人数。
练习4：
1.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。 已知参加赛跑的
有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人

2.两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是
多少厘米


3.三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名， 两种棋都
不会的有10名。两种棋都会下的有多少名


【例题5】三（1 ）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都
订的有10人，全班每人至少订一 种报纸。三（1）班有学生多少人
【思路导航】根据题意，画出下图：


从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的10人，这10人既被包括在订《数
学报》的32 人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班
人数，必须从32＋30= 62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是62－10=52人。
练习5：
1. 三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的
有31人，每人至少 完成一种作业。三（4）班共有学生多少人

2.两块木板各长9 0厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块
钉在一起的木板总长多少厘米


3.三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人， 每人至少
带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人

第20讲 简单枚举
.
一、知识要点
枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地， 要根据问题要求，一一列举
问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次 序、有规律
地进行枚举。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要 全，不能造成遗
漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
二、精讲精练
【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华
家到文峰公 园，有几种不同的走法
【思路导航】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下：
根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有 4种不同走法，走②路有4
种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。 < br>练习1：1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地
到丙地有多 少种不同走法
2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和< br>一种数学读物，共有多少种不同买法
3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的 鞋子。最多可搭配成多少种
不同的装束
【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号
【思路导航】 要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号
进行列举。可以看出，红色信号灯 排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排
在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号 灯排在第一个位置时，也有两种不同的
信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。 练习2：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同
的涂法○○○
2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数分别是哪几个数
3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数
【例题3】一个长方形的周长 是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方
形的面积有多少种可能
【思路导航】由 于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出
符合这个条件的各种长方形： < br>练习3：1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个
长方形的面 积有多少种可能值
2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法

个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个如（）就是其中的
一个，而且 数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（）和（，1）是同一数组。
【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话
【思路导航】把 4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打
3次，同样B小朋友也应打3次 电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了
3×4=12次。但题目要求两个小朋友之间 只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两
人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这 样计算，12次电话中，有一半是重
复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。
练习4：个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛
2.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话
3.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多
少次手
【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中
间至少相隔 5个车站），那么这样的车票共有多少种
我们可以利用列举的方法：
如果起点站是1.那么 终点站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只能
是8、9或10；如果起点站是3. 那么终点站只能是9或10；如果起点站是4，终点站只能
是10；如果起点站是5、6时，就找不到与 它至少相隔5站的终点站了；如果起点站是7，
终点站只能是1；如果起点站是8，那么终点站是2或1 ；如果起点站是9，那么终点站是
3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、2或1。所以 ，起点到终点至少相隔5
个车站的车票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种。 练习5：1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要
多少种不同的 机票
2.一条公路上，共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3
个 车站），那么共有多少种不同的车票
3.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点只许用 一种船票（中间至少要相
隔2个码头），那么这样的船票共有多少种

第21讲 错中求解
专题简析：
在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉
数字。计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。
解答这类题，往往要采用倒推 的方法，从错误的结果入手分析错误的原

因，最后利用和差的变化求出加数或被减数、减 数，利用积、商的变化求出
因数或被除数、除数。
















例题1 小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一
个加数个位上的4错看成1，结果计算的和为241。正确的和是多少
思路导航：把一个加数十位上 的5看成2，少了3个10，这样和就减少
了30；把另一个加数个位上的4看作1，少了3个1，这样 和就少了3。小马
虎算出的和比原来的和少了30＋3=33，所以正确的和是241＋33=274。

练 习 一
1，小明在做一道加法时，把一个加数个位上的2看作了4， 另一个加数
个位上的7看作9，结果计算的和为215。正确的和为多少
2，小马虎在做一道 加法题时，把一个加数个位上的3看作了5，十位上
的4看作7，得到结果为376。正确的和是多少
3，小粗心在计算一道加法题时，把一个加数个位上的7看作1，十位上
的3看作8，结果为3 42。正确的和是多少

例题2 小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，结果得到
的差是342，正确的差是多少
思路导航：十位上的2表示2个十，十位上的5表示5个十，把十位上
的2看作5，就是把20看作5 0，减数从20变为50，增加了30，所得的差减
少了30，应在342中增加30，才是正确的差。 340＋30=372
练 习 二
1，小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3错写 成8，结果得到的差
是284。正确的差是多少
2，在减法算式中，错把减数个位上的3写成了5，结果得到的差是254。
正确的差是多少
3，小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的2看作7，减数个位上的
5看作8，结果得到的 差是592。正确的差是多少

例题3 小马虎在计算一道题目时，把某数乘3加20 ，误看成某数除以3
减20，得数是72。某数是多少正确的得数是多少
思路导航：小马虎计 算得到72，是先除再减得到的，我们可以根据逆运
算的顺序把72先加后乘，求出某数为（72＋20 ）×3=276，然后再按题目要
求，按运算顺序求出正确的数276×3＋20=848。
练 习 三
1，小丽在计算一道题时，把某数乘4加20，误看成除以4减20，得数< br>为35。某数是多少正确的结果是多少
2，小粗心在计算时，把一个数除以2减4，误看成乘2加上4，得数是
36。正确结果是多少
3，小华在计算一道题时，把一个数加上4乘2看作了乘2加上4，得数
为40。正确的得数是 多少

例题4 小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550，实际应为625。这两个两位数各是多少
思路导航：我们可以用竖式来帮助分析：

乘数个位上的5看作2，结果比原来少了 5－2=3个被乘数，实际的结果
与错误的结果相差625－550=75；75正好是被乘数的3倍， 被乘数是75÷3=25，
乘数是625÷25=25。
练 习 四
1，一位 学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的8错写成4，乘得的结
果是1080，实际应为1260。这两 个两位数分别为多少
2，小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成5，乘得的结
果是875，正确的结果是805。这两个两位数分别是多少
3，小芳在计算一道题时，把5×（△＋ 7）错写成5×△＋7，她得到的
结果与正确答案相差多少

例题5 小林在 计算有余数除法时，把被除数137当作173，结果商比正
确结果大了4，但余数恰好相同。正确的除 法算式应是什么
思路导航：把被除数137当作173，被除数就多了173－137=36，因此商
比正确结果大4，但余数相同，说明除数的4倍就是36。所以除数为36÷4=9，
正确的除 法算式为137÷9=15……2。
练 习 五
1，小红在计算有余数除法时，把被除 数113错写成131，这样商比原来
多2，但余数恰好相同。正确的除数和余数是多少
2， 王刚在计算有余数除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来
少9，但余数恰好相同。正确的 除法算式是怎样的
3，小明在计算除法时，把被除数末尾的0漏写而成18，结果得到的商比
正确的商少54。正确的除法算式是什么

第22讲 用对应法解题
专题简析：
小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对应
的 数量关系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按
照它们之间的对应关系排列出来 ，进行观察和分析，从而找到答案。这种解
题的思维方法叫对应法。
在用对应法解题时，通常 先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些
等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以 便寻找解题的突
破口。

例题1 奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克 荔枝，需花58元；
如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。问1千克梨和1千克荔枝
各多少元
思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
4千克梨＋5千克荔枝=58元 （1）
6千克梨＋5千克荔枝=62元 （2）
比较（1）和（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等，（2）式比（1）式
多了6－ 4=2千克梨，也就是多了62－58=4元，说明1千克梨的价钱为4÷2=2
元，那么1千克荔枝的 价钱就是（58－2×4）÷5=10元。
练 习 一
1，3筐苹果和5筐橘子共重2 70千克，3筐苹果和7筐橘子共重342千
克。一筐苹果和一筐橘子各重多少千克
2，张老 师为图书室买书，如果他买6本童话书和7本故事书需要144元；
如果买9本童话书和7本故事书，需 要174元。现在张老师买7本童话书和6
本故事书，共需多少元
3，粮店运来一批粮食，4 袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋大米和3
袋面粉共重340千克。一袋大米和一袋面粉各重多少 千克

例题2 学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球和2个排球需要230元。一个足球和一个排球各多少元
思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
3个足球＋4个排球=190元 （1）
6个足球＋2个排球=230元 （2）
我们把（1）、（2）两式进行比较 ，发现两组条件相加还是相减，都不可
能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。 再观察我
们可以发现：如果把（1）式同时扩大2倍，得到6个足球和8个排球共380
元，然 后再与（2）式进行比较，发现足球个数相同，而排球多了6个，也就
多了380－230=150元， 也就是6个排球是150元，一个排球为150÷6=25元，
那么一个足球是（190－25×4）÷ 3=30元。
练 习 二
1，5筐番茄和2筐黄瓜共重330千克，3筐番茄和4筐黄 瓜共重310千
克。一筐番茄和一筐黄瓜各重多少千克
2，4本练习本和5枝圆株笔共14元 ，2本练习本和4枝圆珠笔共10元。
一本练习本和一枝圆珠笔各多少元
3，2件上衣和3条 裤子共480元，4件上衣和2条裤子共640地。一件
上衣和一条裤子各多少元

例题3 商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄
气球 共28只，黄气球和红气球共29只。红气球、蓝气球和黄气球各有多少
只
思路导航：根据题意，我们可以列出下列关系式：
红气球的个数＋蓝气球的个数=21 （1）
蓝气球的个数＋黄气球的个数=28 （2）
黄气球的个数＋红气球的个数=29 （3）
我们可将（1）＋（2）＋（3），即2 1＋28＋29=78只，这里包含有2倍
红气球的个数、2倍蓝气球的个数和2倍黄气球的个数，由此 ，可得出三种气
球的总只数：78÷2=39只。然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求出黄气球的只数：39－21=18只；同理可求出红气球的个数是39×28=11只，蓝气球
的个数是 39－29=19只。
练 习 三
1，小明和小红共12岁，小红和小丽共17岁，小丽和小明共13岁。三
人各多少岁
2，新华书店有批书，故事书和连环画共70本，连环画和科技书共82本，
科技书和故事书共76本 。三种书各多少本
3，公园开菊花展，白菊花和黄菊花共152盆，黄菊花和红菊花共128盆，红菊花和白菊花共168盆。三种菊花各几盆

例题4 三年级三个班种了一片小 树林，其中72棵不是一班种的，75棵
不是二班种的，73棵不是三班种的。三个班各种了多少棵 < br>思路导航：“72棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树72棵；“75棵
不是二班种的”， 说明一班和三班共种75棵，“73棵不是三班种的”，说明一
班和二班共种73棵。这样，我们就可以 求出三个班共种多少棵树：（72＋75
＋73）÷2=110棵。用110－72=38棵就是一班种 的棵数，110－75=35棵就是
二班种的棵数，110－73=37棵就是三班种的棵数。
练 习 四
1，百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋，54双不是运动鞋，51
双不是布鞋。三种鞋各运来多少双
2，一个班同学在做作业，班主任问后得知：全班同学都只 做完了语文、
数学英语作业其中的一种。有23人没有做完数学作业，有19人没有做完语
文作 业，有16人没有做完英语作业。做完三种作业的各多少人
3，学校买四种颜色的气球，其中有93个 不是红气球，有95个不是黄气
球，有98个不是蓝气球，紫气球有10个。学校共买了多少个气球

例题5 已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个
李子 和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1个
桃子的重量
思路导航：根据题意列出等式：
13李=2苹＋1桃 （1）
4李＋1苹=1桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：13李=2苹＋4李＋1苹
即9李=3苹，即3李=1苹 （3）
把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃
即：7李=1桃
练 习 五
1，3个菠萝的重量等于1个梨和1个西 瓜的重量，而1个菠萝和3个梨
的重量等于1个西瓜的重量。问多少个梨的重量等于1个西瓜的重量 < br>2，2个苹果的重量等于3个橘子和3个荔枝的重量，1个苹果和2个荔
枝的重量等于3个橘子的 重量。问3个橘子的重量等于多少个荔枝的重量
3，三个好朋友去文具店买东西，一人买了4枝圆珠笔 ，一个买了2枝钢
笔，还有一个买了1枝钢笔1枝圆珠笔和4枝铅笔，三个人用掉的钱相等。
那 么1枝钢笔的价钱相当于几枝铅笔的价钱

第23讲 盈亏问题
专题简析：
把一定数量的物品，平均分给一 定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；
每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求 物品数量和人数的
应用题叫盈亏问题。
盈亏问题的基本解法是：
份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈
亏数求出。
解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基
本公式求出分配者人数，进而求出 物品的数量。

例题1 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分5个，就多出
10个；如果每人分6个，就少2个。小明全家有多少人这篮梨有多少个
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人分5个，多10个；
第二种分法：每人分6个，少2个。
这说明全家人数为：10＋2=12人，也就是说：
不足的个数＋多余的个数=全家的人数
这篮梨的个数是：5×12＋10=70个；
练 习 一
1，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，则多了8粒糖；如果每人分11粒糖，则少了16粒糖。一共有多少个小朋友这袋糖有
多少粒
2，有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。树周长是
多少米绳子长多少米
3，一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船
坐4人，则有3个人没 有位置。一共有多少条船一共有多少个同学

例题2 幼儿园买来一些玩具，如果每班 分8个玩具，则多出2个玩具；
如果每班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个班这批玩具有多 少个
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每班分8个，多2个；
第二种分法：每班分10个，少12个。
从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种 分法每班多分10－
8=2个，所以，所需的玩具总个数从多2个变成了少12个，也就是说在多2个的基础上再加12个，才能保证每班分10个；第二种分法所需的玩具个数
比第一种多12＋2= 14个，那是因为每班多分了2个。根据这一对应关系，即
可求出班级的个数为：14÷2=7个，玩具 的总个数为8×7＋2=58个。
练 习 二
1，小明带了一些钱去买苹果，如果买3 千克，则多出2元；如果买6千
克，则少了4元。苹果每千克多少元小明带了多少钱
2，一个 小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵；如果每人栽8
棵，则缺4棵。这个小组有几人一共有多 少棵树苗
3，一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，
还剩下6 本。这组学生有几人这批书有几本

例题3 老师买来一些练习本分给优秀少先队员， 如果每人分5本，则多
了14本；如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人买来多少本练习本
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人5本，多了14本；
第二种分法：每人7本，多了2本。
从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7－5= 2本，这样就从原
来的多14本变为多2本，两种分配方法的结果相差了14－2=12本，每人多分了2本，多少人会多分了12本呢根据这一对应关系，可求出优秀少先队员
的人数为12÷2=6 人，练习本的本数为：5×6＋14=44本。
练 习 三
1，把一袋糖分给小朋友们 ，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人
分6粒，则多了2粒。有小朋友几人有多少粒糖
2，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了12个；如
果每人分7个，则多了6个。全 家有几人妈妈共买回多少个苹果
3，某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则空出床位24张；如 果
每间宿舍住10人，则空出床位2张。学校共有几间宿舍住宿学生有几人

例题4 学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如
果每 人搬8棵，则差18棵。学生有几人这批树苗有多少棵
思路导航：根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：
第一种方案：每人搬6棵，差4棵；
第二种方案：每人搬8棵，差18棵。
比较两种方案，每人多搬了8－6=2棵树苗，所需的 树苗就从差4棵变为
差18棵，结果相差了18－4=14棵，每人多搬了2棵，多少人会多搬了14棵
呢根据这一对应关系，可以求出学生人数为：14÷2=7人，树苗的棵数为：6
×7－4=3 8棵。
练 习 四
1，自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分5片叶子，则差 3片
叶子；如果每人分7片叶子，则差25片树叶。学生有几人一共有树叶多少片
2，数学兴 趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4道；如果每
人做8道，则少16道。有几个学生多少道 数学题
3，学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，
则有一行少 7人。一共要排几行一共有多少人

例题5 三（1）班学生去公园划船，如果每条船 坐4人，则少一条船；
如果每条船坐6人，则多出4条船。公园里有多少条船三（1）班有多少学生
为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。
将条件“如果每条船坐4人，则少一条船 ”转化为：“如果每条船坐4人，
则多出4人”；再将条件“如果每条船坐6人，则多出4条船”转化为 ：“如
果每条船坐6人，则差6×4=24人”。
这样两种分配方法就相差了24＋4=28 人，这是因为每条船多坐了6－4=2
人。根据这一关系，可求出船的条数：28÷2=14条，学生人 数：4×（14＋1）
=60人。
练 习 五
1，学校给新生分配宿舍，如 果每间住8人，则少2间房；如果每间住10
人，则多出2间房。共有几间房新生有多少人
2 ，同学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每船坐7人，
则多出2条船。共有几条船有多少 个同学
3，小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分
钟走50米， 则早到4分钟。小明家到学校有多远






第24讲 简单推理（一）

专题简析：
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△
□=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更
聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推
理。
解答这类推 理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之
间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等 量代换、消去等方法来进行解
答。

例题1 下图中，□和△各代表几
□＋△=28 □=△＋△＋△
□=（ ） △=（ ） < br>思路导航：根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△
得到28=△＋△ ＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋
△＋△可求出□=7＋7＋7=21 。
练习一
1，☆＋○=18 ☆=○＋○
☆=（ ） ○=（ ）
2，△＋○=25 △=○＋○＋○＋○
△=（ ） ○=（ ）
3，○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□
○=（ ） □=（ ）

例题2 下图中□和△各代表几
□×△=36 □÷△=4
□=（ ） △=（ ）
思路导 航：根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；
又根据□×△=36，可以得到4△ ×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□
=4△=4×3=12。
练 习 二
1，○和□各表示几
○×□=16 □÷○=4
○=（ ） □=（ ）
2，想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△
○=（ ） △=（ ）
3，□和○各代表几
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16
□=（ ） ○=（ ）

例题3 下图中，□和△各代表几
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14
□=（ ） △=（ ）
思路导航：16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减
去14等于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□
＋□＋□=16＋2 ，那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。
练 习 三
1，□＋□＋○＋○=38
□＋□＋○=22
□=（ ） ○=（ ）
2，□＋□＋□＋△＋△=52
□＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3，○＋△＋□＋□=10
△＋□＋△＋□=12
△＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）

例题4 下图中，□和○各代表几
□＋□＋○＋○＋○=34
○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
思路导航：34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○，用 48
减去34得到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○
×2=6，□= （34－6×3）÷2=8。
练 习 四
1，☆＋☆＋△＋△＋△=24
△＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2，○＋○＋○＋△＋△=54
△＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3，□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96
△＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
=34－14

例题5 下图中□、☆和△各代表几
☆＋☆=□＋□＋□
□＋□＋□=△＋△＋△＋△
☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
思路导航：因为2个 ☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等
于4个△，那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋ △=80中，2个△可以用
1个☆替代，就变为☆＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就 是
□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。

练 习 五
1，△＋△=○＋○＋○
○＋○＋○=□＋□＋□
○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2，○＋○=□＋□＋□
□＋□＋□=△＋△
△＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3，□＋□=○＋○＋○
○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）

第25讲 和倍问题
专题简析：
已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这
样的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法
就是根据题意，画出 线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其 对应的倍数和，从而
先求出1倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和－小数=大数

例题1 学校将360本图书分给二、三两个年级，已 知三年级所分得的本
数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书
思路导航：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是
这样的2倍。如图所示：

由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）
倍，则 二年级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240
本。
练 习 一
1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小
明各有压岁钱多少元
2，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的
2倍还多60本。二 、三年级各得图书多少本
3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，
甲桶油是乙桶的5倍

例题2 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15 枝，问小青给小宁多
少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍
思路导航：我们把变化后小青 的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小
青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化 后小青的枝数
为（30＋15）÷（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝数 。
练 习 二
1，红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳 的
4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票
2，甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲 水池中的水以每分钟2
吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍
3 ，甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书
16本，怎样分配才能使甲书架图 书的本数是乙书架的2倍

例题3 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少
思路导航：由商是7可知，被除数是除数 的7倍，把除数看作1份数，
被除数就有这样的7份，一共7＋1=8份。
除数：320÷8=40
被除数：40×7=280
练 习 三
1，被除数和除数和为120，商是7，被除数和除数各是多少
2，被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是多少
3，两个整数相除商是2 1，余数为1，已知被除数、除数、商、余数的和
一共是441。被除数、除数各是多少

例题4 两数相除商为17余6，被除数、除数、商和余数的和是479。被
除数和除数分别为多少
思 路导航：被除数、除数、商和余数的和是479，减去商17和余数6，
得到被除数与除数的和为479 －17－6=456；又因为被除数比除数的17倍多6，
所以456－6=450就相当于除数的（1 7＋1）倍，因此除数为450÷（17＋1）
=25，被除数为25×17＋6=431。
练 习 四
1，两个整数相除商14余2，被除数、除数、商和余数的和是243，被除
数比除数大多少
2，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的
5倍。差是多少 < br>3，学校买来83本书，其中科技书是故事书的2倍，故事书比文艺书多5
本，这三种书各多少本

例题5 两个数之和是792，其中一个数的最后一位数数字是0，如果把
0 去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少
思路导航：把一个数的最后一位数字0去掉，就与另一 个数相同，说明
这两个数中大数是小数的10倍。又已知两个数之和是792，那我们就可以求
出这两个数分别是多少了。
小数：792÷（10＋1）=72
大数：72×10=720
练 习 五
1，两个数之和是253，其中一个数的最后一位数字是0，如果把0去掉，
就与另一个数相同。这两个数分别是多少
2，师徒两人加工一批零件共693个，师傅加工零 件个数的末位数字是0，
如果去掉这个0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个
3，甲、乙两数的和是209，甲数缩小10倍就和乙数同样大，甲、乙两数
分别是多少








第26讲 差倍问题（一）

专题简析：
前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和 解题方法。如果知道了
两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们
则把它称为“差倍问题”。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方
法解答差倍问题呢 解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1
倍数，再求出几倍数。此外 ，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。
用关系式可以这样表示：
两数差÷（倍数－1）=较小的数（1倍数）
较小的数×倍数=较大的数（几倍数）

例题1 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多
18个。小明买苹果和梨各多少个
思路导航：将梨的个数看作1倍数，则苹果的个数是这样的3倍。如下
图：

从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了3－1=2倍，梨的2倍是18
个，所以梨有18÷2=9 个，苹果有：9×3=27个。
练 习 一
1，学校合唱组，女同学人数是男同学的4 倍，女同学比男同学多42人。
合唱组有男、女同学各多少人
2，一件皮衣价钱是一件羽绒服 价钱的5倍，又已知一件皮衣比一件羽绒
服贵960元。皮衣与羽绒服各多少元
3，甲筐苹果 是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那
么两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多 少千克

例题2 被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少
思路导航：根据“商是7”可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1倍
数，被除数就是这样的7份，比 除数多6份。
所以除数是：252÷（7－1）=42
被除数是：42＋252=294
练 习 二
1，被除数比除数大168，商是22，被除数、除数各是多少
2，除数比被除数小212，商是5，被除数、除数各是多少
3，被除数比商大144，除数是7，被除数、商各是多少

例题3 水果店 有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从
第一筐中取出300个放入第二筐，那么第一筐 橘子还比第二筐多60个。原来
两筐橘子各有多少个
思路导航：根据“如果从第一筐中取出3 00个放入第二筐，那么第一筐
橘子还比第二筐多60个”，说明原来第一筐比第二筐橘子多300×2 ＋60=660
个。把第二筐的橘子重量看作1倍数，第一筐橘子是这样的5倍，比第二筐
多4 倍，第二筐橘子的4倍正好是660个，所以第二筐原有橘子：660÷4=165
个，第一筐橘子原来 有：165×5=825个。
练 习 三
1，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级 的3倍。如果从六年级捐款
钱数中取出160元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多40元 。
两个年级分别捐款多少元
2，人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4倍，如果从人民公园搬出 188盆
杜鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25盆。原来两
个公园各 有杜鹃花多少盆
3，两堆煤重量相等，现从甲堆中运走24吨到乙堆，而乙堆煤中又运入8
吨 ，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。问两堆煤原来各有多少吨

例题4 甲 、乙两个数，如果甲数加上280就等于乙数，如果乙数加上
320就等于甲数的3倍。两个数各是多少
思路导航：根据题意，画出线段图：

“甲数加上280就等于乙数”，说明乙数比 甲数大280；如果乙数再加上
320，甲、乙就相差320+280=600，把甲数看作1倍数，从 图上可以看出，600
就相当于甲数的3－1=2倍。所以，甲数为600÷2=300，乙数为300 ＋280=580。
练 习 四
1，甲、乙两人的存款相等，甲取出60元，乙存入2 0元后，乙的存款是
甲的3倍。甲、乙两人原有存款各多少元
2，小明和小华的连环画本数相 等，若小明借给小华6本，小华的本数是
小明的4倍。原来两人各有连环画多少本
3，两筐千 克数相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲
筐余下的苹果是乙筐的3倍。两筐苹果原来 各有多少千克

例题5 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200 本书，
而第二个书架再放入40本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。
问两个书架 原来各存书多少本
思路导航：根据题意，画出线段图。

从线段图上可以看出，第 一个书架取出200本，第二个书架放进40本书
后，两个书架就相差200+40=240本，把变化 后的第一个书架看作1倍数，两
个书架相差的240本就相当于变化后第一个书架的（3－1）倍。所以 ，变化
后第一个书架有书：
（200＋40）÷（3－1）=120本
两个书架原来各有：120＋200=320本。

练 习 五
1，两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出2000千克，
而第二个仓库再存入400千 克，那么第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库
的7倍。两个仓库原来各存粮食多少千克
2， 小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红16枝铅笔，给小明2
枝铅笔，那么小红的铅笔枝数就是 小明的3倍。原来小红和小明各有铅笔多
少枝
3，商店有数量相等的英语本和算术本，英语本 卖出160本，算术本卖出
420本后，余下的英语本数是算术本的3倍。两种本子原来各有多少本

第27讲 差倍问题（二）
专题简析：
有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小
朋 友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从
而找到解题方法。
较 复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量
关系就会比较清晰地展现出来，然后 借助线段图找出两个数的差以及所对应
的倍数，再利用公式进行解答。

例题1 有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃掉4
千克，这时大袋的玉米重量是小袋的4倍 。两袋玉米原来各重量多少千克
思路导航：根据题意，画出线段图。

从图上可以 看出，小袋玉为吃掉4千克后，大袋里的玉米就比小袋现有
玉米重4+56=60千克；又根据“这时大 袋的玉米重量是小袋的4倍”，可知把
小袋现有的玉米重量看作1倍数，大袋比小袋多的60千克正好相 当于现有小
袋的4－1=3倍，所以小袋现有玉米60÷3=20千克，原有重量20+4=24千克，
大袋原有20×4=80千克。

练 习 一
1，有两箱玩具， 第一盒比第二盒多60只。如果从第二盒中取出3只，
这时第一盒的只数是第二盒的8倍。求两箱玩具原 来各有多少只
2，一个书架上放着一些书，第二层比第一层多12本。如果从第一层中
拿走6 本，这时第二层的本数是第一层的4倍。求第一、第二层原来各有多
少本书
3，甲、乙两桶油 各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少20千克，如果从
甲桶倒出5千克放入5千克，这时乙桶内油的重量 是甲桶的4倍。甲、乙两
桶原来各有油多少千克

例题2 有甲、乙两桶色拉 油，如果向甲桶中倒入8千克，则两桶色拉油
就一样重；如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉油就是 甲桶的5倍。甲、
乙两桶原来各有色拉油多少千克
思路导航：根据题意，画出线段图。

从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入8千克，两桶油重量相等，说明
乙桶油比甲桶 油多8千克；如果向乙桶倒入12千克，乙桶油就比甲桶油多
8+12=20千克，与20千克相对应的 倍数差是5－1=4倍。所以，甲桶原有：（8+12）
÷（5－1）=5千克，乙桶原有5+8=13 千克。

练 习 二
1，有甲、乙两桶水，如果向甲桶中倒入10千克水 ，两桶水就一样多；
如果向乙桶中倒入4千克水，乙桶的水就是甲桶的3倍。原来甲、乙两桶各
有多少千克水
2，三（1）班同学参加英语比赛，如果男生少去1人，男、女参赛人数
相等； 如果女生少去1人，男生参赛人数是女生的2倍。三（1）班参加英语
比赛的男、女生各几人
3，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏给小文3粒，两人的玻璃
球数就一样多；如果小文给小敏 1粒，小敏的玻璃球数就是小文的5倍。小
敏、小文原有玻璃球各几粒

例题3 甲的钱数是乙的3倍，甲买一套180元的《百科大全》，乙买一
套30元的故事书后，两人余下的钱一 样多。甲原来有多少钱
思路导航：根据题意，画出线段图。

把乙原有的钱看作1 份，甲原有的钱不是3份；甲买书用去180元，乙
买书用去30元，甲比乙多用去180－30=15 0元。从图上可以看出，这多出的
150元正好相当于乙原有钱数的3－1=2倍，所以乙原有钱：15 0÷2=75元，
甲原有钱75×3=225元。

练 习 三
1，甲的钱数是乙的4倍，甲买了一只30元的书包，乙买了一枝6元的
钢笔后，两人余下的钱一样多。 甲原来有多少钱
2，丹丹的钱数是小敏的5倍，丹丹买了一套115元的衣服，小敏买了一
双 15元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱
3，云云的钱是小月的4倍，云云买了一套 水彩笔用了19元钱，小月买
了一块1元钱的橡皮后，两人剩下的钱一样多。云云原来有多少钱

例题4 学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的4倍，如果白粉笔和彩色粉笔
各购 进12盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。原来白粉笔和彩色粉笔
各有多少盒
思路导航 ：根据题意，如果彩色粉笔购进12盒，而白粉笔购进12×4=48
盒，那么现在白粉笔的盒数仍是彩 色粉笔的4倍，可见48－12=36盒就是彩
色粉笔现有盒数的4－3=1倍，所以彩色粉笔现有36 ÷1=36盒，原来有36－
12=24盒，白粉笔原有24×4=96盒。
练 习 四
1，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的3倍，如果两筐苹果
各增加8千克，那么甲 筐苹果的千克数就是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各
有多少千克苹果
2，小明和聪聪各有一些 彩色笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的5倍。如果
每人再买4枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的4倍。 小明和聪聪原来各
有彩色笔多少枝
3，有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5倍。如果 每桶分别倒入
8千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的3倍。甲、乙两桶原来各有多少千
克油

例题5 天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个数比足球的4倍多5
个， 篮球比足球多26个。篮球和足球各多少个
思路导航：根据题意，画出线段图。

从图上可以看出，如果把足球的个数看作1倍数，那么篮球减少5个就
是足球个数的4倍，所以足球有（ 26－5）÷（4－1）=7个，篮球有7×4＋
5=33个。
练 习 五
1 ，商店里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的3倍多2个，
红皮球比白皮球多24个。红、 白皮球各有多少个
2，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的5倍多12千克，乙袋比甲袋少
1 32千克。甲、乙两袋面粉各多少千克
3，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的 4倍少8
本，故事书比连环画多28本。图书室里有故事书和连环画各多少本




第28讲 和差问题
专题简析：
已知大小两个数的和及它 们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们
称为和差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起 来就很方便了。
解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数

增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数
同样多，先求小数， 再求大数。
用数量关系表示：
（和＋差）÷2=大数
（和－差）÷2=小数

例题1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4
分。两人各考了多少分
思路导航：根据题意画出线段图。

我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王 平一样多，则总分就增
加4分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：19 2÷2=96
分，李杨考了96－4=92分。
练 习 一
1，两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多
少千克
2，小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两
人分别高多少厘米
3，三（1）班和三（2）班共有学生124人，如果从三（2）班调2人到
三（1）班，两班 学生同样多。三（1）班、三（2）班原来各有学生多少人

例题2 某机床厂第一、 二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给
第二车间8部，那么两个车间车床数相等。两个车间各有 车床多少部
思路导航：用线段图表示题意。

已知第一、二两个车间共有车床96 部，又根据“如果第一车间拨给第二
车间8部，两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车 间原来比
第二车间多8×2=16部车床。所以，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部，第二车间原有56－8×2=40部。

练 习 二
1，红星小学一 年级新108人，分成甲、乙两个班。如果从甲班转3个学
生到乙班去，两班学生就一样多。甲、乙两班 各有学生多少人
2，甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出6千克放到乙箱中，这
时两 箱水果同样多。两箱原来各有水果多少千克
3，有三只船共运木板9800块，第一只船比其余两船共 运的少1400块，
第二只船比第三只船少运200块。三只船各运木板多少块

例题3 哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还
比弟 弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张
思路导航：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根据 “如果哥哥给
弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。
所以，弟弟有邮票：（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。
练 习 三
1，一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下
层多4本。上、下层各 放书多少本
2，姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。
那么姐 姐和妹妹原来各有糖果多少块
3，两笼兔子共16只，若甲笼再放入4只，乙笼取出2只，这时两笼兔
子只数就同样多。甲、乙两笼原来各有兔子多少只

例题4 把一条100米 长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，
第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米
思路导航：用线段图来表示题意。

可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准，假 设第二、第三段绳子都
和第一段同样长，那么总长就变为100－16＋18=102米。
第一段绳子长：102÷3=34米
第二段绳子长：34+16=50米
第三段绳子长：34－18=16米

练 习 四
1，某工厂第 一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10
人，第二车间比第三车间多15人。三个 车间各有工人多少人
2，某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二
名多得250元，第二名比第三名多得125元。三名优秀工人各得多少元
3，小明期终考试的语文 、数学和英语的平均分是95分，数学比语文多6
分，英语比语文多9分。小明期终考试三门功课各多少 分

例题5 四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比
另外两个人年龄之和大8岁。最大的年龄是多少岁
思路导航：我们可以这样思考，将最大、最小两个人 年龄的和与另外两
人年龄和分别看作大数与小数，根据四个人的年龄和是88岁，年龄差是8岁，
即可求出大数与小数。
大数：（88+8）÷2=48岁
最大的年龄：48－3=45岁
练 习 五
1，小军一家四口年龄之和是129岁，小军7岁，妈妈30岁，小军与爷< br>爷年龄这和比他父母年龄之和大5岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁
2，某校四个年龄共有43 8名学生，其中一年级119人，四年级101人，
一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52人 。二、三年级各有多少人
3，某校四个年级共有138名学生参加数学竞赛，其中一、二年级共70< br>名，一、三年级共65名，二、三年级共59名。四年级有多少名

第29讲 年龄问题
专题简析：
年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答
这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两个人年
龄的倍数关系却在不 断地变化。
年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。我们可以抓住差
不变这个特 点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。