中秋节传说故事-联盟学院

周期问题
一、知识要点
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特 征循环往复出现，其连续两次出
现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支， 而且平时解题时
也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加
以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
二、精讲精练
【例题1】 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再
2个黑， 再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个
小球该涂什么颜色 ？
【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即
5＋ 4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
练习1：
1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜
色？


2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜
色？



3.17=0.7……，小数点后面第100个数字是多少？





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【例题2】 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏
灯是什么 颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄 灯这9盏灯看作一组，47÷9=5
（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所 以最后一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12 （盏），占总数的1247；
蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的2047；黄灯共有3×5=15 （盏），占总数的1547。

练习2：
1.有68面彩旗，按二面红的 、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄
旗的几分之几？



2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000
颗 珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？



3.在100米长的跑 道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女
生，再一个男生的规律站立着。这些同 学中共有多少个女生？



【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
【思路导航】一个星期是7天 ，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个
周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期 一。计算天数时为了方便，我们采用“算
尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1. 没有余数说明8号仍是星期一。
题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天， 92÷7=13……1.余1天就
是从星期一往后数一天，即星期二。
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练习3：
1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？


2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？


3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？



【例题4】 将奇数如下图排列，各列分别用A、
B、C、D、E为代表，问：2001所在的 列以哪个字母
为代表？



【思路导航】这列数按每8个数一组 有规律排列
着。2001是这一列数中的第1001个数，1001÷
8=125……1.即2 001是这列数中第126组的第一个数，所以它所在的那一列是以字母B为
代表的。
练习4：
1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？

2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？




A B C D E
8 6 4 2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
… … … …
… … … …

A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
… … …
… … …
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【例题5】 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？
【思路导航】
从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、0 不断重复出
现。我们可以用100除以6，观察余数就知道所求问题了。100÷6=16……4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。
练习5：
1.444……4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？


2.444……4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？



















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课后作业




思考题





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第12讲 盈亏问题
一、知识要点
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的 物品平均分给固定的对象，如果按某种
标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会 有不足（亏），求物品的
数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多 12块；
如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是
我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还 有一些非标准的盈
亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不 够；3.
盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：
1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。
二、精讲精练
【例题1】 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则 男生为
总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有
多少名学生？
【思路导航】（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：< br>女生比男生多2人；（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，
这 时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。原来女生有8－1=7人，男生有7
－2=5人 ，共有7＋5=12人。
练习1：1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒， 彩色粉笔增
加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。< br>学校买来两种粉笔各多少盒？
2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨， 则两堆货物一样重；苦
甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一共有多少吨？
【例题2】 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少4个；如果
每个小朋 友只发给4个，则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友？共有多少个苹果？
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【思路导航】如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数大于4；如果每个小
朋 友只发给4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿4＋4=8个苹果。
因为小朋友人数 大于4，所以，一定是每人少拿1个，有8÷1=8个小朋友，有8×4＋4=36
个苹果。
练习2：1.给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。
有多少个小朋友 ？有多少个梨？
2.老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支，每人7支则少4支。老师有多少
支铅笔？奖给多少个三好学生？
【例题3】 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大 班的学生每人5个余10
个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人，这筐苹果有 多少个？
【思路导航】如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人5个
就多余3×5＋10=25个。由于两班人数相等，小班每人多分3个就要多分（25＋2）个苹
果，用 （25＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的人数是9人，再用9×8－2就求出了这
筐苹果有多少个 。
练习3：
1.一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就 有两人
没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？

2.老师给幼儿园小朋 友分糖，每人3块还多10块；如果减少2个小朋友再分，每人4
块还多7块。原来有多少个小朋友？有 多少块糖？
【例题4】 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人
分得多少块 ？
【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中
班的小 朋友，平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍。因此，
这箱饼干分给小班 的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9块，一共可分到6＋9=15块
饼干。
练习4 ：1.老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借给甲组的女同学，
每人可借6本。如果只 借给甲组的男生，平均每人借到几本？
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2.甲、乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些
红花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做
几朵？
【例题5】 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一
条船，每 条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
【思路导航】根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条 船，也就是少9个同学；每
船坐6人，就要增加一条船，也就是多出6个同学。因此，每船坐9人比每船 坐6人可多
坐9＋6=15人，15里面包含5个（9－6），说明有5条船。知道了有5条船，就可以 求全
班人数：9×（5－1）=36人。
练习5：1.老师把一篮苹果分给小班的同学，如果 减少一个同学，每个同学正好分得
5个；如果增加一个同学，正好每人分得4个。这篮苹果一共有多少个 ？

2.五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减少一只船，正< br>好每只船上价8人。五年级共有多少人？







课后作业


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思考题





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第13讲 长方体和正方体（一）
一、知识要点
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注
意几点：
1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练
【例题1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是
多少平方厘米？（单位：厘米）
【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体
积，左边的长方体体积是10×4 ×2=80（立方厘米），右边的长方
体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件 的体积是
80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较
复杂，其实 ，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积
相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的 面积相等。因此，此零件的表面积就
是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。想 一想：你还能用别的方法来计算它的
体积吗？
练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘 米的长方体，被切去一块后（如图），剩
下部分的表面积和体积各是多少？
2.把一根长2米 的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根
木料原来的体积。
3.有 一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个
正方体（如图），求切掉 正方体后的表面积和体积各是多少？



【例题2】 有一个长方体形状 的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出
它的体积和表面积吗？（单位：厘米）
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【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘
米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），
这个零件的体积是2 40－8=232（立方厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=2 36（平
方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
练习2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。
2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体
后，剩下 物体的体积和表面积各是多少？
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到 的物体的体积和
表面积各是多少？



【例题3】 一个正方体 和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积
比原来的长方体的表面积增加了50平方厘 米。原正方体的表面积是多少平方厘米？
【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方
形的面积是50÷4=12.5（平方 厘米）。正方体有6个这样的面，
所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。 < br>练习3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积
比原来两个 长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼
成的长方体的长是24厘米 ，那么它的体积是多少立方厘米？
2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的 一端锯下一个最大的
正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平
方分米？
【例题4】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立
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方厘米，求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和 高。我们用a、b、h分
别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=14a,2a=3b即 b=23a，砖的体积是
a*23a*14a=16a3。由16a3=288可知，a=12.b=2 3*12=8,h=14*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。 练习4：1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所
组成的大 正方体的表面积是多少平方厘米？
2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面
积。
3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种
不同的长 方体？用图画出来。
【例题5】 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方 体的长、
宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
【思路导 航】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于此
长方体的长、宽、高用厘米 为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17＋2），即
长、宽、高分别为11、1 7、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习5：1.有一个长方体，它的前面和上 面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都
是质数，那么这个长方体的体积是多少？
2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。
3.一 个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、
4分米、25分米，求正 方体体积。
课后作业

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思考题



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第14讲 长方体和正方体（二）
一、知识要点
在长方体、正方体问题中，我们 还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一
种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把 一个物体浸入水中，物体在水中会占
领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
二、精讲精练
【例题1】 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水
箱长40厘米，宽32厘米，水 面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水 面高度一样，现在水面高多少厘米？
【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这 样思考：把两个水
箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样 ，
我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱
的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
练习1：
1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分 米、
宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。
问 水面高多少？
2.有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10 厘
米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？
3.一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积
是0.1平方分 米的钢筋，求这根据钢筋的长。
【例题2】 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平 方厘米的三个铁质正
方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
【思路导 航】因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体
的棱是3厘米。用 同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；
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150=6×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方 体
的体积就等于它们的体积和。
练习2：
1.有三个正方体铁块，它们的表面积分 别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘
米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的 体积。

2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长 方体，
已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。

【例题3】 有一 个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有
水，水深3分米。如果把一块边长2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
【思路导航】铁块的体积是2×2×2=8（立方分 米），把它浸入水中后，它就占了8立
方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体 积除以底面积（5×4）
就能得到水上升的高度了。
练习3：
1.有一个小金鱼缸 ，长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块假山石浸入水中后，
水面上升0.8分米。这块假山石的体 积是多少立方分米？

2.有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。有一根长5 0厘米，横截面是
12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溶出多少立方厘米的水 ？

【例题4】 有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里 面
的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？
【思路导航】首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘
米）。当容器竖起来以后，水 流动了，但体积没有变，这时水的
形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体
积除以底面积就知道现在水的深度了。
练习4：
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1.有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米、宽2分米，
里面的 水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？
2.有一块边长2分米的正方体铁 块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一
个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长。

【例题5】 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？
【思路导航】长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、 长×高、宽×高得来的。因
此，15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6 =900=30×30。所以，这
个长方体的体积是30立方厘米。
练习5：
1. 一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，
这个长方体的体积 是多少立方厘米？

2.一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘 米和15平方厘米，
且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？







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思考题




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第15讲 长方体和正方体(三)

一、知识要点
解答有关长方体和正方 体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟
悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几 何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长
方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加 的表面积等于切面面积的两
倍。
二、精讲精练
【例题1】 一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为
2厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？
【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，
可以按下图中的线共锯6次 ，每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的
面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积 。因此，锯好后表面积
增加432平方厘米。
练习1：
1.把27块棱长是1厘米 的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原
来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘 米？
2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积
增 加多少平方米？
3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，没
有涂颜色的面积是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？
【例题2】 有一 个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，
这个正方体木块原来的表面积是多 少平方厘米？
【思路导航】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是24÷2=1 2
平方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米。
练习2：
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方
厘米？
2.有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方体，
表面积最 多增加多少平方分米？
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3.有三块完全一样的长方体积木， 它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现把三
块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大 是多少平方厘米？
【例题3】 有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱
长是1 分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？
想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两 个3×3平方分米的
面，你能用这种思路来计算所求问题吗？
练习3：
1.用棱长 是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方
体？如果要摆一个棱长是6厘米 的正方体，需要多少个小正方体？
2.有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯 成棱长是1厘米的
小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？
3.把24 个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多
少平方厘米？
【例题4】 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？
【思路导航】按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个；
（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1个。
练习4：
1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，
这些小 正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的
各有多少个？
2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜
色，已知两面被 涂上红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？
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3.把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成1立方分米的小正方体，在这
些小正方 体中，六个面都没有涂色的有多少个？
【例题5】 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和 4厘米，若把它切割成
三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？ < br>【思路导航】这个长方体原来的表面积是（6×5＋6×4＋5×4）×2=148平方厘米，
每 切割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小长方体要切2刀，一共增加2×2=4个
面。要求表面积 和最大，应该增加4个6×5=30平方厘米的面。所以，三个小长方体表面
积和最大是148＋6×5 ×4=268平方厘米。
练习5：
1.有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米、宽5 厘米、高3厘米。要把它们粘
成一个大的长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？最小是多少 平方厘米？
2.把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是72平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
3.把一个长、宽、高分别为7厘米、6厘 米、5厘米的长方体，截成两个长方体，使
这两个长方体的表面积的和最大，求它们的表面积和是多少平 方厘米？







课后作业

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思考题



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第16讲 组合图形面积（一）

一、知识要点
组合图形是由两个或两个 以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：
一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形 具有条件相等的特点，往往使得问题的解决
无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：
1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；
2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；
3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
二、精讲精练
【例题1】 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平
方厘米？
【思路导航】 由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不
能用三角形的面积公式来 计算它的面积。我们可以假设有4个这样的三角
形，且拼成了下图正方形。显然，这个正方形的面积是1 2×12.那么，一
个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。
练习1：1.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）
2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。





3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那 么面
积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。
【例题2】 正图正方形中套着一个长方 形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个
角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短 的2倍。求中间长方形的面积。
【思路导航】图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大 三角形平移后
可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和
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4×2=8（厘米）。中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼 起来的正方形的面积就可
以得到。即：12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）
练习2：
1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2.正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的
面积 。
3.求下图（上右图）长方形ABCD的面积（单位：厘米）。




【例题3】 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平 方
厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？
【思路导航】设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。
（1）梯形EFAD的面积是（ a+b）×b÷2.三角形EFC的面积也是（a+b）×b÷2。所
以，两者的面积相等。
（2）因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积－梯形EFHD的面
积，而三角形CDH的面积= 三角形EFC的面积－梯形EFHD的面积，所
以，三角形CDH的面积与三角形AFH的面积相等，也 是7平方厘米。
练习3：
1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
3.下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？




【例题4】 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF
的面积是多少平方厘米？
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【思路导航】要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度。连接FC后就能得到一
个三角形 EFC，用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积：8
×20÷2－ 8×8÷2=48平方厘米。FD=48×2÷20=4.8厘米，所求梯形的面积就是（4.8＋8）
×8÷2=51.2平方厘米。
练习4：
1.如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2. 在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面
积是多少？（单位：厘 米）
3.图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米 。
求平行四边形的面积。




【例题5】 图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘
米，求ED的长。 【思路导航】因为三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘
米，所以，三角形BCE的 面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米。三角
形BCE的面积是6×4＋6=30平方厘米，EC的 长则是30×2÷6=10厘米。
因此，ED的长是10－4=6厘米。
练习5：
1.如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面
积比三 角形ADH的面积大8平方厘米。求AH长多少厘米？
2.图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
3.正 方形的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分B的面积是7平方厘米，求阴影部分A
和C的和是多少平 方厘米？



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第
一、知识要点
17讲 组合图形的面积（二）

在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1.两个三角形等底、等高，其面积相等；
2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
二、精讲精练
【例题1】 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）
【思路导航 】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减
去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要连接AC ，显然三角形
AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部
分合成了一 个三角形ABC。面积是：6×3÷2=9平方厘米。
练习1：
1.求下图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
3.下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。





【例题2】 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影
部分）的面积。
【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC
的高是三角形BCD高的1 5÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，
三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。 阴影部分的面积是：7.5÷
（1＋1.5）×1.5=45。
练习2：
1.下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，
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如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。





2.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
3.图中三角形A BC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的
面积（ADFC不是正方形） 。
【例题3】 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如
图 所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
【思路导航】1.因为三角形ABD与 三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角
形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6 平方厘米。
2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO
的长度是OD 的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。
所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方 厘米。
练习3：
1.如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形A BCD的面积是多少
平方厘米？
2.下图的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的 中点。那么梯形ABCD的面积是
三角形BDE面积的多少倍？
3.下图梯形ABCD中，A D=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积
比三角形AOD的面积大多少平方 厘米？




【例题4】 在三角形ABC中，DC=2BD， CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求
三角形ABC的面积。
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【思路导航】（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积是
三角形ADE面积的4倍 ，是20×（1＋3）=80平方厘为；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三 角形ADC
面积的一半，是80÷2=40平方厘米。因此，三角形ABC的面积是
80＋40 =120平方厘主。
练习4：
1.把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的面积（ ）乙的面积。
2.如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是A C的三等分点。已知三角形的面
积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。
3.下图中， BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F是AE的中点，三角形ABC的BC边
上的高是4厘米 ，阴影面积是多少平方厘米？





【例题5】 边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正
三角形面积的多少倍？
【思路导航】题中 的已知条件不能计算出两种三角形的面积，我
们可以用边长是3厘米的正三角形拼一个边长是9厘米的正 三角形，
从而看出它们之间的倍数关系。从下图中可以看出：边长9厘米的正
三角形是边长3厘 米的正三角形面积的9倍。
练习5：
1.边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍？
2.一个梯形 与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是三角
形底长的2倍。这个梯形的面积 是三角形面积的多少倍？
3.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形 的面积是
36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？
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华

罗

庚

数

学

思


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维
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