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一种解决数学问题的新方法：染色分类法
【摘要】：
在现实生活中，有一些判 断能与否的数学问题涉及到的知识点很少，
难以快速地找到解题思路。本文主要介绍一种解决这类数学问 题的新方法：染色
分类法。对研究对象进行染色，可以形象、直观地使某些隐蔽的条件显露，从而

获得简明的解答。
【关键字】：
染色 分类 数学问题
一、 用染色解决图形覆盖问题：
在中学数学竞赛中，我们常常会碰到这样的题目：用多个几 何图形去覆盖另一个
几何图形，问能否实现。如果我们每一种情况都去试，不仅花时间，而且容易因考虑不全而出错。对于这一类问题，我们不妨对涉及到的几何对象进行染色，再
来寻找解题思路。< br>
问题一：能否用2个田字形和7个T字形恰好覆盖一个6

6网格？


































分析：这道题看 似简单，但是如果要穷尽每种情况去试一试，却不太可行。考虑
到网格中共有36个小方格，不妨通过染 色把这36个小方格分成黑白两类，然后
看用田字形能覆盖住多少个，T字形能覆盖住多少个，从而判断 该题是否有解。
解：由于用黑白两种颜色对6

6 网格进行染色（如图），可以看 到图中有18个
黑格，18个白格。而用一个田字形，无论放在哪里，都能覆盖住一个黑格，一
个白格；而T字形能覆盖住1个或3个白格。所以2个田字形和7个T字形总
共覆盖住奇数个白格，而6

6 网格中总共有18（偶数）个白格，所以不能完全
覆盖住。

问题二 ：要用40块方形瓷砖铺设如图2所示图形的地面，但当时 商店只有长方
形瓷砖，每块大小等于方形的两块，一人买了20块长方形瓷砖，结果弄来弄去
始 终无法完整铺设好，你能否用这20块瓷砖（不分割任何一块）帮他铺好地面？























图2 图3

分析：要得出这道题的答案并不难，但是如何从理论上证明却没那么简单。这里，如果我们仿照问题一采用染色方法，不仅能更快得出答案，更能较好地说明理由，
让读者一目了然。

解：在图形上黑、白相间地染色，如图3。则共有19个白格和21个黑格。一
块长 方形瓷砖只可盖住一白一黑两格。为了把所有的白格都盖住，需要19块长
方形瓷砖，但19块长方形瓷 砖只能盖住19个黑格，还有两个黑格没有盖住。所
以用这20块整砖（不分割任何一块）不能铺好地面 。所以无论怎么铺设都是徒
劳的。

综合上面两道例题，我们可以得出：巧妙地应用染色进行分类，可以快速找到
图形覆盖问题的解决方法。

二
、用染色方法判断参观路线是否合理

在生活中，有时候我们去 参观展览，希望能尽量少走一点路程而走遍所有的展区。
如何选择参观路线呢？采用染色的方法能巧妙解 决这个问题。
问题三：某展会有4

6间展览室，如图4，每一间展览室与邻室之间 都有门相通。
有人希望从A入口进入，每个展览室都到，且只到一次，最后从B出口处退出，
请 问参观路线应如何选择?
















图4

分析：这道题看起来并不复 杂，但是你如果动手在图4中画一画，很难找出一条
符合条件的参观路线，是否这样的参观路线不存在呢 ？这还需要证明。这时，国
际象棋的黑白相间的旗盘给我们启迪。我们不妨把24间展室像国际象棋那样 染
成黑白两种颜色，再来寻找解题方法。

解：把24间展览室染成黑白两色（如图 5），则参观者从A出口进入，无论他如
何走法，第一格必是白格，第二格必是黑格…….如此继续：白 —黑—白—黑.......
共24格，所以最后一格必是黑格，而图中是白格，故可以判定，符合要求 的参
观路线不存在。

B










A

图5
三、 用染色分类法处理调换座位问题
问题四：教室里有7排椅子，每排7张，每 张椅子坐一个学生，如果一周后每个
学生都必须和他相邻（前后左右）的某一同学对换座位，问能否换成 ，为什么？

分析：这道问题如果采用常规的思维方法进行思考，很难找到解题思路。因为如
果“与相邻某一同学”调换位置，每一位同学换位置就有前、后、左、右四中选
择，如果要穷尽 所有的情况去试，那是很困难的。这时，我们不妨换一种思路，
对位置进行染色，使得前后左右的位置的 颜色与中间那个位置的颜色不同，从而
寻找解题思路。











































图6

解：如图6所示，我们把教室里所有的位置排列画成一个网格图，并涂成黑白 相
间的颜色。则坐在白色方格周围都是黑色方格，黑色方格周围都是白色方格。所
以，如果某同 学要换到与原位置相邻的位置上去，则新位置的颜色必与原位置的

颜色不相同，即黑色要 换成白色，白色要换成黑色。由于一共有25个黑格，24
个白格，黑格与白格的数目不相等，所以没有 办法使得每一位同学都能按要求对
换。
四、 方法总结
在实际生活中，有一些数学 问题涉及到存在性、可行性的判定问题，只有我
们先证明所期望事物的存在性和可行性，才能进一步做出 决策。染色的方法在判
断“能与不能”这一类数学问题中起到很大的作用。只要我们把需要解决的数学< br>问题转化为图形，并按照一定的规律进行染色，就能够发现这些数学问题中隐蔽
的条件，从而寻找 矛盾，打开解题思路。



参考文献：
《中学生数学竞赛之窗》2007年12月下期
《中小学数学》（初中版）2008年第1—2期