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第四讲 数的进制
卷Ⅰ






想
挑
战
吗
？

我们都学过十进制乘法口诀表，那么聪明的你能写出七进制的乘法
口诀表吗？八进制的呢？

祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖 国奉献力量祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力 量
计算：（1）
(101)
2
(111)
2
；（2）
(1101)
2
(110)
2
；（3）
(1101)
2
(101)
2
；（4）
(101101)
2
(111)
2






（一）进制的概念及性质
【例1】 （奥数网原创题）在八进制中，1234-456-322=________.



专题回顾

专题精讲


【例2】 （奥数网原创题）在六进制中，15+255+3555+45555+555555=________.



【例3】 （仁华考题）若
(62)
n
是< br>(14)
n
的4倍，那么
(41)
n
化为十进制是多少？



【例4】 （仁华考题）在几进制中有4×13=100．




【例5】 （仁华考题）证明10101在任何进制的记数法中，都是一个合数.

1

卷Ⅱ
（二）进制的转化及应用

【例6】 （奥数网原创题）把二进制自然数1转化为八进制自然数.




【例7】 （奥数网原创题）在三进制中的数12121121，则将其改写为九 进制，其从左向右
数第l位数字是几?




【例8】 （仁华考题）N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四
次方.



【例9】 （仁华考题）若
21
能被15整除，自然数n可以取哪些值？



【例10】 （仁华考题）三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中，这 三个数的数字
和是依次减少的，那么符合这样要求的等差数列有多少个？




【例11】 （奥数网原创题）一串数：1，3，4，9，10，12，13，… ，由一些正整数组成，它们或者是3
的幂，或者是若干个不同的3的幂的和，求这串数中的第100项是 多少？




【例12】 （仁华考题）称n个相同的数a相乘 叫做a的n次方，记做
a
，并规定
a1
.如果某个自然
数可以写成 2的两个不同次方（包括零次方）的和，我们就称这样的数为“双子数”，如
n
0
n< br>92
3
2
0
，
362
5
2
2
.它们都是双子数，那么小于1040的双子数有多少个？


2

【例13】 （奥数网原创题）在地球上有 一个矮人国，这个国家不用通常的十进制，而是用大于十的另一
种进制．但是该国家的钟表与中国的本质 上相同（当然可能钟面标的数字有区别，这不是本质
区别）．一名司机开车在笔直的公路上匀速行驶，每 小时的速度是整数．当钟表的时针与分针
垂直的时候，司机发现他刚好经过路边的一个里程碑，上面的数 字是一个两位数．当钟表的时
针与分针再次垂直的时候，司机再次发现他刚好经过路边的里程碑，上面的 数字是刚才那个两
位数的数字颠倒过来．当钟表的时针与分针第三次垂直的时候，司机第三次发现他刚好 经过路
边的里程碑，上面的数字是一个三位数，是在第一次的那个两位数中间插了一个数字．在该国家的进制数尽量小的情况下，司机的时速是多少？（请把答案转化成十进制）






专题展望

六年级还会继续学习数的进制哦！

练习四

1. 在几进制中有125×125=16324.



2. 在6进制中有三 位数
abc
，化为9进制为
cba
，求这个三位数在十进制中为多少?



（2
3. 试求



2006
-1）
除以992的余数是多少？
4. 求证
22222222
098
21
能被5整除.



5. 一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就 又得到了2个三位数．老师发现这3
个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多 少个?


3

6. 一 个g进制数，
Na
5
g
5
a
4
g
4
a
3
g
3
a
2
g
2
 a
1
g
1
a
0
，要计算它的十进制数时，有一
个简便算法：
N((((a
5
ga
4
)ga
3< br>)ga
2
)ga
1
)ga
0
，这样进行5 次乘法和5次加法，
现在请你用简便算法求出六进制数的N.
N312150
(6)
=
_____
(10)



数学知识

莫尔斯-瑟厄数列

也可以用别的办法来生成乐音数列：每一代都可以由其前代挂上 它的“补数列”而得出，这意味着
如果你看到了0110，就在它的后面加挂1001．此外，还有第三 种办法来生成它．一开始先写0，1，2，3，…，
然后把它们改写成二进制数：0，1，10，11， 100，101，110，111，…．（本书第21节的“第一步探索”
中将详细阐述二进制数，如果 你渴望了解背景信息，不妨直接跳到那里去阅读．）现在，对每个二进制数
字求和，并取其模2同余．也 就是说，把每个和数用2去除，并取其余数．例如，二进数11求数字和后
奖成为2，在最后的数列中就 应当用0表达，通过这种办法可以得出数列0，1，1，0，1，0，0，1……
同欺其他办法是一致的 ！
让果戈尔博士来告诉你，何以这一数列如此迷人．首先，它是自相似的，这意味着你可以取数列的< br>一段而生成全部无穷数列！例如，逐项相间地截取，可以复制全部数列．也就是说，你可以取最前面的二个数，再跳过二个，如此等等．其次，数列没有任何周期性．例如，不会出现，诸如00，11，00，1 1
这类情况．然而，数列虽然没有周期可言，它去决非随机，它具有极强的短程与长程结构．例如，不可
能有两个以上相邻的项是完全一样的．发现数列中所存在的模式的方法是傅里叶频谱，用它来分析本数< br>列时显示出了明显的波峰．采用这种数学方法，你可以绘出一个图像，表明数列中项的位置与数据频度，< br>在第三维上有着更稠密的频率分量，而在二维图像上不过是极其简单的一个黑点．
数列的生长极其迅速，下面是第8代：


4

有时候，按此种方式把数列堆积在它自身之上时会冒出一些模式，在这里，你能看 出什么名堂来吗？
表示莫尔斯——瑟厄数列的另外一种办法是使用超市里常用的商品分类的“条形码”， 看到1的时候是一
根垂直线段，而在出现0时则跳过一段空白．为了使肉眼更易辨识，当两个1连续出现 时，可以用短横
加以联接．我们可以用喜欢的植物图形来描述莫尔斯——瑟厄数列，用花朵表示1，空档 表示0：

倘若采用较高的树木，图形甚至更加好看．你能否对行、列作出巧妙安排以便更好 地显示出数
列的模式？在这种神奇的森林里漫步会有什么感受？不妨去想一想，你握着心上人的玉手，走 入这个一
望无际的莫尔斯——瑟厄森林中去的美妙情景哦！



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