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第一讲 直线型面积（一）



教学目标

1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；
2. 熟练掌握直线型面积的两个模型：
（1）等积变形 （2）鸟头模型


知识精讲

直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图
S
1
:S
2
a:b

AB
S
1
a
S
2
b
CD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S
△ACD
S
△BC D
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可 知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比 等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在
△A BC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或
D< br>在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上)，
则< br>S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)

A
A
D
D
E
E
B
C

B
C

小学奥数·几何·第1讲 学生版 page 1 of 16

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板块一、等积变形

【例 1】 如图，长方形
ABCD
的面积是
56
平方厘米，点E
、
F
、
G
分别是长方形
ABCD
边上的中点 ，
H
为
AD
边上的任意一点，求阴影部分的面积．
A
E< br>B
H
D
G
A
E
B
H
D
G< br>
【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接
BH
、
CH
．
∵
AEEB
，
∴
S
△AEH
S
△BEH
．
同理，
S
△BFH
S
△CFH
，
S
CGH
=S
DGH
，
11
∴
S
阴影
S
长方形ABCD< br>5628
(平方厘米)．
22
F
C
F
C


【巩固】图中的
E
、
F
、
G
分别是正方形
ABCD
三条边的三等 分点，如果正方形的边长是
12
，那么阴影部
分的面积是 ．
A
D
G
E
B
F
C
E
B
F
A
6
5
4
3
1
G
2
C
H
D









【例 2】 如图，有三个正方形的顶点
D
、
G
、
K
恰好在同一条直线上，其中正方形
GFEB
的边长为10厘米，
求阴影部 分的面积．
D
C
G
Q
F
O
H
E
K
A
Q
P
D
C
GF
O
H
E
K
P
A
BB

小学奥数·几何·第1讲 学生版 page 2 of 16

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【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形， 一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角
线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进 行面积的转化．
如右图所示，连接
FK
、
GE
、
BD，则
BDGEFK
，根据几何五大模型中的面积比例模型，可
得
S
DGE
S
BGE
，
S
KGE
S
FG E
，所以阴影部分的面积就等于正方形
GFEB
的面积，即为
10
2
100
平
方厘米．

【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的 ，小正方形的边长是
4
厘米，求三角形
ABC
的面积．
A
B
G
ED
F
4
C

A
B
G
ED
F
4
C







【巩固】(2008年西城实验考题)如图，
AB CD
与
AEFG
均为正方形，三角形
ABH
的面积为6平方厘米，图
中阴影部分的面积为 ．
D
C
D
C
FH
G
E
F
H
E
A
B

G
A
B









【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米， 则图中阴影面积为多少平方厘米？
D
D
A
A
G
H
B
C
E
F
G
H
F
E








小学奥数·几何·第1讲 学生版 page 3 of 16

B
C

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A
HD

【例 3】 长方形
ABCD
的面积为36
cm
2
，
E
、
F< br>、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部 分面
积是多少？
E
G
B
F
C
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图：
HD
A

E
G
B
111
S
AH B
、
S
FHB
S
CHB
、
S
DH G
S
DHC
，而
S
ABCD
S
AHBS
CHB
S
CHD
36

222
11
即
S
EHB
S
 BHF
S
DHG
(S
AHB
S
CHB
S
CHD
)3618
；
22
11111
而
S
EHB
S
BHF
S
DHG
S阴影
S
EBF
，
S
EBF
BEBF( AB)(BC)364.5
．
22228
所以阴影部 分的面积是：
S
阴影
18S
EBF
184.513.5

F
C

可得：
S
EHB

解法二：特殊点法．找
H
的特殊点，把
H
点与
D
点重合，
那么图形就可变成右图：
A
D
(H)
E
G

这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111

S
阴影
S
ABCDS
AED
S
BEF
S
CFD
36 36363613.5
．
2222222

【巩固】在边 长为6厘米的正方形
ABCD
内任取一点
P
，将正方形的一组对边二等分，另 一组对边三等分，
分别与
P
点连接,求阴影部分面积．
A
D
A
(P)D
A
D
B
F
C
PP
B
C







B
C

B
C

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【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)
ABCD
是边长为12的正方 形，如图所示，
P
是内部任意一点，
BLDM4
、
BKDN 5
，那么阴影部分的面积是 ．
A
P
N
L
B
A
(P)
L
B
A
P
N
L
BK
N
K
K
DC
DC
M
M

【解析】 （法1）特殊点法．由于
P
是内部任意一点，不妨设
P
点 与
A
点重合(如上中图)，那么阴影部分就是
AMN
和
ALK< br>．而
AMN
的面积为
(125)4214
，
AL K
的面积为
(124)5220
，所以
阴影部分的面积为
1 42034
．
（法2）寻找可以利用的条件，连接
AP
、
BP
、
CP
、
DP
可得右上图所示：
11
则有:
S
PDC
S
PAB
S
ABCD
 12
2
72

22
同理可得：
S
PAD
S
PBC
72
;
1
而
S
PDM
:S
PDC
 DM:DC4:121:3
,即
S
PDM
S
PDC
；
3
155
同理：
S
PBL
S< br>PAB
,
S
PND
S
PDA
,
S< br>PBK
S
PBC
;
31212
15
所以：
(S
PDM
S
PBL
)(S
PND
S
PBK
)(S
PDC
S
PAB
)(S< br>PDA
S
PBC
)

312
而
(S
PDM
S
PBL
)(S
PND
 S
PBK
)(S
PNM
S
PLK
)(S
DNM
S
BLK
)
；

D
M
C
阴影面积
1

S
DNM
S
BLK
4510
；
2
所以阴影部分的面积是：
15
S
PNMS
PLK
(S
PDC
S
PAB
)(S< br>PDA
S
PBC
)(S
DNM
S
BL K
)

312
15
即为：
727210224302034
．
312

【例 5】 (2008年四中考题)如右图，
ADDB
，
AEEFF C
，已知阴影部分面积为5平方厘米，
ABC
的面积是 平方厘米．
B
D
B
D
A
EF
C
1
1
【解析】 连接
CD
．根据题意可知，
DEF
的面积为
DAC< br>面积的，
DAC
的面积为
ABC
面积的，所
2
3
111
以
DEF
的面积为
ABC
面积的
< br>．而
DEF
的面积为5平方厘米，所以
ABC
的面积为
2 36
1
530
(平方厘米)．
6

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A
EF
C

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A
E
F
B
D
C


【巩固】图中 三角形
ABC
的面积是180平方厘米，
D
是
BC
的中点，
AD
的长是
AE
长的3倍，
EF
的长是
BF

长的3倍．那么三角形
AEF
的面积是多少平方厘米？









【例 6】 如图，大长 方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形
组合而成．求 阴影部分的面积．
B
A
12cm
2
36cm
2
1 2cm
2
M
36cm
2
N
48cm
2
24 cm
2
48cm
2
【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则
AB
121241

，
CD
，
1236424 483
111
11
所以
MN
，阴影部分面积为
(1 2243648)5(cm
2
)
．
3412
212

24cm
2
C
D


【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形
ABC< br>中，已知三角形
ADE
、三角形
DCE
、
三角形
BC D
的面积分别是89，28，26．那么三角形
DBE
的面积是 ．
B
D
A
E
【解析】 根据题意可知，
S
ADC

S
ADE
S
DCE
8928117
， C
所以
BD:ADS
BDC
:S
ADC
26: 1172:9
，
那么
S
DBE
:S
ADE
BD:AD2:9
，
2227
故
S
DBE
89 (901)2019
．
9999
小学奥数·几何·第1讲 学生版 page 6 of 16

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【例 8】
O
是长方形
ABCD
内一点，已知
OBC
的面积是
5cm
2
，
OAB
的面积是
2 cm
2
，求
OBD
的面积是
多少？
D
A
O
P
B
11
【解析】 由于
ABCD
是长方形，所以
S
AOD
S
BOC
S
AB CD
，而
S
ABD
S
ABCD
，所以
S
AOD
S
BOC
S
ABD
，
22
则< br>S
BOC
S
OAB
S
OBD
，所以
S
OBD
S
BOC
S
OAB
523cm
2
．

【例 9】 如右图，过平行四边形
ABCD
内的 一点
P
作边的平行线
EF
、
GH
，若
PBD的面积为8平方分米，
求平行四边形
PHCF
的面积比平行四边形
PGA E
的面积大多少平方分米？
A
E
P
F
G
D
C

A
E
P
G
D
F
HC

【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形
PHCF
的面积与平行四边形
P GAE
的面积差，相当于求平行四边
形
BCFE
的面积与平行四边形
ABHG
的面积差．
如右上图，连接
CP
、
AP
． 1
由于
S
BCP
S
ADP
S
ABP
S
BDP
S
ADP
S
ABCD
，所以< br>S
BCP
S
ABP
S
BDP
．
2
11
而
S
BCP
S
BCFE
，
S< br>ABP
S
ABHG
，所以
S
BCFE
S
ABHG
2

S
BCP
S
ABP
2S
BDP
16
(平方分米)．
22

【例 10】 如右图，正方形
ABCD
的面积是
20
，正三角形
BPC
的面积是
15
，求阴影
BPD
的面积．
B
HC
B
A
A
P
D
P
D
O
B
C

B
C
【解析】 连接
A C
交
BD
于
O
点，并连接
PO
．如下图所示，
可得
PODC
，所以
DPO
与
CPO
面积相等(同底等高)，所以有：
S
BPO
S
CPO
S
BPO
S
PDO
S
BPD
，
11
因为
S
BOC
S
ABCD
205
，所以
S
BPD
15510
．
44

【巩固】如右图，正方形
ABCD
的面积是
12，正三角形
BPC
的面积是
5
，求阴影
BPD
的面 积．

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A
A
P
D
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D
P

O







【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，
ABCD
和
CGEF
是两个正方形，
AG
和
CF
相交于
H
， 已知
CH
等于
CF
的三分之一，三角形
CHG
的面积等于6 平方厘米，求五边形
ABGEF
的面积．
B
C

B
C
FEFE
A
D
H
A
D
H
G
BG

B
CC
【解析】 连接
AC
、
GF
，由于
AC
与
GF
平行，可知四边形
AC GF
构成一个梯形．
由于
HCG
面积为6平方厘米，且
CH等于
CF
的三分之一，所以
CH
等于
FH
的
1
，根据梯形蝴蝶
2
定理或相似三角形性质，可知
FHG
的面积为1 2平方厘米，
AHF
的面积为6平方厘米，
AHC
的
面积为3平 方厘米．
那么正方形
CGEF
的面积为

612
236
平方厘米，所以其边长为6厘米．
又
AFC
的面积为639
平方厘米，所以
AD9263
(厘米)，即正方形
A BCD
的边长为3厘
1
米．那么，五边形
ABGEF
的面积为：3693
2
49.5
(平方厘米)．
2

【例 12】 如图，已知长方形
ADEF
的面积
16
，三角形ADB
的面积是
3
，三角形
ACF
的面积是
4
，那么三角
形
ABC
的面积是多少？
A
F
C
A< br>F
C
A
F
C
D
B
E

D
B
E
D
B
E

【解析】 方法一：连接对角线
AE
．
∵
ADEF
是长方形
1
∴
S
ADE
S
AEF
 S

ADEF

2
DB
S
ADB
3FC
S
ACF
1

，

∴
DES< br>ADE
8EFS
AEF
2
BEDEDB5CEFECF1∴

，


DEDE8EFEF2
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1515
∴
S
BEC
16

2822
∴
S
ABC
S

ADEF
S
AD B
S
ACF
S
CBE

方法二：连接
BF
，由图知
S
△ABF
13
．
2
1628< br>，所以
S
△BEF
16835
，又由
S
△A CF
4
，恰好是
CE
△AEF
面积的一半，所以
C
是
EF
的中点，因此
S
△B
S
△ABC
16 342.5

6
S
△BCF
522.
，
5
所以

【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形
ABC
中，
D
是
AB
边的中点，
E
是
AC
边上的 一点，且
AE3EC
，
O
为
DC
与
BE
的交点．若
CEO
的面积为
a
平方厘米，
BDO
的面积
为
b
平方厘米．且
ba
是
2.5
平方厘米，那么 三角形
ABC
的面积是 平方厘米．
A
D
b
B
O
a
E
C
1111
【解析】
S
A BC
S
BCD
bS
BCO
，
S
ABC
S
BCE
aS
BCO
，所以
S
ABC
S
ABC
ba2.5
(平方厘
2424
米)．所 以
S
ABC
2.5410
(平方厘米)．

【例 14】 如图，长方形
ABCD
的面积是2平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米？

A
F
B
D
E
C
G

【解析】 如 下图，连接
FC
，
DBF
、
BFG
的面积相等，设为< br>x
平方厘米;
FGC
、
DFC
的面积相等，设
1
为
y
平方厘米，那么
DEF
的面积为
y
平方厘米 ．
3
A
D
x
F
y
E
C


xy0.5①
111

S
BC

D
2x2y
，．比较②、①式，②式左边比①
1
S
BDE
=x+y=l
．所以有

3xy1②
333

G
B
x
y
式左边多
2x
，②式右边比①式右边大 0.5，有
2x0.5
，即
x0.25
,
y0.25
．而阴影部分面积为
255
yy0.25
平方厘米．
3312

【例 15】 (
2008
年第一届”学而思杯”综合素 质测评六年级
2
试)如图，
BC45
，
AC21
，ABC
被分成
9
个面积相等的小三角形，那么
DIFK
．
小学奥数·几何·第1讲 学生版 page 9 of 16

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B
D
E
G
A
H
J
K
C
I

F

2
【解析】 由题意可知，
BD:BCS
BAD
:S
ABC
2:9
，所以
BDBC10
，
CDBCBD35
；又
9
2
，所以
DIDC14
，同样分析可得
FK10
，所以DI:DC
D
S
IF
:

S
C
2:5
DF
5
DIFK141024
．

【巩固 】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角
MON
的两边上分别有
A
、
C
、
E
及
B
、
D
、
F
六 个点，
并且
OAB
、
ABC
、
BCD
、CDE
、
DEF
的面积都等于1，则
DCF
的面积等于 ．
N
F
D
B
O
AC
E
M






【例 16】 (2009年四中入学测试题) 如图，已知
CD5
，
DE7
，
EF15
，
F G6
，线段
AB
将图形分成
两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是 65，那么三角形
ADG
的面积是 ．
A
A
C
D
B
E
F
G
C
D
B
EF< br>G
【解析】 连接
AF
，
BD
．
根据题意可知，< br>CF571527
；
DG715628
；
1512 217
所以，
S
BEF
S
CBF
，
S
BEC
S
CBF
，
S
AEG
S
AD G
，
S
AED
S
ADG
，
2727282 8
2115712
于是：
S
ADG
S
CBF
65
；
S
ADG
S
CBF
38
； 28272827
可得
S
ADG
40
．故三角形
A DG
的面积是40．

【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长 方形
ABCD
内的阴影部分的面积之和为70，
AB8
，
AD1 5
，四边形
EFGO
的面积为 ．

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A
D

O
E
B
F
G
C

【解析】 利用图形中的 包含关系可以先求出三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和，以及三角形
AOE
和
DOG
的面积之和，进而求出四边形EFGO
的面积．
1
由于长方形
ABCD
的面积为
1 58120
，所以三角形
BOC
的面积为
12030
，所以 三角形
AOE
和
4
3
DOG
的面积之和为
120 7020
；
4

11

又三角形
AOE、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和为
120
< br>

30
，所以四边形
EFGO
的面积

24

为
302010
．
另解：从整体上来看，四边形
EFGO
的面积

三角形
AFC
面积

三角形< br>BFD
面积

白色部分的面积，
而三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方 形面
积减去阴影部分的面积，即
1207050
，所以四边形的面积为
6 05010
．

【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形
ABCD
的面积为24平方厘米．三角形
ADM
与三角形
BCN

的面积之和为
7.8
平方厘米，则四边形
PMON
的面积是 平方厘米．
D
M
O
A
P
N
C





【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形
A BCD
的面积是
56
平方厘米，那么四边形
MNPQ
的面积
是多少平方厘米？
D
2
M
Q
3
C
5
P< br>A
N6
B
D
2
M
3
P
3
5
Q
3
C
B
AB
N6

【解析】 如图，过
M
、
N
、
P
、
Q分别作长方形
ABCD
的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长
为3
厘米，面积等于
9
平方厘米．设
MQD
、
NAM
、
PBN
、
QCP
的面积之和为
S
，四边形< br>MNPQ

xS56
的面积等于
x
，则

，解得
x32.5
(平方厘米)．
xS9



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板块二 鸟头模型

【例 19】 如图在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的 点，且
AD:AB2:5
，
AE:AC4:7
，
S
△A DE
16
平
方厘米，求
△ABC
的面积．
A
A
D
E
D
E
BC
B

【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE< br>AD:AB2:5(24):(54)
，
C

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC4:7(45):(75)
，所 以
S
△ADE
:S
△ABC
(24):(75)
，设
S
△ADE
8
份，
则
S
△ABC
35
份，
S
△ADE
16
平方厘米，所以
1
份是2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△ABC的
面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的 面积比等于对应角(相
等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角 形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，
BDDC4
，
BE3
，
AE6
，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
A
A
EB
甲
D
E
乙
C
【解析】 连接
AD
．
∵
BE3
，
AE6

∴
AB3BE
，
S

ABD
3S

BDE

又∵
BDDC4
，
∴
S

ABC
 2S

ABD
，∴
S

ABC
6S
< br>BDE
，
S
乙
5S
甲
．

【例 20】 如图在
△ABC
中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB:AD5:2
，
AE:EC3 :2
，
S
△ADE
12
平方厘米，求
△ABC
的 面积．
DD

B
甲
D
乙
C

AA
E
B
C
B
E

【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE< br>AD:AB2:5(23):(53)

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC3:(32)(35 ):

(32)5

，
C
所以
S
△ ADE
:S
△ABC
(32):

5(32)
< br>6:25
，设
S
△ADE
6
份，则
S
△ ABC
25
份，
S
△ADE
12
平方厘
米，所 以
1
份是
2
平方厘米，
25
份就是
50
平 方厘米，
△ABC
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到
一个重要的 定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 21】 如图，三角形
ABC
的面积为3平方厘米，其中
AB:BE 2:5
，
BC:CD3:2
，三角形
BDE
的面
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A
B
C
D
E
A
B
C
D

积是多少？
E


【解析】 由于
ABCDBE 180
，所以可以用共角定理，设
AB2
份，
BC3
份，则BE5
份，
BD325
份，由共角定理
S
△ ABC
:S
△BDE
(ABBC):(BEBD)(23):(55) 6:25
，设
S
△ABC
6
份，恰好是
3
平方厘 米，所以
1
份是
0.5
平方厘米，
25
份就是
25 0.512.5
平方厘米，三角
形
BDE
的面积是
12.5平方厘米

【例 22】 已知
△DEF
的面积为
7
平方厘米，
BECE,AD2BD,CF3AF
，求
△ABC
的面积．
A
F
D
B
E
C

【解析】
S< br>△BDE
:S
△ABC
(BDBE):(BABC)(11):(2 3)1:6
，
S
△CEF
:S
△ABC
(CECF ):(CBCA)(13):(24)3:8
S
△ADF
:S
△A BC
(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6

设S
△ABC
24
份，则
S
△BDE
4
份，
S
△ADF
4
份，
S
△CEF
9
份，
S
△DEF
244497
份，恰好是
7
平方厘米 ，所以
S
△ABC
24
平方厘米

【例 23】 如图 ，已知三角形
ABC
面积为
1
，延长
AB
至
D，使
BDAB
；延长
BC
至
E
，使
CE2 BC
；延
长
CA
至
F
，使
AF3AC
， 求三角形
DEF
的面积．
F
F
A
B
D
C
E
B

A
C
E
D

【解析】 (法
1
)本题是性质的反复使用．
连接
AE
、
CD
．
S
1
∵
< br>ABC

，
S

ABC
1
，
S

DBC
1
∴
S

DBC
1
．
同理可得其它，最后三角形
DEF
的面积
18
．
(法< br>2
)用共角定理∵在
ABC
和
CFE
中，
AC B
与
FCE
互补，
S
ACBC111
∴

ABC

． S

FCE
FCCE428
又
S

ABC
1
，所以
S

FCE
8
．
同理可得
S

ADF
6
，
S

BDE
 3
．
所以
S

DEF
S

ABCS

FCE
S

ADF
S

B DE
186318
．
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【例 24】 如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC，
HA4AD
，平行四边形
ABCD
的
面积是
2， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H< br>H
A
G
D
F
B
C
E
G
A< br>D
F
B
C
E

【解析】 连接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△ ABC
和
△BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
S
ABBC111
∴
△ABC

．
S< br>△FBE
BEBF133
又
S
△ABC
1
，所 以
S
△FBE
3
．
同理可得
S
△GCF
8
，
S
△DHG
15
，
S
△AEH
8
．
所以
S
EFGH
S
△AEH
S
△CFG
S
△DHG
S
△BEF
S
ABCD
8815+3+236
．
S
21
所以
ABCD

．
S
EFGH
3618

【例 25】 如图，将四边形
AB CD
的四条边
AB
、
CB
、
CD
、
AD< br>分别延长两倍至点
E
、
F
、
G
、
H
，若四
边形
ABCD
的面积为5，则四边形
EFGH
的面积是 ．
F
B
C
A
D
H
G
B
C
F
A
D
H
G
EE

【解析】 连接
AC
、
BD
．
由于
BE2AB
，
BF2BC
，于是
S
BEF
4S
ABC
，同理S
HDG
4S
ADC
．
于是
S
BE F
S
HDG
4S
ABC
4S
ADC
 4S
ABCD
．
再由于
AE3AB
，
AH3AD，于是
S
AEH
9S
ABD
，同理
S
 CFG
9S
CBD
．
于是
S
AEH
S< br>CFG
9S
ABD
9S
CBD
9S
AB CD
．
那么
S
EFGH
S
BEF
S
HDG
S
AEH
S
CFG
S
ABCD
4S
ABCD
9S
ABCD
S
ABCD
12S< br>ABCD
60
．


【例 26】 如图，
S< br>△ABC
1
，
BC5BD
，
AC4EC
，DGGSSE
，
AFFG
．求
S

FGS
．
A
F
G
B
D
E
S
C

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【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重 要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有
一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于 夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也
可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的
3
种情况．
432111
最后求得
S
△FGS
的面积为S
△FGS

．
5432210


课后练习


练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的
15%
，黄色三角形面积是
21cm
2
．问：长方形的面积是多少平方厘米？
黄
红
绿
红







练习2. 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那 么与

BEC等积的三角形一
共有哪几个三角形？
F
A
D
E
B
C








练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形
AB CD
的面积是
1
，
M
是
AD
边的中点，
N
在
AB
边上，且
2ANBN
.
那么，阴影部分的面积是多 少？






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练习4. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．
A
F
B
D
E
C









练习5. 如图，三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的5倍，
AC
是
AE
的 3倍，如果三角形
ADE
的面积等于1，那
么三角形
ABC
的面积是 多少？
A
A
D
D
E
E
B











C

B
C

1
练习6. 如图，在
△ABC
中，延长
AB
至
D
，使
BDAB
，延长
BC
至
E
，使
CE BC
，
F
是
AC
的中点，
2
若
△ABC
的面积是
2
，则
△DEF
的面积是多少？
A
F
B
D


C
E

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