新加坡国立大学招生-端午节手抄报模板

数的整除
【知能大展台】
1． 整除的概念
对于整数a和不为 零的整数b，如果数a除以数b的商是整数且没有余数，
我们就说a能被b整除，b能整除a,记作b| a;a叫做b的倍数，b叫做a
的约数。
2．数的整除性质
①如果数a能被数c整除，数b也能被数c 整除，那么它们的和（a+b）
或差(a-b)也能被c整除c|a,c|b，则c|a±b。

②几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的
积也能被这个数整除。

③ 数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b,c互质，那么数a
能被b与c的积整除。
3．数的整除特征
①一个整数的末一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除
②一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除
③一个整数的末三位数能被8或125整除，那么这个是就能被8或125整
除
④一个整数的各数位上数字的和能被3或9整除，那么这个数就能被3或
9整除
⑤一 个整数的奇数位（指个位，百位，万位……）上的数字之和与偶数位
（指十位，千位，十万位……）上的 数字之和的差能被11整除，那么这
个数就能被11整除
⑥一个整数的末三位数与末三位数以 前的数字组成的数的差能被7，11或
13整除，那么这个数就能被7，11或13整除
【试金石】
例1.小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数；3□6□5，其中十位数字和千位数字看不清楚了，但是已知这个数是75的倍数，那么满足上述
条件的五位数中，最大 的一个是多少？
【分析】
因为五位数3□6□5能被75整除，而75=3×25，3与25 互质。
所以3□6□5能同时被3和25整除。
3□6□5能被25整除，由于末尾是5，所 以十位数字只能是2或7，即末两
位数只能是25或75。
当末两位数是25时，3□625 呢功能被3整除，起各位数字之和必须能被3
整除，则千位数字只能是2，5，8，而这些五位数中最大 的一个是38625，且
无重复数字。同理当末两数是75时，能被3整除的最大五位数是39675， 且
无重复数字。
【解答】

答：满足条件的最大五位数是39675。
【智力加油站】

能被3整除数的特征：一个整数的各数位上数

字的和能被3整除，那么这个数就能被3整除。


【针对性训练】

一个能被11整除，首位数字是7，其余各位数字各不相同的最小的六位
数是多少？
【试金石】
例2.一位采购员买了72只同样的水桶，洗衣服时不慎将购货发票洗烂了，只能依稀看到：72只水桶，共□67.9□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算
一算，每只水桶 多少钱？
【分析】
将□67.9□元看作□679□分，这是72只水桶的总价钱，因为单 价72=
□679□，所以□679□能被72整除，而72=8×9，所以□679□能同时被8和9 整除。因为□679□能被8整除，所以他的末三位数一定能被8 整除，
即8|79□，容易算出□内应是2，即个位数字是2。
又因为□6792能被9整除 ，所以它的各个数位上数字之和能被9整除。
6+7+9+2=24，即9|（□+24），显然，□中 的数只能是3。
【解答】
72只水同的总价是367.92元，每只水桶的价钱367.92÷72=5.11(元)
答：每只水桶5.11元。
【智力加油站】

能被8整除数的特征：一个整数的末三位数能被8

整除，那么这个是就能被8整除。


【针对性训练】
一个六位数，12□34□是88的倍数，这个数除以88的商是多少？
【试金石】
例3.用0～9这十个数字组成的被11整除的最大十位数是多少？最小十
位数是多少？
【分析】
用0～9这十个数字的和是45，根据能被11整除的数的特征，组成十
位数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，所以这个差只
能是0，11，22，33 和44五种情况。
由于各位数字之和是45，根据数的奇偶性可知，十位数的奇数位数字
之和 与偶数位数字之和，只能是一奇一偶，所以它们的差不能是0.22和
0.44。
若差是33 ，而和是45，根据和差问题数量关系可知奇数位数字之和与
偶数位数字之和，只能分别是39和6，由 所给十个数字中最小五个数字和
都超过6，所以差不可能是33。这样差必定是11。
根据差 是11，和是45，可知奇数位数字之和与偶数位数之和分别为

（45+11）÷2=2 8和（45-11）÷2=17。而若十位数要最大，则高位数字尽
可能大，经凑数后得，最大十位数是 9876524130；若十位数要最小，则高
位数字尽可能小，经凑数后得，最小十位数是12034 65879。
【解答】
答：最小十位数是1203465879
【智力加油站】

能被11整除数的特征：一个整数的末三位数与末三

位数以前的数字组成的数的差能被7，11或13整除，
那么这个数就能被7，11或13整除

【针对性训练】
从0、3、5、7这四个数字中任选三个数字，排成能同时被2、 3、5整除
的三位数，这样的三位数最大是多少？最小是多少？
【试金石】
例4： 将三位数5AB接连重复地写下去，共写1999个5AB，所得的数
5AB5AB……5AB（199 9个5AB）正好是91的倍数，求AB=？
【分析】
因为5AB5AB一定能同时被7， 11，13整除，91=7×13，所以5AB5AB一
定能被91整除，5AB5AB……5AB=5 AB5AB……5AB×1000+5AB，将5AB5AB接
连写999次后可得到5AB5AB…… 5AB，说明5AB5AB∣5AB5AB……5AB，那么
91∣5AB5AB……5AB，根据数的 整除性质可知，5AB一定是91的倍数。由于
只有91×6=546，所以5AB=546，AB=4 6。
【解答】

答： AB=46
【智力加油站】


能被13整除数的特征：一个整数的末三位数与
末三位数以前的数字组成的数的差能被13整除，

那么这个数就能被13整除。
【针对性训练】
七位数4□□75XY中的末两位是多少时，有哪两个不同的七位数4□□7 5XY
能被99整除？
【试金石】
例5：如果41位数55…5□99…9能被7整除，那么中间方格内的数字是
几？
【分析】
对于数555555，由于555-555=0是7的倍数，根据能被7整除的 数的
特征，555555也能被7整除，（各位数字相同的六位数一定能被7整除）同。
理，9 99999也能被7整除，所以55…5和99…9也能被7整除。所以，这道
题只要考虑，55□99 能被7整除，□99-55=□44，推理□内应为6。
【解答】
答：□=6

【智力加油站】

能被7整除数的特征：一个整数的末三位数与末三位数

以前的数字组成的数的差能被7整除，那么这个数就能

被7整除。

【针对性训练】
下面是一个53位数555…5□999……9中间漏写了一个数字（方框），
26个 26个
已知这个多位数能被7整除，那么中间方框内的数字是多少？
【试金石】
例6：某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除， 那么它
的最后三个数字组成的三位数是多少？
【分析】
这个七位数的最后一个数字显然是0。
另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除。 1+9+9+3=22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最
后三位组成 的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：
1993500，1993320，1993680，
其中只有1993320能被7整除，因此所求的三位数是320。
【解答】
答：所求的最大十位数是9876524130。
【智力加油站】

能被6、8和9整除的数就一定 能被2、3、4

整除，所以这道题只要考虑能被5、6、7、8、9

整除的数就可以了。
【针对性训练】
某个六位数891□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么 它
的最后三个数字组成的三位数是多少？
【智能提速训练营】
1. 求在三位数中能被5和7整除的最大整数。
2. 四位数57A1能被9整除，求A。
3. 一个六位数6457AB能被105整除，那么这个六位数是多少？
4. 在43后面补上三个数字，组成一个五位数，使它能同时被3、4、5整除，
并且使这个数尽可能小。
5. 有一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字后，
是一个能同时被 2、3、5整除的最大两位数，这个四位数是多少？
6. 一个五位数能被7整除，首尾两个数字不知 道，千位、百位、十位上的
数字分别是6、7、9。这个五位数是多少？
7. 整数A1999B能被44整除，求这个数。
8. 从0、3、5、7这四个数中任选三个数字，排成 能同时被2、3、5整除的
三位数，这样的三位数有哪些？

9. 731□是 一个四位数，在□内依次填入三个数字，使组成的三个四位数依
次能被9、11、6整除，这三个数字之 和是多少？
10. 赵老师为学校一共买来28本价格相同的日记本，共付人民币9□.2□元。已知□里的数字都相同，请问每个日记本多少钱？
11. 用1、2、3、4、5、6、7、8、 9（每个数字用一次）组成三个能被9整
除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？
12. 一个四位数AB12加上9后能被9整除，减去8后能被8整除，这个四位
数最大是多少？
13. 将自然数1，2，3，4，……依次写下去组成一个数：
……，如果写到某个自然数时 ，所组成的数恰
好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？
14.用1-6六个数字组 成一个六位数ABCDEF，其中不同的字母代表1-6中不同
的数字，要求AB是2的倍数，ABC是 3的倍数，ABCD能被4整除，ABCDE能
被5整除，ABCDEF是6的倍数，求这样的