小学奥数几何计数
莫言名言-周冬雨高考成绩
几何计数
知识框架图
7
计数综合 7-8 几何计数
教学目标
1.掌握计数常用方法;
2.熟记一些计数公式及其推导方法;
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数. 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用
容斥原理的计数思想.
知识要点
一、几何计数
在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图
分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些
处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.n条直线最多将平面分成
1
2
(nn2)
个部分;n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2;n个三
角形将平面最多分
2
成3n(n-1)+2部分;n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+
2部分……
在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时需要
仔细审题、
综合所学知识点逐步求解.
排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所
在的先后顺序有关;组合问题与各事物所在的先
后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关.
223……n
二、几何计数分类
数线段:如果一条线段上有n+1个点(
包括两个端点)(或含有n个“基本线段”),那么这n+1个点把这条
线段一共分成的线段总数为n+
(n-1)+…+2+1条
数角:数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边.
数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法),因为DE上有15条线段,每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个,所以图中
共有30个三角形.
数长方形、平行四边形和正方形:
一般的,对于任意长方形(平行四边形),若其横边上共有n条线段,
纵边上共有m条线段,则图中共有
长方形(平行四边形)mn个.
例题精讲
【例 1】
(难度等级 ※※)下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的.如果按此
规
律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍,那么围成的图形有
几层,
共用了多少根小棍?
【解析】 通过观察每增加一层,恰好增加6根小棍,这6根恰好是增
加那一层比上一层多摆出的两个正方形
多用的,即前1层用4根,前2层用4+6根,前3层用4+6×
2根,前n层用4+6×(n-1)根,现在共用
了60多根,应减去4是6的倍数,所以共用小棍64
根,围成的图形有11层.
【例 2】 (难度等级 ※※※)用3根等长的火柴可以摆成
一个等边三角形.如图用这样的等边三角形拼合
成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边
由20根火柴组成,那么一共要用多少根火
柴?
【解析】
把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数:
最上一层只用了3根火柴;
从上向下数第二层用了3×2=6根;
从上向下数第二层用了3×3=9根;
……
从上向下数第二层用了3×20=60根;所以总共要用火柴3×(1+2+3+……+20)=630
.
【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”,若用108根火柴
拼成如图所示形状的大三角形,请你数一数共有多
少个三角形?
【解析】
首先,需弄清形状如图的大三角形共有多少层.
从上往下,第一层用
331
根火
柴;第二层用
632
根火柴;第三层用
933
根火柴;第四层用1234
根火柴;第五层用
1535
根火柴;…;第
n
层用
3n3n
根火柴.
根据题意,有:
3691215L
3n108
,故
12345Ln36
,所以,
n8
,
即形状如图的大三角形共有8层,是边长为8根火柴的大正三角形.
然后,数出共有多少个三角形.
尖朝上的三角形共:
(123456
78)(1234567)(123456)
(123
45)(1234)(123)(12)1120
(个);
尖朝下的三角形共:
(1234567)(12345)(12
3)1050
(个);
所以,共有三角形:
12050170
(个).
本题小结:尖朝上的三
角形:每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和,其中连
续自然数最多的和中最大的加
数就是三角形每边被分成的基本线段的条数,依次各个连续自然数的
和都比上一次少一个最大的加数,直
到1为止.
尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和,它的第一个和恰是尖
朝上的第二个和,依
次各个和都比上一个和少最大的两个加数,以此类推直到零为止.
【例 3】 (难度等级 ※※※)如图所示,用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网,其中每
个小方格的边
都由一根火柴棍组成,那么一共需用多少根火柴棍?
【解析】
横放需1996×4根,竖放需1997×3根
共需1996×4+1997×3=13975根.
【例 4】 (难度等级 ※)图中共有多少个长方形?
【解析】 利用长方形的计数公式:横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,
则图中共有长方形(平行四
边形)mn个.所以有(4+3+2+1)×(4+3+2+1)=100.
【例 5】 (难度等级
※)下面的
55
和
64
图中共有____个正方形.
【解析】 在
55
的图中,边长为1的正方形
5
2
个;边长为2的正方形
4
2
个; 边长为3的正方形
3<
br>2
个;边长
为4的正方形
2
2
个;边长为5的正方形有
1
2
,总共有
5
2
4
2
3
2<
br>2
2
1
2
55
(个)正方形.在
64
的图中边长为1的正方形
64
个;边长为2的正方形
53
个;
边长为3的正方形
42
个;边长为
4的正方形
31
个;总共有
6453423142
(个).
【例 6】
(难度等级 ※※)在图中(单位:厘米):
①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?
5
1281
2
4
7
3
【解析】
①一共有
(4321)(4321)100
(个)长方形;
②所求的和是
51281(512)(128)(81)(
5128)(1281)(51281)
2473(24)(47)(73)(247)(473)
(2473)
1448612384
(平方厘米).
【巩固】(难度等级 ※※)如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为
5厘
米、7厘米、9厘米、2厘米和4
厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求图中长方形的个数,以及所有
长方形面积的和.
【解析】 利用长方形的计数公式:横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形(平
行四
边形)mn个,所以有(4+3+2+1)×(4+3+2+1)=100,这些长方形的面积和为
:
(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+
15+12+16)=124×86=10664.
【例 7】 (难度等级
※)下图中共有____个正方形.
【解析】 每个
4
4
正方形中有:边长为1的正方形有
4
2
个;边长为2的正方形有
3
2
个; 边长为3的正方形
有
2
2
个;边长为4的正方形
有
1
2
个;总共有
4
2
3
2
2
2
1
2
30
(个)正方形.现有5个
44
的正方<
br>形,它们重叠部分是4个
22
的正方形.因此,图中正方形的个数是
305
54130
.
【巩固】 (难度等级 ※)图中有______个正方形.
【解析】
55
的正方形1个;
44
的正方形4个;
33
的正方形5个;2
2的正方形4个;1
1的正方
形
13个.共27个.
【例 8】 (难度等级
※※※)如图,其中同时包括两个☆的长方形有 个.
【解析】 先找出同时包
括两个☆的最小长方形,然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方
形.根据乘法原理2
×2×2×3=24(种)不同的长方形.
【巩固】 (难度等级
※※※)在下图中,不包含☆的长方形有________个.
【解析】 根据乘法原理,
所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个),包含☆的长方形
有3
×3×4×4=144(个),所以不包含☆的长方形有441-144=297(个).
【例 9】 图中含有“※”的长方形总共有________个.
※
※
【解析】
根据本题特点,可采用分类的方法计数.按长方形的宽分类,数出含※号的长方形的个数.
含有左上※号的长方形有:
66618
个,
其中,宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为:6个;
宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为:6个;
宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为:6个;
含有右上※号的长方形有:
662624
个,
其中,宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为:6个;
宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为:
62
个;
宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为:6个;
同时含有两
个※号的重复计算了,应减去,同时含有两个※号的长方形有:
448
个,
其中,宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为:4个;
宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为:4个;
所以,含有※号的长方形总共有:
1824834
个.
【巩固】(难度等级 ※※)由20个边长为1的小正方形拼成一个<
br>45
长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”
的所有长方形(含正方形)共有
个,它们的面积总和是 . (第六届走美决赛试题)
☆
【解析】 含☆的一行内所有可能的长方形有:(八种)
☆ ☆ ☆
☆
☆
☆
☆
☆
含☆的一列内所有可能的长方形有:(六种)
☆ ☆
☆ ☆
☆
☆
所以总共长方形有
6848
个,面积总和为
(12233445)(122334)360
.
【例 10】 (难度等级 ※※)如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形.其中某些相邻
的小正三
角形可以拼成较大的正三角形若干个.那么,图中包含“*”号的大、小正三角形一共有___
___个.
*
【解析】
分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中,
边长为1的正三角形有1个;
边长为2的正三角形有4个;
边长为3的正三角形有1个;
因此,图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有
1416
(个).
【例 11】 (难度等级
※※※)如图AB,CD,EF,MN互相平行,则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?
【解析】 图中共有三角形(1+2+3+4)×4=40个.梯形(1+2+3+4)×(2+4)=
60;所以梯形比三角形多60-40=20
个.
【例 12】 (难度等级
※※)图中共有多少个三角形?
【解析】
显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为6
类
(1)最大的三角形1个(即△ABC),
(2)第二大的三角形有3个
(3)第三大的三角形有6个
(4)第四大的三角形有10个
(5)第五大的三角形有15个
(6)最小的三角形有24个
所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59(个)
图中共有三角形2×59=118(个).
【例 13】 (难度等级 ※※)下
图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一
共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一
条直线上的3个点
为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小
面积的
有多少个?
【解析】 1.显然应先求出阴影三角形的面积
设原正方形的边长是3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是
½×2×3=3
2.思考图中怎样的三角形的面积等于3
(1)一边长2,这边上的高是3的三角形的面积等于3(即形如图中阴影三角形).
这时,长为2的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有2×4×4=32(个);
(2)一边长3,这边上的高是2的三角形的面积等于3. 这时,长为3的边是原正方形的一边或平
行于一边的分割线.
这样的三角形有8×2=16(个)注意:不能与(1)中的三角形重复
,所以这样的三角形共有32+16=48
(个).
【例 14】 (第十二届全
国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)如图,连接一个正六边形的各顶点.问图中共有
多少个等腰三角形(
包括等边三角形)?
①
② ③
【解析】 本题需要分类进行讨论.
⑴先考虑其中的等边三角形.
图①中,六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点,而
且,每个小号等边三角形,有且仅有
一个顶点是六边形的一个顶点,既然六边形有6个顶点,所以图中有
6个小号三角形;
图②中,六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边,而且,每个中号等边三
角形有且仅有
一条边是六边形的一条边,既然六边形有6条边,所以图中有6个中号等边三角形;
图③中,大号等边三角形有2个;
⑵再考虑其中非等边的等腰三角形.
图中非等边的等腰三角形,按照面积大小分类有3种类型,见图④.
④ ⑤ ⑥ 其中小号的等腰三角形有6个,因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长,并且,六边形的每一
条边只唯一对应一个小号等腰三角形,而正六边形有6条边,所以有6个小号等腰三角形;
中号的等腰
三角形有12个,因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦,并且,
以非直径的弦为
长边的三角形有2个,如图⑤,这样的弦共有6条,所以有12个中号等腰三角形;
大号的等腰三角形
有6个,因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径,每条直径上都对
应有2个大号三角形,
如图⑥,共有3条直径,所以有6个大号等腰三角形.
那么图中共有
662612638
个等腰三角形.
【例 15】 (第十一届“华罗庚金杯赛”)图中有 个正方形.
【解析】 边线是水平或垂直方向的正方形共有
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
91
(个),形如的正方形有4个,
所以共有正方形
91495<
br>(个).
(如何保证没有其它的斜正方形了?如右图,擦去横线和竖线,只
留下斜线,就一目了然了.)
此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个,以面积大小数正方形,记最小的正方形面积为1;
则面
积为1的正方形的个数为36;面积为2的正方形的个数为4;面积为4的正方形的个数为25;
面积为
9的正方形的个数为16;面积为16的正方形的个数为9;面积为25的正方形的个数为4;
面积为3
6的正方形的个数为1.所以,共有
364251694195
(个)正方形.
【巩固】这幅图中有 个三角形.
【解析】
(法1)以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形:
只有1个基本图形单位的三角形共
66272
个;
由2个基本图形单位组成的三角形共37个;
由4个基本图形单位组成的三角形共30个;
由8个基本图形单位组成的三角形共4个;
由9个基本图形单位组成的三角形共10个;
由16个基本图形单位组成的三角形共2个;
所以图中共有三角形
7237304102155
(个).
(法2)依三角形的斜边的长度数三角形:
①斜边和水平线成45度角的三角形,记这类三角形最小的斜边的长度为1:
长度为1的斜边
共有:36条;长度为2的斜边共有:15条;长度为3的斜边共有:5条;长度为4
的斜边共有:1条
.
因为图中这类斜边每条带有2个三角形,所以共有
2
36155
1
114
(个).
②斜边水平的三角形,从上向下:
斜边
在第一条线的有2个;斜边在第二条线的有4个;斜边在第三条线的有4个;斜边在第四条线
的有5个;
斜边在第五条线的有2个;斜边在第六条线的有2个;斜边在第七条线的有2个;
所以这种类型的三角形共有21个.
③斜边为垂直线的三角形,从左向右:斜边在第一条线的
有2个;斜边在第二条线的有2个;斜边
在第三条线的有5个;斜边在第四条线的有3个;斜边在第五条
线的有3个;斜边在第六条线的有
4个;斜边在第七条线的有1个,
所以这种类型的三角形共有20个.
共有
1142120155
(个)三角形.
【例 16】
一张长方形纸片,长是宽的2倍,先对折成正方形,再对折成长方形,再对折成正方形,……,
共对折7
次,将纸打开展平,数一数用折痕分割成的正方形共有多少个?
【解析】
从简单情况入手,从第一次对折开始分析,
第一次对折,展平,折痕分割成的正方形共
22
1
个;
第二次对折,展平,折痕分割成的长方形共
42
2
个;
第三次对折,展平,折痕分割成的正方形共
82
3
个;
第四次对折,展平,折痕分割成的长方形共
162
4
个;
第五次对折,展平,折痕分割成的正方形共
322
5
个;
第六次对折,展平,折痕分割成的长方形共
642
6
个;
第七次对折,展平,折痕分割成的正方形共
1282
7
个.
观察
发现规律,奇数次对折时,展平后的折痕分割成的图形是正方形,所以,对折七次,将纸展平
后,用折痕分割成的正方形是
2
7
128
个.
【巩固】将正方形纸片由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作.按上述规则完成
五次操作后,
剪去所得的小正方形的左下角.问:当展开这张正方形纸后,一共有多少个小洞孔?
【解析】 将最后得到的小正方形纸展开两次,中间形成一个菱形的小洞孔,之后每展开一次,孔的数量
为原
来的
2
倍,题中一次操作需要对折2次,五次操作对折了10次,所以孔的数量为
12
(102)
256
个.
【例 17】
在一个圆周上有8个点,正好把圆周八等分,以这些点为顶点作三角形,可以作出
个等
腰三角形.
【解析】 由于8个点正好把圆周八等分,所以以其中的任何3个点作为顶点
都不能组成等边三角形.那么任
意选取其中的一个点作为顶点,一个顶点上有三个不同的等腰三角形,圆
周上有
8
个顶点,所以一
共有
3824
个等腰三角形,而且这些
等腰三角形互不相同(否则,假设其中有两个等腰三角形相同,
这两个等腰三角形不可能是同一个顶点,
只能是不同的顶点,这样这个等腰三角形必定是正三角形,
与前面的分析不合),所以可以作出24个等
腰三角形.
【例 18】
圆周上十个点,任意两点之间连接一条弦,这些弦在圆内有多少个交点?
【解析】 圆周上4点构成一
个四边形,四边形两条对角线相交可以产生一个交点.问题转化为“圆周上10个
点可以组成多少个以他
们为定点的四边形?”
利用上一讲的知识,去掉重复的部分,可知有:
10987<
br>
4321
210
个.所以交点有210
个.
【例 19】 圆周上有
8
个点,两点所连的线段叫“弦”,每两点连一条
弦,各弦无公共端点,共可连四条弦,
各弦互不相交的连法共有________种.
【解析】 本题可以利用归纳的方法解决.
若圆周上只有
2
个点,只有
1
种连法;
若圆周上只有4
个点,先选中1个点,它可以与相邻的两个点相连,它连好后其它两点只有1种连
法,所
以此时有
122
种连法;
若圆周上只有
6
个点,先选中1个点
,此时它可以与相邻的2个点相连,也可以相对的1个点相连,
若与相邻的点相连,剩下的4个点有2种
连法;若与相对的点相连,剩下的4个点只有1种连法,
所以此时有
2215
种
连法;
若圆周上只有
8
个点,先选中一个点,此时它可以与相邻的2个点相连,也可
以与与它相隔2个点
的另外两个点相连.若与相邻的点相连,剩下的6个点有5种连法;若与相隔两个点
的点相连,剩
下的6个点被分成两边,一边2个点,只有一种连法,一边4个点,有2种连法.所以此时
共有
522214
种连法.
【例 20】 (难度等级 ※※※
※)一个圆上有12个点A
1
,A
2
,A
3
,…,A
11
,A
12
.以它们为顶点连三角形,
使每个点恰好是一个三角形的顶点
,且各个三角形的边都不相交.问共有多少种不同的连法?
【解析】
我们采用递推的方法.
I如果圆上只有3个点,那么只有一种连法.
Ⅱ如果圆上有6个点,除A
1
点所在三角形的三顶点外,剩下的三个
点一定只能在A
1
所在三角形的一条边所对应的圆弧上,表1给出这
时有可能的连法.
Ⅲ如果圆上有9个点,考虑A
1
所在的三角形.此时,其余的6个点可能分布在:
①A
1
所在三角形的一个边所对的弧上;
②也可能三个点在一个边所对应的弧上,另三个点在另一边所对的弧上.
在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧.
如果是情形①,则由Ⅱ,这六个点有三种连法;
如果是情形②,则由①,每三个点都只能有一种连法.
共有12种连法.
Ⅳ最后考虑圆周上有12个点.同样考虑A
1
所在三角形,剩下9个点的分布有三种可能:
①9个点都在同一段弧上:
②有6个点是在一段弧上,另三点在另一段弧上;
③每三个点在A
1
所在三角形的一条边对应的弧上.得到表3.
共有12×3+3×6+1=55种.
所以当圆周上有12个点时,满足题意的连法有55种.