2016上海高考数学-史记故事

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第1讲 定义新运算

一、知识要点
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运
算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计
算程序，将数值代 入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是 一些特殊的运算符号，如：
*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种
运算定律的。
二、精讲精练
【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路 导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。这里
的“*”就代表一种新运 算。在定义
新运算中同样规定了要先算小括号
里的。因此，在13*（5*4）中，就
要先算小括号里的（5*4）。
练习1：
1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×12，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×
q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”
是新的运算符号。

练习2：
1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝MN+NM，求10*20－14。
【例题3】如果1 *5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+ 333，
4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此


1
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26
3△(4△6)
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420

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练习3：
1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3 =3+33+333，……那么
4*4=________。
2．规定， 那么8*5=________。

3．如果2*1=12，3*2=133，4*3=14 44，那么（6*3）÷（2*6）=________。
【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1
⑥－1⑦ =1⑦×A，那么，A是几？
【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a
－1）×a×（a＋1），据此，可以求出1⑥－1
⑦ =1（5×6×7）－1（6×7×8），这里的分母
都比较大，不易直接求出结果。根据1⑥－1⑦
=1⑦×A，可得出A = (1⑥－1⑦)÷1⑦ = （1
⑥－1⑦）×⑦ = ⑦⑥ －1。即
练习4：
1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4 ×5×6，……如果1⑧－
1⑨＝1⑨×A，那么A=________。
2．规定：③＝2 ×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1⑩
+1⑾＝1⑾×□，那么 □＝________。
3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+ 8+9+10，那么x※3＝54中，x
＝________。
【例题5】设a⊙b=4a－2b+12ab,求z⊙（4
⊙1）＝34中的未知数x。 【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2
×1+12×4×1＝16，再根据x⊙16＝ 4x－2×
16+12×x×16 = 12x－32，然后解方程12x－32 =
34，求出x的值。列算式为
练习5：
1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7
求x。
2．对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b=
3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝
数）。如果1*2＝1，那么3*12＝________。
，求6△4+9△8。
（其中m是一个确定的整
4⊙1＝4×4-2×1+12×4×1＝16
x⊙16＝4x－2×16+12×x×16
＝12x－32
12x－32 = 34
12x= 66
x＝5.5
A =（1⑥－1⑦）÷1⑦
=（1⑥－1⑦）×⑦
= ⑦⑥－1
=（6×7×8）（5×6×7）－1
= 1又35－1
= 35

2

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第2讲 简便运算（一）
一、知识要点
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质 和某些公式，可以把一
些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
二、精讲精练
【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）
【思路导航】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：a－b－
c = a－（b＋c），使运算过程简便。所以
原式＝4.75+8.25－9.63－1.37
＝13－（9.63+1.37）
＝13－11
＝2
练习1：计算下面各题。
1． 6.73－2 又817+（3.27－1又917）
2. 7又59－（3.8+1又59）－1又15
3. 14.15－（7又78－6又1720）－2.125
4. 13又713－（4又14+3又713）－0.75
【例题2】计算333387又12×79+790×66661又14
【思路导航】可把分 数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所
以：原式＝333387.5×79+7 90×66661.25
＝33338.75×790+790×66661.25
＝（33338.75+66661.25）×790
＝100000×790
＝79000000
练习2：计算下面各题：
1. 3.5×1又14+125％+1又12÷45
2. 975×0.25+9又34×76－9.75
3. 9又25×425+4.25÷160
4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7
【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3
【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2×
30。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以
原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3
＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3）

3

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＝1.2×（32.7+67.3）
＝1.2×100
＝120
练习3：计算：
1. 45×2.08+1.5×37.6
2. 52×11.1+2.6×778
3. 48×1.08+1.2×56.8
4. 72×2.09－1.8×73.6
【例题4】计算：3又35×25又25＋37.9×6又25
【思路导航】虽然3又35与6又25的和为10，但是与它们相乘的另一个因数不同，
因此， 我们不难想到把37.9分成25.4和12.5两部分。当出现12.5×6.4时，我们又可
以将6 .4看成8×0.8，这样计算就简便多了。所以
原式＝3又35×25又25＋（25.4+12.5）×6.4
＝3又35×25又25＋25.4×6.4＋12.5×6.4
＝（3.6+6.4）×25.4＋12.5×8×0.8
＝254＋80
＝334
练习4：
计算下面各题：
1．6.8×16.8＋19.3×3.2
2．139×137138＋137×1138
3．4.4×57.8＋45.3×5.6
【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5
【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。所以
原式＝81.5×（15.8＋51.8）＋67.6×18.5
＝81.5×67.6＋67.6×18.5
＝（81.5＋18.5）×67.6
＝100×67.6
＝6760
练习5：
1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5
2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3
3．3.75×735－38×5730＋16.2×62.5

4

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第3讲 简便运算（二）
一、知识要点
计算过程中，我们先整体地分 析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘
法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处 很大。
二、精讲精练
【例题1】计算：1234＋2341＋3412＋4123
【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的4个四位数均由数1，2，3，4组成，
且4个数字在每 个数位上各出现一次，于是有
原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111
＝（1＋2＋3＋4）×1111
＝10×1111
＝11110
练习1：
1．23456＋34562＋45623＋56234＋62345
2．45678＋56784＋67845＋78456＋84567
3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
【例题2】计算：2又45×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28
【思路导航】 我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运
用乘法分配律来简算。所以
原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2
＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8× 7.2
＝2.8×88.8＋88.8×7.2
＝88.8×（2.8＋7.2）
＝88.8×10
＝888
练习2：计算下面各题：
1．99999×77778＋33333×66666
2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45
3．77×13＋255×999＋510
【例题3】计算（1993×1994－1）（1993＋1992×1994）
【思路导航 】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变
形为1992＋1）×1 994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1 = 1993，这样就可以把原
式转化成分子与分母相同，从而简化运算。所以
原式＝【（1992＋1）×1994－1】（1993＋1992×1994）

5

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＝（1992×1994＋1994－1）（1993＋1992×1994）
＝1
练习3：计算下面各题：
1．（362＋548×361）（362×548－186）
2．（1988＋1989×1987）（1988×1989－1）
3．（204＋584×1991）（1992×584―380）―1143
【例题4】有 一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其
中第2000个数与2 001个数相差多少？
【思路导航】这串数中第2000个数是20002，而第2001个数是20 012，它们相差：
20012－20002，即
20012－20002
＝2001×2000－20002＋2001
＝2000×（2001－2000）＋2001
＝2000＋2001
＝4001
练习4：计算：
1．19912－19902 2．99992＋19999 3．999×274＋6274
【例题5】计算：（9又27＋7又29）÷（57＋59）
【思路导航】在本题中，被除数 提取公因数65，除数提取公因数5，再把17与19
的和作为一个数来参与运算，会使计算简便得多。
原式＝（657＋659）÷（57＋59）
＝【65×（17＋19）】÷【5×（17＋19）】
＝65÷5
＝13
练习5：
计算下面各题：
1．（89＋1又37＋611）÷（311＋57＋49）
2．（3又711＋1又1213）÷（1又511＋1013）
3．（96又6373＋36又2425）÷（32又2173＋12又825）

6

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第4讲 简便运算（三）
一、知识要点
在进 行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号
和数字特点，合理地把参 加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律
的模式，以便于口算，从而简化运算。
二、精讲精练
【例题1】
4415
计算：（1） ×37 （2） 27×
45
练习1
用简便方法计算下面各题：
1.
14
15
×8 2.
【例题2】
计算：73
1

1
15
×
8


（2）
26
原式＝（26+1
15
＝26×
15
）×
+
15
26

＝15
15
2626

26

2
25
×126 3. 35×
11
36

7

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练习2
计算下面各题：
1111
1. 64 × 2. 22 ×
1792021
【例题3】
计算：
1

3
5
×27+
5
×41
练习3
计算下面各题：
1.
1
4
×39+
3

4
×27 2.
15
6
×35+
6
×17 3.
【例题4】
计算：
5

6
×
1
13
+
5
9
×
2
13
+
5
18
×
6
13

练习4
计算下面各题：
1．
14

17
×
51
9
+
17
×
9
2.
【例题5】
计算：（1）166
1
20
÷41
练习5
计算下面各题：
1. 54
2
5
÷17 2. 238÷238
238
239
3. 163
8
1
8
×5+
5
8
×5+
1
8
×10
133
7
×
4
+
7
×
1
6
+
61
7
×
12

（2） 1998÷1998
1998
1999

2）原式＝19 98÷
1998×1999+1998
1998÷
1998×2000

1999

1999
1999
2000

1
13
÷41
1
39

（
＝
＝

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第5讲 简便运算（四）
一、知识要点
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面 再向
同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题 主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，
111111
形如 的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ －
a×(a+1)aa+1a×（a+n）na
1a+b11
），形如 的分数可以拆成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
a+na×bab
二、精讲精练
【例题1】
1111
计算： + + +…..+
1×22×33×499×100
练习1
计算下面各题：
1111
1. + + +…..+
4×55×66×739×40
【例题2】
1111
计算： + + +…..+
2×44×66×848×50
练习2
计算下面各题：
11111111
1. + + +…..+ 2. + + +…..+
3×55×77×997×991×44×77×1097×100
【例题3】
179111315
计算：1 － + － + －
31220304256

9

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7
＝
8
练习3
计算下面各题：
157911
1.1 + － + －
26122030
【例题4】
111111
计算： + + + + +
248163264
练习4
计算下面各题：
1111
1. + + +………+
248256
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
【例题5】
111
计算：（1+ + + ）×（ + + + ）－（1+ + + + ）×（ + + ）
23423452345234
练习5
11111
1.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
2345345623456345

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第6讲 转化单位“1”（一）
一、知识要点
把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的ab，乙 是丙的cd，则甲是丙的acbd；如果甲是乙的ab，则乙是甲
的ba；如果甲的ab等于乙的cd， 则甲是乙的cd÷ab＝bcad，乙是甲的ab÷ab
＝adbc。
二、精讲精练
【例题1】乙数是甲数的23，丙数是乙数的45，丙数是甲数的几分之几？
23×45＝815
练习1：
1．乙数是甲数的34，丙数是乙数的35，丙数是甲数的几分之几？
2．一根管子，第一次截去全长的14，第二次截去余下的12，两次共截去全长的几
分之几？
3．一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时，
发现剩下的 路程是他睡着前所行路程的14。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他
睡着时火车行了全程的几分 之几？
【例题2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的14，第二周修的相当于第一周
的45，第二周修了多少米？
解一：8000×14×45＝1600（米）
解二：8000×（14×45）＝1600（米）
答：第二周修了1600米。
练习2：用两种方法解答下面各题：
1．一堆黄沙30吨，第一次用去总数的15，第二次用 去的是第一次的1又14倍，
第二次用去黄沙多少吨？
2．大象可活80年，马的寿命是大象的12，长颈鹿的寿命是马的78，长颈鹿可活
多少年？
3．仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的15，第二次取出余下的13，第二次取
出多少吨 ？
【例题3】晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的14，第二天看了余下的25，第
二天 比第一天多看了15页，这本书共有多少页？
解： 15÷【（1－14）×25－ 14】＝300（页）
答：这本书有300页。
练习3：
1．有一批货物，第一天运了这批货物的14，第二天运的是第一天的35，还剩90

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吨没有运。这批货物有多少吨？
2．修路队在一条公路 上施工。第一天修了这条公路的14，第二天修了余下的23，
已知这两天共修路1200米，这条公路 全长多少米？
3．加工一批零件，甲先加工了这批零件的25，接着乙加工了余下的49。已知乙加< br>工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？
【例题4】男生人数是女生人数的45，女生人数是男生人数的几分之几？
解：把女生人数看作单位“1”。 1÷45＝54
把男生人数看作单位“1”。 5÷4＝54
练习4：
1．停车场里有小汽车的辆数是大汽车的34，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？
2．如果山羊的只数是绵羊的67，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？
3．如果花布的单价是白布的1又35倍，则白布的单价是花布的几分之几？
【例题5】甲数的13等于乙数的14，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？
解： 14÷13＝34 13÷14＝1又13
答：甲数是乙数的34，乙数是甲数的1又13。
练习5：
1．甲数的34于乙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？
2．甲数的1又23倍等于乙数的56，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的
几分之几 ？
3．甲数是丙数的34，乙数是丙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几
分之 几？（想一想：这题与第一题有什么不同？）

12

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第7讲 转化单位“1”（二）
一、知识要点
我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量 关系的实质，又可拓展我们的
解题思路，提高我们的思维能力。
二、精讲精练
【例 题1】甲数是乙数的23，乙数是丙数的34，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、
丙各是多少？
解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的34×23＝12，
丙：216÷（1+34+34×23）＝96 乙：96×34＝72 甲：72×23＝48
解法二：可将“乙数是丙数的34”转化成“丙数是乙数的43”，把乙数看作单位“1”。
乙：216÷（23+1+43）＝72 甲：72×23＝48 丙：72÷34＝96
解法三：将条件“甲数是乙数的23”转化为“乙数是甲数的32”，再将条件 “乙数
是丙数的34”转化为“丙数是乙数的43”，以甲数为单位“1”。
甲：216÷（1+32+32×43）＝48 乙：48×32＝72 丙：72×43＝96
答：甲数是48，乙数是72，丙数是96。
练习1：下面各题怎样计算简便就怎样计算：
1．甲数是乙数的56，乙数是丙数的34，甲 、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、
丙三个数各是多少？
2．橘子的千克数是苹果的23 ，香蕉的千克数是橘子的12，香蕉和苹果共有220千
克，橘子有多少千克？
3．某中学的 初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的910，初二的学生数
是初三学生数的1又14倍，这 个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？
【例题2】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气 球的35等于黄气球的23，蓝气球
有24只，红气球和黄气球各有多少只？
解法一：将条件 “红气球的35等于黄气球的23”转化为“黄气球的只数是红气球
的（35÷23）＝910”。先求 红气球的只数，再求出黄气球的只数。
红气球：（62－24）÷（1+35÷23）＝20（只） 黄气球：62－24－20＝18（只）
解法二：将条件“红气球的35等于黄气球的23”转化为“ 红气球的只数是黄气球
的（23÷35）＝109”。先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。
黄气球：（62－24）÷（1+23÷35）＝18（只） 红气球：62－24－18＝20（只）
答：红气球有20只，黄气球有18只。
练习2：
1．甲数的23等于乙数的56，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？
2．今年 8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的23正好是乙得奖金的
47，甲、乙两人各得奖金 多少元？
3．商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的14等于苹果重量的13，梨子的重量是200千克。香蕉和苹果各多少千克？
【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数的25 ，甲校的女生数是甲校学生数的310，
乙校的男生数是乙校学生数的2150，那么两校女生总数占两 校学生总数的几分之几？
解法一：把乙校学生数看作单位“1”。【25×310+（1－2150）】÷（1+25）＝12

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解法二：把甲校学生数看作单位“1”。 （52－52×2150+310）÷（1+52）＝12
答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的12。
练习3：
1．在一座城市中，中 学生数是居民的15，大学生是中学生数的14，那么占大学生
总数的25的理工科大学生是居民数的几 分之几？
2．某人在一次选举中，需34的选票才能当选，计算23的选票后，他得到的选票
已达到当选票数的56，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？
3．某校有35的学生是男生，男 生的120想当医生，全校想当医生的学生的34是
男生，那么全校女生的几分之几想当医生？
【例题4】仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走25，面粉运作110后，仓
库里剩下大米 和面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋？
解法一：将大米的袋数看作单位“1”
（1－25）÷（1－110）＝23 2000÷（1+23）＝1200（袋） 2000－1200＝800（袋）
解法二：将面粉的袋数看作单位“1”
（1－110）÷（1－25）＝32 2000÷（1+32）＝800（袋） 2000－800＝1200（袋）
答：大米原有1200袋，面粉原有800袋。
练习4：
1．甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的23、乙完成自己的14时 ，
两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？
2 ．一批水果四天卖完。第一天卖出180千克，第二天卖出余下的27，第三、四天共
卖出这批水果的一 半，这批水果有多少千克？
3．甲、乙两人合打一篇书稿，共有10500字。如果甲增加他的任务的 20％，乙减少
他的任务的20％，那么甲打的字数就是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？ 【例题5】400名学生参加植树活动，计划每个男生植树20棵，每个女生植树15棵。
除抽出2 5％的男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？
解： 20×（1－25％）×400
＝20×0.75×400
＝6000（棵）
答：共植树6000棵。
练习5：
1．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地 的13放在一起是13公顷，麦地的一
半和菜地的13放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？
2．师徒两人加工同样多的零件，师傅要10分钟，徒弟要18分钟。两人共同加工零
件168 个，如果要在相同的时间内完成，两人各应加工零件多少个？
3．有5元和2元的人民币若干张，其金 额之比为15：4。如果5元人民币减少6张，
则两种人民币的张数相等。求原来两种人民币的张数各是 多少？

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第8讲 转化单位“1”（三）
一、知识要点
解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作 单位
“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。
二、精讲精练
【例题1】有两筐梨。乙筐是甲筐的35，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙 筐的
梨是甲筐的79。甲、乙两筐梨共重多少千克？
解：5÷（5（5+3）－9（7+9））＝80（千克）
答：甲、乙两筐梨共重80千克。
练习1：
1．某小学低年级原有少先队员是非少先队员的13，后来又有39名同学加入少先 队
组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的78。低年级有学生多少人？
2．王师傅生产 一批零件，不合格产品是合格产品的119，后来从合格产品中又发现
了2个不合格产品，这时算出产品 的合格率是94％。合格产品共有多少个？
3．某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进 3名女生，转走3名男生，
这时女生占总人数的48％。现在有男生多少人？
【例题2】某学 校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的38。后来又买进20根长跳
绳，这时长跳绳的根数占长、短跳 绳总数的712。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少
根？
解法一：根据短跳绳的根数没有 变，我们把短跳绳看作单位“1”。可以得出原来的长
跳绳根数占短跳绳根数的3（8-3），后来长跳 绳是短跳绳的7（12-7）。这样就找到了20
根长跳绳相当于短跳绳的（7（12-7）－3（8- 3）），从而求出短跳绳的根数。再用短跳
绳的根数除以（1－712）就可以求出这个学校现有跳绳的 总数。即
20÷【7（12-7）－3（8-3）】÷（1－712）＝60（根）
解法二 ：把短跳绳看作单位“1”，原来的总数是短跳绳的8（8-3），后来的总数是短
跳绳的12（12- 7）。所以 20÷（12（12-7）－8（8-3））÷（1－712）＝60（根）
答：这个学校现有长、短跳绳的总数是60根。
练习2：
1．阅览室看书的同学中 ，女同学占35，从阅览室走出5位女同学后，看数的同学中，
女同学占47，原来阅览室一共有多少名 同学在看书？
2．一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，这堆
糖中有奶糖多少千克？
3．数学课外兴趣小组，上学期男生占59，这学期增加21名女生后 ，男生就只占25
了，这个小组现有女生多少人？

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……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… < br>【例题3】有两段布，一段布长40米，另一段长30米，把两段布都用去同样长的一
部分后，发 现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的35，每段布用去多少米？
解： 40－（40－30）÷（1－35）＝15（米）
答：每段布用去15米。
练习3： < br>1．有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根上各剪去同样长的一
段后，短绳 剩下的长度是长绳剩下的27，两根绳各剪去多少米？
2．今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的512时，儿子多少岁？
3．仓库 里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库里所
剩的大米袋数时面粉的3 4，仓库里原有大米和面粉各多少袋？
4．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路， 甲队筑的路时其他三个队
的12，乙队筑的路时其他三个队的13，丙队筑的路时其他三个队的14，丁 队筑了多少
米？
【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占15 ，后来又
运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视机多少台？
解： 630×（1－15）÷（1－30％）－630＝90（台）
答：又运进黑白电视机90台。
练习4：
1．书店运来科技书和文艺书共240包 ，科技书占16。后来又运来一批科技书，这时
科技书占两种书总和的311，现在两种书各有多少包？
2．某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手占14，正式比赛时，有几名女选
手因故缺 席，这样女选手人数占参赛选手总数的211。问：正式参赛的女选手有多少人？
3．把12千克的盐 溶解于120千克水中，得到132千克盐水，如果要使盐水中含盐8％，
要往盐水中加盐还是加水？加 多少千克？
4．东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨占水果总数的15；下午又运< br>进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的25，下午运进梨多少千克？
【例题5】一堆煤，运走 的比总数的25多120吨，剩下的比运走的56多60吨，这
堆煤原有多少吨？
解： （120+120×56+60）÷（1―25―25×56）＝1050（吨）
答：这堆煤原有1050吨。
练习5：
1．修一条路，第一天修了全长的25多6 0米，第二天修的长度比第一天的34多35
米，还剩100米没有修，这条路全长多少米？

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2．修一条路，第一天修了全长的25多60米，第二天修的长度 比第一天的34少35
米，这两天共修路420米，这条路全长多少米？
3．某工程队修筑一 条公路，第一天修了全长的25，第二天修了剩下部分的59又
20米，第三天修的是第一天的14又3 0米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？

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第9讲 设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来 缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，
但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这 时就可以采用“设数代入
法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要 尽量的方
便计算），然后求出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。
解： 由第一个 等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是
12，所以右边括号内应填4。
说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。
练习1：
1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。
2．五个人比较 身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊
矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米 ？
3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨到乙仓库，从乙仓库运45
吨 到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多
的比最少的多多少 吨？
【例题2】足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加15，问一张门票降
价 多少元？
【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可
以随便假设一个观众数。为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后
有两个观众，收 入为15×（1+15）＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票
降价15－9＝6元。 即：
15－15×（1+15）÷2＝6（元）
答：每张票降价6元。
说明：如果设原来有a名观众，则每张票降价：
15－15a×（1+15）÷2a＝6（元）
练习2：
1．某班一次考试，平均 分为70分，其中34及格，及格的同学平均分为80分，那
么不及格的同学平均分是多少分？
2．游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加
了20％，小学 生占学生总数的40％，小学生增加百分之几？
3．五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生

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是全部男生的25，全部女生人数占全年级人数的几分之几？ < br>【例题3】小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原
路下山，每 分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200
米，求小王的平均 速度。
【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200，设一个单程是1200米。则
（1）四个单程的和：1200×4＝4800（米）
（2）四个单程的时间分别是；
1200÷200＝6（分）
1200÷240＝5（分）
1200÷150＝8（分）
1200÷200＝6（分）
（3）小王的平均速度为：
4800÷（6+5+8+6）＝192（米）
答：小王的平均速度是每分钟192米。
练习3：
1．小华上山的速度是每小时3 千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原
路下山的平均速度。
2．张师傅骑自行车 往返A、B两地。去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时
只行10千米，张师傅往返途中的平均 速度是每小时多少千米？
3．小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时 每小时行
42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？
【例题4】某幼儿园中班 的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多15，女孩
平均身高比男孩高10％，这个班男孩平均 身高是多少？
【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人。
（1） 总身高：115×【5+5×（1+15）】＝1265（厘米）
（2） 由于女孩平均身高是男孩的（1+10％），所以5个女孩的身高相当于5×（1+10％）＝5.5个男孩的身高，因此男孩的平均身高为：
1265÷【（1+10％）×5+6】＝110（厘米）
答：这个班男孩平均身高是110厘米。
练习4：
1．某班男生人数是女生的23 ，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为132厘米。
问：女生平均身高是多少厘米？
2．某班男生人数是女生的45，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是
130厘米，求男 、女生的平均身高各是多少？

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3．一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？
【例 题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，
马开始追它。问狗再 跑多远，马可以追到它？
【思路导航】马跑一步的距离不知道，跑3步的时间也不知道，可取具体数值 ，并不
影响解题结果。
设马跑一步为7，则狗跑一步为4，再设马跑3步的时间为1，则狗跑 5步的时间为1，
推知狗的速度为20，马的速度为21。那么，
20×【30÷（21－20）】＝600（米）
练习5：
1．猎狗前面26步远 的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔
跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问 兔跑几步后，被狗抓获？
2．猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2步的时
间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追
到它？
3．狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步
的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才能到达B地？

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第10讲 假设法解题（一）
一、知识要点 假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推
算。有些题目用假 设法思考，能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联 系；也可以假设某
个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依 据
它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14与乙数的15的和是42，求两数各是多少？
【思 路导航】假设将题中“甲数的14”、“乙数的15”与“和为42”同时扩大4倍，
则变成了“甲数与 乙数的45的和为168”，再用185减去168就是乙数的15。
解： 乙：（185－42×4）÷（1－15×4）＝85
答：甲数是100，乙数是85。
练习1：
1．甲、乙两人共有钱150元，甲的12与乙的110的钱数和是35元，求甲、 乙两
人各有多少元钱？
2．甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的17，乙队人数 的13，共抽调78
人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？
3．海洋化肥厂计划第二季度生 产一批化肥，已知四月份完成总数的13多50吨，五
月份完成总数的25少70吨，还有420吨没完 成，第二季度原计划生产多少吨？
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩 色电视机卖出19，则比黑白电视机多5
台。问：两种电视机原来各有多少台？
【思路导航】 从图中可以看出：假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出19
后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1－19）＝ 89。
（250+5）÷（1+1－19）＝135（台）
250－125＝115（台）
答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台。
练习2：
1．姐妹俩养 兔120只，如果姐姐卖掉17，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多
少只兔？
2．学校有篮球和足球共21个，篮球借出13后，比足球少1个，原来篮球和足球各

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有多少个？
3．小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果 将鸡卖掉120，还比鸭多17只，小明家原来
养的鸡和鸭各有多少只？
【例题3】师傅与徒 弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的38与徒弟
加工零件个数的47的和为49个，师 、徒各加工零件多少个？
【思路导航】假设师、徒两人都完成了47，一个能完成（105×47）＝ 60个，和实
际相差（60－49）＝11个，这11个就是师傅完成将零件的38与完成加工零件的4 7相
差的个数。这样就可以求出师傅加工了【11÷（47－38）】＝56个。即：
师傅：（105×47－49）÷（47－38）＝56（个）
徒弟：105－56＝49（个）
答：师傅加工了56个，徒弟加工了49个。
练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的25和黑白电 视
机的37，共卖出57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？
2．甲、乙两个 消防队共有336人，抽调甲队人数的57、乙队人数的37，共抽调188
人参加灭火。问：甲、乙两 个消防队原来各有多少人？
3．学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的14和足球个数的 13后，还
剩下46个，买来排球和足球各是多少个？
【例题4】甲、乙两数的和是300，甲数的25比乙数的14多55，甲、乙两数各是
多少？
【思路导航】甲数的25与乙数的25的和就是甲、乙两数的25，是300×25＝120，
因为甲数的25比乙数的14多55，所以从120中减去55所得的差就可以看成是乙数的
14与乙数 的25的和。
乙：（300×25－55）÷（25+14）＝100
甲：300－100＝200
答：甲数是200，乙数是100。
练习4： 1．畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的25比绵羊的12多50只，这个畜牧场有
山羊、绵羊 各多少只？
2．师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的58比徒弟加工零件个数的23多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
3．某校六年级甲、乙两个班共种100棵树， 乙班种的110比甲班种的13少16棵，
两个班各种多少棵？
【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加16，女学生减少15，

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共有710人，本学期男、女学生各有多少人？
【思路 导航】假设本学期女学生不是减少15，而是增加16，半学期应该有750×
（1+16）＝875人 ，比实际多875－710＝165人，这165人是假设女学生也增加16多出
的人数，而实际女学生 减少15，所以，这165人对应着女学生的（15+16）＝1130。
上学期女生：【750×（1+16）－710】÷（15+16）＝450（人）
本学期女生：450×（1－15）＝360（人）
本学期男生：710－360＝350（人）
答：本学期男学生有350人，女学生有360人。
练习5：
1．金放在水里称， 重量减轻119，银放在水里称，重量减少110，一块重770克的
金银合金，放在水里称是720克 ，这块合金含金、银各多少克？
2．某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中 招的新生比去年增
加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？ < br>3．袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加38，黄球减少25后，红球与黄球
的总数变 为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？

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第11讲 假设法解题（二）
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙 各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要
求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数
量关系比较 复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化
前后的相差数相当于单位 “1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎
刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的
长度是第二 根剩下的长度的5倍，第二根原来有多少米？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一 根剩下的长度仍是第二根剩下
长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12米，也 就多剩下第二根剩
下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）
答：第二根原来有12米。
练习1：
1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书
的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？
2．在植树劳动中，光明中学植树的棵数是 光明小学的3倍，如果中学增加450棵，
小学增加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各 植树多少棵？
3．两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩< br>下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比 陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本
4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚 原来有零花钱多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应 地花去
4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4 .40＝8.80元，那
么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3倍多6.40+8.80＝15.20 元，而题中已告诉：买
书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15.20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8 －3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2：
1．甲书架上的书比乙书架上的3倍 多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则
甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原 来各有多少本书？

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2．上学年，马村中学的学生比牛 庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加
了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生 比牛庄小学的学生的4倍少26人，上
学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？
3．箱子里 有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒
白球和15粒红球，若干次后， 箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有
多少粒？
【例题3】小红的彩笔枝 数是小刚的12，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚
的23，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的12，则小红只需买（5
×12）＝2又1 2枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－2又12＝2又12 枝。将小
刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了2又12 ，相当于（23－12）＝16。
小刚原来：（5－5×12）÷（23－12）－5＝10（枝）
小红原来：10×12＝5（枝）
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。
练习3：
1．小华今年的年龄是爸爸年龄的16，四年后小华的年龄是爸爸的14，求小华和 爸
爸今年的年龄各是多少岁？
2．小红今年的年龄是妈妈的38，10年后小红的年龄是妈妈的12，小红今年多少岁？
3 ．甲书架上的书是乙书架上的57，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的
书是乙书架上的45 ，甲、乙两各书架原来各有多少本书？
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的45，两人各捐给“希 望工程”10本后，则
王芳的图书的本数是李卫的710，两人原来各有图书多少本？
【思路 导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的45，则王芳只需捐10
×45＝8本，实际王芳 捐了10本，多捐了10－8＝2本，将李卫捐书后剩下的图书看作“1”，
着2本书相当于45－71 0＝110。
（10－10×45）÷(45－710)=30(本)
30×45＝24（本）
答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。
练习4：
1．甲书架上的书是乙书架上的45，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上 的书
是乙书架上的47，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
2．小明今年的年龄是爸爸的 611，10年前小明的年龄是爸爸的49，小明和爸爸今
年各多少岁？
3．甲车间的工人是乙车间的14，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人

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只占乙车间的16，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？ 【例题5】某校六年级男生人数是女生的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这
时男生人数是 女生的34，现在男、女生各有多少人？
【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的23 ，则男生应转走3×23
＝2人，实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。将转走3名 女生后的女生
人数看作“1”，则相差的4人相当于现在女生的34－23。
（2+3×23）÷（34－23）＝48（人）
48×34＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5：
1．甲车间的工人是乙车间的2 5，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲
车间的人数是乙车间的79，现在甲、乙两个车 间各有多少人？
2．有一堆棋子，黑子是白子的23，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子 是
白子的512，现在白子、黑子各有多少粒？
3．爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学 竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等
奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等 奖的人数减少了1人，曙
光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年 的一等奖
的同学各有多少人？

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第12讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算 式求解，过程比较
繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关 系，
从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练
【例 题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的13，第二天看了余下的35，还剩下
48页，这本书共有多 少页？
【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35＝25。第一天看
后还剩下48÷25＝120页，这120页占全书的1－13＝23，这本书共有120÷23＝180页。即
48÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1：
１．某班少先队员参加劳动，其中37的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，
还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？
２．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全 程的38，第二天走了余下的23，第三天
走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？
３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16，乙拿走了余下的25，丙拿走这
时所剩的3 4，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？
【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27 ，
还剩500米，这段公路全长多少米？
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推， 它占余下的1－27＝57，第一天
修后还剩500÷57＝700米，如果第一天正好修全长的15， 还余下700+100＝800米，这
800米占全长的1－15＝45，这段路全长800÷45＝1 000米。列式为：
【500÷（1－27）+100】÷（1－15）＝1000米
答：这段公路全长1000米。
练习2：
１．一堆煤，上午运走27，下午运的比 余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有
运走，这堆煤原有多少吨？
２．用拖拉机耕一块 地，第一天耕了这块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的12
多3公顷，还剩下35公顷，这块地共 有多少公顷？
３．一批水泥，第一天用去了12多1吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下16< br>吨，原来这批水泥有多少吨？

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【例题3】有甲 、乙两桶油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲
桶，这时两桶油各有24千克，原来 甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2） ＝48千克，当乙桶
没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只 有48－30
＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27 千克，
乙桶原有的油为48－27＝21千克。
甲：【24×2－24÷（1－15）】÷（1－13）＝27（千克）
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。
练习3：
１．小华拿出自己的画片的15给小强，小强再从自己现有的画片中拿出14给小华 ，
这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？
２．甲、乙两人各有人民币若干元， 甲拿出15给乙后，乙又拿出14给甲，这时他
们各有90元，他们原来各有多少元？
３．一 瓶酒精，第一次倒出13，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的59，
第三次倒出180克， 瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次 甲拿出与乙相同的钱数给乙；
第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲 。这样，甲、
乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【思路导航】根据题意，由最 后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与乙
同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝ 28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4：
１．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先 从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再
从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班 相同的人数给甲班，这样，
甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？
２．甲、 乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出
8个放入丙盒后，三个盒子内 的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如 果从乙仓库拿出400袋平均分
给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多 少袋？
【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出14到乙仓库后，又从乙
仓 库运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库
的几分之几？

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【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1 ”，由题意可知，从乙仓库运出
14到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的12。
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
12÷（1－14）＝23
②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－23＝13
③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
13÷（1－14）＝49
④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4÷（9－4）＝45
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的45。
练习5：
1．甲、乙两个仓库各有粮食若 干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库运
出13到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等 。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分
之几？
２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运 出15到乙仓库后，又从乙仓库运
出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮 食是乙仓库的几分
之几？
３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后 ，又从乙仓库运
出25到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的910。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几 分
之几？

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第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法 列式
算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】 某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零
件全部合格，甲种零件只有4 5合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多
少个？
【思路导航】本体用算术方 法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，
列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
（x+12）×45+x＝42
45x+9+x＝42
95x＝42－9又35
x＝18
18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
练习1：
1．某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的34得优，男 、
女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？
2．有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的25 是红
球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
3．六年级甲班比乙班少4人，甲班有 13的人、乙班有14的人参加课外数学组，
两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少 人？
【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少14，女生减少
1 6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）人
（1－16）x＝（x+10）×（1－14）
x＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2：
1．某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线

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电小组的同学减少15，参加航模小组的人数减少110，这样， 两个组的同学一样多。去
年两个小组各有多少人？
2．原来甲、乙两个书架上共有图书900 本，将甲书架上的书增加58，乙书架上的书
增加310，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙 两个书架各有图书多少本？
3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零 件比昨天少
110，生产的乙种零件比昨天增加320，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共 生
产了多少个？
【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的15比乙校参加 人数的
14少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×15＝乙×14－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
15x＝（22－x）×14－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。
练习3：
1．学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书 馆
买来的文艺书和连环画各是多少本？
2．某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？
3．王师傅 和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两
人各加工了多少个？
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的56，两个书架上各借出154本后，甲书架上
的书是乙书架上 的47，甲、乙两书架上原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的47。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有56x本。
（x－154）×47＝56x－154
x ＝252
252×56 ＝210（本）
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。
练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的16，4年后儿子的年龄是父亲的14，父亲今年多少岁？
2． 某校六年级男生是女生人数的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生
人数是女生的34。原 来男、女生各有多少人？
3．第一车间人数的35等于第二车间人数的910，第一车间比第二车间多50人。两

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个车间各有多少人？
【例题5】一个班女同学比男同学 的23多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，
男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人 ？
【思路导航】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这
个等量 关系列方程。
解：设男生有x人，则女生有（23x+4）人。
x－3＝23x+4+4
x＝33
23×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
练习5：
1．某学校的男教师比女教师的38多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人 ，
男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
2．某无线电厂有两个仓库。 第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一
仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是 第一仓库的49。两个仓库原来各有电视
机多少台？
3．某工厂第一车间的人数比第二车间的 人数的45少30人。如果从第二车间调10
人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的34。求 原来每个车间的人数。

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第14讲 比的应用（一）
一、知识要点
我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事 ，所有比与分数能互相
转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1：
1．甲数是乙数的45，乙数是丙数的58，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
2．甲数是乙数的45，甲数是丙数的49，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
3．甲数是丙数的37，乙数是丙数的2又12，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。 < br>【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一
小组和第二 小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各
有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3 二、三两组人数的比 4：5
一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×835＝32（人）
④第二组：140×1235＝48（人）
⑤第三组：140×1535＝60（人）
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2：
1．某 农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他
作物面积的比6：1 。每种作物各是多少公亩？
2．黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5：4，第
二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年< br>级参加植树的共有多少人？
3．科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学

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组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
【 例题3】甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两
校图书本数的比就 是3：4。原来甲校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来 甲校图书的本数是
两校图书总数的7（7+5），由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图 书总数的
3（3+4），甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的7（7+5）－3（3+4 ）＝1384。
650÷（7（7+5）－3（3+4））×7（7+5）＝2450（本）
答：原来甲校有图书2450本。
练习3：
1．小明读一本书，已读的和未读的页 数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读的
页数之比为3：5。这本书共有多少页？
2 ．甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的
重量比为7：5。 原来甲包有多少克糖？
3．五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的13， 二班与
三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？ 【例题4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子
分得12，二 儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人
的要求怎么也不好分。后来 一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事
吗？
【思路导航】因为12+1 3+19＝1718，1718﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛分完，
所以我们求出三个儿子分牛头数 的连比，最后再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比：12：13：19＝9：6：2
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：17×917＝9（头）17×617＝6（头）17×217＝2（头）
答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。
练习4：
1．图书室取 出一批书，按照一年级得12，二年级得13，三年级得17，正好是41
本，各年级各得多少本？ < br>2．古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个
男孩，就把遗 产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三
分之一给女儿，三分之二给母 亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没有预料
到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个 继承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：（ ）。
（2）从母亲至少得遗产的13来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：

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（ ）。
3．甲、乙、丙三人共做零件 900个。甲做总数的30％，乙比丙多做13。三人各做
多少个？
【例题5】两个相同的瓶 子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另
一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若 把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积
之比是多少？
【思路导航】抓住两个瓶子相同 的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分
之几再解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3（1+3）＝ 34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4（1+4）＝ 45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 34+45 ＝ 3120
④ 水占一个瓶子容积的比 2－3120 ＝ 920
⑤ 混合液中酒精与水的比 3120：920＝31：9
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5：
1．两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是
1：3。现将两块 合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。
2．将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修 的与剩下的比是2：1，乙
队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？
3．光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的58，照这样的速度计算，全年可
超产1000台。 这个工厂上半年生产电视机多少台？

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第15讲 比的应用（二）
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要 工具，有了它，我们处
理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比 是应用
题。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走15 的路，而乙走的时间比甲少
111，求甲、乙两人速度的比。
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝甲路程甲时间：乙
路程乙时间
（1）甲、乙路程的比：（1+15）：1＝6：5
（2）甲、乙时间的比：1：（1－111）＝11：10
（3）甲、乙速度的比：611：510=12：11
答：甲、乙速度的比是12：11。
练习1：
1．小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多15，小芳用的时间比小明多1 8。
求小明和小芳速度的比。
2．甲走的路程比乙多13，乙用的时间比甲多14。求甲、乙的速度比。
3．一个人步行每 小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人
骑自行车的速度和步行速度的比是多少 ？
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个
零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零
件？
【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效
率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比： 16：15：11.5＝15：18：20
总份数：15+18+20＝53
甲 ：1590×1553＝450（个）
乙 ：1590×1853＝540（个）
丙 ：1590×2053＝600（个）
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2：
1 ．加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需
要甲、乙、丙三 人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？

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2．甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，比
乙制 造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少25。甲、乙、丙
各制造了多少个零 件？
3．加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零
件4 8个，32个，28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道
工序应安排多 少工人？
【例题3】两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。
已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？
【思路导航】因为产值＝价格×产量，所以
甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量）
两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50
甲厂产值为：6960×66（66+50）＝3960（元）
乙厂产值为：6960×50（66+50）＝3000（元）
答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。
练习3：
1．甲、乙两个长 方形长的比是4：5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。求
甲、乙两个长方形的面积分别是 多少平方厘米？
2．苹果和梨的单价的比是6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去 18
元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？
3．大、小两种苹果，其单价比是5：4，重量比 是2：3。把两种苹果混合，成为100
千克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原 来每千克各是多少元？
【例题4】A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元 ，它们的
价格比就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？
【思路导航】
解 法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由
于价格差不变，所以价 格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7：3＝21：9 现价格比＝7：4＝28：16
【这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21）＝7份，是70元】
70÷（28－21）＝10元 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的几个是价格差的几倍 7÷（7－3）＝74
（2）后来A商品的价格是价格差的几倍 7÷（7－4）＝73
（3）A、B两种商品的价格差是 70÷（73－74）＝120（元）
（4）原来A商品的价格是 120÷（7－3）×7＝210（元）

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（5） 原来B商品的价格是 120÷（7－3）×3＝90（元）
答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。
练习4：
用两种思路解答下列应用题：
1．甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是 4：3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两
队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？ 2．甲书架上的书是乙书架上的47，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书
架上的，甲 、乙两书架上原来各有多少本书？
3．兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13 。从年初到年底，他们
都结余720元。他们每年的收入各是多少元？
【例题5】如图是甲、 乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的
路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速 度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千
米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达 丙地。甲、乙两地相距多少千米？
【思路导航】
解法一：根据路程的比和速度的比求出时间 的比，从而求出王刚和李华所用的时间，
再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比 14：210＝5：4
王刚所用的时间 1÷（5－4）×5＝5（小时）
甲地到丙地的路程 4×5＝20（千米）
甲、乙两地的路程 20×（1+2）＝60（千米）
解法二：如果李华每小时行4×2＝8千米，他将与王刚同时到达丙 地。现在他每小时
多行10－8＝2千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了 10×1
＝10千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时）
甲、乙两地的路程4×5×（1+2）＝60（千米）
解法三：如果王刚每小时行10÷3＝5千米，就能和李华同时到达。由此可见，王刚
走完甲地到丙地 的路程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比，所用的时间
相差1小时。再根据1千米的路 程，两种速度所用的时间相差 14－15＝ 120小时。最
后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程1÷（14－1（10÷÷2）＝20（千米）
甲、乙两地的路程20×（1+2）＝60（千米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5：
1．一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽

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车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？
2．甲做3 000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6：5。
甲、乙每小时各做多少 个？
3．下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的
比是 2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每小时50
千米的速度从乙 地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？


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第16讲 用“组合法”解工程问题
一、知识要点
在解答工程 问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确
的解题途径，若用“组合法”把 具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新
的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化 ，从而顺利找到解题途径。
二、精讲精练
【例题1】一项工程，甲、乙两队合作15天完成 ，若甲队做5天，乙队做3天，只能
完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？
【 思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队货乙队的工作
效率，则问题可解， 然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3
天，组合成甲、乙两队合作了3天后 ，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作
量730－115×3＝130，从而求出甲队的工 作效率。所以
1÷【115－（730－115×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1：
1．师、徒二人合做一批零件， 12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟
接着做1天，共完成任务的320。如果这批零件 由师傅单独做，多少天可以完成？
2．某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的524。如果这项工 程由甲队独做2天，
再由乙队独做3天，能完成全部工程的13124。甲、乙两队单独完成这项工程各 需多少天？
3．甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，
还剩这项工程的815。甲、乙两队独做各需几天完成？
【例题2】一项工程，甲队独做12 天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，
则能完成这项工程的12。现在甲、乙两队合做若干天 后，再由乙队单独做。做完后发现
两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
【思路导航】此 题很容易先求乙队的工作效率是：（12－112×3）÷2＝18；再由
条件“做完后发现两段所用时 间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若
干天完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的（12－112×3）÷2＝18
（2）两段时间一共是1÷（18×2+112）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
练习2：
1．一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工 程
的815。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。
这 两段时间一共是几天？

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2．一项工程，甲、乙合做8 天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务
时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完 成？
3．某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由
甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的
2倍。终于完成 了这一工作。问总共用了多少天？
【例题3】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成， 先由哥哥栽了3
小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的1116没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每 小
时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了 1小时”组合成“哥、的合栽了1
小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分 之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几（1－1116－18×1）÷（3－1）＝332
一共要移栽的西红柿苗多少棵7÷【332－（18－332）】＝112（棵）
答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3：
1．加工一批机器零件，师、徒合做1 2小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再
由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的35。已知师傅 每小时比徒弟多做10个零件。这
批零件共有多少个？
2．修一条公路，甲、乙两队合做6天 可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，
还剩这条公路的310没有修。已知甲队每天比乙队多修 20米。这条公路全长多少米？
3．修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时 从两端开工，结
果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？
【例题4】一项工作，甲 、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，
乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，
也可以完成这项工作的23。如果由甲、丙合做，需几小时完 成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的23”
组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的23”，则求出甲的工
作效率。同理 ，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几（23－16×2）÷（6－2）＝112
丙每小时完成这项工程的几分之几（23－16×3）÷（6－3）＝118
甲、丙合做需完成的时间为：1÷（112+118）＝7由15（小时）
答：甲、丙合做完成需要7有15小时。
练习4：
1．一项工作，甲、乙、丙三人 合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合
做2小时，可以完成这项工作的1318；如果甲 、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以

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完成这项工作的1118。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
2．一项工程，甲、乙 合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、
乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则 可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？
3．一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两 队合做8天完成。现在甲、乙、
丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5又12天完成。乙队单独做 这项工程需多少
天可以完成？
4．一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成 。现在由甲、丙合做2
小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
【例题5】一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、
乙两队合修4天， 再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工
修这条公路，几天可以完成？ < br>【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完
成”组合成“ 甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就
可以求出丙队的工作效 率。
丙队每天修这条公路的【1－（124+130）】×（4+7）＝140
三队合修完成时间为1÷（124+130+140）＝10（天）
答：10天可以完成。
练习5：
1．一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才 完
成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2．一条水渠，甲队独挖120天完成， 乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下
的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队 单独挖，多少天可以完成？
3．一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如 果甲、丙合
做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？
4．一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又
合做了1 2天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少
天？

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第17讲 浓度问题
一、知识要点
在百 分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得
到了糖水，其中糖叫溶质 ，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，
糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由 糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的
比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似 地，酒精溶于水中，纯酒精与酒
精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的 比值，通常用百
分数表示，即，
浓度＝溶质质量溶液质量×100％＝溶质质量（溶质质量＋溶剂质量）×100%
解答浓度 问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比
较容易，在列方程时，要注意 寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的 条件和问题逐一
分析，也可以分步解答。
二、精讲精练
【例题1】有含糖量为7％ 的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多
少克糖？
【思路导航】根据题意 ，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增
加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并 没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓
度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的 质量，用现在糖水的质量减去
原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）
现在糖水的质量 ：558÷（1－10％）＝620（克）
加入糖的质量 ：620－600＝20（克）
答：需要加入20克糖。
练习1：
1．现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少
克？
2．有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？
3．有甲、 乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第
一次把20毫升纯酒精由乙 瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶
里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ < br>【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓度为
35％ 的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药800千克？
【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种

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稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。
800千克1.75％的农药含纯农药的质量为800×1.75％＝14（千克）
含14千克纯农药的35％的农药质量为14÷35％＝40（千克）
由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800－40＝760（千克）
答：用 40千克的浓度为35％的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.75％的农
药800千克。
练习2：
1．用含氨0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨16％的氨水30千克，配置 时需加
水多少千克？
2．仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发 现含水量降低到
80％。现在这批水果的质量是多少千克？
3．一容器内装有10升纯酒精， 倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满。
这时容器内溶液的浓度是多少？
【例 题3】现有浓度为10％的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30％的盐水，可
以得到浓度为22％ 的盐水？
【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质
及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的
量。
20千克10％的盐水中含盐的质量20×10％＝2（千克）
混合成22％时，20千克溶液中含盐的质量20×22％＝404（千克）
需加30％盐水溶液的质量（4.4－2）÷（30％－22％）＝30（千克）
答：需加入30千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水。
练习3：
1．在100千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液就
可以配制成2 5％的硫酸溶液？
2．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克混合后所 得到的酒
精溶液的浓度是多少？
3．在20％的盐水中加入10千克水，浓度为15％。再加入多少千克盐，浓度为25％？
【例题4】将20％的盐水与5％的盐水混合，配成15％的盐水600克，需要20％的盐
水和5％的 盐水各多少克？
【思路导航】根据题意，将20％的盐水与5％的盐水混合配成15％的盐水，说明混 合
前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的相等关
系列 方程解答。
解：设20％的盐水需x克，则5％的盐水为600－x克，那么

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20％x+（600－x）×5％＝600×15％
X ＝400
600－400＝200（克）
答：需要20％的盐水400克，5％的盐水200克。
练习4：
1．两种钢分别 含镍5％和40％，要得到140吨含镍30％的钢，需要含镍5％的钢和
含镍40％的钢各多少吨？
2．甲、乙两种酒各含酒精75％和55％，要配制含酒精65％的酒3000克，应当从这
两 种酒中各取多少克？
3．甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40％；乙桶有糖水 40千
克，含糖率为20％。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？
【例题5】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种质量分数的
盐水10克倒 入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙
管中。现在丙管中的盐水的 质量分数为0.5％。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少？
【思路导航】混合后甲、乙、丙3个试 管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。
根据题意，可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中 原来只有30克的水，它的盐是从
10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质 量。而乙管里的盐又
是从10克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克盐水中盐的质量。而甲 管里的
盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。
丙管中盐的质量：（30+10）×0.5％＝02（克）
倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2×【（20+10）÷10】＝0.6（克）
倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6×【（10+10）÷10】＝1.2（克）
1.2÷10＝12％
答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是12％。
练习5：
1．从装满100克80％的盐水中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出
40 克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
2．甲容器中又8％的盐 水300克，乙容器中有12.5％的盐水120克。往甲、乙两个
容器分别倒入等量的水，使两个容器 中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水？
3．甲种酒含纯酒精40％，乙种酒含纯酒精36％， 丙种酒含纯酒精35％。将三种酒混
在一起得到含酒精38.5％的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多 3千克，那么甲种酒有多
少千克？

45

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第18讲 面积计算（一）
一、知识要点
计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求 问题之间找不到任何联
系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件 ，并加
以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求
问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身
的特征，添加一 些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，
再经过分析推导，方能寻求出 解题的途径。
二、精讲精练
【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE ＝ED，BD=23BC，求阴影
部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角 形AEF的面积
无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底
等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的
面积。
因为BD=23 BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所
以S△ABF＝S△BDF＝2S△DC F。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝ 1.6（平
方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。





2．如图所示，AE=ED，DC＝13BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。








46

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3．如图所示，DE＝12AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。






【例题2】两条对角线把梯形ABC D分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的
面积，求另两个三角形的面积各是多少？
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，
可知：BO＝2DO；从S△ABD与S △ACD相等（等底等高）可
知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD< br>的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形 的面积，
求另两个三角形的面积是多少？




2．已知AO＝13OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。



3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABC D
的面积。（如图所示）。





47 < /p>

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【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的 面积为15
平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。
【思路导航】由于E、F三等 分BD，所以三角形ABE、AEF、
AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BE C、
CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角
形AEF面积的3倍 ，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3
倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面 积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面 积为15平方
厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。




2．已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图所示）。




3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。




【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的
面 积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据
三角形 等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB
＝S△DOA＝4，类推可得每个 三角形的面积。所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）

48

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答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。




2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。




3．已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。




【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角 形ADB的面积是3，三角形ACF
的面积是4，求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助
线AE后，使问题可有如下解法。
由图上 看出：三角形ADE的面积等于长方形
面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角
形A BE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC
与三角形A CF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形
BEC的2倍，三角 形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5
＝6.5。
练习5：
1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平 方厘米，
三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。





49

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2．如图所示，长方形ABCD的面积为2 0平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6
平方厘米，求三角形AEF的面积。




3．如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE 、AFD的面积均为4平
方厘米，求三角形AEF的面积。


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第19讲 面积计算（二）

一、知识要点
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本
单位组成的 ，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。




【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。
62×3.14×＝28.26（平方厘米）
答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1：
1．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



3．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.14×
4
2

－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）

51
1
4
1
4
1
4

< br>……………………………………………………………最新资料推荐……………………………………………… …
答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2：
1．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



3．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。
求长 方形ABO1O的面积。



【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两 个扇形中的空白部分相等。又因为图中两
个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半 （如图19－10右图所示）。
所以3.14×12×14×2＝1.57（平方厘米）
答：长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
练习3：
1．如图所示，圆的周长为12.56厘米
2．，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分 （1）的面积与阴影部分（2）的面积
相等，求平行四边形ABCD的面积。



2．如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的中点，求阴影部分的面积。



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3．如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。




【例题4】如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。


【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，
把它还原成长方形后 （如图所示）。
I和II的面积相等。




因为原 大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积
分别相等，所以
6×4＝24（平方厘米）
答：阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4：
1．如图所示，求四边形ABCD的面积。



2．如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。




3．图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件 求阴影部分的面
积（单位：厘米）。

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【例题5】如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方
厘米， ∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。



< br>【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三
角形BOC 的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×60360≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。
练习5：
1．如图所示，∠1＝15度 ，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘
米。求阴影部分的面积（得数保留两位小 数）。



2．如图所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆 的直径AC＝6厘米，BD：DC＝3：
1。求阴影部分的面积。




3．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。



4、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。



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第20讲 面积计算
一、知识要点
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把 其中
的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来
解 答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。
二、精讲精练
【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。



【思路导航 】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形
（如图），等腰直角三角形的斜 边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径
为20÷2＝10厘米
[3.14×102×14－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右 半部分向
下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面
积中，减去两直角 边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×12－（20÷2）2×12＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1：
1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）



2．如图 所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝
色直角三角形纸片，一张 黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸
片面积之和是多少？


55

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【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。


【思路 导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空
白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去 空白部分（a）的面积。如图所示。




3.14×62×14－（6×4－3.14×42×14）＝16.82（平方厘米）
解法 二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面
积相加，刚好多计算 了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。



3.14×42×14+3.14×62×14－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
练习2：
1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以A C、BC为
直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。




3．如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为 6厘米和8厘米，
高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。


56 < /p>

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【例题3】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如
图所示），再用正方 形的面积减去全部空白部分。



空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的 面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示），而8
个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3：
1．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




2．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




3．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。




【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】这道题的 难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但
我们可以看出，AC是等腰直角三角形AC D的斜边。
根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等
于斜边的一半（如图所示），我们 可以求出等腰直
角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面

57

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积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的
平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4：
1．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的
面积。



2．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的
面积。


3．如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为 半径
分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。



【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
【 思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未
知，又无法求出，所以 我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形
的半径为边长做一个新的正方形（如图 所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2
＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这 样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，
再把半径的平等直接代入公式计算。



3.14×（30×2）×14－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。

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练习5：
1．如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。




2．如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形 ABC的面积是45平方厘米，求
阴影部分的面积。




3．如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。














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