两只鸟论-对联集锦

小学六年级奥数教案：行程问题
第一讲 行程问题
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：
距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等;
速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离;
时间行走或移动所花时间.
这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
距离=速度×时间
很明显，只 要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这
是一种最基本的数量关系，在小学的 应用题中，这样的数量关系也是最常见的，
例如
总量=每个人的数量×人数.
工作量=工作效率×时间.
因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、 方法和技巧，
就能解其他类似的问题.
当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中， 行程问题的内容最丰富多
彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点
内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方
法和处理技巧.
这一讲，用5千米小时表示速度是每小时5千米，用3米秒表示速度是每秒3
米

一、追及与相遇
有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的 在前，走得快的过
了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一< br>段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设
甲走得快，乙走得 慢，在相同时间内，
甲走的距离-乙走的距离
= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
=(甲的速度-乙的速度)×时间.
通常，“追及问题”要考虑速度差.
例1 小 轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校
开出，沿着同一路线行驶，小轿车 比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达
城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多 少千米?
解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.
此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米小
时，因此
所用时间=9÷6=1.5(小时).
小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时， 小轿车离城门9千米，说
明小轿车的速度是


面包车速度是 54-6=48(千米小时).

城门离学校的距离是
48×1.5=72(千米).
答：学校到城门的距离是72千米.
例2 小张从 家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加
快，每分钟走75米.问家到公园 多远?
解一：可以作为“追及问题”处理.
假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米分钟速度去追赶，追上
所需时间是
50 ×10÷(75- 50)= 20(分钟)?
因此，小张走的距离是
75× 20= 1500(米).
答：从家到公园的距离是1500米.
还有一种不少人采用的方法.


家到公园的距离是

一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解< br>法呢?对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.
例3 一辆自行车在前 面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30
千米小时，要1小时才能追上;如果速度是 35千米小时，要 40分钟才能追上.
问自行车的速度是多少?
解一：自行车1小时走了
30×1-已超前距离，
自行车40分钟走了


自行车多走20分钟，走了


因此，自行车的速度是


答：自行车速度是20千米小时.

解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差
1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：


马上可看出前一速度差是15.自行车速度是
35- 15= 20(千米小时).
解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，
非常便于心算.
例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追
他，在离家4千 米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追
小明，再追上小明的时候，离家恰好是8 千米，这时是几点几分?
解：画一张简单的示意图：


图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
8-4=4(千米).
而爸爸骑的距离是 4+ 8= 12(千米).

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4=3(倍).按照这个倍
数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3=24(千米).
但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了
4+12=16(千米).
少骑行24-16=8(千米).
摩托车的速度是1千米分，爸爸骑行16千米需要16分钟.
8+8+16=32.
答：这时是8点32分.
下面讲“相遇问题”.
小王从甲地到乙地，小张从乙地到 甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张
一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么
甲走的距离+乙走的距离
=甲的速度×时间+乙的速度×时间
=(甲的速度+乙的速度)×时间.
“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.
例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12
分钟.他们同 时出发，几分钟后两人相遇?
解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12= 3(倍)，因此自
行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是
小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走
了3段，小张走了1段 ，小张花费的时间是

36÷(3+1)=9(分钟).
答：两人在9分钟后相遇.
例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地 ，每小时步行
4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、
乙 两地间的距离.
解：画一张示意图


离中点1千米的地方是A点，从图 上可以看出，小张走了两地距离的一半多1
千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小 张比小王多走了2
千米
小张比小王每小时多走(5-4)千米，从出发到相遇所用的时间是
2÷(5-4)=2(小时).
因此，甲、乙两地的距离是
(5+ 4)×2=18(千米).
本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少?”岂 不是有“追
及”的特点吗?对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目
的 本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.
千万不要“两人面对面”就 是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.
请再看一个例子.

例7 甲 、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.
如果甲车速度不变，乙车每小时 多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相
向而行，则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变 ，甲车每小时多行5千
米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A ，
B两地距离.
解：先画一张行程示意图如下


设乙加速后与 甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，
是由速度和决定的.不论甲加速，还 是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千
米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一 样的，这是解决
本题的关键.
下面的考虑重点转向速度差.
在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离
是 12+ 16= 28(千米)，加速与不加速所形成的速度差是5千米小时.因此，在D
点
(或E点)相遇所用时间是
28÷5= 5.6(小时).
比C点相遇少用 6-5.6=0.4(小时).
甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的
速度是
12÷0.4=30(千米小时).

同样道理，乙的速度是
16÷0.4=40(千米小时).
A到 B距离是(30+ 40)×6= 420(千米).
答： A，B两地距离是 420千米.
很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.
例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B 到C是3千米平路，从C到D是
2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米小时，平路 速度都是4
千米小时，上坡速度都是2千米小时.


问：(1)小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇?
(2)相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少
千米?
解：(1)小张从 A到 B需要 1÷6×60= 10(分钟);小王从 D到 C也是下坡，需要
2.5÷6×60= 25(分钟);当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10=15(分
钟)，走了


因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1= 2(千米)由小张和小王共同相向而行，直
到相遇，所需时间是

2 ÷(4+ 4)×60= 15(分钟).
从出发到相遇的时间是
25+ 15= 40 (分钟).
(2)相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30
分钟，即他再走 60分钟到达终点.
小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走


小张离终点还有2.5-1.5=1(千米).
答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.
二、环形路上的行程问题
人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.
例9 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度
是180米分.
(1)小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张
的速度是多少米分?
(2)小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次
追上小王?
解：(1 )75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度
是

500÷1.25-180=220(米分).
(2)在环形的跑道上，小张 要追上小王，就是小张比小王多跑一圈(一个周长)，因
此需要的时间是
500÷(220-180)=12.5(分).
220×12.5÷500=5.5(圈).
答：(1)小张的速度是220米分;(2)小张跑5.5圈后才能追上小王.
例10 如图 ，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向
行走，他们在C点第一次相遇，C离 A点80米;在D点第二次相遇，D点离B
点6O米.求这个圆的周长.


解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长;第二次相遇，两个人合起来又走了
一圈.从出发开始算， 两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来
所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程 的3倍，那么从A到D的距离，
应该是从A到C距离的3倍，即A到D是
80×3=240(米).
240-60=180(米).
180×2=360(米).
答：这个圆的周长是360米.

在一 条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一
节.
例11 甲村 、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村
之间往返行走(到达另一村后就马上 返回).在出发后40分钟两人第一次相遇.小王
到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相 遇.问小张和小王的速度
各是多少?
解：画示意图如下：


如 图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了
甲、乙两村间距离的3倍， 因此所需时间是
40×3÷60=2(小时).
从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了
6×2-2=10(千米).
小王已走了 6+2=8(千米).
因此，他们的速度分别是
小张 10÷2=5(千米小时)，
小王 8÷2=4(千米小时).
答：小张和小王的速度分别是5千米小时和4千米小时.

例12 小张与小王 分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一
村后就马上返回)，他们在离甲村3.5千 米处第一次相遇，在离乙村2千米处第
二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面 相遇)?
解：画示意图如下.


第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了
3.5×3=10.5(千米).
从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是
10.5-2=8.5(千米).
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路 程.第四次相遇时，
两人已共同走了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了
3.5×7=24.5(千米)，
24.5=8.5+8.5+7.5(千米).
就知道第四次相遇处，离乙村
8.5-7.5=1(千米).
答：第四次相遇地点离乙村1千米.
下面仍回到环行路上的问题.

例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米小时速度每走1小时后休息5分钟;小张以6千米小时速度每走50分
钟后休息10分钟. 问：两人出发多少时间第一次相遇?
解：小张的速度是6千米小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与
行程列出下表：


12+15=27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至 3小时
15分之间.
出发后2小时10分小张已走了


此时两人相距
24-(8+11)=5(千米).
由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是
5÷(4+6)=0.5(小时).
2小时10分再加上半小时是2小时40分.
答：他们相遇时是出发后2小时40分.

例14 一个圆周长90厘米，3个 点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C
分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆 周爬行.A的速度是10
厘米秒，B的速度是5厘米秒，C的速度是3厘米秒，3只


爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置?
解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时 候能到达同一位置.开始时，它们相差30
厘米，每秒钟B能追上C(5-3)厘米0.
30÷(5-3)=15(秒).
因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置 ，B要追上C一圈，
也就是追上90厘米，需要
90÷(5-3)=45(秒).
B与C到达同一位置，出发后的秒数是
15，，105，150，195，……
再看看A与B什么时候到达同一位置.
第一次是出发后
30÷(10-5)=6(秒)，
以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要

90÷(10-5)=18(秒)，
A与B到达同一位置，出发后的秒数是
6，24，42，，78，96，…
对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.
答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.
请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒?
例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽 车在AB上的速度是90千米
小时，在BC上的速度是120千米小时，在CD上的速度是60千米小时 ，在
DA上的速度是80千米小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们
将在AB 中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB
上一点N处相遇.求




解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇 ”，解题过程
就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.
设汽车行驶CD所需时间是1.

根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出


分数 计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，
AD所需时间分别是 24，12，16，18.
从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用
时间相等.
PC上所需时间-PD上所需时间
=DA所需时间- CB所需时间
=18-12
=6.
而(PC上所需时间+PD上所需时间)是CD上所需时间24.根据“和差”计算得
PC上所需时间是(24+6)÷2=15，
PD上所需时间是24-15=9.
现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所
用时间相等.M是PC 中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有
BN上所需时间-AN上所需时间
=P→D→A所需时间-CB所需时间

=(9+18)-12
= 15.
BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间
=16.
立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.


从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.
三、稍复杂的问题
在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：
(1)在行程中能设置一个解题需要的点;
(2)灵活地运用比例.
例16 小王 的步行速度是4.8千米小时，小张的步行速度是5.4千米小时，他
们两人从甲地到乙地去.小李骑自 行车的速度是10.8千米小时，从乙地到甲地去.
他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小 王又与小李相遇.问：小李
骑车从乙地到甲地需要多少时间?
解：画一张示意图：

图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相
遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和
小李共同走了B 与A之间这段距离，它等于


这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与 小张的速度差是(5.4-4.8)
千米小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是
1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分钟).
这也是从出发到张、李相遇时已花费 的时间.小李的速度10.8千米小时是小张速
度5.4千米小时的2倍.因此小李从A到甲地需要
130÷2=65(分钟).
从乙地到甲地需要的时间是
130+65=195(分钟)=3小时15分.
答：小李从乙地到甲地需要3小时15分.
上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相
互间的关系 ，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简
明些.
例17 小玲和小 华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公
园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先 向西回家取了自行车，再骑车向东去，还
是直接从公园门口步行向东去快”?姐姐算了一下说：“如果骑 车与步行的速度比
是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推< br>算一下，从公园到他们家的距离是多少米?

解：先画一张示意图


设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公
园往 西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成：
骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.
具体计算如下：
不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家
到A的距离是4个 单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.
从公园到A是
1+1.5=2.5(单位).
每个单位是 2000÷2.5=800(米).
因此，从公园到家的距离是
800×1.5=1200(米).
答：从公园门口到他们家的距离是1200米.
这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.
例18 快 车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.
已知慢车从B到A用了12.5 小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留
1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多 少时间?
解：画一张示意图：

设C点是第一次相遇处 .慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5(小
时).我们把慢车半小时行程作为 1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢
车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.
有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.
慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时. 此时快车在何处呢?去掉它在B停
留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21(单位).从B到C 再往前一个单位到
D点.离A点15-1=14(单位).
现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是
14÷(2+3)=2.8(小时).
慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了
7.5+0.5+2.8=10.8(小时).
答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.
例19 一只小船从A地到B地往返一次共用 2小时.回来时顺水，比去时的速度
每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A 至B两地距
离.
解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们 在B
之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图

第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，
就知C至B是3 千米.
为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D
至C是 8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B
是5千米顺水行驶，与C至B 逆水行驶3千米时间一样多.因此
顺水速度∶逆水速度=5∶3.
由于两者速度差是8千米.立即可得出


A至B距离是 12+3=15(千米).
答：A至B两地距离是15千米.
例20 从甲市到乙市有一条 公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时
40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米 ，在第三段上，汽车速度是每
小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分 别从甲、
乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的


解一：画出如下示意图：

当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的


到达D处，这样，D把第一段分成两部分




时20分相当于




因此就知道，汽车在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分钟);


甲、乙两市距离是


答：甲、乙两市相距185千米.
把每辆 车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一
样.这样通过“所用时间”使各 段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例8、
例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.
还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.


第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.


时间一样.

第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.
因此，三段路程所用时间的比是
5∶9∶2.
汽车走完全程所用时间是 80×2=160(分种).


例21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时
到达;如果 以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达.
那么甲、乙两地相距多少千米 ?
解：设原速度是1.


%后，所用时间缩短到原时间的


这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.
用原速行驶需要

同样道理，车速提高25%，所用时间缩短到原来的




如果一开始就加速25%，可少时间


现在只少了40分钟， 72-40=32(分钟).
说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间




真巧，320-160=160(分钟)，原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长

答：甲、乙两地相距270千米.
十分有意思，按原速 行驶120千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件
已完全确定了“原速”与“加速”两段行程 的时间的比例关系，当然也确定了距离的
比例关系.
全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有
x∶120=72∶32