年终考核总结-心海里的那朵浪花

第一周 平均数（一）
专题简析：
把几个不相等的数，在总数不变的条件 下，通过移多补少，使它们完全相等，求得
的相等的数就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量×平均数
例1 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平 均每箱36个，
苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？
分析与解答：（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；
（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）
（3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个）
由（1）（2）两个等式可知：
1箱苹果 比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74
－18）÷2 =28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。
1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个）
1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个）
1箱苹果有多少个：28＋18=46（个）
练 习 一
1，一次考试，甲、 乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人
平均分95分。问：甲、丁各得多 少分？



1

2，甲、乙、丙、丁四人称体重 ，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126
千克，丙、丁二人的平均体重是40千克 。求四人的平均体重是多少千克？


3，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、 乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平
均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小 组各植树多少棵？


例2 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生 有21人，平均每人92分；男生
平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？
分析：女生 每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2
－90.5= 0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7
分，1 6.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。
练 习 二
1，两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平
均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？


2，有 两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5
千克；另一块 田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩？


3，把甲级和乙级糖混在一起， 平均每千克卖7元，乙知甲级糖有4千克，平均每千克8
元；乙级糖有2千克，平均每千克多少元？

例3 某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数

2

原来是多少？
分析：原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3 =9，9比6多出了3，是因为
把那个数改成了4。因此，原来的数应该是4－3=1。
练 习 三
1，已知九个数的平均数是72，去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是< br>多少？


2，有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数改为1，那么这 五个数的平均数为8。这
个改动的数原来是多少？


3，甲、乙、丙、丁 四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数
时，把自己的分错抄成了87分，因 此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中
得了多少分？


例4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98
分误作89分计算 了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？
分析：98分比89分多9分 。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2
（分）。9里面包含有几个0. 2，五一班就有几名同学。
练 习 四
1，五（1）班有40人，期中数学考试，有2 名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分
为92分。缺考的两位同学补考均为100分，这次五（1） 班同学期中考试的平均分是多
少分？


3

< br>2，某班的一次测验，平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的89分误看作97分计算，
经 重新计算，该班平均成绩是91.1分。问全班有多少同学？


3，五个数的平均 数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16。这个改动
的数原来是多少？
例5 把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三个数的平
均 数是48。中间一个数是多少？
分析：先求出五个数的和：38×5=190，再求出前三个数的和： 27×3=81，后三个数的和：
48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的 那个数就算了两次，必然
比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。
练 习 五
1，甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均
年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？


2，十名参赛者的平均分是82分，前 6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。
那么第5人和第6人的平均分是多少分？
3，下图中的○内有五个数A、B、C、D、E，□内的数表示与它相连的所有○中的平均
数。求C是多 少？

4

第２周 平 均 数（二）

例1 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这 次要考100分，才能把平均成绩提高
到86分。问这是他第几次测验？
分析与解答：100 分比86分多14分，这14分必须填补到前几次的平均分84分中去，使
其平均分成为86分。每次填 补86－84=2（分），14里面有7个2，所以，前面已经测验
了7次，这是第8次测验。
练 习 一
1，老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了5朵。如 果师生合起
来算，正好平均每人做了7朵。求有多少个同学在做花？


2 ，一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学
算在内，平均每门 95分。已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？

3，两组同学进行跳 绳比赛，平均每人跳152次。甲组有6人，平均每人跳140次，如果
乙组平均每人跳160次，那么 ，乙组有多少人？
例2 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89 分，政
治、数学两科平均91.5分，政治、英语两科平均86分，英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？
分析与解答：因为语文、英语两科平均分84分，即语文＋英语=168分，而英语比语文多

5

10分，即英语－语文=10分，所以，语文是（168－10）÷2=7 9分，英语是79＋10=89
分。又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是86×2－89=8 3分；而政治、数学两
科平均分91.5分，数学是91.5×2－83=100分；最后根据五科的平 均成绩是89分可知，
自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）=94分。
练 习 二
1，甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数< br>是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？
2，小华的前几次数学测验的平均成绩是 80分，这一次得了100分，正好把这几次的平
均分提高到85分。这一次是他第几次测验？

3，五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，< br>那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？

例3 两地相距360千米，一艘汽 艇顺水行全程需要10小时，已知这条河的水流速度为
每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少 千米？
分析与解答：用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要
求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为360÷10=36（千米）是顺
水速度， 它是汽艇的静水速度与水流速度的和，所以，此汽艇的静水速度是36－6=30（千
米）。而逆水速度 =静水速度－水流速度，所以汽艇的逆水速度是30－6=24（千米）。逆水
行全程时所用时间是36 0÷24=15（小时），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=28.8
（千米）。
练 习 三
1，甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码 头，已知汽船
在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？



6

2，一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米 。已知客轮的静水速度是每小时30千
米，水速每小时3千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时 ？
3，甲船逆水航行300千米，需要15小时，返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的
一段水路需要20小时，返回原地需要多少小时？


例4 幼儿园小班的20 个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分
10块，大班的小朋友每人比大、小班 小朋友的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干？
分析与解答：只要知道了大、小班小朋友分得的平均 数，再乘（30＋20）人就能求出饼
干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多 2块，30个小朋友一
共多2×30=60（块），这60块平均分给20个小班的小朋友，每人可得6 0÷20=3（块）。
因此，大、小班小朋友分得平均块数是10＋3=13（块）。一共分掉13×（ 30＋20）=650
（块）。
练 习 四
1，数学兴趣小组里有4名女生和 3名男生，在一次数学竞赛中，女生的平均分是90分，
男生的平均分比全组的平均分高2分，全组的平 均分是多少分？

2，两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下；第二组有20人 ，平均每人比两
组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳几下？


3，一个技术工带5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120元，这位技术工
人的收入比他 们6人的平均收入还多20元。问这位技术工得多少元？




7

例5 王强从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千 米。剩下的步行，
每小时走4千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米？
分析与解答 ：求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没
有告诉我们A地到B地间的路 程，我们可以设全程为24千米（也可以设其他数），这样，
就可以算出行全程所用的时间是12÷12 ＋12÷4=4（小时），再用24÷4就能得到行全程
的平均速度是每小时6千米。
练 习 五
1，小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米。求小明往返的平均速度。


2，运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑150米， 后一半路程中每分钟跑100
米。求他在整个长跑中的平均速度。


3， 把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打20个字。打
这份书稿平均每分 钟打多少个字？


第3周 长方形、正方形的周长
同学们都知道，长 方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。长方形、
正方形的周长公式只能用来计算标准 的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求
表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需 同学们灵活应用已学知识，掌握
转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长 。
例1 有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，
重叠 的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。

8

思路与导航 根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、
下平移（如图b），转化成一个大正 方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠
后的图形的周长相等。因此，所求周长是18×4= 72厘米。

练习一
1，下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

2，下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。

3，有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的
周长。

9

例2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条 边各截去4厘米，截掉的面积为192
平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？
思路导航 把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是
192－4×4=176（平 方厘米）。把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方
形的长就是这块木板剩下部分的周长 的一半。176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长
是44×2=88（厘米）。

练习二

1，有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44 平方米，
且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。

2，有两个相同的 长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这
个图形的周长是多少？


10

3，有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿 化带，剩下的部分仍
是长方形，且周长为280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？
例3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？

思路导航 从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三
条竖着。三 条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。所以，整个图形
的周长是（a＋b）× 2＋b×2，即2a＋4b。
练习三
1，有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板 ，在四个角上各剪去一个同样大小的正方
形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。


2，一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示长 方
形，求所拼长方形的周长。


3，求下面图形（图2）的周长（单位：厘米）。

图（1） 图（2）


11

例4 下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。

思路导航 我们把阴影部分 周长中左边的5条线段全部平移到左边，其和正好是4
厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正 好是4厘米。因此，阴影部分的周长
与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。


练习四
1，求下面图形的周长（单位：厘米）。



2，在（ ）里填上“＞”、“＜”或“=”。

12

甲的周长（ ）乙的周长


3，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。



例5 如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。
分析 根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为BC=EF，CF=DE，
所 以，AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。因
此，最大长方形的周长是（9＋6）×2=30（厘米）。

练习五
1，下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周

13

长发生了什么变化？（单位：厘米）



2，下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高
30厘米。这 个零件的周长是多少厘米？



3，有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周
长。

14

第4周 长方形、正方形的面积
专题简析：
长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。掌 握并能运用这两个面积公
式，就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习过程中，我们常常会 遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复
杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实 掌握有关概念，利用“割
补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方 形面积的问
题，从而正确解答。
例1 已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比 小正方形的面积大40平方厘
米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
2
B

2
A

分析 从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积 大出的40平方厘米，可
以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的 面积，
再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。
求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。
练 习 一

15

1，有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽 2米的小路，求小
路的面积。



2，正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与 原正方形
面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？


3，把 一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平
方分米的正方形。求 这个正方形的边长是多少分米？

16

例2 一个大长方形被两 条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长
方形的面积如下图所求，求第四个长方形 的面积。

分析 因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE
×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。
练 习 二
1，下 图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、
30平方厘米和32平 方厘米，求阴影部分的面积。
A
M
B
32
F
P
2 4
30
D
N
C



E

2，下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形 的面积如图所示（单位：平方
厘米），求A和B的面积。
15A
24
12
B



45

3，下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整
个图形 的面积。

17

8
8
5
8
8



例3 把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形
的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？

分析 我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平
方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，
A和B正好组成 一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2
（分米），即大、小两 个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）
÷2=11（分米），面积是11 ×11=121（平方分米）
练 习 三
1，一块正方形，一边划出1.5米，另一边 划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少了
1350平方米。这块地原来的面积是多少平方米？


2，一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘 米。原
来正方形的面积是多少平方厘米？


3，有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。求

18

草坪的面积。

例4 有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。

分析 由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边
长 或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分
别作出4个等腰直角 三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原
正方形面积的2倍。
练 习 四
1，四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。



2， 正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。如果此图的周长是
56厘米，那么，这 个图形的面积是多少？

19

3，正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。



例5 有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。一个正方< br>形的面积是多少平方厘米？
分析 三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是 原正方形边长的8倍，正
方形的边长为72÷8=9（厘米），一个正方形的面积就是9×9=81（平 方厘米）。
练 习 五
1，五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长 是36厘米，求每个正方
形的面积是多少平方厘米？


2，有一张长方形 纸，长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩
下部分的周长是多少厘米？


3，有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD（如下图），已知大长

20

方形的面积是35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。 求原来小长方形
的面积。

第5周 分类数图形
专题简析：
我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但是在
数图形的个数的时候， 往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规
律，从而有秩序、有条理并且正确地数出 图形的个数。
例题1 下面图形中有多少个正方形？

分析：图中的正方形的个 数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，
2×2的正方形有5×2=10个，3×3 的正方形有4×1=4个。因此图中共有18＋10＋4=32
个正方形。
练习一
1，下图中共有多少个正方形？

21

2，下图中共有多少个正方形？

3，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？



例题2 下图中共有多少个三角形？

分析 为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类

22

三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；
（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。
练习二
1，下面图中共有多少个三角形？

2，数一数，图中共有多少个三角形。


3，数一数，图中共有多少个三角形？


23

例题3 数出下图中所有三角形的个数。

分析 和三角形AF G一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有
10个；和三角形ABG一样形状的三 角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；
和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35 个三角形。
练习三
数出下面图形中分别有多少个三角形。

例题4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方
形有多少个？

分析 把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：

24

（1）最小的正方形有6个；
（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；
（3）中间还可围成2个正方形。
所以共有6＋2＋2=10个。
练习四
1，下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？


2，下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角
形？

3，下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？

例题5 数一数，下图中共有多少个三角形？

25

分析 我们可以分类来数：
1，单一的小三角形有16个；
2，两个小三角形组合的有10个；
3，四个小三角形组合的有8个；
4，八个小三角形组合的有2个。
所以，图中一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。

练习五
1，图中共有（ ）个三角形。

2，图中共有（ ）个三角形。



3，图中共有（ ）个正方形。

26

第6周 尾数和余数
专题简析：
自然数末 位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余
数。尾数和余数在运算时是有规 律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的
问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析 因为213=210＋3，把210分解质因数：210 =2×3×5×7，所以，符号题目
要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3× 7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3
×7=42，一共有7个两位数。
练习一
1，写出除109后余4的全部两位数。

2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？

3，写出除1290后余3的全部三位数。

例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
（2）（21×26 ）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是
几？
分析 （1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位
还是5；
（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数

27

是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（2 1×26）连乘，积
的个位还是6。
练习二
1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？


2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？


3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12× 63）]
积的尾数是几？


例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？
分析 （1）我们先列举前几个4的积， 看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；
4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4× 4的个位是6……由此可见，积的尾数
以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数 ，说明50个4相乘，积的个位
是6。
（2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的 个位是以“9，1”两个数字不
断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位 是9。
练习三
1，24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？


2，1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？

28

3，94×94×94×…×94[102个94]－49×49 ×…×49[101个49]，差的个位是多
少？


例题4 把17化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
分析 因为17≈0.7……，化成 的小数是一个无限循环小数，循环节
“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4，所 以，小数点后面的第100位是第17
个循环节的第4个数字，是8。
练习四
1，把111化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。


2，57写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？


3，有一串数 ：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰
好是前两个数的和。在 这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？


例题5 555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
分析 如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按
怎样的规律变化。

29

从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个 数字不断重复出现。2001
÷6=333……3，所以，当商是整数时，余数是4。
练习五
1，444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？


2，当商是整数时，余数各是几？
（1）666…6÷4[100个6]


（2）444…4÷74[200个4]


（3）888…8÷7[200个8]
（4）111…1÷7[50个1]

第７周 一般应用题（一）
专题简析：
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的 数量关系交织在一起，有的已知条件是
间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此 ，一般应用题没有明

30

显的结构特征和解题规律可循。解答一般 应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演
示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从 条件出发，逐步推出所求问
题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际 解时，可以
根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。
例1 五年级有六个班，每班人数 相等。从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相
当于原来4个班的人数。原来每班多少人？ 分析与解答：从每班选16人参加少先队活动，6个班共选16×6=96（人）。剩下的同学
相当 于原来4个班的人数，那么，96人就相当于原来（6－4）个班人人数，所以，原来
每班96÷2=4 8（人）。
练 习 一
1，五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工 程”后，五位同学剩下的
钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款多少？

< br>2，把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走了这堆货物
的一半。 这堆货物一共有多少箱？


3，老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了 6棵时，发现剩下的树苗正好是原
来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？


例2 某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零件。这样，不仅提前3
天 完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120个零件。这个车间实际加工了多少
个零件？
分析 如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多56×3＋120=288（个）。为

31

什么会多加工288个呢？是因为每天多加工了56－50=6（个）。 因此，原计划加工的天数
是288÷6=48（天），实际加工了50×48＋120=1520（个） 零件。
练 习 二
1，汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多 行了10千米，这样比
原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？


2，小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分
钟只 能行120米，结果迟到了5分钟。他家离学校有多远？


3，加工一批零件，原 计划每天加工80个，正好按期完成任务。由于改进了生产技术，
实际每天加工100个，这样，不仅提 前4天完成加工任务，而且还多加工了100个。他
们实际加工零件多少个？


例3 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了15天没有加工。
40 天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？
分析 甲工作了40天 ，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零
件正好是甲的一半，也就是甲20天 加工的零件和乙25天加工的零件同样多。由于甲每
天比乙多加工6个，20天一共多加工6×20=1 20（个）。这120个零件相当于乙25-20=5
（天）加工的个数，乙每天加工120÷（25- 20）=24（个）。乙一共加工了24×25=600（个），
甲一共加工了600×2=1200（ 个）
练 习 三
1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事 休息了5天，20天
后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个？

32

2，甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车 每小时比乙车多行20千米。途中乙因修
车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车 所行路程的一半。A、B
两地相距多少千米？
3，甲、乙两人承包一项工程，共得工资112 0元。已知甲工作了10天，乙工作了12天，
且甲5天的工资和乙4天的工资同样多。求甲、乙每天各 分得工资多少元？


例4 服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。实 际每天比计划多加工60件，照
这样做了15天，就超过原计划件数350件。原计划加工上衣多少件？
分析 由于每天比计划多加工60件，15天就比原计划的15天多加工60×15=900（件），
这时已超过计划件数350件，900件中去掉这350件，剩下的件数就是原计划（20－15）天中的工作量。所以，原计划每天加工上衣（900－350）÷（20－15）=110（件），原计划加工110×20=2200（件）。
练 习 四
1，用汽车运一堆煤，原计划 8小时运完。实际每小时比原计划多运1.5吨，这样运了6
小时就比原计划多运了3吨。原计划8小时 运多少吨煤？

2，汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比原计划多行1 5千米，行了
8小时后，发现已超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米？

< br>3，小明看一本书，原计划8天看完。实际每天比原计划少看了4页。这样，用10天才
看完了这 本书。这本书一共有多少页？


33

例5 王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结果提前5在完成
任务。王师傅一共做 了多少个零件？
分析 按实际做法再做5天，就会超产（60＋20）×5=400（个）。为什么 会超产400个
呢？是因为每天多生产了20个，400里面有几个20，就是原计划生产几天。400 ÷20=20
（天），因此，王师傅一共做了60×20=1200（个）零件。
练 习 五
1，食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划节约了0.1吨，这样比
原计划多烧了2天。这批煤一共有多少吨？
2，造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实际 每天比原计划多生产1.5吨，结果
提前2.5天完成了任务。实际用了多少天？


3，机床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际每天生产18台，这样比原计划提
前3 天完成了任务。这批机床一共有多少台？


第８周 一般应用题（二）
专题简析：
较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起， 但是，再
复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时
要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。
例1 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管 子铺需要25根，用短管子铺需要35根。
已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米？
分析 因为每根长管子比每根短管子长2米，25根长管子就比25根短管子长50米。而
这 50米就相当于（35－25）根短管子的长度。因此，每根短管子的长度就是50÷（35

34

－25）=5（米），这段排水管道的长度应是5×35=175（米）。
练 习 一
1，生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8小时。如果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个？


2，一班的小朋友在操场上做 游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重
新分组，正好每组9人，这样比原来减少了2 组。参加游戏的小朋友一共有多少人？


3，甲、乙二人同时从A地到B地，甲经 过10小时到达了B地，比乙多用了4小时。已
知二人的速度差是每小时5千米，求甲、乙二人每小时各 行多少千米？


例2 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、 乙都比丙多拿24千克。
结帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元？
分析 三 人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。24×2÷3=16（千克），也就是
丙少拿16千克苹 果，所以得到24×2=48元。每千克苹果是48÷16=3（元）。
练 习 二
1 ，甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支，
因此，甲又给了 乙6角钱。每支铅笔多少钱？


2，春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面 包，中午发现小红没有带食品，结果三
人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。 每个面包多少元？


35

3，“六一”儿童 节时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英买来了和红纸同样价格
的5张黄纸。老师把这些纸平均分 给了小华、小英和另外两名同学，结果另外两名同学
共付给老师9元钱。老师把9元钱怎样分给小华和小 英？


例3 甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨， 小卡车的载重量是
2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运 输
时耗油最少？
分析 大汽车一次运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油10÷5=2（ 升）；小汽车一次运
2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油5÷2=2.5（升）。显然，为耗油量最少应 该尽可能用
大卡车。177÷5=35（辆）……2吨，余下的2吨正好用小卡车运。因此，用35辆大 汽车
和1辆小汽车运耗油量最少。
练 习 三
1，五名选手在一次数学竞赛中 共得404分，每人得分互不相同，并且都是整数。如果最
高分是90分，那么得分最少的选手至少得多 少分？


2，用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多少张？


3，某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打乒乓球。 可
以肯定至少有多少人四项都会？


例4 有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日

36

报34份，江海晚报30份，电视报22份。那么订江海晚报和电视报的共有多少家？
分析 这栋楼共订报纸34+30+22=86（份），因为每家都订2份不同的报纸，所以一共有< br>86÷2=43家。在这43家居民中，有34家订了北京日报，剩下的9家居民一定是订了江
海 晚报和电视报。
练 习 四
1，五（1）班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放 军叔叔，全班共带了三种水果，
其中苹果40个，梨32个，桔子26个。那么，带梨和桔子的有多少个 同学？


2，在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿两 种颜色的气球，
共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有56只，黄色的有60只，绿色的有46只。那么 ，
手拿红、绿两种气球的有多少个同学？


3，学校开设了音乐、球类和 美术三个兴趣小组，第一小队的同学们每人都参加了其中的
两个小组，其中9人参加球类小组，6人参加 美术小组，7人参加音乐小组的活动。参加
美术和音乐小组活动的有多少个同学？


例5 一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。一台
抽 水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少
桶？
分析 50分钟内，两台抽水机一共能抽水（18＋14）×50=1600（桶）。1600桶水中 ，有
800桶是开始抽之前就漏进的，另800桶是50分钟又漏进的，因此，每分钟漏进水800÷50=16（桶）。
练 习 五

37

1， 一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20分钟能把
一池水放完。已知 进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？


2，某工地原 有水泥120吨。因工程需要，又派5辆卡车往工地送水泥，平均每辆卡车每
天送25吨，3天后工地上 共有水泥101吨。这个工地平均每天用水泥多少吨？


3，一堆货物重96吨， 甲队用16小时运完，乙队用24小时运完。如果让两队同时合运，
几小时运完？


第９周 一般应用题（三）
专题简析
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：
1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
例1 甲、乙两工人生产同样 的零件，原计划每天共生产700个。由于改进技术，甲每天
多生产100个，乙的日产量提高了1倍， 这样二人一天共生产1020个。甲、乙原计划每
天各生产多少个零件？
分析 二人实际每 天比原计划多生产1020－700=320（个）。这320个零件中，有100个
是甲多生产的，那 么320－100=220（个）就是乙日产量的1倍，即乙原来的日产量，甲
原来每天生产700－2 20=480（个）。
练 习 一

38

1，工厂 里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后，1号锅炉每月节约1吨
煤，2号锅炉每月烧煤 量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。原来两个锅炉每月各烧煤
多少吨？
2，甲、乙两人 生产同样的零件，原计划每天共生产80个。由于更换了机器，甲每天多
做40个，乙每天生产的是原来 的4倍，这样二人一天共生产零件300个。甲、乙原计划
每天各生产多少个零件？


3，甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因有人请假，每天< br>比计划少挖15米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的2倍，这样两队每天一共
挖了15 0米。求两队原计划每天各挖多少米？


例2 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了 40厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，
竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的长。
分析 因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿了40厘米，所以湿
了的 部分是40×2=80（厘米）。这时，湿的部分比它的一半长13厘米，说明竹竿的长度
是（80－1 3）×2=134（厘米）。
练 习 二
1，有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下 的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长
方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？


2，有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。这根竹
竿原 来长多少厘米？


39

3，两根电线一样长 ，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二根
长度的4倍。两根电线原来各长多 少米？


例3 将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5 米。长8米的总长
度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？
分析 设这15段中 有X段是8米长的，则有（15－X）段是5米长的。然后根据“8米
的总长度比5米的总长度多3米” 列出方程，并进行解答。
练 习 三
1，某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每 分钟走80米，下坡每分钟走102米。上
坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米？


2，食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知 买回的大
米比面粉多165千克，求买回大米、面粉各多少千克？


3， 老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠笔每支1.2元，买
圆珠笔比买铅 笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱？



例4 甲、乙两 名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙
少做400个零件。又同时加 工4小时后，甲总共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙
每小时各加工零件多少个？

40

分析 （1）在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400= 4600（个）零件，甲每小时
比乙多加工4600÷4=1150个零件。
（2） 在前4小时内，甲实际只加工了4－2.5=1.5小时，甲1.5小时比乙1.5小时
应多做1150 ×1.5=1725个零件，因此，1725＋400=2125个零件就是乙2.5小时的工作量，
即 乙每小时加工2125÷2.5=850个，甲每小时加工850＋1150=2000个。
练 习 四
1，甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙邻先于甲4千
米。 又经过3小时，甲反而领先了乙17千米。求二人的速度。


2，师徒二人生产同 一种零件，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅生产了2小时后，发现
自己比徒弟少做20个零件。二人又 生产了2小时，师傅反而比徒弟多生产了10个。师
傅每小时生产多少个零件？


3，甲每小时生产12个零件，乙每小时生产8个零件。一次，二人同时生产同样多的零
件，结 果甲比乙提前5小时完成了任务。问：甲一共生产了多少个零件？


例5 加工 一批零件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。已知甲每小时比乙
少做3个零件，这批零件一 共有多少个？
分析 因为甲每小时比乙少做3个零件，8小时就比乙少做3×8=24（个）零件， 所以，
24个零件就是甲（10－8）小时的工作量。甲每小时加工24÷（10－8）=12（个）， 这批
零件一共有12×10=120（个）。
练 习 五
1，快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4小时，而慢车用了6.5小时。

41

已知快车每小时比慢车多行25千米。甲、乙两地相距多少千米？ 2，妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。已知每千克梨比每
千克苹果 便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱？


3，师徒二人加工零件，已知师傅6小时 加工的零件和徒弟8小时加工的零件相等。如果
师傅每小时比徒弟多加工3个零件，那么，徒弟每小时加 工多少个零件？




第10周 数 阵

专题简析：
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是
一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号 ）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些
字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方 向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试
验法结 合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
例题1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下 图的五个方格里，如图a使横行三个数的
和与竖行三个数的和都是21。

42

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋ B＋C＋D
＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。
把两式相比较可知，E =42－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个
数填进方格，如图b。
练 习 一
1，把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是
12。

2，把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是
13。

3，将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

43

例题2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析 设中间 两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a
＋b=30×2，即55＋a ＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。
当a和b是1和4时， 每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，
10）；当a和b是2和3时，每个 大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，
8）。
练习二
1，把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。


44

2，把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○ 内四个数的
和都相等，且和最大。

3，将1——8八个数填入下图方格里，使上面 四格、下面四格、左四格、右四格、
中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例题3 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、
且最大。

分析 设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被
计算了 两次，根据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3没有余数。1＋2＋
3＋4＋5 ＋6=21，21÷3=7没有余数，那么a＋b＋c的和除以3也应该没有余数。在1—
—6六个数中 ，只有4＋5＋6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、

45

6。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12，所以有下面的填法：

练习三
1，将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2，将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

3，将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。

46

例题4 将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

分析 首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线段上的总和
是1＋2＋3＋4＋5＋6＋ 7＋2a=28＋2a，由于三条线段上的和相等，所以（28＋2a）除以
3应该没有余数。由于28 ÷3=9……1，那么2a除以3应该余2，因此，a可以为1、4或
7。当a=1时，（28＋2×1 ）÷3－1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的
填法。
练 习 四
1，将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

2，将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相
等。

47

3，将1——8这八个数分别填入下图○内，使外 圆四个数的和，内圆四个数的和以
及横行、竖行上四个数的和都等于18。

例题5 如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个
质数，它们的和是20 ，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积
是多少？

分析 设每个小三角形三个顶点处○内数的和为X。因为中间的小三角形顶点处的
数在求和时都用了三次，所以 ，四个小三角形顶点处数的总和是4X=20＋2X，解方程得

48

X=10。由此可知，每个小三角形顶点处的三个质数的和是10，这三个质数只能是2、3、
5。因 此这6个质数的积是2×2×3×3×5×5=900。如图（b）。

练习五
1，将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相
等。

2，将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边
上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？

3，将1——9九个数分别 填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角
形边上○内数之和。

49

第11周 周期问题
专题简析：
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次
出现所经过的时间叫 做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解
题时也常常碰到与周期现象有关的问题 。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并
充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应， 就能找到解题关键。
例题1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿， 再
2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001
个小球该涂什么颜色？
分析 根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白， 即5＋
4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133……6，也就是 经过133
个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
练习一
1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么
颜色？


2，有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么

50

颜色？


3，17=0.7……，小数点后面第100个数字是多少？


例题2 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什
么颜 色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
分析 （1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9 盏灯看作一组，47÷9=5
（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后 一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏） ，占总数的
122015
；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的；黄灯共有3×5=15（ 盏），占总数的。
474747
练习二
1，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占
黄旗的几分之几？


2，黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……， 第
2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？


3，在10 0米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两
个女生，再一个男生的规律站立 着。这些同学中共有多少个女生？



51

例题3 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
分析 一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周
期的第一天 ，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾
不算头”的方法，例如10 月8日就用（8－1）÷7=1，没有余数说明8号仍是星期一。
题中说从2001年10月1日到20 02年1月1日，要经过92天，92÷7=13……1，余1天
就是从星期一往后数一天，即星期二。
练习三
1，2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？


2，如果今天是星期五，再过80天是星期几？


3，以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？
例题4 将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以
哪个字母为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …
分析 这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这一列数中的第100 1个数，
1001÷8=125……1，即2001是这列数中第126组的第一个数，所以它所在的那 一列是以
字母B为代表的。

52

练习四
1，将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？
A B C D E
8 6 4 2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
… … … …
… … … …
2，把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
… … …
… … …
3，
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学 爱）。求
第460组是什么？


例题5 888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？
分析

53

从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、 0不断重
复出现。我们可以用100除以6，观察余数就知道所求问题了。
100÷6=16……4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。
练习五
1，444……4[100个4]÷3当商是整数时，余数是几？


2，444……4[100个4]÷6当商是整数时，余数是几？

3，111……1[1000个1]÷7当商是整数时，余数是几？



第12周 盈亏问题
专题简析：
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物 品平均分给固定的对象，如果按某
种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有 不足（亏），求物
品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多1 2
块；如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，

54

就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系 是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的
盈亏问题，它们被分为四类：
1，两盈：两次分配都有多余；
2，两不足：两次分配都不够；
3，盈适足：一次分配有余，一次分配够分；
4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：
1，“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
2，“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
3，“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总
数。
例1 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一
半； 如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名
学生？
分析 （1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男
生多2人；
（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，这时男生为女
生人数的一半， 即现在女生有4×2=8人。原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共
有7＋5=12人。
练 习 一
1，学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔 增加8盒，
两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？
2，操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货 物一样重；苦甲、
乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一共有多少吨？

55

3，五（1）班的优秀学生中，苦增加 2名男生，减少1名女生，则男、女生人数同样多；
苦减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一 半。这些优秀学生中男、女生各多
少人？


例2 幼儿园老师拿出苹果 发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少4个；如果每个小朋
友只发给4个，则老师自己也能留下4个。 有多少个小朋友？共有多少个苹果？
分析 如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数大于4 ；如果每个小朋友只发给
4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿4＋4=8个苹果。 因为小朋友
人数大于4，所以，一定是每人少拿1个，有8÷1=8个小朋友，有8×4＋4=36个苹 果。
练 习 二
1，给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则 少6个。有多少个
小朋友？有多少个梨？


2，老把一些铅笔奖给三好学 生。每人5支则多4支，每人7支则少4支。老师有多少支
铅笔？奖给多少个三好学生？


3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人；如果减少一条船，正好每条船上坐9人。这个班一共有多少个同学？


例3 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个；如果

56

分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人，这筐苹果有多少个？
分析 如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人5个就多余3
×5＋ 10=25个。由于两班人数相等，小班每人多分3个就要多分（25＋2）个苹果，用（25
＋2）÷ （8－5）就能得到小班同学的人数是9人，再用9×8－2就求出了这筐苹果有多
少个。
练 习 三
1，一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？


2，老师给幼儿园小朋友 分糖，每人3块还多10块；如果减少2个小朋友再分，每人4
块还多7块。原来有多少个小朋友？有多 少块糖？


3，筑路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。实际每天多筑80 米，这样，比原计划
提前3天完成了筑路任务。要筑的路有多长？


例4 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给
中班的小朋友，平均每 人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多
少块？
分析 这箱饼干分给 小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋
友，平均每人可多分4块。说明中班的 人数是小班人数的6÷4=1.5倍。因此，这箱饼干
分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1. 5=9块，一共可分到6＋9=15块饼干。
练 习 四
1，老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借给甲组的女同学，每人可借

57

6本。如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？


2，甲、乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做
几朵？


3，老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得12块；如果只分给中 班和小
班，每人只能分到4块。如果这袋糖只分给中班，每人可分到几块？


例5 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每
条船 正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
分析 根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，也就 是少9个同学；每船坐6人，
就要增加一条船，也就是多出6个同学。因此，每船坐9人比每船坐6人可 多坐9＋6=15
人，15里面包含5个（9－6），说明有5条船。知道了有5条船，就可以求全班人 数：9
×（5－1）=36人。
练 习 五
1，老师把一篮苹果分给小班的同 学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个；如果
增加一个同学，正好每人分得4个。这篮苹果一共 有多少个？


2，五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如 果减少一只船，正好
每只船上价8人。五年级共有多少人？


58

3，一个旅游团去旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间又少2个房 间。旅游团
共有多少人？


第13周 长方体和正方体（一）
专题简析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要
注意几点：
1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变
化；
3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
例题1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平
方厘米？（单位：厘米）

分析 （1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10
×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个
零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好

59

与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面 的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？
练习一
1，一个长5厘米 ，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部
分的表面积和体积各是多少？



2，把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加 了2平方分米，求
这根木料原来的体积。


3，有一个长8厘米，宽1厘 米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉
一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体 积各是多少？



例题2 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正 方体的孔（如图），你能算出它的体
积和表面积吗？（单位：厘米）

60

分析 （1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由 于挖去了一个孔，
所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232 （立方厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米） ，但由于
挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
练习二
1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。



2，有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正
方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？


61

3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么 得到的物体的体积
和表面积各是多少？



例题3 一个正方 体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来
的长方体的表面积增加了50平方 厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？

分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方 体，其表面积比原来的长方体增加了
4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方 厘米）。正方体有6个这样的
面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
练习三
1，把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的
长方体的长 是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？


62

2，一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最
大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？


3，把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多
少平方分米？


例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是28 8立方厘米，
求大长方体的表面积。

分析 要求大长方体的表面积，必须知道它 的长、宽和高。我们用a、b、h分别表
示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=14a,2 a=3b即b=23a，砖的体积是
a*23a*14a=16a。由16a=288可知，a=12， b=23*12=8,h=14*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是 8＋3=11厘米，表面积就不难求
了。
练习四
1，一块小正方体的表面积是6平 方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成
的大正方体的表面积是多少平方厘米？
33

63

2，一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的
表面积。

3，有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几
种不同的长方体？用图画出来。


例题5 一个长方体，前面和上面的面积之和 是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高
以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各 是多少？
分析 长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于此长方
体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17＋2），即长、
宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习五
1，有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质
数，那么这个长方体 的体积是多少？


2，一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。
3，一 个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分
米、4分米、25分米，求正 方体体积。



第十四周 长方体和正方体（二）

64

专题简析
在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：
把一个物体变形为另一种形状的 物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸
入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例题1 有两个无盖的长方体水箱， 甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长
40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长3 0厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲
水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多 少厘米？
分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并
靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们
只要先求出原来 甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底
面积和：40×3 2＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
练习一
1，有两个水 池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6
分米、宽和高都是4分米。现在要从 甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面
同样高。问水面高多少？



2，有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高
10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少
厘米？


65

3，一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平 方分米。如果把它煅烧成一横截面面
积是0.1平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。



例2 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁 质正方体熔成
一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
分析 因为正方体的六 个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的
棱是3厘米。用同样的方法求出另两 个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；
150=6×（5×5），棱长是5厘米。知 道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方
体的体积就等于它们的体积和。
练习二 < br>1，有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平
方厘米。现 将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。


2，将表面积分别为21 6平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方
体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7 厘米，求它的高。



3，把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大 正方体，这个大正方体的表面积
是多少平方分米？




66

例题3 有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米 ，里面注有水，水
深3分米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
分析 铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方
分米的 空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积（5×4）
就能得到水上升的高度 了。
练习三
1，有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。把一块假山石浸入水 中
后，水面上升0.8分米。这块假山石的体积是多少立方分米？


< br>2，有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。有一根长50厘米，横截
面是12平方 厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溶出多少立方厘米的
水？



3，有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁
后 ，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？



例题4 有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深
6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？

67

分析 首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米）。当容 器竖起来以后，水
流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的 长方体。
只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
练习四
1，有两个长方体 水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米、宽2
分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸 中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？


2，有一块边长2分米的正方体铁块， 现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面
是一个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长。
3，像例题中所说，如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少
厘米？


例题5 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平 方厘米。这
个长方体的体积是多少立方厘米？
分析 长方体不同的三个面的面积分别是长× 宽、长×高、宽×高得来的。因此，
15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10 ×6=900=30×30。所以，这个长
方体的体积是30立方厘米。
练习五

68

1，一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘 米和8平方
厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？


2，一个长方体 ，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方
厘米，且长、宽、高都是质数，这 个长方体的体积是多少立方厘米？


3，一个长方体的体积是48立方厘米，并且 长、宽、高是三个连续的偶数。这个长
方体的表面积是多少平方厘米？


第十五周 长方体和正方体（三）
专题简析：
解答有关长方体和正方体的拼、切 问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，
熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等 比情况外，还必须知道：把一
个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等 于切面面积
的两倍。
例题1 一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，
表面积增加多少厘米？
分析 把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的线共
锯6次，每 锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方
厘米的面积。因 此，锯好后表面积增加432平方厘米。

69

练习一
1，把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比
原来所有的 小正方体的表面积之和少多少平方厘米？


2，有一个棱长是1米的正方体木块， 如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表
面积增加多少平方米？


3， 把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，
没有涂颜色的面积是60 平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？



例题2 有一 个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个
正方体木块原来的表面积是多 少平方厘米？
分析 把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是24÷2=12平
方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米。
练习二
1，把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少
平方厘米？

70

2，有一个正方体木块，长 4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方
体，表面积最多增加多少平方分米？
3 ，有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现
把三块积木拱成一个大的 长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？



例题3 有一 个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体，
这些小正方体的表面积的和是 多少？

想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个3×3平方分米的面，你能用这< br>种思路来计算所求问题吗？
练习三
1，用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些 的正方体，至少需要多少个小正
方体？如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？


2，有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘 米
的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？


71

3，把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个 长方体的表面积至少是
多少平方厘米？


例题4 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？

分析 按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；
（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个；
（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1个。
练习四
1，把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正
方体，这些小 正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没
有涂色的各有多少个？


72

2，把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正 方体，然后在大正方体的表面涂
上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方 体一共有多少个？


3，把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成1立 方分米的小正方体，
在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？


例题5 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体
积相 等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？
分析 这个长方体原来的表面积是 （6×5＋6×4＋5×4）×2=148平方厘米，每切
割一刀，增加2个面。切成三个体积相等的小 长方体要切2刀，一共增加2×2=4个面。
要求表面积和最大，应该增加4个6×5=30平方厘米的 面。所以，三个小长方体表面积
和最大是148＋6×5×4=268平方厘米。
练习五 < br>1，有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米、宽5厘米、高3厘米。要把它
们粘成一个大的 长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘
米？

2，把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体，已知每个小正方体的表面积是
72平方厘米，拼 成的大正方体的表面积是多少平方厘米？


3，把一个长、宽、高分别为7厘米、 6厘米、5厘米的长方体，截成两个长方体，
使这两个长方体的表面积的和最大，求它们的表面积和是多 少平方厘米？

73

第１６周 倍数问题（一）
专题简析：
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的
和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个 数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根
据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或 “差”相当于这样的几倍，最后用除
法求出1倍数。
例１ 两根同样长的铁丝，第一根剪去 18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一
根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？
分析 由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多
（3－1）倍。因此，8÷（3－1）=4（厘米）。就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4
＋26= 30厘米。
练 习 一
1，两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这 个0去掉，就得到另一个加
数。这两个加数各是多少？


2，两根绳子一 样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根
的3倍。两根绳子原来各长 多少米？


3，一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩 下的梨是苹果的6倍。
原来两筐水果一共有多少个？


74

例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来
甲组有图书多少本？
分析 甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18本，则
甲 组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6
就正好对应着后 来乙组的（5－3）倍。因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12
本，乙组原来有12＋ 6=18本，甲组原来有18×3=54本。
练 习 二
1，原来小明的画片是小红的 3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2
倍。原来二人各有多少张画片？


2，一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有多少本书？


3，幼儿园买来的苹 果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数
正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨 共多少个？


例3 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组 ，每组领3个梨和4
个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。大班共有多少个同学？
分析 因为苹果是梨的2倍，每组分3个梨和3×2=6个苹果最后就一起分完。可每组分
4 个苹果，少分6－4=2个，所以有8组同学，全班有7×8=56人。
练 习 三
1，高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树

75

苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。两种树苗原来各有多少棵？


2，高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如果每小组分到杉树6 棵，杨
树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。两种树原来各的多少棵？


3，同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2
个桔子 和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下14个。同学们把水果分给了几位
老人？
例4 有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿
出13个放到甲筐，甲 筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？
分析 根据“从甲筐拿出8个放进乙筐， 两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐
多8×2=16个橘子；如果从乙筐拿出13个放到甲筐， 这时，甲筐就比乙筐多16＋13×2=42
个。因此，乙筐里还有42÷（2－1）=42个，原来乙 筐里有42＋13=55个，甲筐里原来
有55＋16=71个。
练 习 四
1，甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓
取14吨放入甲 仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？


2，兄弟两人原有 同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元；弟弟买了3
支笔，每支笔1.2元，现在弟 弟的钱是哥哥的3倍。兄弟两人原来各有多少元？

3，学校组织夏令营活动，如果参加的女 生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；如
果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半 。原定夏令营中男、女生各多

76

少人？


例5 甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30
吨。 若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙粮库原来各有粮食多
少吨？
分析 因为甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，如果每天乙粮库运30吨，甲粮库运出30×2=60吨，两粮库的粮食就会同时运完。而实际上甲粮库每天只运出40吨，所以，每天就少运
60－40 =20吨。80吨里包含有4个20吨，也就是已经运了4天，因此，甲粮库原有粮食
40×4＋80= 240吨，乙粮库原有240÷2=120吨。
练 习 五
1，果园里桃树的棵数是梨 树的3倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒24
棵桃树和10棵梨树，几天后，梨树全部喷 洒完，而桃树还剩下24棵。果园里有桃树和
梨树各多少棵？

2，小朋友带着一篮 桔子和苹果送给敬老院的老人们，每个老人分各3个苹果和5个桔子，
最后苹果分完，篮子里还剩下7个 桔子。如果原来桔子的个数是苹果的2倍，那么，分
给了几个老人？原来有多少个苹果？


3，甲、乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元钱时，两< br>人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存有多少钱？


第１７周 倍数问题（二）
专题简析：

77

解决倍数问题的关键 是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找
出其它几个数与这个标准数的倍数关系，再 用除法求出这个标准数。由于倍数应用题中
数量关系的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧，灵 活解题。
和倍问题的数量关系是：
和数÷（倍数＋1）=较小数
较小数×倍数=较大数
差倍问题的数量关系是：
差数÷（倍数－1）=较小数
较小数×倍数=较大数
例1，养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只 ，结果母鸡只数就
是公鸡的4倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？
分析 养鸡场原 来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，母鸡增加60×
6=360只，那么，后来的母鸡只 数还是公鸡的6倍。可实际母鸡只增加了60只，比360
只少300只。因此，现在母鸡只数只有公鸡 的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只数
是300÷2=150只，原来有公鸡150－60=90只 ，一共养了90×（1＋6）=630只鸡。
练 习 一
1，今年，爸爸的年龄是小明 的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。今年小明
多少岁？


2 ，原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉
的2倍。食堂里原 来存有大米、面粉各多少千克？


3，饲养场的白兔只数是黑兔的5倍，后来卖掉 了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白
兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？

78

例2 有1800千克的货物，分装 在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙
车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、 丙三辆车各装货物多少千克？
分析 如果丙车多装200千克，就和乙车装的货物同样多，这样三辆 车装的总重量就是
1800＋200=2000千克。再把2000千克平均分成4份，就得到乙车上装 的货物是500千克，
甲车上装500×2=1000千克，丙车上装有500－200=300千克。
练 习 二
1，三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少 200箱。三堆
货物各多少箱？


2，甲、乙、丙三数的和是224，如 果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数
各是多少。


3，把 840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5本，中层放的本数是
上层的2倍多1本。 问：上、中、下三层各放书多少本？


例3 甲、乙两个书架，已知甲书架有书 600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出
四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本 。乙书架原来有书多少本？

练 习 三
1，某校有男生630人，选出男生 人数的三分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，
剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有 学生多少人？

79

2，食堂存有同样重量 的大米和面粉，吃大米的四分之三和60千克面粉后，剩下的面粉
的重量地大米的3倍。原来存有大米和 面粉各多少千克？


3，有两堆水泥，甲堆有4.5吨，已知甲堆重量的三分之一 和乙堆重量的四分之一相等，
乙堆有水泥多少吨？



例4 A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A站向B站开出汽车12
辆，B站向A站开出 汽车8辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公共汽车辆数是
A站的3倍？
练 习 四
1，甲有邮票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多少
次后，甲的邮票张数是乙的2倍？


2，甲仓存有大米650袋，乙仓存有大米4 00袋。每天从甲、乙仓各运出50袋，多少天
后甲仓的大米袋数是乙仓的6倍？


3，有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升，每次往两只杯子中各倒进8毫
升水 ，倒几次后，一只杯中的水是另一杯的2倍？


80

例5 甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这
三个数。


练 习 五
1，有三个小组，甲组的人数比乙组的2倍多6人，乙组的人数是 丙组的2倍。三个小组
一共有90人，每个小组各有多少人？


2，某工厂共有工人560人，其中男工比女工的3倍少40人，男工和女工各有多少人？


3，三种水果共132个，已知苹果的个数比梨的3倍少6个，梨的个数比桔子的3倍多2< br>个。三种水果各有多少个？


第18周 组合图形面积（一）
专题简析：
组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两< br>种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题
的解决无从 下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：
1，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；
2，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；
3，适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。

81

例1 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？
分析与解答 由于 此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公
式来计算它的面积。我们可以假设 有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，
这个正方形的面积是12×12，那么，一个三角形 的面积就是12×12÷4=36平方厘米。


练 习 一
1，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）



2，已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。




82

3，有一个梯形，它的上底是5厘米， 下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积
就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。



例2 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长 方形的四个角的顶点
把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。

分析与解答 图中的两 个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可
拼得一个大正方形。这两个正方形的边长 分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和4×2=8（厘
米）。中间长方形的面积只要用总面积减去这两 个拼起来的正方形的面积就可以得到。即：
12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）
练 习 二
1，（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。




2，如下图长方 形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF
的面积。

83

3，求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。




例3 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形A FH的面积是7平方厘米。三
角形CDH的面积是多少平方厘米？

分析 设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。

（1）梯形EFAD的面 积是（a+b）×b÷2，三角形EFC的面积也是（a+b）×b÷2。
所以，两者的面积相等。 < br>（2）因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积－梯形EFHD的面积，而三角形CDH
的 面积=三角形EFC的面积－梯形EFHD的面积，所以，三角形CDH的面积与三角形AFH
的面积相 等，也是7平方厘米。
练 习 三
1，图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。

84

2，下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）




3，下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？





例4 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘
米？

85

分析 要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度。连接FC后就能得到一个三
角形EFC，用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积：8
×20÷ 2－8×8÷2=48平方厘米。FD=48×2÷20=4.8厘米，所求梯形的面积就是（4.8＋
8）×8÷2=51.2平方厘米。
练 习 四
1，如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。




2，在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能 大，正方形的面积
是多少？（单位：厘米）





86

3，图中BC=10厘米， EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。




例5 图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，
求ED的长。

分析 因为三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，所以，三角形
BCE的面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米。三角形BCE的面积是6×4＋6=30平
方厘米 ，EC的长则是30×2÷6=10厘米。因此，ED的长是10－4=6厘米。

练 习 五
1，如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面< br>积比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH长多少厘米？

87

2，图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。



3，正方形的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分B的面积是7平方厘米，求 阴影部分A和
C的和是多少平方厘米？



第十九周 组合图形的面积
专题简析：
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1，两个三角形等底、等高，其面积相等；

88

2，两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
例题1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

分析 按照一般解法 ，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求
面积。其实，只要连接AC，显然三角形A EC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，
我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。面积是 ：6×3÷2=9平方厘米。
练习一
1，求下图中阴影部分的面积。



2，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

89

3，下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。



例题2 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）
的面积。


90

分析 三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三 角形ABC的高是三角形BCD高的
15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形AB C的面积是三角形BCD的1.5
倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。

练习二
1，下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形 AEC的面积相
等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。



2，图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。



3，图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求 阴影部
分的面积（ADFC不是正方形）。

91

例题3 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积 （如图所示），
求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

分析 1 ，因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角
形ABO的面积和三角形DO C的面积相等，也是6平方厘米。
2，因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO 的长度是OD的
2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6 ÷
2=3平方厘米。
练习一
1，如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4 平方厘米，求梯形ABCD的面积是
多少平方厘米？

92

2，下图的梯形ABCD中，下底是上底的 2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面
积是三角形BDE面积的多少倍？


3，下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC
的 面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？



例题4 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三

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角形ABC的面积。

分析 （1）因为CE=3 AE，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，
是20×（1＋3）=80平方厘为；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是80
÷ 2=40平方厘米。因此，三角形ABC的面积是80＋40=120平方厘主。

练习四
1，把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的面积（ ）乙的面积。


2，如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形

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的面积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。




3，下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F是AE 的中点，三角形ABC的BC
边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？




例题5 边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的多少倍？
分析 题中的已知条件不 能计算出两种三角形的面积，我们可以用边长是3厘米的
正三角形拼一个边长是9厘米的正三角形，从而 看出它们之间的倍数关系。从下图中可
以看出：边长9厘米的正三角形是边长3厘米的正三角形面积的9 倍。

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练习五
1，边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍？


2，一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是
三角形底长的 2倍。这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？

3，有两种自然的放法将正方形内接于等腰 直角三角形。已知等腰直角三角形的面
积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？



第二十周 数字趣题
专题简析：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是我们最常见的国际通用的阿拉伯数字（或称为

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数码）。数是由十个数字中的一个或几个根据位值原则排列起来，表示事 物的多少或次序。
数字和数是两个不同的概念，但它们之间有密切的联系。这里所讲的数字问题是研< br>究一个若干位数与其他各位数字之间的关系。数字问题不仅是研究一个若干位数与其他
各位数字之 间的关系。数字问题不仅有一定规律，而且还非常有趣。
解答数字问题可采用下面的方法：
1，根据已知条件，分析数或数字的特点，寻找其中的规律；
2，将各种可能一一列举，排除不符合题意的部分，从中找出符合题意的结论；
3，找出数中数字之间的相差关系和倍数关系，转化成“和倍”、“差倍”等问题。
4，条件复杂时，可将题中条件用文字式、竖式表示，然后借助文字式、竖式进行
分析推理。
例题1 一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千
位数 字的3倍。这个四位数是多少？
分析 由于个位数字是千位数字的3倍，而百位数字和十位上数字又 是个位上数字
的3倍，所以，千位上的数字只能是1，否则，百位和十位上的数字将大于9。因此，这< br>个四位数的千位是1，个位是3，而百位和十位上都是9，即1993。
练习一
1， 有一个四位数，千位和个位上的数字相同，且百位上的数字是十位上的3倍，
十位上数字是个位上的3倍 。这个四位数是多少？


2，一个三位数的各位数字之和是17，其中十位数字比 个位数字大1。如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原数大198，求原数 。


3，有一个三位数，各位数字的和是17，其中百位数字比个位数字的5倍还 多2，
请写出这个三位数。

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例题2 把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得的和正好
是 原来四位数的35倍。原来的四位数是多少？
分析 把数字6写到一个四位数的左边，得到的数就比 原来的四位数增加了60000，
再加上8000，一共增加了68000。这时所得的数是原数的35 倍，比原数增加了34倍，
所以原数是68000÷34=2000。
练习二
1， 有一个三位数，如果把数字4写在它的前面可得到一个四位数，写在它的后面
也能得到一个四位数，已知 这两个四位数相差2889，求原来的四位数。


2，把数字8写在一个三位数的 前面得到一个四位数，这个四位数恰好是原三位数
的21倍。原三位数是多少？


3，有一个三位数，它的个位数字是3，如果把3移到百位，其余两位依次改变，
所得的新数与 原数相差71。求原来的三位数。


例题3 有一个四位数，个位数字与千位数 字对调，所得的数不变。若个位与十位的数字
对调，所得的数与原数的和是5510。原四位数是多少？
分析 根据已知条件，设原数为ABCA，则后来的数是ABAC，写成竖式：
A B C A
+ A B A C
5 5 1 0

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（1）从千位看，A一定是2；
（2）从个位看，C一定是8；
（3）从百位看，B一定是7。
所以，原四位数是2782。
练习三
1，有一个四位数，个位数字与百位数字的和 是12，十位数字与千位数字的和是9。
如果个位数字与百位数字交换，所得新数比原数大396，原数 是多少？


2，张家的门牌号码是一个三位数，这个三位数的三个数字都不同，且 三个数字的
和是6，还是满足这些条件的三位数中最大的一个数。请你写出这个门牌号码。

3，一个两位数，十位的数字比个位数字少1，把这个两位数的个位与十位数字对
调，所得新数 与原数的和是165。求原来的两位数。


例题4 一个六位数的末位数字是7 ，如果把7移动到首位，其它五位数字顺序不动，新
数就是原来数的5倍。原来的六位数是多少？
分析 用字母表示出未知的五位数，原数为ABCDE7，新数为7ABCDE。根据题意可
写出下面的竖式，再从个位推算起。
（1）个位7×5=35，E是5；
（2）十位5×5＋3=28，D是8；
（3）百位8×5＋2=42，C是2；
（4）千位2×5＋4=14，B是4；
（5）万位4×5＋1=21，A是1。
原数是142857。

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练习四
1，如果 把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000。原
数是多少？


2，有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至第一位，其余数字顺序不变，
所得新六位数是原数的4倍。原六位数是多少？


3，有一个两位数的两个数字中 间夹一个0，那么，所得的三位数比原数大6倍。
求这个两位数。

例题5 某地 区的邮政编码可用AABCCD表示，已知这六个数字的和是11，A与D的和乘
以A等于B，D是最小 的自然数。这个邮政编码是多少？
分析 D是最小的自然数，即D是1，要满足（A＋1）×A=B 和六个数字的和是11
这两个条件，A只能是2。则B=（2＋1）×2=6。A＋A＋B＋D=2＋2 ＋6＋1=11，C一定是0。
因此，这个邮政编码是226001。
练习五
1， 一个三位数，个位上的数字是十位上数字的4倍，十位上的数字是百位上数字
的2倍。这个三位数必定是 多少？


2，有一个六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是从小到大的 三个连续
自然数，这六个数字的和恰好等于末尾的两位数。求这个六位数。



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