江西工程学院-销售员年终工作总结

1.介绍
在1975，Klamkin夫人建立了一下的不等式：让ABC成为边为abc
的三角形的任意一个角 ，让p成为这其中的任意一点，从p到顶点ABC
的距离分别记为R1,R2,R3。如果xyz是实数 ，那么，不等式(1.1)
2
(xyz)(xR
1
2
yR< br>2
zR
3
2
)yza
2
zxb
2xyc
2
，取“=”时当且
仅当p位于三角形ABC的平面上并且有
x : y : z =S
PBC
:S
PCA
:S
PAB
(
S
PBC
表示代数领域)。
不等式(1.1)就是所谓的惯 性不平等的极距，这是三角形不等式
最重要的不等式之一，它也存在着许多结论和应用，如在这片文章中
我们将应用Klamkin的不等式(1.1),而且这种反演变换用于演绎一个
新的加权几何 不等式，我们讨论我们结果的用途。另外，我们也提出
一些假设。


2主要成果
为了证明我们的新的结论，首先我们给出了以下引理
引理2 .1：让ABC组成一个自由的三角形，让p成为三角形ABC的平面上
f(a,b,c,R,R,R) 0
123
的任意一点，如果下列不等式(2.1) 成立，然
后我们有双重的不平等 (2.2)
f(aR
1
,bR
2
,cR
3
,R2
R
3
,R
3
R
1
,R
1
R
2
)0
事实上,从[6]或[3]、[7]中知道上述结论可以利用反演变换推导出 ，
现在，我们提出并证明主要的结论。

定理2.2：设x，y，z是正实数， 然后对于任意三角形ABC和任意一
2
R
3
2
aR
1
bR
2
cR
3
R
1
2
R
2

xyz
yzzxxy
点P在三角形ABC的平面上的不等式 ，
“=”成立当且仅当三角形ABC是锐角三角形，P点恰逢其垂心而且x：
y：z= cotA: cotB: cotC 。
证明：如果P点恰好在三角形的顶点，即如P点在A点处，P A=0，PB=c，
2
R
3
2
aR
1
bR
2
cR
3
R
1
2
R
2

xyz
yzzxxy
PC=b，那么不等式
式，这时不等式
就变 成一个平凡不等
2
2
R
3
aR
1
bR
2
cR
3
R
1
2
R
2

xy z
yzzxxy
通常不会出现，
另一方面，假设P点不在三角形的顶 点，设x，y，z是正实数，
通过惯性极矩不等式(1.1)，我们可以得到不等式
111a
2
b
2
c
2
(xR+ yR+ zR)(++)
yzzxxyxyz
此外，从Cauchy-Schwarz
2
1
2
2
2
3
a
2
b
2
c
2
(abc)
2

xyzxyz
， =”成立当且仅当不等式中我们可以得到
x: y: z=a: b: c.
结合上面两种不等式，对于任意正实数x，y，z，有下面的不
2
111(abc)
22
(xR
1
+ yR
2
++)
2
+ zR
3
)(
yzzxxyxyz
成立， 等式(2.4)
“ =”成立当且仅当x: y: z=a: b: c 和P 不在三角形ABC的任意
一个角里。

现在运用反演变换推导在引理中不等式(2.4)，我们可以得出不等式
(aR1
bR
2
cR
3
)
2
111
(x (R
2
R
3
)+ y(R
3
R
1
)+ z(R
1
R
2
))(++)
yzzxxyxyz
< br>222
(R
2
R
3
)
2
(R
3R
1
)
2
(R
1
R
2
)
2< br>aR
1
bR
2
cR
3
2
++()zxxyxyz
或相当于不等式(2.5)
yz

222
x  xR,yyR,zzR
123
时，有不等式（xyz是正实数），当
aR1
bR
2
cR
3
2
111
111
++(
2
)
x  ,y,z
22
yzzxxyxR+ yR+ zR
xyz
123
(2.6)，再利用
时既可以得出定理中的不等式 (2.3)
注意到[7]中的结论:如果不等式(2.1)中“ =”成立当且仅当P
是三角形ABC的内心，然后不等式(2.2)中“ =”成立当且仅当三角
形ABC是锐角和P是它的重心。根据这些和适用于不等式(2.4)中的
等号成立的条件,我们知道 不等式(2.3)中“ =”成立当且仅当三角形
R
R
1
R

2

3
ybcz
ABC是锐角且P是它的重心，且有等式(2.7)
xa
当P是锐角三角形的垂心的ABC,我们有
R1 : R2 : R3
因此
=
,在这种情况下,从(2.7)我们有
x:y:z = cotA:cotB:cotC。因此,不等式(2.3)中“ =”成立当且仅当
三角形ABC是锐角,P恰逢其重心和
x cotA = y cotB = z cotC.
这就完
成了定理的证明。
备注1：如果P不在顶点,然后不等式(2 .4)就与[8]中的不等式
(2.8)
R
2
R
3
R
3
R
1
R
1
R
2
xyz
xyz2 s
R
1
R
2
R
3
xyz
是等价的，s 是三角形ABC

的半周长，xyz是正实数，在【8】中不等式(2.8)是没有使用极 惯性
矩不等式证明得出的。

3定理的应用
除了上面的符号,像往常一样,让R和r表示的三角形ABC外接
圆和内切圆半径,

分别表示该区域,ra,rb,rc表示的环绕半径。此
外,当P点在于内部的三角 形ABC,让r1、r2、r3表示p点到面BC,CA,AB
的距离。
根据定理和著名的不等式(3.1)
点我们可以得到
推论3.1：对于平面上的任何 点和任意正数x,y,z,以下不平等(3.2)
aR
1
bR
2
 cR
3
4
，在平面上的任何
是成立的:
R
1
2
R
2
2
R
3
2

xyz
4
yzzxxy
，“ =”成立当且仅当
x : y : z = cotA : cotB : cotC
且P是锐角三角形ABC的重心。
xyz
xR+ yR+ zR4
xyz
2
1
2
2
2
3
备注 2：显然,不等式(3.2)是等效于（3.3）
上面的不平等是由雪芷阳第一次在[9]中提出。由[ 10]中作者得出下
面不等式（3.4）：
a
'
b
'
2(xR(y) +R)(z +R)4
1
ab
2
2
c
'
c
2
3
zyx
'

xyz
，其'''
'''
'
a,b,c
ABC

中表示的边，表 示该区域。

1
x =
a
如果在不等式（2.3）中我们利用
1
,y =
b
1
,z=
c
，
1111
++
bccaab2Rr
，那么可以得到： 推论3.2：对于任意点在平面上的
ABC
,下列不等式（3.5）是适用
22
aR
1
2
bR
2
cR
3

的 :
aR
1
bR
2
cR
3
2Rr
，等号 成立当且仅当
ABC
是等边三
角形和P是其中心。
备注3：在等号成立的条件下,下面的不等式的推论3.4 ~ 3.8与推论
3.2有相同的结论。在定理中，利用
可得：
推论3.3：如果P是不 在
ABC
顶点的任意一点，然后可得不等式（3.6）
R
2
R3
R
3
R
R
1
1
R
2
++ 1
bccaab
，
x =
R
R
1
R
,y =
2
,z=
3
abc
简化后
等号成立当且仅当
ABC
是锐角和P是它的重心。
Hayashi 首先证明了不等式(3.6)(见[11]或[3]),还在[12]对
它进行了两个概括。
事实上,假设P不在顶点，在不等式（2.2）中将
x 
R
R
1
R
,y 
2
,z
3
xaybzc
然后我们得到一个加权广义形式的
R
2
R
3
R
3
R
1
R
1
R
2
aR
1
bR
2
cR
3
2
++()
xaR
1
ybR
2
zcR
3
因Hayashi不等式（3.7）
yzbc zxcaxyab

为
x
111
,y,z
abc
我们可以得到不等式 （3.8）
(R
2
R
3
R
3
R
1
R
1
R
2
)(R
1
R
2
R
3
)
2
(aR
1
bR
2
cR
3
)
2

应用反演变换的引理结合上述不等式,然后将R1R2R3两两结合,我们
得到以下的结果;
推论3.4，如果P是不在
ABC
顶点的任意一点,然后有不等式 （3.9）(R
2
R
3
R
3
R
1
R
1
R
2
)
2
(
111
)4s
2R
2
R
3
R
3
R
1
R
1R
2

不难看到,上面的不平等是比下面作者在许多年前获得的结果更强:
R
2
R
3

R
1
R
3
R
1

R
2
R
1
R
2

R
3
23s
不等式（3.10），现在让P是
三角形ABC的一个内部点。然后我们就会有众所周知的不等式(见
[13]):
aR
1
br
3
cr
2
,bR
2
cr
1
ar
3
,cR
3
 ar
2
br
1
，将它们加起
ar
1
br
2
cr
3
2rs
，可以得出不等式
3(aRbRcR) 4s(rrr)
来，我们注意到a+b+c=2s 和
（3.11）
aR
1
bR
2
cR
3
2s(r
1
r
2
r
3
)2rs
，双方乘2然后利
123123
就用不等式(3.1)和
rs
，aR
1
bR
2
cR
3
4
s
r3
，
1
r
2
r
3
得出来不等式(3.12) 根据这个和与不等
式(2.5)有等价形式的不等式(2.3),我们立即获得结果:
推论3 .5：让P是三角形ABC的一个内部点。然后有不等式（3.13）
(R
2
R
3
)
2
(R
3
R
1
)
2
(R< br>1
R
2
)
2
16
2
s
r2
r
3
r
3
rr9
11
r
2
，从不等式(3.8)和(3.12)

我们推断
(R
2
R3
+ R
3
R
1
+ RR+ R+ R)
2
3

1
)(R
212
16
22
s(r + r
1
+ r
2
),
3
9
再次
2
3(RR+ RR+ RR)(R+ R+ R)
233112123
我们得到下面的不等式 注意,
推论3.6，让P是三角形ABC的一个内部点,然后有不等式（3.14）
(R
1
+ R
2
+ R
3
)
2
4
s
xr
a
,yr
b
,zr
c

r
1
+ r
2
+ r
3
3
，将不等式（2.3） 中
rr
结合
bc
r
c
r
a
2
r
a
r
b
我< br>s
，们有不等式（3.15）
R
3
2
R
1
2
R
2
2
1
(aR
1
bR
2< br>cR
3
)
r
a
r
b
r
c
s

这个不等式和(3.12)让我们得到下面的不等式:
推论3.7：让P是三 角形ABC的一个内部点,然后有不等式（3.16）
R
1
2
R
2< br>2
R
3
2
4
(r
1
+ r
2
+ r
3
)
r
a
r
b
rc
3
，利用(3.1)和(3.11),然后将双方除
以2,我们有（3.17）
aR
1
bR
2
cR
3
s(r
1+ r
2
+ r
3
r)
，从这个和(3.15),
我们得到以下的不平等,又类似于(3.16):
推论3.8，让P是三角形ABC的一个内部点，然后有不等式（3.18）
2
22
R
RR
1

2

3
r
1
+ r
2
+ r
3
r
rr
bc

r
a

当P定位在三角形ABC的内部,让D,E,F表示p点至边BC,CA,AB
123
,的垂 直距离，将不等式(2.6)中字符变换：
aR
1
bR
2
cR< br>3
111
()
2
abr
1
r
2
ar
1
R
1
br
2
R
2
cr
3
R
31
就可得
bcr
2
r
3
car< br>3
r
用
xar,ybr,zcr
ar
1
br
2
cr
3
2
从【7】中可以详细的了解到不等式（3 .19）：

ar
1
R
1
2
br
2
R
2
2
cr
3
R
3
2
8R< br>2

p
可以得到
(p是指垂直三角形DEF的面积),我们
，让sp,rp分别表
abcr
1
r
2
r
3
(aR
1
bR
2
cR
3
)
2
64R4

2
p
示三角形DEF的半周长和内切圆半径。注意

p
r
p
s
p
，
aR
1
bR
2
cR
3
4Rsp
，从上述不等式得到作者在[14]得出的下 列
不等式:
推论3.9，让P是三角形ABC的一个内部点。然后有不等式（3.20） < br>r
1
r
2
r
3
2R
2
r
p
，等号成立当且仅当P是三角形ABC的垂心。
众所周知,很少有不平等的一 个三角形和两个点有关。几个年前,
R
1
2
R
2
2
R
3
2
4(r
1
+ r
2
+ r
3
)
d
2
d
3
作者推测下列不等式（3.21）是成立的：< br>d
1

其中d1、d2、d3表示一个内部点Q至三角形ABC面的距离。不等 式
(3.21)是非常有趣的，学者一直试图证明它。在下面,我们将证明一
个更强的结果。
为此,我们需要一个推论引出以下结论(见[15]):
设Q是三角形ABC的 内部点，
t
1
,t
2
,t
3
表示
BQC ,CQA,AQB
，
1
'''
ttsinAttsinBttsin C
233112
'''
ABC
是任意三角形。然后有
2
，
'''
ABC~ABC
且Q是三角形ABC的外心。等号成立当且仅当 在 不
等式(3.22)中,让三角形ABC是等边三角形，可以得到（3.23）
1
t< br>2
t
3
t
3
t
1
t
1
t
2

3
，从这个和简单的不等式
s
2
33
，可以得

到 （3.24）
t
2
t
3
t
3
t
1
t
1
t
2

1< br>2
s
9
，根据定理中不等式(2.3)和
R
1
2R
2
2
R
3
2
3
(aR
1bR
2
cR
3
)
t
2
t
3
s
(3.24),我们可以得出不等式（3.25）
t
1


利用不等式(3.12),我们得到更强的版本的不等式(3.21);
推论3.10:设P 和Q是三角形ABC的两个内部点，然后有不等式（3.26）
R
1
2
R2
2
R
3
2
4(r
1
+ r
2
+ r
3
)
t
1
t
2
t3
，等号成立当且仅当三角形ABC是等
边三角形且P,Q都它的中心。
类似地,从不等式(3.17)和不等式(3.25)得到:
推论3.11:设P和Q是三角形ABC的两个内部点，然后有不等式（3.27）
R
1
2
R
2
2
R
3
2
3(r
1
+ r
2
+ r
3
r)
t
2
t
3

t
1
，等号成立当且仅当三角形ABC是等
边三角形且P,Q都它的中心。

4.一些推测

在本节中,我们将陈述一些与我们结论相关的推测。
不等式(3.8)相当于不等式（4.1）
R
2
R
3
+ R
3
R
1
+ R
1
R
2
(
平等 （4.2）
aR
1
bR
2
cR
3
2
)
R
1
R
2
R
3
，通过这一个和众所周知的不
R
2
R
3
+ R
3
R
1
+ R
1
R
2
4(w
2
w
3
w
3
w
1
w
1
w2
)

的思想,我们提出：

猜想4.1，让P是三角形ABC的一个任意的内部点,然后有 < br>aR
1
bR
2
cR
3
2
()4(w< br>2
w
3
w
3
w
1
w
1
w
2
)
R
1
R
2
R
3
（4.3）
考虑推论3.5,学者提出这两个猜想：
猜想4.2，让P是三角形ABC 的一个任意的内部点,然后有（4.4）
(R
2
R
3
)
2< br>(R
3
R
1
)
2
(R
1
R
2
)
2
4
2
(a+ b
2
+ c
2
)
w
2
w
3
w
3
w
1
w
1
w
2
3

猜想4.3，让P是三角形ABC的一个 任意的内部点,然后有（4.5）
(R
2
R
3
)
2
(R
3
R
1
)
2
(R
1
R
2)
2
2
4(R
1
2
R
2
R
3
2
)
r
2
r
3
r
3
r
1
rr
12
通过推论3.6中的不平
等,我们推测以下更强的不平等是成立的:
猜想4.4，让P是三角形ABC的一个任意的内部点,然后有
R
2
R
3
R
3
R
1
R
1
R< br>2
4
s
r
1
r
2
r
3
33
另一方面,对于锐角三角形可（4.6）
以提出;
猜想4.5,设三角形A BC是锐角三角形，P是三角形ABC的一个任意的
(R
1
+ R
2
+ R
3
)
2
6R
内部点，有 （4.7）
w
1
+ w
2
+ w
3
两年前,雪芷阳证明下列不
(R
1
+ R
2
+ R
3
)
2
2a
2
b
2
c
2
等式(4.8):
r
1
+ r
2
+ r
3
这是比(3.14)更强。在
这里,我们进一步提出：

猜想4.6，让P是三角形ABC的一个任意的内部点,然后有（4.9）
(R
1
+ R
2
+ R
3
)
2
2a
2
b
2
c
2
w
1
+ w
2
+ w
3

在[14]中作者指出下列现象(所谓的r−w现象):如果不平等 适
用于r1、r2、r3(这个不平等也可以包括r1、r2、r3和其他几何元素),
然后改 变r1、r2、r3分别为w1、w2,w3，较强的不平等经常成立或对
于锐角三角形经常成立。提出 了基于猜想4.6这种现象。类似地,我们
提出以下四个猜想:
猜想4.7,设三角形ABC 是锐角三角形，P是三角形ABC的一个任意的
aR
1
bR
2
c R
3
4
s
3

1
+ w
2
+ w
3
内部点，有不等式（4.10)
w
猜想4.8,设三角形ABC是锐 角三角形，P是三角形ABC的一个任意的
aR
1
bR
2
cR< br>3
2s
内部点，有不等式（4.11）
w
1
+ w
2
+ w
3
r

推论4.9:设P和Q是三角形AB C的两个内部点，然后有不等式（4.12）
R
1
2
R
2
2
R
3
2
4(w
1
+ w
2
+ w
3
)
t
1
t
2
t
3

推论4.10:设P和Q是三角形ABC的两个内部点，然后有不等式（4.13）
R
1
2
R
2
2
R
3
2
3(w
1
+ w
2
+ w
3
r)
t
1
t
2
t
3
备注4：如果推测4.7和4.8都证明了,然后我们对于有效的锐角三角形
ABC可以证明猜想4 .9和4.10。