严爵图片-英文名言

长方体和正方体的表面积和体积
【知能大展台】
1.长方体和正方体的特征：
面 棱 顶面的形状 面积大小 棱 长
点
长6128都是长方相对的两个面的面积相对的4条棱
方个 条 个 形（也可能相等 长度相等
体 有两个相
对的面是
正方形）
正6128都是正方6个面的面积相等 12条棱长度相
方个 条 个 形 等
体
2.长方体和正方体的表面积
（1）定义：长方体和正方体六个面的总面积叫做它们的表面积。
（2）计算公式：
长方体的表面积S=2（AB+AH+BH）
正方体的表面积
（3）长方体和正方体的体积
(1)定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）长方体的体积V=ABH
(3)正方体的体积V=
长方体或正方体的体积还可以这样计算：V=S·H
【试金石】
例１ 一个正方体 的棱长５厘米，表面涂满了红漆，４它切成棱长为１厘
米的小正方体若干块，问：在这些小正方体中，三 面涂有红漆的有多少块？两
面涂红色有多少块？一面涂有红色的有多少块？没有涂上红色有多少块？
【分析】
先看这个正方体可以切多少块小正方体。如图：
一共可以切成＝125块小 正方体。为方便起见，
我们用不同的阴影表示不同涂色情况
网影表示三面涂有红色的小正方体。三面涂有的
小正方体位于顶点处，每个顶点上有一块。
点影表示两面涂有红色的小正方体。两面涂色的小正方体位于棱长，每条棱上
有（5-2）块。
斜影表示一面涂有红色的小正方体。一面涂色的小正方体位于面中，没个
面中间有（5-2）2 块。
没有涂上红色的小正方体位于大正方体内部，共有（5-2）3块。
【解答】
三面涂有红色的正方体有8块。
两面涂有红色的小正方体有：
(5-2)×12=36（块）
一面涂有红色的小正方体有：

没有涂上红色的小正方体有：

【智力加油站】

如果一个大的正方体表面涂有红漆，把它切成若干个小正方体，如果

每条棱被切成M段，则：三面涂色的一定有8块；两面涂色的有（M-2）

×12块；一面涂色的有：块；没有涂色的有：块

【针对性训练】

一个正方体的棱长4分米，表面涂满了红漆，４它切成棱长为１分米
的小正方体若干块，问：在 这些小正方体中，三面涂有红漆的有多少块？两面
涂红色有多少块？一面涂有红色的有多少块？没有涂上 红色有多少块？
【试金石】
例2 把一块长30厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边长为 5厘米的正
方形，在焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是1500立方厘米。
求原 来长方形铁皮的面积。
【分析】
根据题意可以画出下图：

焊接后的长方体铁盒的长为30-5×2=20厘米，高为5厘米，已知铁盒容
积是1500立方厘米可 以先求出铁盒的宽，再求原来长方形铁皮的面积。
【解答】
长方体铁盒的宽为：
1500÷（30-5×2）÷=15厘米
原来长方形铁皮的面积为：
30×（15+5×2）=750（平方厘米）
答：原来长方形铁皮的面积是750平方厘米。
【智力加油站】

长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2

【针对性训练】
把 一块长方形铁皮，长为20厘米，宽为16厘米。现在把它的四角分别减
去边长为2厘米的正方形，然后 焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容
积是多少立方厘米？

【试金石】

例3 一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方
向将它锯成3片，每片有锯 成5小块，共得到大大小小
的长方体60块（如右图），这60块长方体的表面积的和
是多少平 方米？
【分析】

原来的正方体有6个面，每个面的面积都是1×1= 1（平方米），无论后
来锯成多少块，这6个面的总面积总是被计入后来小木块的表面积。再考虑到每锯一刀就会增加两个面，每个面的面积都是1平方米，现在一共锯了2+3=4=9
（刀），一共 增加2×9=18平方米。
【解答】
每锯一刀，就会增加两个1平方米的表面，即：
1×1×2=2（平方米）
现在一共锯了：2+3+4=9（刀）
因此，这大大小小的60块长方体的表面积的的和为：
1×1×6+2×9=24
答：这60块长方体表面积的和为24平方米。
【智力加油站】

把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切成两

部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

【针对性训练】
一个正方 体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成4片，每片又锯
成5长条，每条有锯成6小块，共得到大 大小小的长方体120块，这120块长
方体的表面积的和是多少平方米？
【试金石】
例4 一个棱长为4厘米的正方形，如果分别在它的前、后、左、右、
上、下各面的中心位置挖 去一个棱长为1厘米的小正方形，做成一个积木，这
个积木的表面积和体积是多少？
【分析】
因为大正方形的棱长为4厘米，挖去的小正方形的棱长为1厘米，因此，
大正方形没有挖通。从 而每挖去一个小正方体，大正方体的表面积将比原来增
加“小洞”内的4个（1×1）的正方形面积。这 个积木的体积等于大正方体的
体积减去6个小正方体的体积。
【解答】
（1）积木的表面积为：
4×4×6+1×1×4×6=120（平方米）
（2）积木的体积为：4×4×4-（1×1×1）×6=58（立方厘米）
答：这个积木的表面积是120平方厘米，体积是50立方厘米。
【智力加油站】

解答此类稍复杂的立体图形问题必须以基本概
念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件
沟通起来。

【针对性训练】
一个棱长为10厘米的正方形，如果分别在它 的前、后、左、右、上、下
各面的中心位置挖去一个棱长为2厘米的小正方形，做成一个积木，这个积木
的表面积和体积是多少？

【试金石】
例5 有大、中、小三个正方形水 池，它们的内边长分别是4米、3米、2
米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个容器的水面 分别生高了4
厘米和11厘米。如果将这两堆铁块都沉没在大水池中，大水池的水面将升高
多少 厘米？
【分析】
水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积，沉入中、小水池
中的碎石的体积分别是：
3×3×0.04=0.36立方米，
2×2×0.11=0.44立方米
它们的和是：
0.36+0.44=0.8立方米
把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当 是0.8立方米，而大
水池的底面面积是4×4=16平方米。所以，大水池的水面升高：0.8÷16 =0.05
米=5厘米。
【解答】

【智力加油站】


测量不规则物体的体积可以把这个不规则的物体沉入一个

装水的容器中，那么上升的水的体积就是这个物体的体积。
【针对性训练】
有甲、 乙、丙三个正方形水容器，它们的内边长分别是8分米、6分米、4
分米，把两堆铁块分别沉没在甲、丙 水容器的水中，两个容器的水面分别升高
了1分米和2分米。如果将这两堆铁块都沉没在乙容器中，乙容 器的水面将升
高多少分米？
【试金石】
例6 一个长、宽和高分别为21厘米、1 5厘米和12厘米的长方体现
从它的上面可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下 一
个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体
积是多少立方厘 米？
【分析】

根据长方体的长、宽和高分别为21厘米、1 5厘米和12厘米的条件，可知
第一次切下尽可能大的正方体的棱长是12厘米，其体积是12×12× 12=1728
（立方厘米）。
这时剩余立方的底面形状如右图（1），其高是 12厘米。这样，第二次切
下尽可能大的正方体的棱长是9厘米，其体积是9×9×9=729（立方厘 米）
这时剩余立方分割成两种：底面形状应是右图（2），其
高是12厘米；底面形 状（3），其高是3厘米。这样，第三次
切下尽可能大的正方体的棱长是6厘米，其体积是6×6×6=216（立方厘米）。
【解答】
21×15×12-（123+93+63）
=3780-（1727+729+216）
=3780-2673
=1107（立方厘米）
答：剩下的体积是1107立方厘米。
【智力加油站】

在一个长方体中要切下一个最大的正方体，这个正方体的棱

长要和长方体长、宽、高中最短的边长度相等。
【针对性训练】
一个长、宽和高分 别为10厘米、20厘米和20厘米的长方体现从它的上
面可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分 再尽可能大地切下一个正方
体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多
少立方厘米？
【智能提速训练营】（黄皮书77）
1. 一个长方体棱长和是72厘米，长是宽的3倍，宽是高的2倍，它的表面
积是多少？体积是多少？
2. 一个正方体的表面涂满了红色，然后切成大小相同的27个小正方体。
⑴三个面有红色的 有几个？⑵二个面有红色的有几个？⑶一个面有
红色的有几个？⑷六个面都没有红色的有几个？
3. 一个长方体，它的表面积是94平方厘米，底面积是20平方厘米，底
面周长是18厘米 ，这个长方体的体积是多少立方厘米？
4. 一块长方形铁皮，长38厘米，宽31厘米。现在把它的 四角分别剪去边
长为3厘米的正方形，然后焊成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的容
积是多少 升？
5. 一个正方体的木块，表面积是96平方厘米，如果把它锯成体积相等的8
个小正方 体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？
6. 一个长方体水箱，长30厘米，宽4 2厘米，水箱里装满了水，并有一个
长21厘米，宽15厘米的小正方体完全浸没在水中，当把水中小长 方体
取出后，水面下降1厘米。小长方体高多少厘米？
7. 一个长方体如果长增加5厘米， 则体积增加150立方厘米；如果宽增加4

厘米，则体积增加160立方厘米；如果高增 加3厘米，则体积增加144
立方厘米。问：原长方体的表面积是多少平方厘米？
8. 9.在一个长48厘米，宽25厘米，高20厘米的长方体水箱中注入15厘米深
的水，把一个棱长 12厘米的正方体铁块沉入水中，水箱内的水面将上升到
几厘米？
10.
11.
.
12.如图，是一个长8分米，宽6分米，高5分米的长方体木块，现将它按图
所 分割，共割成24块小长方体，问这24块小长方体的表面积总和是多少？
（图）



13.. 一个长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的长方体现从它的上
面可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方
体，最后再从第二次剩余的 部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多
少立方厘米？
14．一个长方体的长、宽、 高都是整厘米，它的体积是1998立方厘米，那么
它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？

长方体和正方体的表面积和体积
【知能大展台】
1.长方体和正方体的特征：
面 棱 顶面的形状 面积大小 棱 长
点
长6128都是长方相对的两个面的面积相对的4条棱
方个 条 个 形（也可能相等 长度相等
体 有两个相
对的面是
正方形）
正6128都是正方6个面的面积相等 12条棱长度相
方个 条 个 形 等
体
2.长方体和正方体的表面积
（1）定义：长方体和正方体六个面的总面积叫做它们的表面积。
（2）计算公式：
长方体的表面积S=2（AB+AH+BH）
正方体的表面积
（3）长方体和正方体的体积
(1)定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）长方体的体积V=ABH
(3)正方体的体积V=
长方体或正方体的体积还可以这样计算：V=S·H
【试金石】
例１ 一个正方体 的棱长５厘米，表面涂满了红漆，４它切成棱长为１厘
米的小正方体若干块，问：在这些小正方体中，三 面涂有红漆的有多少块？两
面涂红色有多少块？一面涂有红色的有多少块？没有涂上红色有多少块？
【分析】
先看这个正方体可以切多少块小正方体。如图：
一共可以切成＝125块小 正方体。为方便起见，
我们用不同的阴影表示不同涂色情况
网影表示三面涂有红色的小正方体。三面涂有的
小正方体位于顶点处，每个顶点上有一块。
点影表示两面涂有红色的小正方体。两面涂色的小正方体位于棱长，每条棱上
有（5-2）块。
斜影表示一面涂有红色的小正方体。一面涂色的小正方体位于面中，没个
面中间有（5-2）2 块。
没有涂上红色的小正方体位于大正方体内部，共有（5-2）3块。
【解答】
三面涂有红色的正方体有8块。
两面涂有红色的小正方体有：
(5-2)×12=36（块）
一面涂有红色的小正方体有：

没有涂上红色的小正方体有：

【智力加油站】

如果一个大的正方体表面涂有红漆，把它切成若干个小正方体，如果

每条棱被切成M段，则：三面涂色的一定有8块；两面涂色的有（M-2）

×12块；一面涂色的有：块；没有涂色的有：块

【针对性训练】

一个正方体的棱长4分米，表面涂满了红漆，４它切成棱长为１分米
的小正方体若干块，问：在 这些小正方体中，三面涂有红漆的有多少块？两面
涂红色有多少块？一面涂有红色的有多少块？没有涂上 红色有多少块？
【试金石】
例2 把一块长30厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边长为 5厘米的正
方形，在焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是1500立方厘米。
求原 来长方形铁皮的面积。
【分析】
根据题意可以画出下图：

焊接后的长方体铁盒的长为30-5×2=20厘米，高为5厘米，已知铁盒容
积是1500立方厘米可 以先求出铁盒的宽，再求原来长方形铁皮的面积。
【解答】
长方体铁盒的宽为：
1500÷（30-5×2）÷=15厘米
原来长方形铁皮的面积为：
30×（15+5×2）=750（平方厘米）
答：原来长方形铁皮的面积是750平方厘米。
【智力加油站】

长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2

【针对性训练】
把 一块长方形铁皮，长为20厘米，宽为16厘米。现在把它的四角分别减
去边长为2厘米的正方形，然后 焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容
积是多少立方厘米？

【试金石】

例3 一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方
向将它锯成3片，每片有锯 成5小块，共得到大大小小
的长方体60块（如右图），这60块长方体的表面积的和
是多少平 方米？
【分析】

原来的正方体有6个面，每个面的面积都是1×1= 1（平方米），无论后
来锯成多少块，这6个面的总面积总是被计入后来小木块的表面积。再考虑到每锯一刀就会增加两个面，每个面的面积都是1平方米，现在一共锯了2+3=4=9
（刀），一共 增加2×9=18平方米。
【解答】
每锯一刀，就会增加两个1平方米的表面，即：
1×1×2=2（平方米）
现在一共锯了：2+3+4=9（刀）
因此，这大大小小的60块长方体的表面积的的和为：
1×1×6+2×9=24
答：这60块长方体表面积的和为24平方米。
【智力加油站】

把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切成两

部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

【针对性训练】
一个正方 体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成4片，每片又锯
成5长条，每条有锯成6小块，共得到大 大小小的长方体120块，这120块长
方体的表面积的和是多少平方米？
【试金石】
例4 一个棱长为4厘米的正方形，如果分别在它的前、后、左、右、
上、下各面的中心位置挖 去一个棱长为1厘米的小正方形，做成一个积木，这
个积木的表面积和体积是多少？
【分析】
因为大正方形的棱长为4厘米，挖去的小正方形的棱长为1厘米，因此，
大正方形没有挖通。从 而每挖去一个小正方体，大正方体的表面积将比原来增
加“小洞”内的4个（1×1）的正方形面积。这 个积木的体积等于大正方体的
体积减去6个小正方体的体积。
【解答】
（1）积木的表面积为：
4×4×6+1×1×4×6=120（平方米）
（2）积木的体积为：4×4×4-（1×1×1）×6=58（立方厘米）
答：这个积木的表面积是120平方厘米，体积是50立方厘米。
【智力加油站】

解答此类稍复杂的立体图形问题必须以基本概
念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件
沟通起来。

【针对性训练】
一个棱长为10厘米的正方形，如果分别在它 的前、后、左、右、上、下
各面的中心位置挖去一个棱长为2厘米的小正方形，做成一个积木，这个积木
的表面积和体积是多少？

【试金石】
例5 有大、中、小三个正方形水 池，它们的内边长分别是4米、3米、2
米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个容器的水面 分别生高了4
厘米和11厘米。如果将这两堆铁块都沉没在大水池中，大水池的水面将升高
多少 厘米？
【分析】
水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积，沉入中、小水池
中的碎石的体积分别是：
3×3×0.04=0.36立方米，
2×2×0.11=0.44立方米
它们的和是：
0.36+0.44=0.8立方米
把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当 是0.8立方米，而大
水池的底面面积是4×4=16平方米。所以，大水池的水面升高：0.8÷16 =0.05
米=5厘米。
【解答】

【智力加油站】


测量不规则物体的体积可以把这个不规则的物体沉入一个

装水的容器中，那么上升的水的体积就是这个物体的体积。
【针对性训练】
有甲、 乙、丙三个正方形水容器，它们的内边长分别是8分米、6分米、4
分米，把两堆铁块分别沉没在甲、丙 水容器的水中，两个容器的水面分别升高
了1分米和2分米。如果将这两堆铁块都沉没在乙容器中，乙容 器的水面将升
高多少分米？
【试金石】
例6 一个长、宽和高分别为21厘米、1 5厘米和12厘米的长方体现
从它的上面可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下 一
个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体
积是多少立方厘 米？
【分析】

根据长方体的长、宽和高分别为21厘米、1 5厘米和12厘米的条件，可知
第一次切下尽可能大的正方体的棱长是12厘米，其体积是12×12× 12=1728
（立方厘米）。
这时剩余立方的底面形状如右图（1），其高是 12厘米。这样，第二次切
下尽可能大的正方体的棱长是9厘米，其体积是9×9×9=729（立方厘 米）
这时剩余立方分割成两种：底面形状应是右图（2），其
高是12厘米；底面形 状（3），其高是3厘米。这样，第三次
切下尽可能大的正方体的棱长是6厘米，其体积是6×6×6=216（立方厘米）。
【解答】
21×15×12-（123+93+63）
=3780-（1727+729+216）
=3780-2673
=1107（立方厘米）
答：剩下的体积是1107立方厘米。
【智力加油站】

在一个长方体中要切下一个最大的正方体，这个正方体的棱

长要和长方体长、宽、高中最短的边长度相等。
【针对性训练】
一个长、宽和高分 别为10厘米、20厘米和20厘米的长方体现从它的上
面可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分 再尽可能大地切下一个正方
体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多
少立方厘米？
【智能提速训练营】（黄皮书77）
1. 一个长方体棱长和是72厘米，长是宽的3倍，宽是高的2倍，它的表面
积是多少？体积是多少？
2. 一个正方体的表面涂满了红色，然后切成大小相同的27个小正方体。
⑴三个面有红色的 有几个？⑵二个面有红色的有几个？⑶一个面有
红色的有几个？⑷六个面都没有红色的有几个？
3. 一个长方体，它的表面积是94平方厘米，底面积是20平方厘米，底
面周长是18厘米 ，这个长方体的体积是多少立方厘米？
4. 一块长方形铁皮，长38厘米，宽31厘米。现在把它的 四角分别剪去边
长为3厘米的正方形，然后焊成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的容
积是多少 升？
5. 一个正方体的木块，表面积是96平方厘米，如果把它锯成体积相等的8
个小正方 体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？
6. 一个长方体水箱，长30厘米，宽4 2厘米，水箱里装满了水，并有一个
长21厘米，宽15厘米的小正方体完全浸没在水中，当把水中小长 方体
取出后，水面下降1厘米。小长方体高多少厘米？
7. 一个长方体如果长增加5厘米， 则体积增加150立方厘米；如果宽增加4

厘米，则体积增加160立方厘米；如果高增 加3厘米，则体积增加144
立方厘米。问：原长方体的表面积是多少平方厘米？
8. 9.在一个长48厘米，宽25厘米，高20厘米的长方体水箱中注入15厘米深
的水，把一个棱长 12厘米的正方体铁块沉入水中，水箱内的水面将上升到
几厘米？
10.
11.
.
12.如图，是一个长8分米，宽6分米，高5分米的长方体木块，现将它按图
所 分割，共割成24块小长方体，问这24块小长方体的表面积总和是多少？
（图）



13.. 一个长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的长方体现从它的上
面可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方
体，最后再从第二次剩余的 部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多
少立方厘米？
14．一个长方体的长、宽、 高都是整厘米，它的体积是1998立方厘米，那么
它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？