德国大使馆签证-广西警官高等专科学校

定义新运算
一、知识要点
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定 义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值
代入，转化 为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊 的运算符号，如：*、△、⊙等，
这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练
【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路 导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一
种新运 算。在定义新运算中同样规定了要
先算小括号里的。因此，在13*（5*4）
中，就要先算小 括号里的（5*4）。
练习1：
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26
1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×12，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)
÷2。求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新
的运算符号。

练习2：
1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝MN+NM，求10*20－14。
【例题3】如果1 *5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+ 333，4*2=4+44，那么
7*4=________；210*2=________。
【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此

练习3：
1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，
3△(4△6)
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420
2*4=2+22+222+2222， 3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
2．规定， 那么8*5=________。

3．如果2*1=12，3*2=133 ，4*3=1444，那么（6*3）÷（2*6）=________。
【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1⑥－1⑦ =1⑦
×A，那么，A是几？
【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a－1）
×a×（a＋1），据此，可以求出1⑥－1⑦ =1（5×6
×7）－1（6×7 ×8），这里的分母都比较大，不易直接
求出结果。根据1⑥－1⑦ =1⑦×A，可得出A = (1
⑥－1⑦)÷1⑦ = （1⑥－1⑦）×⑦ = ⑦⑥ －1。
即
练习4：
A =（1⑥－1⑦）÷1⑦
=（1⑥－1⑦）×⑦
= ⑦⑥－1
=（6×7×8）（5×6×7）－1
= 1又35－1
= 35
1． 规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1⑧－1⑨＝1⑨×A，
那么A=________。
2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6 ，⑥＝5×6×7，……如果1⑩+1⑾＝1⑾×□，
那么□＝________。
3．如果 1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝_ _______。
【例题5】设a⊙b=4a－2b+12ab,求z⊙（4⊙1）＝
34中的未知数x。 【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2×
1+12×4×1＝16，再根据x⊙16＝ 4x－2×16+12×x×
16 = 12x－32，然后解方程12x－32 = 34，求出x的值。
列算式为
练习5：
1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。
2．对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b=
3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝
那么3*12＝________。










，求6△4+9△8。
（其中m是一个确定的整 数）。如果1*2＝1，
4⊙1＝4×4-2×1+12×4×1＝16
x⊙16＝4x－2×16+12×x×16
＝12x－32
12x－32 = 34
12x= 66
x＝5.5

简便运算
一、知识要点
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面 再向同学们介绍怎样
用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
1
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如
a×(a+1)
111111a+b
的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ － ），形如 的分数可以拆
aa+1a×（a+n）naa+na×b
11
成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
ab
二、精讲精练
【例题1】
1111
计算： + + +…..+
1×22×33×499×100
1111111
原式＝（1－ ）+（ － ）+（ － ）+…..+ （ － ）
2233499100
1111111
＝1－ + － + － +…..+ －
2233499100
1
＝1－
100
＝
99

100
练习1
计算下面各题：
1111
1. + + +…..+
4×55×66×739×40
11111
2. + + + +
10×1111×1212×1313×1414×15
111111
3. + + + + +
2612203042
1111
4. 1－ + + +
6425672
【例题2】
1111
计算： + + +…..+
2×44×66×848×50
22221
原式＝（ + + +…..+ ）×
2×44×66×848×502
111111111
＝【（ － ）+（ － ）+（ － ）…..+ （ － ）】×
24466848502
111
＝【 － 】×
2502

＝
6

25
练习2
计算下面各题：
1.
1111111
+ + +…..+ 2. + + +…..+
3×55×77×997×991×44×77×10
1

97×100
3.
111111111
+ + +…..+ 4. + + + +
1×55×99×1333×3742870130208
【例题3】
179111315
计算：1 － + － + －
31220304256

原式＝1 －（ + ）+（ + ）－（ + ）+（ + ）－（ + ）
33445566778

＝1 － － + + － － + + － －
33445566778
1
＝1－
8
7
＝
8
练习3
计算下面各题：
157911
1.1 + － + －
26122030
19111315
2.1 － + － +
420304256
3.
819981998
+ + + +
1×22×33×44×55×6
7911
4.6× － ×6+ ×6
122030
【例题4】
111111
计算： + + + + +
248163264
11111111
原式＝（ + + + + + + ）－
2481632646464
1
＝1－
64

＝
63

64
练习4
计算下面各题：
1111
1. + + +………+
248256
22222
2. + + + +
392781243
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
【例题5】
111
计算：（1+ + + ）×（ + + + ）－（1+ + + + ）×（ + + ）
23423452345234
111111
设1+ + + ＝a + + ＝b
234234
11
原式＝a×（b+ ）－（a+ ）×b
55
11
＝ab+ a－ab－ b
55
1
＝ （a－b）
5
1
＝
5
练习5
11111
1.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
2345345623456345
11
2.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×
891101112
111
（ + + ）
91011
1111111
3.（1+ + + ）×（ + + + ）－
19992
1111111
（1+ + + + ）×（ + + ）
02001

设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常 规解法似乎无解，但仔细分析就会
发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代 入法”，即对题目中“缺少”的条
件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然 后求出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。
解： 由第一个 等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括
号内应填4。
说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。
练习1：
1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。
2．五个人比较 身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲与
戊谁高，高几厘米 ？
3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨到乙仓库，从乙仓库运45吨到丙仓库 ，
从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多的比最少的多多少吨？
【例题2】足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加15，问一张门票降价多少元？ 【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一个
观众数。为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+15）
＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票降价15－9＝6元。即：
15－15×（1+15）÷2＝6（元）
答：每张票降价6元。
说明：如果设原来有a名观众，则每张票降价：15－15a×（1+15）÷2a＝6（元）
练习2：
1．某班一次考试，平均分为70分，其中34及格，及格的同学平均分为80分， 那么不及格的同学
平均分是多少分？
2．游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来 了一批学生后，学生总数增加了20％，小学生
占学生总数的40％，小学生增加百分之几？
3．五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生是全部男生的25，
全部女生人数占全年级人数的几分之几？
【例题3】小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山，每 分钟跑200米，再从原路下山，每分钟
跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山 ，每分钟跑200米，求小王的平均速度。
【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200，设一个单程是1200米。则
（1）四个单程的和：1200×4＝4800（米）
（2）四个单程的时间分别是；
1200÷200＝6（分） 1200÷240＝5（分） 1200÷150＝8（分） 1200÷200＝6（分）

（3）小王的平均速度为： 4800÷（6+5+8+6）＝192（米）
答：小王的平均速度是每分钟192米。
练习3：
1．小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原 路下山的平均速
度。
2．张师傅骑自行车往返A、B两地。去时每小时行15千米，返回时因 逆风，每小时只行10千米，张
师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？
3．小王骑摩托 车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行42千米，那么他
返回时的平均速 度是每小时行多少千米？
【例题4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1 5，女孩平均身高比男孩
高10％，这个班男孩平均身高是多少？
【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人。
（1） 总身高：115×【5+5×（1+15）】＝1265（厘米）
（2） 由于女孩平均 身高是男孩的（1+10％），所以5个女孩的身高相当于5×（1+10％）
＝5.5个男孩的身高， 因此男孩的平均身高为：
1265÷【（1+10％）×5+6】＝110（厘米）
答：这个班男孩平均身高是110厘米。
练习4：
1．某班男生人数是女生的23 ，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为132厘米。问：女生平均
身高是多少厘米？
2．某班男生人数是女生的45，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是130厘米，求男、
女生的平均身高各是多少？
3．一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？
【例 题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问狗再 跑多远，马可以追到它？
【思路导航】马跑一步的距离不知道，跑3步的时间也不知道，可取具体数值，并不影响解题结果。 < br>设马跑一步为7，则狗跑一步为4，再设马跑3步的时间为1，则狗跑5步的时间为1，推知狗的速度为20，马的速度为21。那么，
20×【30÷（21－20）】＝600（米）
练习5：
1．猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但 兔跑9步的距离仅
等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？
2．猎人带猎狗去捕猎， 发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，
猎狗跑4步的距离与兔子跑 7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追到它？
3．狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离 等于兔跑5步的距离，而狗跑2步的时间等于兔跑3
步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多 少步才能到达B地？

假设法解题
一、知识要点
假设法解体 的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推算。有些题目用假
设法思考，能找 到巧妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设 某个量的分率与另
一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据它与实际条件 的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14与乙数的15的和是42，求两数各是多少？
【思 路导航】假设将题中“甲数的14”、“乙数的15”与“和为42”同时扩大4倍，则变成了“甲
数与 乙数的45的和为168”，再用185减去168就是乙数的15。
解： 乙：（185－42×4）÷（1－15×4）＝85答：甲数是100，乙数是85。
练习1： < br>1．甲、乙两人共有钱150元，甲的12与乙的110的钱数和是35元，求甲、乙两人各有多少元钱？
2．甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的17，乙队人数的13，共抽调78人，甲、乙两
个消防队原来各有多少人？
3．海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥，已知四月份完成总数 的13多50吨，五月份完成总数的
25少70吨，还有420吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出19，则比黑白电视机 多5台。问：两种电
视机原来各有多少台？
【思路导航】从图中可以看出：假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出19后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1－19）＝ 89。
（250+5）÷（1+1－19）＝135（台） 250－125＝115（台）
答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台。
练习2：
1．姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉17，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？
2．学校有篮球和足球共21个，篮球借出13后，比足球少1个，原来篮球和足球各有多少个？ 3．小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉120，还比鸭多17只，小明家原来养的鸡和鸭各有< br>多少只？
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的38与徒弟 加工零件个数的
47的和为49个，师、徒各加工零件多少个？
【思路导航】假设师、徒两人 都完成了47，一个能完成（105×47）＝60个，和实际相差（60－49）
＝11个，这11个 就是师傅完成将零件的38与完成加工零件的47相差的个数。这样就可以求出师傅加
工了【11÷（4 7－38）】＝56个。即：师傅：（105×47－49）÷（47－38）＝56（个）
徒弟：105－56＝49（个） 答：师傅加工了56个，徒弟加工了49个。

练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机 的25和黑白电视机的37，共卖出
57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？
2．甲、乙两个消防队共有336人，抽调甲队人数的57、乙队人数的37，共抽调188人参加灭火。
问：甲、乙两个消防队原来各有多少人？
3．学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的1 4和足球个数的13后，还剩下46个，买
来排球和足球各是多少个？
【例题4】甲、乙两数的和是300，甲数的25比乙数的14多55，甲、乙两数各是多少？
【思路导航】甲数的25与乙数的25的和就是甲、乙两数的25，是300×25＝120，因为甲数的25比乙数的14多55，所以从120中减去55所得的差就可以看成是乙数的14与乙数的25的和。
乙：（300×25－55）÷（25+14）＝100
甲：300－100＝200
答：甲数是200，乙数是100。
练习4：
1．畜牧场有绵羊、山羊共800只 ，山羊的25比绵羊的12多50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多
少只？
2．师傅和徒弟共 加工零件840个，师傅加工零件的个数的58比徒弟加工零件个数的23多60个，
师傅和徒弟各加工 零件多少个？
3．某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的110比甲班种的13少16棵 ，两个班各种多
少棵？
【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加16 ，女学生减少15，共有710人，
本学期男、女学生各有多少人？
【思路导航】假设本学期 女学生不是减少15，而是增加16，半学期应该有750×（1+16）＝875
人，比实际多875 －710＝165人，这165人是假设女学生也增加16多出的人数，而实际女学生减少15，
所以， 这165人对应着女学生的（15+16）＝1130。
上学期女生：【750×（1+16）－710】÷（15+16）＝450（人）
本学期女生：450×（1－15）＝360（人）本学期男生：710－360＝350（人）
答：本学期男学生有350人，女学生有360人。
练习5：
1．金放在水里称， 重量减轻119，银放在水里称，重量减少110，一块重770克的金银合金，放在
水里称是720克 ，这块合金含金、银各多少克？
2．某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中 招的新生比去年增加48％，高中招
的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？ < br>3．袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加38，黄球减少25后，红球与黄球的总数变为121 个。
原来袋子里有红球和黄球各多少个？

第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法 列式算式，这时我们
可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】 某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲
种零件只有4 5合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？
【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
（x+12）×45+x＝42
x＝18 18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
练习1：
1．某校参加数学 竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的34得优，男、女生得优的一共
有42人，男、女生 参赛的各有多少人？
2．有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的25 是红球，已知红球一
共有69个，两盒球共有多少个？
3．六年级甲班比乙班少4人，甲班有 13的人、乙班有14的人参加课外数学组，两个班参加课外
数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少 人？
【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少14，女生减少16，剩下 的男、
女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）人
（1－16）x＝（x+10）×（1－14）
x＝90 90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2：
1．某小学去年参加无线电 小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线电小组的同学减
少15，参加航模小组的人数减 少110，这样，两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？
2．原来甲、乙两个书架上共有图 书900本，将甲书架上的书增加58，乙书架上的书增加310，这
样，两个书架上的书就一样多。原 来甲、乙两个书架各有图书多少本？
3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产 的甲种零件比昨天少110，生产的乙
种零件比昨天增加320，两种零件共生产了2065个。昨天两 种零件共生产了多少个？
【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的15比乙校参加 人数的14少1人，甲、
乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×15＝乙×14－1

解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
15x＝（22－x）×14－1
x＝10 22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。
练习3：
1．学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和
连 环画各是多少本？
2．某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？
3．王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两人各加工了多少< br>个？
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的56，两个书架上各借出154本后，甲书架上的书 是乙书架上
的47，甲、乙两书架上原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的47。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有56x本。
（x－154）×47＝56x－154
x ＝252 252×56 ＝210（本）
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。
练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的16，4年后儿子的年龄是父亲的14，父亲今年多少岁？
2． 某校六年级男生是女生人数的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的
34。原 来男、女生各有多少人？
3．第一车间人数的35等于第二车间人数的910，第一车间比第二车间多 50人。两个车间各有多少
人？
【例题5】一个班女同学比男同学的23多4人，如果男生减 少3人，女生增加4人，男、女生人数
正好相等。这个班男、女生各有多少人？
【思路导航】 抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这个等量关系列方
程。
解：设男生有x人，则女生有（23x+4）人。
x－3＝23x+4+4
x＝33 23×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
练习5：
1．某学校的男教师比女教师 的38多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人
数正好相等。这个学校男、女教师 各有多少人？
2．某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一仓库 取出30台，
存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的49。两个仓库原来各有电视机多少台？ 3．某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的45少30人。如果从第二车间调10人到第一车间，
则第一车间的人数就是第二车间的34。求原来每个车间的人数。

面积计算（一）
一、知识要点
计算平面图形的面积时，有些 问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到
无从下手。这时，如果我们能认真 观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本
几何知识，适当添加辅助线，搭一 座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些
平面图形的面积计算必须借助于图 形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对
图形进行恰当合理的变形，再经过 分析推导，方能寻求出解题的途径。
二、精讲精练
【例题1】已知如图，三角形ABC的面 积为8平方厘米，AE＝ED，BD=23BC，求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三 角形，但三角形AEF的面积无法直接
计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF （等底等高），采用移补
的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD= 23BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF
＝S△BDF＝2S△ DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。



2．如图所示，AE=ED，DC＝13BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴 影部分
的面积。



3．如图所示，DE＝12AE，BD＝2 DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形
ABC的面积。



【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知
两个三角形的面积，求另两个 三角形的面积各是多少？
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝ 2DO；
从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△
AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。

因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
练习2：
1． 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角
形 的面积是多少？




2．已知AO＝13OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。



3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABC D的面积。（如图
所示）。




【例题3】四边形A BCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形
AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD 的面积（如图所示）。
【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是< br>等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的
面积也相等。由此 可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，
三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍 ，从而得出四边形ABCD的面
积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面 积为15平方厘米。求四边
形ABCD的面积（如图）。

2．已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积 为15平方厘米。求四边形ABCD
的面积（如图所示）。




3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。




【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的 面积是多少平方
厘米？
【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角 形等
底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类
推可得每个三角形的面积。所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。




2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。




3．已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。

【例题5】如图所示，长方形ADEF的面 积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求
三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，
使问题可有如下解法。
由图上 看出：三角形ADE的面积等于长方形面积
的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的< br>面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底 等高，
C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC 的面积为5÷2＝
2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
练习5：
1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平 方厘米，三角形ABE的
面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。




2．如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AF D＝6平方厘米，求三
角形AEF的面积。




3． 如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角
形AEF的面积。

面积计算（二）
一、知识要点
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个 基本单位组成的，还
要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。




【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。
62×3.14×＝28.26（平方厘米）
答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1：
1．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



3．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。



【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
1
2
3.14×
4
－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）
4
答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2：
1．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
1
4
1
4

2．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



3．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。



【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形AB O1O
的面积。



【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两 个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面
积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半 （如图19－10右图所示）。所以3.14×12×14×2＝1.57
（平方厘米）
答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
练习3：
1．如图所示 ，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影
部分（2 ）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。



2．如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的中点，求阴影部分的面积。