贵州商专-咖啡店创业计划书

第1讲 找规律
一、知识要点
按照一定次序排列起来的一列数，叫做 数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：
2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了 发现数列中数排列的规律，并依据这个规
律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数， 只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其
余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数 的和、差考虑，有时还要从积、商考
虑。善于发现数列的规律是填数的关键。
二、精讲精练
【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）1，2，5，14，（ ），（ ）
【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）
练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（
（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（
1 20



）
）

【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
（1）



(2)



（3）


（1）



(2)


（3）



8


5 10
9 14

7 12 9
13

14
11 16
8
4
16
2
9
12
3
4
27
36

8
7
14
9
443
36 12

练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
3
5
7
9

8 12 12 16
14

10 14
7
28
8
16
4
8
16
32
9
6
27
8
4
5 15 12
7 21 18
9 27

32 16 64

【例题5】按规律填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）
（2）


23 31

41 23

35

24
2541 4643
练习5：根据规律，在空格内填数。
（1）198，297，396，（ ），（ ）
（2）


（3）



37 25

2 20
32 54

23 45
21 45 32


34


57
3864 2665
25
3895 2775

第2讲 有余除法

一、知识要点
把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最 后会
出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的
人 数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算
中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除
数与除数、 商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
二、精讲精练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】除数是____，根据________ ____，余数可填_____________.根据
____________，又已知商、除数、 余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被
除数为______________。列式 如下：________________________________________
答：被除数最大是53，最小是______。
练习1：
(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数 小就行。
余数最小为______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
练习2：
(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋ 余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，
所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能 是1和24，____和____，____和____，
____和____，又因为余数为4，因此 除数可以是24,12,8,6,商分别为____，____，____，
3 20

____。 _____________________________ ____________________________________
答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
练习3：
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
__________ __________________________________________________ ______________
(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
_________________________ _________________________________________________
【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些
数？
【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余 数相等，因为余数必须比除数小，所
以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来 了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习4：
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

(3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。

【例题5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？
【思路导航】题目中告诉我们余数是4, 除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以
除数必须比4大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填 _______，商也是______。由
算式____________________，所以被除 数最小是__________。
练习5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？
(1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9
(5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7
4 20

总共40讲，这里传了九讲。举一反三教材 ，从三年级到六年级奥数
教材，还有其他的一些奥数教案教材，奥数夺冠，奥数教程，华杯
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第3讲 配对求和
一、知识要点
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时 ，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算
出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用 什么办法算得这么快呢？原来，他用了一
种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第 一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列
从第二项起，每一项与前一项的差是一个 不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变
的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ）


练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100


(3) 21+22+23+24+……+100


【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324

5 20

练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188


【例题3】有一堆木材叠堆 在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……
下面每层比上层多一根，这堆木材共有 多少根？
练习3：
(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第 2排有11个座位，……
这个体育馆东区共有多少个座位？


(2)有一 串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数
连加的和是多少？


(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指 向6敲
1下，这个钟一昼夜敲多少下？


【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。


练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009


(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19


【例题5】计算 1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18- 82-19-81


练习5：计算。
6 20

(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1


(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-8 7-17-88-18-89-19


(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
7 20

第4讲 加减巧算

一、知识要点
在进行加减 运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些
巧算的方法。加减法的巧算主要 是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看
做所接近的数进行简算。
进行加减巧 算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多
加要减去，少加要再加，多减 要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加
法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整， 从而达到简算的目的。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法迅速算出结果吗？
(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9


练习1：计算。
(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9


(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617


【例题2】计算。
(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264


(3) 877+345-677 (4) 528-248-152


练习2：计算。
(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365


(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)


8 20

【例题3】计算下面各题。
(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)


练习3：计算。
(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)


(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)


【例题4】2000-111-89-1 12-88-113-87-114-86-115-85-116-84



练习4：计算。
(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90



【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1



练习5：计算。
(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006



(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99
9 20

第5讲 图形个数

一、知识要点 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、
长方形……那就 必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要 从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图
形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新 的图形，并求出它们的和。
二、精讲精练
【例题1】数出下图中有多少条线段？

ABCD
【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的< br>线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的
线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的
线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段
构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
练习1：
（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？



ABCDE
A
B
C
D
【例题2】数出图中有几个角？
O
【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：
∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做 基本角来数，那么，由1个基本角构成的
角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3
个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
练习2：数出图中有几个角？
A
（1） （2）
B
A
B
C
D
E


O
C
P
O
【例题3】数出右图中共有多少个三角形？
< br>A
BC
D
【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的 三角形有：△PAB、
10 20

△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形
还有：△PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、
△PBC、△ PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、
△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个基
本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）三 角形。方法
三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，
即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
练习3：数出图中共有多少个三角形？
（1） （2）




BCD
EF
A
A
A
G
H
I
G
BCD
E
B
K
F< br>【例题4】数出下图中有多少个长方形？
【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法 一样，长方形是由长、宽两对
线段围成，线段 CD上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC 中一条线段对应，分别作
为长方形的长和宽，这里共有6×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1= 3（条）线段也就
有6×3=18（个）长方形。它的计算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。
练习4：
（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？



C
D
A
B
C
D
【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？
【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端
点代表一个同学。
1
23
45
从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次； 第2个同学还要与
其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个 同
学还要与最后1个同学握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）
练习5：
（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？
（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？
11 20

第6讲 植树问题

一、知识要点
爸爸给晶晶 出了一道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一
棵，已经植了9棵，问第一棵 和第九棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27米。”
同学们，晶晶答对了吗？
这一 类应用题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔
长和棵数三者之间的关 系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植
树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封 闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答 。比如锯木头、爬楼梯问
题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离” 、“间隔长”、
“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【例题1】小朋友们在路的一边 植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9
棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？
【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：

0
1棵< br>3米
2棵
6米
3棵
9米
4棵
12米15米18米21米24米
5棵6棵7棵
8棵9棵
根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第 一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），
每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8= 24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。
练习1：
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有
多长？
（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条
走廊长多 少米？
【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻
两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了 14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽
了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之 间的间隔是7-1=6（个）。42米长的大
路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7米。
练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共 放了12把椅子，相
邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？


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【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯 开一段需要4分钟，这
根钢管被锯成了多少段？
【思路导航】我们先求出钢管被锯开了28÷ 4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。
列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。
练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，
这根圆木长多少米？

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，
甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？
【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼 梯段数进行计算，
因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑 到4楼
时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照
这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，
在同一时间 里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，
即他跑到了第10+1= 11（楼）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛 ，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样
计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？

【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中
间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？
【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于 分成的段数，所以插了红旗300÷6=50
（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数 就等于红旗的面数，也是50面。
300÷6=50（面） 答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
练习5：
（1）有一个正方形水池，周长是2 00米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，
再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水 池周围一共装了几盏红灯？几盏黄
灯？

（2）一条公路长480米，在两旁植树， 两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树
中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵 ？
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第7讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你 变得更聪明，头脑更
灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这 类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻
找解题的突破口，然后再利 用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得 到28=△
＋△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7 ＋7＋
7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
【例题2】下式中，□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×
△ =36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
练习2：
1．○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
2．想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ）
3．□和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
【例题3】下式中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=
（ 16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。
14 20

练习3：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下式中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○， 用48减去34得
到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6 ，□=（34－6×3）
÷2=8。
练习4：
1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？
☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4 个△，
那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆
＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，
☆= 20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。
练习5：
1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）
15 20

第8讲 算式谜
一、知识要点
一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。
解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。
解算式谜的思考方法 是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数
先填上；不能确定的，要分几种情况，逐 一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字
的关系，抓准解题的突破口。
二、精讲精练
【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

答案：
【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的
百位上是 7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右上）
练习1：在□里填上适当的数，使算式成立。


【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？




0
6
5
6
解题思路：
5
0
30
30
0
6
1
5
0
6
30
300
6
1
9
6
3
3
5
0
00
0
【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除< br>数相乘的积想起，
5630
，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为 一位数，
这个数只能是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为
369
。
练习2：在□里填上适当的数，使算式成立。
（
87
（2）

1）
45




7
7
00< br>【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
1


0
1
78
答案：
7
1
1
2
4< br>4
4
0
1
79
7
2
2
3
1
1
1
0
1
79
7
2
2
4
8
8
8
0
【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数 是多少。容易知
道，被除数的十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能
16 20

是2；如果十位数字是9，那么商的个位是3或4。所以，这道 题有三种填法（见上页）。
练习3： □里可以填哪些数字？





4
0
0
（1）
8
8
1
（2）
4
2
【例题4】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
8
4
答案：
27
【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被除数个
位上 应填7；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时
3412 , 84=32，因
而除数可能是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3，而商的百位上为0，商的千位是8或3，所以一共有两种填法（见上）。
练习4：在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
（1）
2（2）
6








0
2
4
5
【例题5】在下面□中填入适当的数，使算式成立。 8
6
3040
2432
7
24
32
32
7
8
8040
6432
7
64
32
32
7
5
9
答案：
2
1
2
48
0
402
241
6< br>24
1
6
1
2
4
4
8
8
8
8
0
【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出 除数
为6。再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万
位 是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，
个位是8。（填 法见上）
练习5：在下面□中填入适当的数，使算式成立。

（1）




1
2
1
63
0
17 20
9
（2）
15
2
5
35
4

< br>第9讲 乘法速算
一、知识要点
我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算 多位数乘法要一位一位地乘，运算起来
比较麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方 法来计算。
计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再扩整”。两位数、三位数及更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但
要注意相 邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以11，
我们有“两位数与1 1相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。”
二、精讲精练
【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？
（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11
【 思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数
的首位和末位拉开分 别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，
和写在十位、百位……，哪一位上满 十就向前一位进一。
（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717
练习1：很快算出下面各题的结果。
（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44
（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11
（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11
【例题2】下面的乘法计算有规律吗？
（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25
【思路导 航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，
有几个4就有几个 100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675
（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950
练习2：速算。
（1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46
（5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25
【例题3】很快算出下面各题的结果。
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
【思路导航】因 为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+5），也就是用24加上
它的一半再乘以 10，24+12=36，再用36×10=360。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10
18 20

=36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170
练习3：很快算出下面各题的结果。
（1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15
【例题4】很快算出下面各题的结果。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
【思路导航】（1）我们可以先用4 5×10=450，这样就多加了一个45，因此我们还要
从450中减去1个45，即450-45= 405。
（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从32 00中
减去1个32，即3200-32=3168。
（3）我们可以先用78×1000= 78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000
中减去1个78，即78000-78 =77922。
从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数
与99相乘，就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以
1 000，再减去这个数。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
=45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78
=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922
练习4：计算。
（1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9
（4）45×99 （5）85×99 （6）728×99
（7）24×999 （8）3×999 （9）56×999
【例题5】下面的乘法计算有规律吗？
（1）15×15 （2）25×25 （3）35×35
（4）45×45 （5）65×65 （6）95×95
【思路导航】通过计算我们发现，个位 是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位
都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1 的积，例如：
15=225

(1) 15 ×(2) 25 × 25=625
2×(2+1)
(3) 35 × 35=1225
3×(3+1)


1×(1+1)
45=2025

(4) 45 ×
4×(4+1)
(5) 65 × 65=4225
6×(6+1)
(6) 95 × 95=9025
9×(9+1)< br>我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。
练习5：速算。
（1）55×55 （2）75×75 （3）85×85
（4）105×105 （5）125×125 （6）995×995
19 20

20 20