2020考研时间-演讲比赛主持词

目录
第一讲 速算与巧算 .................................. 3
(一) 加减法中的计算 .............................. 3
(二)乘除法中的计算 ............................... 4
第二讲 找规律 ...................................... 7
（一）竖列规律 ................................... 7
（二）图形规律 ................................... 9
第三讲 数字谜 ..................................... 10
（一） 横式字谜 ................................. 10
（二） 竖式字谜 ................................. 13
（三） 趣味九宫格 ............................... 16
第四讲 图解法解应用题 ............................. 18
第五讲 列方程式解应用题 ........................... 21
第六讲 植树问题 ................................... 22
第七讲 鸡兔同笼问题 ............................... 25
第八讲 移多补少平均数 ............................. 27
第九讲 归一问题 ................................... 29
第十讲 倒推法 ..................................... 33
第十一讲 列举法 ................................... 38
第十二讲 奇数与偶数 ............................... 43
第十三讲 周期性问题 ............................... 46
第十四讲 有趣的几何图形 ........................... 49

第十五讲 逻辑推理 ................................. 53
第十六讲 一笔画 ................................... 55
第十七讲 火柴棍游戏 ............................... 58
(一)摆图形游戏 .................................. 58
(二)移动火柴，变换图形游戏 ....................... 59
(三)去掉火柴，变换图形游戏 ....................... 60

第一讲 速算与巧算
计算是数学的基础，小学生 要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、
快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能 提高计算效率、节省计
算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上
发挥着自己的 最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报， 台下的观众频频为选手取得的好成绩而热
烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠 军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般
地得出 了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每
次小熊算得结果和小白兔是一样 的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出
了答案，有什么决窍吗？”
小白兔说：“比如 2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，
去掉最高分98，去掉最 低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成
90+‘零头数’，不足90的表示成90－ ‘零头数’。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）
÷8=90+（3+5+6― 2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。你可以试一试。”
小熊照着小白兔说的去做， 果然既快又对。这下小熊明白了，掌握了速算的
技巧，在工作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算 时间，更主要的是提高
了我们的工作效率。
我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运 用有关定律和法则，选择
合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。

(一)加减法中的计算

一、例题与方法指导：

例1、用简便方法计算下面各题：
（1）63+48+173+37+52 （2）9+99+999+9999+4


例2、用简便方法计算计算下面各题：
⑴1000－90－80－20－10 （2）1508－561＋61


例3、用简便方法计算计算下面各题：
⑴576＋（432－176） ⑵1689＋999－689

例4、计算（22＋24＋26＋28＋30＋32）－（21＋23＋25＋27＋29＋31）



二、训练巩固

1．用简便方法计算计算下面各题：
⑴1362＋973＋638＋27 ⑵7443＋2485＋567＋245



2．下面各题，怎样简便就怎样计算：
⑴1886＋1998 ⑵5426－2995



3．计算：
⑴1088＋988＋88＋36 ⑵49999＋4999＋499＋49＋4



4.计算：
⑴103＋99＋103＋97＋106＋102＋98＋98＋101+102




三、拓展提升

1．用简便方法计算下面各题：
⑴9＋99＋999＋9999 ⑵4996＋3993＋2992＋1991＋98
2．下面各题，怎样简便就怎样计算：
⑴93＋92＋88＋89＋90＋91＋88＋87＋94＋89
⑵20＋19－18－1 7＋16＋15－14－13＋12＋11－10－9＋8＋7－6－5＋4＋3
－2－1
3. 计算下面各题：
⑴（38＋42＋46＋50＋54＋58＋62＋66＋70）－（ 37＋41＋45＋49＋53＋57
＋61＋65＋69）
⑵（1999＋1997＋19 95＋„„＋3＋1）－（1998＋1996＋1994＋„„＋4＋2）


(二)乘除法中的计算

一、例题与方法指导：
两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像
72×78，26× 86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个
位数字相同或互补的情况。72×78 的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字
互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86 的被乘数与乘数的十
位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1
（1）76×74＝？ （2）31×39＝？
思路导航：
本例两题都是“头相同、尾互补”类型。


















（1）由乘法分配律和结合律，得到
76×74
＝（7＋6）×（70+4）
＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4
＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4
＝70×（70＋6＋4）＋6×4
＝70×（70＋10）＋6×4
＝7×（7+1）×100＋6×4。
于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是
两个因数 的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前
面的数是被乘数（或乘数）的 十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单
地说就是：
积的末两位是“尾×尾”，前面是 “头×（头+1）”。
我们在学到的15×15，25×25，„，95×95的速算，实际上就是“同补”
速算法。
例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？
思路导航：
本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
（1）由乘法分配律和结合律，得到
78×38

＝（70＋8）×（30＋8）
＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8
＝70×30+8×30＋70×8＋8×8
＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8
＝7×3×100＋8×100＋8×8
＝（7×3＋8）×100＋8×8。
于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个 两位数乘法中，积的末两位数是
两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中 从百位起前
面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算
法简 单地说就是：
积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

例1和例 2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时，情况会发 生什么变化呢？
我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，„时， 这
两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。
在 一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，
这个算式就是“同补”型， 即“头相同，尾互补”型。例如70 77×70 23， 因
为被乘数与乘数的前两位数相同，都是7 0，后两位数互补，77＋23＝100，所以
是“同补”型。又如1 48×1 52，23 8×23 2等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个 乘法算式就
是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，73 4×27 4，98 26×2 26，6
81×4 81等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。
例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？
解：
（1）

（2）

计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为 乘积的前几位，
将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同 ”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”
的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4） ；如果“补”与“同”的位数
不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再 讨论
了。
例4 2865×7265＝？
解：

二、训练巩固
计算下列各题：
1.68×62；
3.27×87；
5.42×62；























2.93×97；
4.79×39；
6.603×607；
8.4085×6085。 7.693×607；

第二讲 找规律
（一）竖列规律
按照一定 次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1、2、3、4„„；
双数列：2、4、6、8„„。 我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规
律，并依据这个规律来填写空缺的数。

按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可< br>以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有
时还要从积、商考 虑。善于发现数列的规律是填数的关键。

一、例题与方法指导

例1 在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
思路导航：
（1）在数列3，6，9，12，（ ），（ ）中，前一个数加上3就等于后一个数，
相邻两个数的差都是3，根据这一规律，可以确定（ ）里分别填15和18；
（2）在数列1，2，4，7，11，（ ），（ ）中，第一个数增加1等 于第二个数，
第二个数增加2等于第三个数，也就是相邻两个数的差依次是1，2，3，4„„
这样下一个数应为11增加5，所以应填16；再下一个数应比16大6，填22。
（3）在数列2，6，18，54，（ ），（ ）中，后一个数是前一个数的3倍，根
据这一规律可知道（ ）里应分别填162和486。


例2 先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）；
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）；
思路导航：
（1）在15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）中隔着看，第一个数减3是第三个
数， 第三个数减3是第五个数，第二、四、六的数不变。根据这一规律，可以确
定括号里分别应填6、2；
（2）在21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）中，隔着看第一个数减3为第三
个数 ，第三个数减3为第五个数。第二个数增加1为第四个数，第四个数增加1
是第六个数。根据这一规律， 可以确定括号里分别应填12和7。

二、训练巩固

1，在括号里填数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
2，按规律填数。
（1）2，8，32，128，（ ），（ ）
（2）1，5，25，125，（ ），（ ）
3，先找规律再填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
4，在括号里填数。答

（1）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（3）1，2，5，14，（ ），（ ）




（二）图形规律
一、例题与方法指导

例：根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。



思路导航：
（1）横着看，右边的比左边的数多5，竖着看 ，下面的数比上面的数多4。
根据这一规律，方格里填18；
（2）通过观察可以发现，前两 个图形三个数之间有这样的关系：4×8÷2=16，
7×8÷4=14，也就是说中心数是上面的数与 左下方数的乘积除以右下方的数。根
据这个规律，第三个图形空格中的数为9×4÷3=12；
（3）横着看，第一行和第二行中，第一个数除以3等于第二个数，第一个
数乘3等于第三个数。根据 这一规律，36×3=108就是空格中的数。

二、训练巩固

1.根据规律，在空格内填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）；

思路导航：（1）在187，286，385，（ ），（ ）中，十位上的数字8不变，百位
上的数字是1，2，3„依次增加1，个位上的数字是7，6 ，5„依次减少1，并
且百位上的数字与个位上的数字的和为8。根据这一规律，括号里应填484，< br>583；
（2）通过观察可以发现，前两个图形之间有一定联系：左上数十位上的数字和
右上数个位上的数字分别与下面数的千位、个位上的数字相同；左上数与右上
数十位上的数字之和为下 面数的百位上的数字，左上数与右上数个位上的数字
之和为下面数的十位上的数字。根据这一规律，空格 内应填3594。



第三讲 数字谜

小朋友们 都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市
名）。谜底你还记得吗？记不得也没关 系，想想“空中”指什么？“天”。这个地
名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联 系这个地名开头是
“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这
样谜底就出来了：天津。
算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了
无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，
把算式还原。“ 虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常
用□、△、☆等图形符号或字母表示。文 字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文
字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表 示不同的数
字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。
在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。

（一）
横式字谜

一、例题与方法指导

例1 □，□8 ，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这
3个数的平均数是150。那么所填的3 个数字之和是多少？
思路导航：
150*3-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。

例2 在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：
（1）6□□4÷56=□0□，

（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，
（4）8□□□÷58=□□6。
分析：（1） 610456=109
（2）754837=204
（3） 339329=117
（4）846858=146

例3 在算式40 796÷□□□=□99„„98的各个方框内填入适当的数字后，
就可以使其成为正确的等式。求其中 的除数。
分析：40796102=399...98。

例4 我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别 代表的4个不同的数字。如
果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？

分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161

例5 □÷（□÷□÷□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，
使左边的数比 右边的数小，并且等式成立。
思路导航：
这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：
a(bcd)=a(bc*d)=a*c*db，(a 当a=1时，有6*82=24，8*93=24；
当a=2时，有4*93=12，6*84=12，8*96=12；
所以，满足要求的等 式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，
2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4 ÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。

例6 ① □×□=5□；② 12+□ －□=□，把1至9这9个数字分别填入上面
两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经 填好。

分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为 7*8=56，
则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：3、7 、
8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。

二、训练巩固

1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛
在 上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字。如果这3个等式都成立， 那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？
分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春
春=迎迎赛赛 的只有88* 88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第
一个为：77*88=6776， 第二个为：55*99=5445；
所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。

2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯
在上面的两个横式中，相同的汉 字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字。那么“迎+春+杯”等于多少？
分析： 同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=
81，于是，迎=8；
这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。
三、拓展提升

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：
(1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。
2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：
(1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。
3.在下列各式的□中填入合适的数字：
(1)448÷□□=□；
(3)13×□□= 4□6。
4.在下列各式的□中填入合适的数：
(1) □÷32＝8„„31；
(3)4837÷□＝74„„27。
答案与提示 练习22
(2)573÷32＝□„„29；
(2)2822÷□□=□□；

4.(1)287；(2)17；()65。

（二）
竖式字谜


例1 在图4-1所 示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不
同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的 两位数是多少？

分析： 首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个 数
的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。 再看十位，“欢”是5，加上个位有
进位1，那 么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是
“人”，所以“人”只能是2；由此可知 ，“喜”等于8。 所以，“喜欢”这两
个汉字所代表的两位数就是85。

例2 在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示
不同的数字．如果：巧+解+数 +字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多
少？

分析：还是先看个 位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，
“谜”必定是5（0显然可以排出）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位
2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”相加
再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，（ 1）如
果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明
“解”只能 是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，
不能； （2）如 果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，
那说明“解”只能是8；5+6+ 9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的
三位数是965。

例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字

表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．


分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”
就相应的只能是0或1。 但是“华”=1，所以，“人”就是0； 再看百位，“人”=0，
那么，十位上必须有进位，否则“港 ”+“人”还是“港”。由此可知“回”比
“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进 位。于是可以确定
“香”等于9的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大1，那么“爱”就等于8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相
加至少12，至多 13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”=6，“归”=7。
这样，整个算式就是：9567+1085=10652。

例4 图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示
从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？


分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；
千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位
向千位进位是 2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，
X=3，这是只剩下了2、4 、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，
T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F =2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。

二、训练巩固

1. 在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代
表不同的数字． 那么D+G等于多少？

分析：先从最高位看，显然A=1， B=0，E=9；接着看十位，因为E等于
9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C= 7；这样，D、G有2、4，
3、5和4、6三种可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。

2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成
的数相 加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求
王老师家的电话号码．
分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，
abcd+ef g=9063，abc+defg=2529；
首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可 以看出，d=1；再回到第一个
算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9， 掉到第二个算式，
b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。

3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比
原数大7902， 那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？
分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；
由最高 为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接
下来看百位，b最 大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是
1989。

三、拓展提升
1.已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？



分析：由17的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。
2. 某个 自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成
的新数恰好是原数的4倍．问原数最 小是多少？
分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位 为
5；4*5+2=22，原千位为2；
4*2+2=10，原万位为0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是102564。
3. 在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示

不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？


分析： 同第10题一样，也是利用17的特点。因为每个字母代表不同
的数字，因此“好”只有3和6可选：
好=3，则：142857*3=428571；好=6，则：142857*6=857142；两个 都能满足，所
以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。



（三）
趣味九宫格





九宫格型数字推理即在九宫格中已知8个数，根据已知数之间的关系，求出
未知的项。此种类型 的观察角度为横向、纵向、对角线，考查最多的是横向，一
般考查三个数之间的线性关系，可从大数入手 考虑。有时，会整体考，比如行列
各个数之和的关系。

1．

A．7 B．5 C．3 D．9
【答案】C。解析：每行三个数字之和依次是20，（30），40，是等差数列。
2．

A．27
3．
B．8 C．21 D．18
【答案】D。解析：每行前两个数字之差除以3等于第三个数。（63-9）÷3=（18）。

A．14．2 B．16．4 C．18．6 D．15
【答案】A。解析：每行第一个数字加1等于后两个数字之和。
4．

A．6．1 B．5．3 C．4 D．2
【答案】D。解析：从每行来看，第一个数字加2，再乘以第三个数字等于中间
数字。
5．

A．20．4 B．18．6 C．11．6 D．8．6
【答案】B。解析：每行第三个数字减去第二个数字，再乘以2等于第一个数字。

第四讲 图解法解应用题



一、例题与方法指导

例1 小明 早晨起床,要完成这几件事:起床穿衣5分钟,刷牙洗脸6分钟,在火
炉上烧水煮面要16分钟,整理房 间8分钟,为了尽快做完这些事,最少要 分
钟.
思路导航：

用图表示:

16 分
5分
5
1
2

烧、煮
起床


8 分 6 分
3 4

整理 刷牙、洗脸

所以是5+16=21(分)

例2 少先队员参加植树劳动,每人植树2棵,如果一个人挖坑,一个要25分,
运树苗一趟( 最多可运4棵)要20分,提一桶水(可浇4棵树)要10分,栽好一棵树
要10分.现以两个人为一小 组合作,完成植树任务最少要 分钟.
思路导航：



甲
挖3个坑
种1棵树

10分
75分

完成

栽3棵树
运苗 提水 挖1个坑

乙

20分 10分
25分

所以:75+10=85(分)

例3 甲、乙两地相距6千米,小晶从甲地、小红从乙地同时相向而行,在两村
之间 不断地往返行走,在出发后40分钟,两人第一次相遇.小红到达甲村后返回,
在离甲村2千米处,两人 第二次相遇,求小晶和小红的速度各是 、 .
思路导航：
小晶5千米小时;小红4千米小时.

甲


晶


相遇
相遇
红
乙

合走1个全程要40分,3个应是40×3÷60=2(小时)
晶:(6+4)÷2=5(千米小时)
红:(6+2)÷2=4(千米小时)

例4 早上10点8分,小明放学回家,8分钟后,周老师骑车追他,在离学校4
千米的地方追 上了他,然后周老师立即回校,回到校后又追小明,第二次追上时刚
好离家8千米,求这时是 时 分.
思路导航：

早上10点8分放学,小明从学校回家,8分钟后 ,周老师骑车追他,追上时离校
4千米,后来老师马上回校后又追他,追上时小明也只走了4千米,从下 图可知,照
后来速度算,周老师前面应走4×3=12(千米).因为少走8分钟,所以少走12-4= 8
千米.所以现在时间应是:10:08+0.08+0.16=10:32.

校

4千米 4千米
明

时间一样
周



二、巩固训练

1.
A
,
B
,
C
,
D
,
E
五位同学进行象棋单循环比赛,已知
A
,
B
,
C
,
D
已经赛过的盘数
依次为 4,3,2,1盘,此时,E赛了 盘.
2.有号码为1,2,3,4 四名运动员,在一 次比赛中获得了前4名,已知:①每个
运动员的号码都与自己的名次不符;②某运动员的名次是第四名运 动员的号码,
而此人的号码又是2号运动员的名次.③3号运动员不是第一名,那么1号得
名,二号得 名,三号得 名,四号得 名.
3.四名棋手进行循环比赛,胜一局得2分,平一局得1分,负一局得0分.如果
各人得的总分不同,第 一名不是全胜,那么,至多有 局平局.
4.京华小学五年级学生采集标本,采集昆虫标本 的有25人,采集植物标本的
有19人,两种标本都采集的有8人,全班共40人,没有采集标本的有 人.

答案：
1.两盘.
用连线表示两人已赛过一场,
A应画四条线,
B
应画3条,但不能连
D
,又有一
条
AB
,所以,
B
只画
BC
,
BE
.从
C
出发应有两条,已有.所以
E
只赛了两盘.

A

B E


C

D
2. 1号第三,2号第一,3号第四,4号第二.
由①、③可知,第一名是2或4,依题意画图如下:

1 4 3 ①
2 3 4 1 ②
4 1 3 ③
4
以上六种情况中,符合题意的只有③方案.
1 2 3 ④
3 1 2 ⑤
2 1 ⑥

3. 3局.
四名棋手应赛4×3÷2=6(局),应决出2×6=12(分)
又各人得分不同,且第一名不是全胜,可知他们得分只有:12=5+4+2+1或
12=5+4+3+0两种.
再由“平局最多”可决定甲5分,乙4分,丙2分,丁1分.这样应:

胜
甲 丙



胜
平
平



平

乙 丁

胜

4. 4人.
作下图:


昆虫标本
植物标本

8

25人
19人
人


昆虫、植物标本


40-(25+19-8)=4(人)

三、拓展提升

1.有 100名旅客,其中有10人不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂
俄语,既懂英语又懂俄语 的有 人.
2.某班数字、英语的期中考试成绩如下,英语得100分的有12人,数 学得100
分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人,这个班有学生 人.

答案：9. 68人.
作下图:

不懂
英语
俄语

的有
75人
83人

10人

都懂的

75+83-(100-10)=68(人)

10. 45名.
作下图:

英语100
数学100

两门
3

12人
10人
都不
人

得100

两门100 26人

12+(10-3)+26=45(人)


第五讲 列方程式解应用题
一、例题与方法指导
例1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分3个,那么 还剩32
个.如果每人分8个,还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?
苹果数不变(抓不变量)、间接设未知数




例2 一条鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个
身长，这条鱼全长多少米？
间接设未知数
设鲨鱼身长x米。 身长=头长+尾长，
尾长= x÷2＋3 身长＝3＋x÷2＋3，

例3 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只?
解答：假设60只都是鸡，没有兔，那 么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。
这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设 的鸡脚比兔脚多的
数比实际上多120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只， 兔脚
增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有
兔子10只，鸡60-10=50(只)。

二、巩固训练
1. 有一些糖，每 人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，
那么每人4块就少2块.问这些糖共有多 少块?
解，等量关系为两种分法的糖总数不变
设开始共有x人，

5x+10=4×1.5x-2，
解得x=12，
所以这些糖共有12×5+10=70块．

2.
甲、乙、丙、丁四人今年 分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄
和是丙、丁年龄和的2倍？
解 答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的
年龄和是丙、丁年龄和 的2倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是
相同的。
设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.
16+12-2x=2×(11+9-2x),
解得x=6.
所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.



第六讲 植树问题

只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心 观察，这些
树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，
我们 把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封
闭型的（开放型的）。
封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：
1、不封闭型的（ 多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、
间距、棵数的关系是：
但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：
如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵
数的关系就是：
2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：

植树问题的三要素：
总路线长、间距(棵距)长、棵数．
只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
植树问题的分类：
⑴直线型的植树问题 ⑵封闭型植树问题 ⑶特殊类型的植树问题

一、例题与方法指导

例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂
柳多少棵?
思路导航：

每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长 1000
米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树
中间种植2株夹枝桃，可栽柳树 多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距
多少米?
思路导航：

在 圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树
=1350÷9=150株；由于两株 柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）
为150，所以栽夹枝桃的株数=2×150=300 株；每隔9米种柳树一株，在两株夹
枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2 株等距离栽
在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9÷(2+1)=3(米)。
例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现
在要进行调整，变 成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还
有几个牌不需要移动？
思路导航：
16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间 隔，
这条街的总长度为8×15＝120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么
不移 动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；
8×3=12×2=24，也就是说，每 24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；
120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个， 所以，中间不需要移动的有
5-1=4个。
事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题 的总称，并不单指植树问
题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题
的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。

二、巩固训练

1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层
走到4 层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？
思路导航：：
要求还需要多少 秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从
4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到 4层，事实所爬的层数只是4-1=3
层，所以上一层楼梯需要的时间是48÷（4-1）=16（秒） ；又，从4楼走到8楼
共需走8-4=4层楼梯，所以还需要的时间是16×4=64秒。
2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前
后每行间隔为2米，主席台长 42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要
多少分钟?
思路导航：：
12 5人参加运动会入场式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么这里25
行就相当于直线上的2 5棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全
长是2×(25-1)=48米；这列队伍通过 主席台，所走的总路程应该是队伍长度与
主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主 席台的时间是90÷45=2
分钟。
3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样
的铁环连在一起有多长？
思路导航：：
根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有2
个厚度是重叠的，也就 是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4厘米-2×6毫米
=40毫米-12毫米=28毫米； 根据我 们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起，
“环扣”数为5-1＝4(个)，所以，五个大小相同的铁 环连在一起时，总长度为
40+4×28＝152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1)
×28=292(毫米)。
4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5
分钟，共需多少分钟?
思路导航：：
要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里
面包 含有24÷3=8个3米，8段有8-1=7个间隔，即木工只需锯7次，
那么，每次5分钟,一共需要 用时5×7=35分钟。


三、巩固训练

1 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从
每个小三角形的顶点开始，到下 一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有
多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

思路导航：：
由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的2倍，因为每个小三角形的
边上均匀栽9株， 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，
所以，大三角形的每条边上栽的棵数为：9 ×2-1=17棵；又大三角形三个顶点上
栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以，大三角形三条边上 共栽花：（17-1）
×3=48棵；再看图中间的阴影小三角形，每边所栽花的棵数就是一个两端不种
树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵，中间共栽花：
7×3=21 棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。

2 时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

思路导航：：
4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为
12÷（4－1）=4秒 ；12点敲12下，中间有11个间隔，所以一共需要4×（12
－1）=44秒敲完。

3 铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经
过第1根电线杆起 到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？
思路导航：：
从第1根电线杆起 到第37根电线杆，共有37-1=36个间隔；每隔50米有一
根电线杆，也就是说间隔为50米；那 么，行使的总路程为：50×（37－1）=1800
米；2分钟=2×60秒=120秒，共行180 0米，所以，火车速度为：1800÷120＝
15米／秒。



第七讲 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡 与兔的
总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题，在现实生活和
生产中应 用广泛，有着十分重要的使用价值。
鸡兔问题，也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部 的只数都
是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出
鸡和兔 的只数。

计算时的主要数量关系是：
1.如果假定全部是兔，则
鸡的只数=（每只兔的足数×总头数－总足数）÷（每一只鸡与兔足数的差）
简单理解就是：
鸡的只数=（4 ×总头数－总足数）÷2

兔的只数=总头数－鸡的只数
2.如果假定全部是鸡，则
兔的只数=（总足数－每只鸡的足数×总头数） ÷（每一只鸡与兔足数的差）
简单写就是
兔的只数=（总足数－2 ×总头数） ÷2
鸡的只数=总头数－兔的只数

一、例题与方法指导
例1. 鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只？
思路导航：
鸡有2只脚， 兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只
脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚 ，那么兔子和鸡一样，都是2只脚。
鸡和兔的总脚数就是100×2=200（只），但比实际320只 脚要少320－200=120
（只），为什么会少了120只脚呢？是因为每只兔子只算一只前脚，一 只后脚，
而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚，一共少算了
120 只脚，所以兔子应该有120÷2=60（只）。
解法一： 解法二：
2×100=200（只） 4×100=400（只）
320－200=120（只） 400－320=80（只）
120÷2=60（只） 80÷2=40（只）
100－60=40（只） 100－40=60（只）

答：鸡有40只，兔有60只。
例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张，已知它们的总面值是940元，
这两种纸币各多少张？
思路导航：

（1）假设200张纸币完全是2元，共值：
2×200=400（元）
（2）比实际少：
940－400=540（元）
（3）2元换成5元，每张增加：
5－2=3（元）
（4）5元纸币有：
540÷3=180（张）
（5）2元纸币有：
200－180=20（张）
答：有180张5元、20张2元纸币。

例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多25只，脚数共176只，鸡、兔各多少只？
思路导航：

假设 去掉多的25只鸡，则一共去掉2×25=50（只）脚，那么176－50=126
（只）脚是鸡和兔 一样多的脚的总数量，而一对鸡兔共有2＋4=6（只）脚，可
以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和 兔，然后再加上去掉的25只鸡。
2×25=50（只）

176－50=126（只）
2＋4=6（只）
126÷6=21（对）‥‥‥鸡、兔各21只
21+25=46（只） ‥‥‥鸡的只数
答：鸡有46只，兔有21只。

二、巩固训练

1.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只。鸡兔各多少只？



2.鸡兔同笼，共有头80只，鸡的脚数比兔的脚数多40只，鸡兔各多少只？



3.30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？



三、拓展提升

1.鸡兔共100只，鸡的脚数比兔少40只，鸡兔各多少只？
2.46人去划船，一共乘坐10条船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各
多少条？
3.某车棚共停放三轮车和自行车共39辆，两种车轮总和96个，三轮车和自行车
各多少辆？


第八讲 移多补少平均数
在日常生活中，我们经常遇到这样的情况 ：有几个杯子，里面的水有多有少。
要想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯 子里。反复
几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”„„
也就 是求平均数问题。

一、例题与方法指导

例1.小刚有5个抽屉，分别 有图书33本，42本，20本，53本和32本，平
均每个抽屉里有图书多少本？
思路导航 ：
分析：如果要求平均每个抽屉里的图书，就是把5个抽屉的总数除以
5。

（33+42+20+53+32）÷5=36（本）

或取较为中 间的一个数，如35作为基数，再把每个抽屉中的书本与35的差算出
来。将这些差相加减，多出的为加 数，不足的为减数，所得的数除以5，再加上
基准数35，得出的就是要求的平均数。
提出总数，份数，平均数
5个抽屉书本书的总合就是“总数”，5个抽屉式“份数”。得到关系式：
平均数=总数÷份数 由此关系式可得出
总数=份数×平均数
份数=总数÷平均数

例2. 小名参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想通过一次语文测验，
讲 5次的平均成绩提高最少70分，那么在下次测验中，他至少要得多少分？
分析1：知道前四次的语文 平均成绩后可以求出前四次的总成绩题目中要求是五
次的平均成绩提高到70分，那么可以求出5次的总 成绩，再用五次的总成绩减
去四次的成绩，得到的就是第五次最少应考多少分。

思路导航：
68×4－70×5=78（分）
前四次平均为68分，要求平均分为 70分，前四次一共差了（70－68）×4=8（分）
那么第五次至少要考70+8=78（分）

例3.甲、乙两人带着同样多的钱，用他们全部的钱买了香皂，甲拿走了12
块乙拿 走了8块，回家后甲补给乙4元，每块香皂多少元？

思路导航：
因为甲乙两人带 的是同样多的钱，两人的钱也已经全部用完，甲乙两人平均
买了（8+12）÷2=10（块）香皂，而 实际甲多拿了12－10=2（块）香皂，2块香
皂是4元，则一块香皂是4÷2=2（元）

二、巩固训练
1.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最
大的人可能是多少岁？
分析：4个人的平均年龄是18岁，那么四个人一共就有18×4＝72（岁），题目
中告诉我 们4个人中最小的只有14岁，如果要求年龄最大的那么其余3个人都
应是最小的，则72－14×3＝ 20（岁）

2. 有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数
是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？
分析：从题目我们可以知道 甲＋乙＝42×2=84 乙＋丙＝47×2=94 甲＋丙＝46
×2=92
2（甲+乙+丙）=84+94+92=270 甲：135－94=44 乙：135－92=43 丙：135－84
＝51
先求出甲乙丙三个数的和，知道另外两个数的和酒可以求出第三个数。

3. 某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路下山。上山时的速度是每 小
时2千米，下山时的速度是每小时6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速
度是每小时多 少千米？
分析：要求上、下山的平均速度先求上下山的总路程和处以时间即可。
解：2×12÷（12÷2＋12÷6）=3（千米）
总结：今天我们学习了如何求平均数， 平均数的意义，也知道在解题过程中，可
以运用到平均数的意义。希望同学们通过今天的学习可以掌握所 学的知识。


三、拓展提升
1.一位小朋友的语文成绩是96分，数学 成绩是90分，英语成绩是84分，求他三门
的平均分。
2.甲、乙、丙三个数的平均数是150，甲数是48，乙数与丙数相同，求乙数。
3.小明 和小红一起带着同样多的钱去学校旁边的文具店买铅笔，他们用全部的钱买了
铅笔，小明买了12只，小 红买了8只，回去后小明给了小红4元，每支铅笔多少元？
4.
如果4个人的平均年龄是18 岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可
能是多少岁？

5.
有 甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数是47，甲
数和丙数的平均数是4 6，求甲、乙、丙这三个数各是多少？




第九讲 归一问题

为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，
就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是
归一说法的来 历吧！
归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行
1 50千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路
队6小时修路1 80千米，照这样，修路240千米需几小时？
正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出 单一量；不同点在第二步.正
归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

一、例题与方法指导
例1. 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？
思路导航：
为了求出蜗牛 1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后
以这个数目为依据按要求算出结果 。
解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）
② 1小时爬几米？1小时=60分。
2×60=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（ 即60分是6

分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。
解：1小时=60分钟
12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）
或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。

例2. 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时 磨了6000千克.照这样计算，磨
完剩下的面粉还要几小时？
思路导航：
通过3 小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几
小时，所以剩下的量除以1小时 磨的数量，得到问题所求。
解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）
答：磨完剩下的面粉还要7小时。

例3. 学校买来一些足球和篮球.已知买3个 足球和5个篮球共花了281元；买3个
足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球 共花多少元？
思路导航：
要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和 每个篮球各多少元.
根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个 ），总价
差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱 ，一
个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。
解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）
=37元
②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）
③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）
答：买5个足球，4个篮球共花308元。

例4. 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.
由于 缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？
思路导航：
我 们把1个工人工作1小时，作为1个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划
需要多少“工时”呢？ 求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为
标准，不管人数增加或减少，工期延长 或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达
到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数， 问题就解决了。
解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：
8×18×7.5=1080（工时）
②增加6人后每天工作几小时？
1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）
③每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时）
答：每天要加班工作3.25小时。

二、巩固训练
1.一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单 开进水管8
小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水

排空？
分析 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于 先求出进水速度和排
水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内 排出
的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所
需 时间。
解：①进水速度：480÷8=60（吨小时）
②排水速度：480÷6=80（吨小时）
③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）
列综合算式：
480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）
答：两管齐开需24小时把满池水排空。

2. 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需
要增加同样的卡车多少辆？
方法1：
分析 要想求增加同样卡车多少辆，先要 求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运
完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运 多少吨沙土。
解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？
336÷6÷7=56÷7=8（吨）
②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？
560÷5＝112（吨）
③需要增加同样的卡车多少辆？
112÷8-7＝7（辆）
列综合算式：
560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）
答：需增加同样的卡车7辆。
方法2：
在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①336 ÷6
÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡
车的载重量 。
在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：


求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了。


3. 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作，在相同时间内，甲
打字 2450个，乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个？

已知 条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.”既然知道
了“时间相同”，问 题就容易解决了.题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字
3600个.”这样可以先求出“甲乙 二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了.
解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？
3600÷4＝900（个）
②“相同时间”是几小时？
（2450＋2050）÷900＝5（小时）
③甲打字员每小时打字的个数：
2450÷5=490（个）
④乙打字员每小时打字的个数：
2050÷5=410（个）
答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个。
还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字
3600个 ；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出
在相同的时间内 ，甲乙二人共打字 2450+2050=4500（个）；打字 3600个用4小时，打字
4500 个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时
间”。
解：①“相同时间”是几小时？
4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）
②甲每小时打字多少个？
2450÷5=490（个）
③乙每小时打字多少个？
2050÷5=410（个）
答：甲每小时打字490个，乙每小时打字410个.

三、拓展提升
1. 花果山上桃树多，6只小猴分180棵.现有小猴72只，如数分后还余90
棵，请算出桃树有几棵？
2. 5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加
几箱蜜蜂？
3. 4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升.现有5辆汽车同时运货到相距
800千米 的地方，汽油只有1000公升，问是否够用？
5台拖拉机24天耕地12000公亩.要18天耕完 54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？

答案：
1.180÷6×72+90=2250（棵）
或：180×（72÷6）+90=2250（棵）
答：桃树共有2250棵。
2.300÷（75÷5）-5=15（箱）
或 5×[（300-75）÷75]=5×3=15（箱）
答：要增加 15箱蜜蜂。
3.提示：要想得知1000公升汽油是否够用，先算一算行800千米需要的汽油，
然后进行比较.如 果大于1000公升，说明不够用；小于或等于 1000公升，说明够用。

240÷4÷300×5×800=800（公升）
800公升＜1000公升，说明够用.
答：1000公升汽油够用。
4.提示： 先求出1台拖拉机1天耕地公亩数，然后求出18天耕54000公亩需要
拖拉机台数，再求增加台数。

答：需要增加 25台拖拉机.





第十讲 倒推法


师说：“这里有10张纸牌，依次写着1 -10，我闭上眼睛，你任意抽一张出来。”“好，
已抽好了。”乙回答道。“嗯，把你的那张纸牌上的 数乘上6再加9，然后除以3再加上2。
算好后告诉我得数是几。（可任意找学生抽卡片）
乙又说：“得数是23。”
那她抽的那一张是几呢？
这个数是9，我们怎么知道？同学们，你们都知道其中的奥秘吗？
让这节课来告诉大家吧，
利用倒推法，倒推法是根据加法与减法、乘法与除法互相逆运算的关系，从最后的得
数出发。因 为23是加上2后得到的，就要减去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上
3，得63；63是加 上9后得到的，就就要减去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以
6，得9。所以乙抽到的那一张 一定是9。一些游戏，只要你知道其中的奥秘后，你就不
会大惊小怪了。

一、例题与方法指导

例1. 喜迎奥运，猜年龄:刘翔的年龄除以4再减去2,乘25正好是100.你知道刘翔
今几岁吗 ？
思路导航：

① 100÷25+2×4 ② 100÷(25+2×4) ③ (100÷25+2)×4到底是哪个呢？
倒推法的方法：从结果出发，从后向前运算，并且每个运算变成它的逆运算。正确答
案③

例2. 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走 余下的一半多1个.小
军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨 多少个？
思路导航：

依题意，画图进行分析.

解：列综合算式：
｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.

例3. 菜站原有冬贮大白菜若干千克 .第一天卖出原有大白菜的一半.第二
天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果 剩余白菜的3倍是
1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？
思路导航：

解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量
关系清晰的展现出来.

解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）
②第二天运进200千克后的一半是多少千克？
600＋30＝630（千克）
③第二天运进200千克后有白菜多少千克？

630×2＝1260（千克）
④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）
⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）
答：菜站原来贮存大白菜2120千克.
综合算式：
［（1800÷3＋30）×2—200］×2
＝2120（千克）
答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.

通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号


二、
巩固训练


1. 一次数学考试后，李 军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数
减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56 .”小朋友，你知道于昆得多少分
吗？



2. 马小虎做一道 整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的
7看成1，结果得出差是111.问正确答案 应是几？



3. 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树 上飞走8只落到第二棵
树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：
原来每棵树上各落多少只鸟？

三、拓展提升
1. 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分
数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少
分吗？
分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推
法进行分析，就像剥 卷心菜一样层层深入，直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加 上10，再
除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？
把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：
｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推 回去.因为56是
乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除
以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88
是减8以 后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.
解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56
［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4
答：于昆这次数学考试成绩是96分.
通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号.
2. 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7 ，把减数十位上
的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？
分析 马小虎错 把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位
上的7看成1，使差增加70—10＝60.因 此这道题归结为某数减6，加60
得111，求某数是几的问题.
解：111－（70—10）＋（7—1）＝57

答：正确的答案是57.
3. 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第 二
棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.
问：原来每棵 树上各落多少只鸟？
分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每
棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵
树上飞来的6只后得到的 ，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同
理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）. 第一棵树上原落鸟16＋8＝
24（只），使问题得解.
解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）
②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）
③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）
④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）
答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.
4. 篮子里有一些梨.小刚取走总数 的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.
小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨 1个.问：篮子里原有
梨多少个？
分析 依题意，画图进行分析.

解：列综合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.

5. 甲乙两个油 桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩
下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油 增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲
桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售 货员从两个
桶里各卖了多少千克油？
分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多 少千克.已知“甲、
乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油
桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及
“这时甲桶油恰是乙桶 油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油
多少千克.
求出甲、乙两个油桶最后各 有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲
桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油 桶各卖出
多少千克.
解：①甲乙两桶油共剩多少千克？
15×2-14＝16（千克）
②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）
③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）
用倒推法画图如下：

④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克）
⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克）
答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.



第十一讲 列举法

解应用题时，为了解题 的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一
一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题 的目的。这种分析、解决问
题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要
画图。

一、例题与方法指导

例1. 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
思路导航：
解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
总共10+10=20（个）
答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

例2. 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到
C市有几种走法？（适于三年级程度 ）
思路导航：
解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法：A ① B ④ C
第二种走法：A ① B ⑤ C
第三种走法：A ② B ④ C
第四种走法：A ② B ⑤ C
第五种走法：A ③ B ④ C
第六种走法：A ③ B ⑤ C
答：从A市经过B市到C市共有6种走法。

例3. 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？
思路导航：

（1）数码一共有10个：0、1、2„„8、9。0不能用于表示页码，所 以页
码是一位数的页有9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因 为99-9=90，所以，页码是
两位数的页有90页，用数码：
2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是 三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，
而剩下的1701个数码 除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3
位数，不必考虑是4位数了。往下要看1 701个数码可以排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）


二、巩固训练
1. 如图 9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要
使这3张卡片上的数字之和为9 。问有多少种不同的取法？
解答：三数之和是9，不考虑顺序。1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9
答：有3种不同的取法。
2.从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和 大
于10，共有多少种不同的取法？
解答：两数之和大于10，不考虑顺序。8+7，8+6，8+5，8+4，8+3 7+6，7+5，
7+4 6+5
答：共有9种不同的取法。
3. 现在1分、 2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，
一共有多少种不同的支付方法？

解答：2角3分=23分 5×4+2×1+1×1=23，5×4+1×3 =23，5×3+2×4=23，
5×3+2×3+1×2=23，5×3+2×2+1×4=23
答：一共有5种不同的支付方法。
4. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？
需要考虑吃的顺序不同。7，5+2，4+3，3+4，3+2+2，2+5，2+3+2，2+2+3
答：有8种不同的吃法。
5.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少 订99份，最多101
份。问一共有多少种不同的订法？
解答：3个工厂各不相同，3 数之和是300份，要考虑顺序。99+100+101，
99+101+100，100+99+10 1，100+100+100，100+101+99，101+99+100，101+100+99
答：一共有7种不同的订法.

三、巩固训练

1. 甲、乙、 丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个
位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在 第三个位置上，丁不排在第四个位置
上，那么不同的排法共有多少种？
解答：不同的排法共有9种。

2. abcd代表 一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，
但彼此不同，例如2134。请写 出所有满足关系a＜b，b＞c，c＜d的四位数abcd
来。
解答：若a最小：1324，1423；若c最小：2314，2413，3412
答：有5个：1324，1423，2314，2413，3412。
3. 一个两位数乘以5，所 得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位
与百位数字的和恰好等于十位上的数字。问一共有多少 个这样的数？
解答：设两位数是AB，三位数是CDE，则AB*5＝CDE。CDE能被5整 除，个
位为0或5。若E=0，由于E+C＝D，所以C＝D；又因为CDE5的商为两位数，所
以百位小于5。当C=1，2，3，4时，D=1，2，3，4，CDE＝110，220，330，440。
若E=5，当C=1，2，3，4时，D=6，7，8，9，CDE＝165，275，385，495
答：一共有8个这样的数。
4. 3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3 人各穿一件。现在25
个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定3人从余下的球中各取< br>球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的
3倍，穿3号衣的 人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。那么，甲穿
的运动衣的号码是多少？
解答：3人自己取走的球数是25-（1+2+3）19-2=17（个），17=3*4+2*1+1*3，< br>所以，穿2号球衣的人取走手中球数1的3倍，这是甲。
答：甲穿的运动衣的号码是2。
5. 甲、乙两人打乒乓球，谁先胜两局谁赢；如果没有人连胜两局，则谁先
胜三局谁赢，打 到决出输赢为止。那么一共有多少种可能的情况？
解答：设甲胜为A，甲负为B，若最终甲赢，有 7种可能的情况。如图。同
理，乙赢也有7种可能的情况。7+7＝14
答：一共有14种可能的情况。

第十二讲 奇数与偶数


奇数和偶数的概念：整数可以分成 奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做
偶数（双数），不能被2整除的数叫做奇数（单数）。因为偶数 是2的倍数，所以
通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数），因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）。特别注意，因为0能
被2整除，所以 0是偶数.最小的奇数是１，最小的偶数是０．

奇数与偶数的运算性质：
（1）奇数个奇数相加减得奇数 （2）偶数个奇数相加减得偶数。
（3）奇数加减偶数得奇数。（加减一个奇数会改变结果的奇偶性）
（4）任意个偶数相加减得偶数。（加减一个偶数不会改变结果的奇偶性）
（5）任意个奇数相乘得奇数。（6）偶数乘以任何数得偶数。
（7） 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.知识点：
1、奇数和偶数的运算性质
加减
：
奇+奇=偶 奇—奇=偶
口诀：同性得偶
异性得奇
奇偶性相同的两个数
的和或差都是偶数
偶+偶=偶 偶—偶=偶 或：
奇+偶=奇 奇—偶=奇
偶+奇=奇 偶—奇=奇

乘法

奇×奇=奇
奇×偶=偶
偶×偶=偶

2、奇偶数加减法常见结论：
结论一：任意个偶数的和是偶数。
根据偶数的加法性质，把任意两个偶数俩 俩结合在一起相加之后再相
加，如果还多一个就接着加，即（偶+偶）+（偶+偶）+（偶+偶）+（偶 +偶）+„
+（偶+偶）=偶+偶+偶+„+偶=（偶+偶）+„+偶=偶+偶=偶。
结论二：奇数个奇数的和为奇数，偶数个奇数的和是偶数
有2n+1个奇数 ，把前2n个奇数俩俩结合在一起相加之后，得到的都是
偶数，再把偶数相加还是偶数，最后再加上剩下 的一个奇数，结果为奇数。
结论三：两个数的和加上这两个数的差，得到的和一定是偶数，即a+b与 +a—b
的奇偶性的相同。



一、例题与方法指导

例1. 用数字1、3、0可以组成多少个没有重复数字的奇数和偶数？
思路导航：
注意特殊数字“0”，因为偶数的个位数字为偶数，所以在0、1、3这三个数
中要想得到偶数，0必 须在个位上，有0、10、30、130、310 共5个；奇数的个
位数字为奇数，所以要有1或3在 个位，有1、3、13、31、103、301共6个。

例2. 3+5+7+9+11+13+15+17的和是奇数还是偶数？为什么？
思路导航：
运用结论二：偶数个奇数的和是偶数。
拓展：1×3×5×7×9×11×12×13的积是奇数还是偶数？
奇×奇=奇 ，所以1×3×5×7×9×11×13的积为奇，再×12,12是偶数，
奇×积=偶，所以积为偶数 。充分利用奇数偶数的运算性质。

例3. 有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码
之和能否使1999？
思路导航：
20张纸每张纸反正两面的两个页码之和是（奇+偶=奇），20个奇数的和是偶
数，不可能为奇数，所以这20张纸上的所有页码之和不可能为1999


二、巩固训练
1. 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的四只杯子，问能否< br>经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
【分析解答】杯子要反过来，要翻奇数次，6 个杯子共需要翻6×奇数=偶数
次，规定每次翻4个杯子，总翻的次数为4×翻动次数，因为4是偶数， 所以总
翻动次数为偶数，因此，有可能经过有限次翻动使6个杯子开口全都向下。

2. (1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？
(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？
(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×15。

解：根据奇偶数的运算性质：
(1)因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数 。又因为429是奇数，所以
(524+42-429)是奇数。
(2)数(42□+30- 147)能被2整除，则它一定是偶数。因为147是奇数，所以数(42
□+30)必是奇数。又因为 其中的30是偶数，所以，数42□必为奇数。于是，□
里只能填奇数1，3，5，7，9。
(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇
数„„ 推知
1×3×5×7×9×11×13×15
为奇数。因为14为偶数，所以
(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即
1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。
3. 能被5整除的数的特征
由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，„可以推想任何一个
偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。
由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，„可以推想，任何一
个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。
因此，能被5整除的数 的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位数是0
或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5 的整数一定不能被5整除。
例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264， 3588等都不能被5整除。


三、拓展提升
1.在20～200的整 数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之
和谁大？大多少？

2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
(1)1＋2＋3＋4＋5；
(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；
(3)1＋2＋3＋„＋9＋10；
(4)1＋3＋5＋„＋21＋23；
(5)13-12＋11-10＋„＋3-2＋1。
3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？
4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？
5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？
20×21×22ׄ×49×50
6.用0，1，2，3，4，5这六个 数码组成的没有重复数字的两位数中，能被
5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几 个？

答案与提示 练习18
1.解：偶数有(200-20)÷2＋1=91(个)，
奇数有(200-20)÷2＝90(个)，偶数之和比奇数之和大1×90＋20=110。
2.(1)奇数；(2)偶数；(3)奇数；
(4)偶数；(5)奇数。
3.6个。
提示：卡片6可以看成9，能被2整除的有
564，654，594，954，456，546。
4.22。
解：13为奇数，它 必是一奇一偶之和。因为质数中唯一的偶数是2，所以这两个质数中的偶
数是2，奇数是13-2＝11 ，乘积为2×11=22。
5.9个0。
6.有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10整除。





第十三讲 周期性问题

之前已经见过“找规律”这个题目， 学习了如何发现图形、数表和数列的变
化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是 周期性变化规
律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的
夏 季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了
春天。年复一年，总是按照 春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。
再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2 ，0，„是按照0，1，2三个数重复
出现的，这也是周期性变化问题。
下面，我们通过一些例题作进一步讲解。

一、例题与方法指导

例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3
盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、„„这样排下去。问：
（1）第100盏灯是什么颜色？
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
思路导航：

这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循
环出现。
（1）100÷12＝8„„4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。
（2）150÷12=12„„6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中
有蓝灯4×1 2＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49
（盏）。

例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6
个数是6，第1 1个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？
思路导航：

因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与
第5个数相同。进一步 可推知，第1，5，9，13，„个数都相同。
同理，第2，6，10，14，„个数都相同，第 3，7，11，15，„个数都相同，
第4，8，12，16„个数都相同。
也就是说， 这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数
等于第6个数，是6；第3个数等于第1 1个数，是7。前三个数依次是3，6，7，
第四个数是
25-（3+6+7）=9。
这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。
由77÷4＝ 9„„1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。

例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的
个位数。问：这串数中第88个数 是几？
628088640448„
思路导航：

这串数看起来没有 什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个
相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这 两个相邻数字后面的数字必然与
前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们 试着将
这串数再多写出几位：

当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就 会发现，它们与第1，2位数相
同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4„„ 8知，第88
个数与第8个数相同，所以第88个数是4。
从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。

例4 在下面 的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个
位数字。那么在这串数中，能否出现相邻 的四个数是“2000”？
7134„

思路导航：

无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周
期，因为这个周期很 长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，
这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都 是它前面四个数之和的个位数字”，
如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇„„
可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环 出现的，永远不会出
现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。


二、例题与方法指导


1. A，B，C，D四个盒子中依次放有8 ，6，3，1个球。第1个小朋友找到
放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第 2个小朋友也
找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子„„当100
位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？
分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如
下表：

可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从
第2 人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。
（100-1）÷4＝24„„3，
所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒
中依次 有4，6，3，5个球。
2. 有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿 珠
的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红
珠？



3. 将1，2，3，4，„除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个
数列前100个数的和。

4. 有一串数，前两个数是9和7，从 第三个数起，每个数是它前面两个数
乘积的个位数。这串数中第100个数是几？前100个数之和是多 少？




三、拓展提升

1. 有一列 数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个
位数。这列数中第88个数是几？
2. 小明按1～3报数，小红按1～4报数。两人以同样的速度同时开始报数，
当两人都报了 100个数时，有多少次两人报的数相同？
3.
，B，C，D四个盒子中依次放有9，6， 3，0个小球。第1个小朋友找到
放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小 朋友也找
到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球„„当100个小
朋友 放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？




第十四讲 有趣的几何图形

我们通常会碰到一些图形，它们在某一方面，比如颜 色，形状，大小，结构，
位置或繁难等有些共同的特征或变化规律，你能通过观察找规律，并根据规律推
断出结果吗？

一、例题与方法指导

例1. 下面哪个图形和其他几个不一样，你能找出来吗？
A
思路导航：

B
C
D

题中几个图形的共同特征是：先连接各边中点，组成一个复 合图形。所不同
的是，B图形是一个三角形，而其他几个图形都是四边形，这样，只有B与其他
几个不一样。


例2. 找出下组图形中不同的项。

A
思路导航：

B
C
D
E

题中 只有D图形不是由A翻转过来的，其他图形都是在同一个平面内通过把
A图形旋转而得到的。故不同的选 项应该为D

例3. 在下面图形中找出一个与众不同的.





(1) (2) (3) (4) (5)


思路导航：
很容易看出题目图中( 1)逆时针旋转
90
就是(4),但是这样一来,(2)、
(3)、(5)都与它们 不同了.题目上要求找出一个.所以放弃这种想法.
图(2)顺时针旋转
90
,且 大、小两个矩形颜色互换一下就得到(5).而图(1)
与(3)的变化规律也是这样:顺时针旋转90
,大小两部分颜色互换.因此(1)与(3)
配对,(2)与(5)配对.
解:与众不同的是题目图中的(4).


例4.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.












思路导航：
我们分花盆、花茎、花叶、花朵四个部分逐步观察.
(1)花盆:花盆的形状每一行都是由同 样的三种形状组成,所以第三行所缺的形状

目录
第一讲 速算与巧算 .................................. 3
(一) 加减法中的计算 .............................. 3
(二)乘除法中的计算 ............................... 4
第二讲 找规律 ...................................... 7
（一）竖列规律 ................................... 7
（二）图形规律 ................................... 9
第三讲 数字谜 ..................................... 10
（一） 横式字谜 ................................. 10
（二） 竖式字谜 ................................. 13
（三） 趣味九宫格 ............................... 16
第四讲 图解法解应用题 ............................. 18
第五讲 列方程式解应用题 ........................... 21
第六讲 植树问题 ................................... 22
第七讲 鸡兔同笼问题 ............................... 25
第八讲 移多补少平均数 ............................. 27
第九讲 归一问题 ................................... 29
第十讲 倒推法 ..................................... 33
第十一讲 列举法 ................................... 38
第十二讲 奇数与偶数 ............................... 43
第十三讲 周期性问题 ............................... 46
第十四讲 有趣的几何图形 ........................... 49

第十五讲 逻辑推理 ................................. 53
第十六讲 一笔画 ................................... 55
第十七讲 火柴棍游戏 ............................... 58
(一)摆图形游戏 .................................. 58
(二)移动火柴，变换图形游戏 ....................... 59
(三)去掉火柴，变换图形游戏 ....................... 60

第一讲 速算与巧算
计算是数学的基础，小学生 要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、
快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能 提高计算效率、节省计
算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上
发挥着自己的 最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报， 台下的观众频频为选手取得的好成绩而热
烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠 军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般
地得出 了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每
次小熊算得结果和小白兔是一样 的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出
了答案，有什么决窍吗？”
小白兔说：“比如 2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，
去掉最高分98，去掉最 低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成
90+‘零头数’，不足90的表示成90－ ‘零头数’。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）
÷8=90+（3+5+6― 2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。你可以试一试。”
小熊照着小白兔说的去做， 果然既快又对。这下小熊明白了，掌握了速算的
技巧，在工作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算 时间，更主要的是提高
了我们的工作效率。
我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运 用有关定律和法则，选择
合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。

(一)加减法中的计算

一、例题与方法指导：

例1、用简便方法计算下面各题：
（1）63+48+173+37+52 （2）9+99+999+9999+4


例2、用简便方法计算计算下面各题：
⑴1000－90－80－20－10 （2）1508－561＋61


例3、用简便方法计算计算下面各题：
⑴576＋（432－176） ⑵1689＋999－689

例4、计算（22＋24＋26＋28＋30＋32）－（21＋23＋25＋27＋29＋31）



二、训练巩固

1．用简便方法计算计算下面各题：
⑴1362＋973＋638＋27 ⑵7443＋2485＋567＋245



2．下面各题，怎样简便就怎样计算：
⑴1886＋1998 ⑵5426－2995



3．计算：
⑴1088＋988＋88＋36 ⑵49999＋4999＋499＋49＋4



4.计算：
⑴103＋99＋103＋97＋106＋102＋98＋98＋101+102




三、拓展提升

1．用简便方法计算下面各题：
⑴9＋99＋999＋9999 ⑵4996＋3993＋2992＋1991＋98
2．下面各题，怎样简便就怎样计算：
⑴93＋92＋88＋89＋90＋91＋88＋87＋94＋89
⑵20＋19－18－1 7＋16＋15－14－13＋12＋11－10－9＋8＋7－6－5＋4＋3
－2－1
3. 计算下面各题：
⑴（38＋42＋46＋50＋54＋58＋62＋66＋70）－（ 37＋41＋45＋49＋53＋57
＋61＋65＋69）
⑵（1999＋1997＋19 95＋„„＋3＋1）－（1998＋1996＋1994＋„„＋4＋2）


(二)乘除法中的计算

一、例题与方法指导：
两个数之和等于10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像
72×78，26× 86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个
位数字相同或互补的情况。72×78 的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字
互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86 的被乘数与乘数的十
位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1
（1）76×74＝？ （2）31×39＝？
思路导航：
本例两题都是“头相同、尾互补”类型。


















（1）由乘法分配律和结合律，得到
76×74
＝（7＋6）×（70+4）
＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4
＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4
＝70×（70＋6＋4）＋6×4
＝70×（70＋10）＋6×4
＝7×（7+1）×100＋6×4。
于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是
两个因数 的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前
面的数是被乘数（或乘数）的 十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单
地说就是：
积的末两位是“尾×尾”，前面是 “头×（头+1）”。
我们在学到的15×15，25×25，„，95×95的速算，实际上就是“同补”
速算法。
例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？
思路导航：
本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
（1）由乘法分配律和结合律，得到
78×38

＝（70＋8）×（30＋8）
＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8
＝70×30+8×30＋70×8＋8×8
＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8
＝7×3×100＋8×100＋8×8
＝（7×3＋8）×100＋8×8。
于是，我们得到下面的速算式：

（2）与（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个 两位数乘法中，积的末两位数是
两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中 从百位起前
面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算
法简 单地说就是：
积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

例1和例 2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时，情况会发 生什么变化呢？
我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10，100，1000，„时， 这
两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。
在 一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，
这个算式就是“同补”型， 即“头相同，尾互补”型。例如70 77×70 23， 因
为被乘数与乘数的前两位数相同，都是7 0，后两位数互补，77＋23＝100，所以
是“同补”型。又如1 48×1 52，23 8×23 2等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个 乘法算式就
是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，73 4×27 4，98 26×2 26，6
81×4 81等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。
例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？
解：
（1）

（2）

计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为 乘积的前几位，
将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同 ”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”
的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4） ；如果“补”与“同”的位数
不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再 讨论
了。
例4 2865×7265＝？
解：

二、训练巩固
计算下列各题：
1.68×62；
3.27×87；
5.42×62；























2.93×97；
4.79×39；
6.603×607；
8.4085×6085。 7.693×607；

第二讲 找规律
（一）竖列规律
按照一定 次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1、2、3、4„„；
双数列：2、4、6、8„„。 我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规
律，并依据这个规律来填写空缺的数。

按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可< br>以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有
时还要从积、商考 虑。善于发现数列的规律是填数的关键。

一、例题与方法指导

例1 在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
思路导航：
（1）在数列3，6，9，12，（ ），（ ）中，前一个数加上3就等于后一个数，
相邻两个数的差都是3，根据这一规律，可以确定（ ）里分别填15和18；
（2）在数列1，2，4，7，11，（ ），（ ）中，第一个数增加1等 于第二个数，
第二个数增加2等于第三个数，也就是相邻两个数的差依次是1，2，3，4„„
这样下一个数应为11增加5，所以应填16；再下一个数应比16大6，填22。
（3）在数列2，6，18，54，（ ），（ ）中，后一个数是前一个数的3倍，根
据这一规律可知道（ ）里应分别填162和486。


例2 先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）；
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）；
思路导航：
（1）在15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）中隔着看，第一个数减3是第三个
数， 第三个数减3是第五个数，第二、四、六的数不变。根据这一规律，可以确
定括号里分别应填6、2；
（2）在21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）中，隔着看第一个数减3为第三
个数 ，第三个数减3为第五个数。第二个数增加1为第四个数，第四个数增加1
是第六个数。根据这一规律， 可以确定括号里分别应填12和7。

二、训练巩固

1，在括号里填数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
2，按规律填数。
（1）2，8，32，128，（ ），（ ）
（2）1，5，25，125，（ ），（ ）
3，先找规律再填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
4，在括号里填数。答

（1）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（3）1，2，5，14，（ ），（ ）




（二）图形规律
一、例题与方法指导

例：根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。



思路导航：
（1）横着看，右边的比左边的数多5，竖着看 ，下面的数比上面的数多4。
根据这一规律，方格里填18；
（2）通过观察可以发现，前两 个图形三个数之间有这样的关系：4×8÷2=16，
7×8÷4=14，也就是说中心数是上面的数与 左下方数的乘积除以右下方的数。根
据这个规律，第三个图形空格中的数为9×4÷3=12；
（3）横着看，第一行和第二行中，第一个数除以3等于第二个数，第一个
数乘3等于第三个数。根据 这一规律，36×3=108就是空格中的数。

二、训练巩固

1.根据规律，在空格内填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）；

思路导航：（1）在187，286，385，（ ），（ ）中，十位上的数字8不变，百位
上的数字是1，2，3„依次增加1，个位上的数字是7，6 ，5„依次减少1，并
且百位上的数字与个位上的数字的和为8。根据这一规律，括号里应填484，< br>583；
（2）通过观察可以发现，前两个图形之间有一定联系：左上数十位上的数字和
右上数个位上的数字分别与下面数的千位、个位上的数字相同；左上数与右上
数十位上的数字之和为下 面数的百位上的数字，左上数与右上数个位上的数字
之和为下面数的十位上的数字。根据这一规律，空格 内应填3594。



第三讲 数字谜

小朋友们 都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市
名）。谜底你还记得吗？记不得也没关 系，想想“空中”指什么？“天”。这个地
名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联 系这个地名开头是
“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这
样谜底就出来了：天津。
算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了
无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，
把算式还原。“ 虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常
用□、△、☆等图形符号或字母表示。文 字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文
字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表 示不同的数
字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。
在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。

（一）
横式字谜

一、例题与方法指导

例1 □，□8 ，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这
3个数的平均数是150。那么所填的3 个数字之和是多少？
思路导航：
150*3-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。

例2 在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：
（1）6□□4÷56=□0□，

（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，
（4）8□□□÷58=□□6。
分析：（1） 610456=109
（2）754837=204
（3） 339329=117
（4）846858=146

例3 在算式40 796÷□□□=□99„„98的各个方框内填入适当的数字后，
就可以使其成为正确的等式。求其中 的除数。
分析：40796102=399...98。

例4 我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别 代表的4个不同的数字。如
果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？

分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161

例5 □÷（□÷□÷□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，
使左边的数比 右边的数小，并且等式成立。
思路导航：
这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：
a(bcd)=a(bc*d)=a*c*db，(a 当a=1时，有6*82=24，8*93=24；
当a=2时，有4*93=12，6*84=12，8*96=12；
所以，满足要求的等 式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，
2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4 ÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。

例6 ① □×□=5□；② 12+□ －□=□，把1至9这9个数字分别填入上面
两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经 填好。

分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为 7*8=56，
则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：3、7 、
8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。

二、训练巩固

1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛
在 上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字。如果这3个等式都成立， 那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？
分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春
春=迎迎赛赛 的只有88* 88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第
一个为：77*88=6776， 第二个为：55*99=5445；
所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。

2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯
在上面的两个横式中，相同的汉 字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的
数字。那么“迎+春+杯”等于多少？
分析： 同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=
81，于是，迎=8；
这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。
三、拓展提升

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：
(1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。
2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：
(1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。
3.在下列各式的□中填入合适的数字：
(1)448÷□□=□；
(3)13×□□= 4□6。
4.在下列各式的□中填入合适的数：
(1) □÷32＝8„„31；
(3)4837÷□＝74„„27。
答案与提示 练习22
(2)573÷32＝□„„29；
(2)2822÷□□=□□；

4.(1)287；(2)17；()65。

（二）
竖式字谜


例1 在图4-1所 示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不
同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的 两位数是多少？

分析： 首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个 数
的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。 再看十位，“欢”是5，加上个位有
进位1，那 么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是
“人”，所以“人”只能是2；由此可知 ，“喜”等于8。 所以，“喜欢”这两
个汉字所代表的两位数就是85。

例2 在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示
不同的数字．如果：巧+解+数 +字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多
少？

分析：还是先看个 位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，
“谜”必定是5（0显然可以排出）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位
2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”相加
再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，（ 1）如
果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明
“解”只能 是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，
不能； （2）如 果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，
那说明“解”只能是8；5+6+ 9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的
三位数是965。

例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字

表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．


分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”
就相应的只能是0或1。 但是“华”=1，所以，“人”就是0； 再看百位，“人”=0，
那么，十位上必须有进位，否则“港 ”+“人”还是“港”。由此可知“回”比
“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进 位。于是可以确定
“香”等于9的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大1，那么“爱”就等于8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相
加至少12，至多 13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”=6，“归”=7。
这样，整个算式就是：9567+1085=10652。

例4 图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示
从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？


分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；
千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位
向千位进位是 2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，
X=3，这是只剩下了2、4 、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，
T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F =2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。

二、训练巩固

1. 在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代
表不同的数字． 那么D+G等于多少？

分析：先从最高位看，显然A=1， B=0，E=9；接着看十位，因为E等于
9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C= 7；这样，D、G有2、4，
3、5和4、6三种可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。

2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成
的数相 加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求
王老师家的电话号码．
分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，
abcd+ef g=9063，abc+defg=2529；
首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可 以看出，d=1；再回到第一个
算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9， 掉到第二个算式，
b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。

3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比
原数大7902， 那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？
分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；
由最高 为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接
下来看百位，b最 大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是
1989。

三、拓展提升
1.已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？



分析：由17的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。
2. 某个 自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成
的新数恰好是原数的4倍．问原数最 小是多少？
分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位 为
5；4*5+2=22，原千位为2；
4*2+2=10，原万位为0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是102564。
3. 在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示

不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？


分析： 同第10题一样，也是利用17的特点。因为每个字母代表不同
的数字，因此“好”只有3和6可选：
好=3，则：142857*3=428571；好=6，则：142857*6=857142；两个 都能满足，所
以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。



（三）
趣味九宫格





九宫格型数字推理即在九宫格中已知8个数，根据已知数之间的关系，求出
未知的项。此种类型 的观察角度为横向、纵向、对角线，考查最多的是横向，一
般考查三个数之间的线性关系，可从大数入手 考虑。有时，会整体考，比如行列
各个数之和的关系。

1．

A．7 B．5 C．3 D．9
【答案】C。解析：每行三个数字之和依次是20，（30），40，是等差数列。
2．

A．27
3．
B．8 C．21 D．18
【答案】D。解析：每行前两个数字之差除以3等于第三个数。（63-9）÷3=（18）。

A．14．2 B．16．4 C．18．6 D．15
【答案】A。解析：每行第一个数字加1等于后两个数字之和。
4．

A．6．1 B．5．3 C．4 D．2
【答案】D。解析：从每行来看，第一个数字加2，再乘以第三个数字等于中间
数字。
5．

A．20．4 B．18．6 C．11．6 D．8．6
【答案】B。解析：每行第三个数字减去第二个数字，再乘以2等于第一个数字。

第四讲 图解法解应用题



一、例题与方法指导

例1 小明 早晨起床,要完成这几件事:起床穿衣5分钟,刷牙洗脸6分钟,在火
炉上烧水煮面要16分钟,整理房 间8分钟,为了尽快做完这些事,最少要 分
钟.
思路导航：

用图表示:

16 分
5分
5
1
2

烧、煮
起床


8 分 6 分
3 4

整理 刷牙、洗脸

所以是5+16=21(分)

例2 少先队员参加植树劳动,每人植树2棵,如果一个人挖坑,一个要25分,
运树苗一趟( 最多可运4棵)要20分,提一桶水(可浇4棵树)要10分,栽好一棵树
要10分.现以两个人为一小 组合作,完成植树任务最少要 分钟.
思路导航：



甲
挖3个坑
种1棵树

10分
75分

完成

栽3棵树
运苗 提水 挖1个坑

乙

20分 10分
25分

所以:75+10=85(分)

例3 甲、乙两地相距6千米,小晶从甲地、小红从乙地同时相向而行,在两村
之间 不断地往返行走,在出发后40分钟,两人第一次相遇.小红到达甲村后返回,
在离甲村2千米处,两人 第二次相遇,求小晶和小红的速度各是 、 .
思路导航：
小晶5千米小时;小红4千米小时.

甲


晶


相遇
相遇
红
乙

合走1个全程要40分,3个应是40×3÷60=2(小时)
晶:(6+4)÷2=5(千米小时)
红:(6+2)÷2=4(千米小时)

例4 早上10点8分,小明放学回家,8分钟后,周老师骑车追他,在离学校4
千米的地方追 上了他,然后周老师立即回校,回到校后又追小明,第二次追上时刚
好离家8千米,求这时是 时 分.
思路导航：

早上10点8分放学,小明从学校回家,8分钟后 ,周老师骑车追他,追上时离校
4千米,后来老师马上回校后又追他,追上时小明也只走了4千米,从下 图可知,照
后来速度算,周老师前面应走4×3=12(千米).因为少走8分钟,所以少走12-4= 8
千米.所以现在时间应是:10:08+0.08+0.16=10:32.

校

4千米 4千米
明

时间一样
周



二、巩固训练

1.
A
,
B
,
C
,
D
,
E
五位同学进行象棋单循环比赛,已知
A
,
B
,
C
,
D
已经赛过的盘数
依次为 4,3,2,1盘,此时,E赛了 盘.
2.有号码为1,2,3,4 四名运动员,在一 次比赛中获得了前4名,已知:①每个
运动员的号码都与自己的名次不符;②某运动员的名次是第四名运 动员的号码,
而此人的号码又是2号运动员的名次.③3号运动员不是第一名,那么1号得
名,二号得 名,三号得 名,四号得 名.
3.四名棋手进行循环比赛,胜一局得2分,平一局得1分,负一局得0分.如果
各人得的总分不同,第 一名不是全胜,那么,至多有 局平局.
4.京华小学五年级学生采集标本,采集昆虫标本 的有25人,采集植物标本的
有19人,两种标本都采集的有8人,全班共40人,没有采集标本的有 人.

答案：
1.两盘.
用连线表示两人已赛过一场,
A应画四条线,
B
应画3条,但不能连
D
,又有一
条
AB
,所以,
B
只画
BC
,
BE
.从
C
出发应有两条,已有.所以
E
只赛了两盘.

A

B E


C

D
2. 1号第三,2号第一,3号第四,4号第二.
由①、③可知,第一名是2或4,依题意画图如下:

1 4 3 ①
2 3 4 1 ②
4 1 3 ③
4
以上六种情况中,符合题意的只有③方案.
1 2 3 ④
3 1 2 ⑤
2 1 ⑥

3. 3局.
四名棋手应赛4×3÷2=6(局),应决出2×6=12(分)
又各人得分不同,且第一名不是全胜,可知他们得分只有:12=5+4+2+1或
12=5+4+3+0两种.
再由“平局最多”可决定甲5分,乙4分,丙2分,丁1分.这样应:

胜
甲 丙



胜
平
平



平

乙 丁

胜

4. 4人.
作下图:


昆虫标本
植物标本

8

25人
19人
人


昆虫、植物标本


40-(25+19-8)=4(人)

三、拓展提升

1.有 100名旅客,其中有10人不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂
俄语,既懂英语又懂俄语 的有 人.
2.某班数字、英语的期中考试成绩如下,英语得100分的有12人,数 学得100
分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人,这个班有学生 人.

答案：9. 68人.
作下图:

不懂
英语
俄语

的有
75人
83人

10人

都懂的

75+83-(100-10)=68(人)

10. 45名.
作下图:

英语100
数学100

两门
3

12人
10人
都不
人

得100

两门100 26人

12+(10-3)+26=45(人)


第五讲 列方程式解应用题
一、例题与方法指导
例1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分3个,那么 还剩32
个.如果每人分8个,还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?
苹果数不变(抓不变量)、间接设未知数




例2 一条鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个
身长，这条鱼全长多少米？
间接设未知数
设鲨鱼身长x米。 身长=头长+尾长，
尾长= x÷2＋3 身长＝3＋x÷2＋3，

例3 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只?
解答：假设60只都是鸡，没有兔，那 么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。
这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设 的鸡脚比兔脚多的
数比实际上多120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只， 兔脚
增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有
兔子10只，鸡60-10=50(只)。

二、巩固训练
1. 有一些糖，每 人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，
那么每人4块就少2块.问这些糖共有多 少块?
解，等量关系为两种分法的糖总数不变
设开始共有x人，

5x+10=4×1.5x-2，
解得x=12，
所以这些糖共有12×5+10=70块．

2.
甲、乙、丙、丁四人今年 分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄
和是丙、丁年龄和的2倍？
解 答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的
年龄和是丙、丁年龄和 的2倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是
相同的。
设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.
16+12-2x=2×(11+9-2x),
解得x=6.
所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.



第六讲 植树问题

只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心 观察，这些
树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，
我们 把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封
闭型的（开放型的）。
封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：
1、不封闭型的（ 多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、
间距、棵数的关系是：
但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：
如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵
数的关系就是：
2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：

植树问题的三要素：
总路线长、间距(棵距)长、棵数．
只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
植树问题的分类：
⑴直线型的植树问题 ⑵封闭型植树问题 ⑶特殊类型的植树问题

一、例题与方法指导

例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂
柳多少棵?
思路导航：

每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长 1000
米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树
中间种植2株夹枝桃，可栽柳树 多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距
多少米?
思路导航：

在 圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树
=1350÷9=150株；由于两株 柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）
为150，所以栽夹枝桃的株数=2×150=300 株；每隔9米种柳树一株，在两株夹
枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2 株等距离栽
在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9÷(2+1)=3(米)。
例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现
在要进行调整，变 成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还
有几个牌不需要移动？
思路导航：
16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间 隔，
这条街的总长度为8×15＝120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么
不移 动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；
8×3=12×2=24，也就是说，每 24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；
120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个， 所以，中间不需要移动的有
5-1=4个。
事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题 的总称，并不单指植树问
题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题
的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。

二、巩固训练

1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层
走到4 层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？
思路导航：：
要求还需要多少 秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，并且知道从
4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到 4层，事实所爬的层数只是4-1=3
层，所以上一层楼梯需要的时间是48÷（4-1）=16（秒） ；又，从4楼走到8楼
共需走8-4=4层楼梯，所以还需要的时间是16×4=64秒。
2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前
后每行间隔为2米，主席台长 42米，他们以每分钟45米的速度通过主席台需要
多少分钟?
思路导航：：
12 5人参加运动会入场式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么这里25
行就相当于直线上的2 5棵树，所以，这列队的长度为两端植树的路的长度，全
长是2×(25-1)=48米；这列队伍通过 主席台，所走的总路程应该是队伍长度与
主席台长度之和，即：48+42=90米，所以，他们通过主 席台的时间是90÷45=2
分钟。
3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样
的铁环连在一起有多长？
思路导航：：
根据上图所示，要求出它的总长度是多少，关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米，注意到重叠部分，后面连上的铁环将有2
个厚度是重叠的，也就 是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4厘米-2×6毫米
=40毫米-12毫米=28毫米； 根据我 们前面所讲的植树问题，五个铁环连在一起，
“环扣”数为5-1＝4(个)，所以，五个大小相同的铁 环连在一起时，总长度为
40+4×28＝152(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1)
×28=292(毫米)。
4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5
分钟，共需多少分钟?
思路导航：：
要求需要的时间，我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里
面包 含有24÷3=8个3米，8段有8-1=7个间隔，即木工只需锯7次，
那么，每次5分钟,一共需要 用时5×7=35分钟。


三、巩固训练

1 一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从
每个小三角形的顶点开始，到下 一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有
多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

思路导航：：
由题意可知，大三角形的边长是小三角形边长的2倍，因为每个小三角形的
边上均匀栽9株， 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成，
所以，大三角形的每条边上栽的棵数为：9 ×2-1=17棵；又大三角形三个顶点上
栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以，大三角形三条边上 共栽花：（17-1）
×3=48棵；再看图中间的阴影小三角形，每边所栽花的棵数就是一个两端不种
树的植树问题，所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵，中间共栽花：
7×3=21 棵，所以，整个花坛共栽花：48+21=69棵。

2 时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

思路导航：：
4点钟敲4下，共12秒，而4下中间有3个间隔，说明每一个间隔的秒数为
12÷（4－1）=4秒 ；12点敲12下，中间有11个间隔，所以一共需要4×（12
－1）=44秒敲完。

3 铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经
过第1根电线杆起 到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？
思路导航：：
从第1根电线杆起 到第37根电线杆，共有37-1=36个间隔；每隔50米有一
根电线杆，也就是说间隔为50米；那 么，行使的总路程为：50×（37－1）=1800
米；2分钟=2×60秒=120秒，共行180 0米，所以，火车速度为：1800÷120＝
15米／秒。



第七讲 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡 与兔的
总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题，在现实生活和
生产中应 用广泛，有着十分重要的使用价值。
鸡兔问题，也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部 的只数都
是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出
鸡和兔 的只数。

计算时的主要数量关系是：
1.如果假定全部是兔，则
鸡的只数=（每只兔的足数×总头数－总足数）÷（每一只鸡与兔足数的差）
简单理解就是：
鸡的只数=（4 ×总头数－总足数）÷2

兔的只数=总头数－鸡的只数
2.如果假定全部是鸡，则
兔的只数=（总足数－每只鸡的足数×总头数） ÷（每一只鸡与兔足数的差）
简单写就是
兔的只数=（总足数－2 ×总头数） ÷2
鸡的只数=总头数－兔的只数

一、例题与方法指导
例1. 鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只？
思路导航：
鸡有2只脚， 兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只
脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚 ，那么兔子和鸡一样，都是2只脚。
鸡和兔的总脚数就是100×2=200（只），但比实际320只 脚要少320－200=120
（只），为什么会少了120只脚呢？是因为每只兔子只算一只前脚，一 只后脚，
而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚，一共少算了
120 只脚，所以兔子应该有120÷2=60（只）。
解法一： 解法二：
2×100=200（只） 4×100=400（只）
320－200=120（只） 400－320=80（只）
120÷2=60（只） 80÷2=40（只）
100－60=40（只） 100－40=60（只）

答：鸡有40只，兔有60只。
例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张，已知它们的总面值是940元，
这两种纸币各多少张？
思路导航：

（1）假设200张纸币完全是2元，共值：
2×200=400（元）
（2）比实际少：
940－400=540（元）
（3）2元换成5元，每张增加：
5－2=3（元）
（4）5元纸币有：
540÷3=180（张）
（5）2元纸币有：
200－180=20（张）
答：有180张5元、20张2元纸币。

例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多25只，脚数共176只，鸡、兔各多少只？
思路导航：

假设 去掉多的25只鸡，则一共去掉2×25=50（只）脚，那么176－50=126
（只）脚是鸡和兔 一样多的脚的总数量，而一对鸡兔共有2＋4=6（只）脚，可
以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和 兔，然后再加上去掉的25只鸡。
2×25=50（只）

176－50=126（只）
2＋4=6（只）
126÷6=21（对）‥‥‥鸡、兔各21只
21+25=46（只） ‥‥‥鸡的只数
答：鸡有46只，兔有21只。

二、巩固训练

1.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只。鸡兔各多少只？



2.鸡兔同笼，共有头80只，鸡的脚数比兔的脚数多40只，鸡兔各多少只？



3.30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？



三、拓展提升

1.鸡兔共100只，鸡的脚数比兔少40只，鸡兔各多少只？
2.46人去划船，一共乘坐10条船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各
多少条？
3.某车棚共停放三轮车和自行车共39辆，两种车轮总和96个，三轮车和自行车
各多少辆？


第八讲 移多补少平均数
在日常生活中，我们经常遇到这样的情况 ：有几个杯子，里面的水有多有少。
要想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯 子里。反复
几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”„„
也就 是求平均数问题。

一、例题与方法指导

例1.小刚有5个抽屉，分别 有图书33本，42本，20本，53本和32本，平
均每个抽屉里有图书多少本？
思路导航 ：
分析：如果要求平均每个抽屉里的图书，就是把5个抽屉的总数除以
5。

（33+42+20+53+32）÷5=36（本）

或取较为中 间的一个数，如35作为基数，再把每个抽屉中的书本与35的差算出
来。将这些差相加减，多出的为加 数，不足的为减数，所得的数除以5，再加上
基准数35，得出的就是要求的平均数。
提出总数，份数，平均数
5个抽屉书本书的总合就是“总数”，5个抽屉式“份数”。得到关系式：
平均数=总数÷份数 由此关系式可得出
总数=份数×平均数
份数=总数÷平均数

例2. 小名参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想通过一次语文测验，
讲 5次的平均成绩提高最少70分，那么在下次测验中，他至少要得多少分？
分析1：知道前四次的语文 平均成绩后可以求出前四次的总成绩题目中要求是五
次的平均成绩提高到70分，那么可以求出5次的总 成绩，再用五次的总成绩减
去四次的成绩，得到的就是第五次最少应考多少分。

思路导航：
68×4－70×5=78（分）
前四次平均为68分，要求平均分为 70分，前四次一共差了（70－68）×4=8（分）
那么第五次至少要考70+8=78（分）

例3.甲、乙两人带着同样多的钱，用他们全部的钱买了香皂，甲拿走了12
块乙拿 走了8块，回家后甲补给乙4元，每块香皂多少元？

思路导航：
因为甲乙两人带 的是同样多的钱，两人的钱也已经全部用完，甲乙两人平均
买了（8+12）÷2=10（块）香皂，而 实际甲多拿了12－10=2（块）香皂，2块香
皂是4元，则一块香皂是4÷2=2（元）

二、巩固训练
1.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最
大的人可能是多少岁？
分析：4个人的平均年龄是18岁，那么四个人一共就有18×4＝72（岁），题目
中告诉我 们4个人中最小的只有14岁，如果要求年龄最大的那么其余3个人都
应是最小的，则72－14×3＝ 20（岁）

2. 有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数
是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？
分析：从题目我们可以知道 甲＋乙＝42×2=84 乙＋丙＝47×2=94 甲＋丙＝46
×2=92
2（甲+乙+丙）=84+94+92=270 甲：135－94=44 乙：135－92=43 丙：135－84
＝51
先求出甲乙丙三个数的和，知道另外两个数的和酒可以求出第三个数。

3. 某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路下山。上山时的速度是每 小
时2千米，下山时的速度是每小时6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速
度是每小时多 少千米？
分析：要求上、下山的平均速度先求上下山的总路程和处以时间即可。
解：2×12÷（12÷2＋12÷6）=3（千米）
总结：今天我们学习了如何求平均数， 平均数的意义，也知道在解题过程中，可
以运用到平均数的意义。希望同学们通过今天的学习可以掌握所 学的知识。


三、拓展提升
1.一位小朋友的语文成绩是96分，数学 成绩是90分，英语成绩是84分，求他三门
的平均分。
2.甲、乙、丙三个数的平均数是150，甲数是48，乙数与丙数相同，求乙数。
3.小明 和小红一起带着同样多的钱去学校旁边的文具店买铅笔，他们用全部的钱买了
铅笔，小明买了12只，小 红买了8只，回去后小明给了小红4元，每支铅笔多少元？
4.
如果4个人的平均年龄是18 岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可
能是多少岁？

5.
有 甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数是47，甲
数和丙数的平均数是4 6，求甲、乙、丙这三个数各是多少？




第九讲 归一问题

为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，
就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是
归一说法的来 历吧！
归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行
1 50千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路
队6小时修路1 80千米，照这样，修路240千米需几小时？
正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出 单一量；不同点在第二步.正
归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

一、例题与方法指导
例1. 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？
思路导航：
为了求出蜗牛 1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后
以这个数目为依据按要求算出结果 。
解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）
② 1小时爬几米？1小时=60分。
2×60=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。
还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（ 即60分是6

分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。
解：1小时=60分钟
12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）
或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）
答：小蜗牛1小时爬行12米。

例2. 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时 磨了6000千克.照这样计算，磨
完剩下的面粉还要几小时？
思路导航：
通过3 小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几
小时，所以剩下的量除以1小时 磨的数量，得到问题所求。
解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）
答：磨完剩下的面粉还要7小时。

例3. 学校买来一些足球和篮球.已知买3个 足球和5个篮球共花了281元；买3个
足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球 共花多少元？
思路导航：
要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和 每个篮球各多少元.
根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个 ），总价
差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱 ，一
个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。
解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）
=37元
②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）
③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）
答：买5个足球，4个篮球共花308元。

例4. 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.
由于 缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？
思路导航：
我 们把1个工人工作1小时，作为1个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划
需要多少“工时”呢？ 求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为
标准，不管人数增加或减少，工期延长 或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达
到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数， 问题就解决了。
解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：
8×18×7.5=1080（工时）
②增加6人后每天工作几小时？
1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）
③每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时）
答：每天要加班工作3.25小时。

二、巩固训练
1.一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单 开进水管8
小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水

排空？
分析 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于 先求出进水速度和排
水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内 排出
的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所
需 时间。
解：①进水速度：480÷8=60（吨小时）
②排水速度：480÷6=80（吨小时）
③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）
列综合算式：
480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）
答：两管齐开需24小时把满池水排空。

2. 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需
要增加同样的卡车多少辆？
方法1：
分析 要想求增加同样卡车多少辆，先要 求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运
完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运 多少吨沙土。
解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？
336÷6÷7=56÷7=8（吨）
②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？
560÷5＝112（吨）
③需要增加同样的卡车多少辆？
112÷8-7＝7（辆）
列综合算式：
560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）
答：需增加同样的卡车7辆。
方法2：
在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①336 ÷6
÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡
车的载重量 。
在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：


求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了。


3. 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作，在相同时间内，甲
打字 2450个，乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个？

已知 条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.”既然知道
了“时间相同”，问 题就容易解决了.题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字
3600个.”这样可以先求出“甲乙 二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了.
解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？
3600÷4＝900（个）
②“相同时间”是几小时？
（2450＋2050）÷900＝5（小时）
③甲打字员每小时打字的个数：
2450÷5=490（个）
④乙打字员每小时打字的个数：
2050÷5=410（个）
答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个。
还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字
3600个 ；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出
在相同的时间内 ，甲乙二人共打字 2450+2050=4500（个）；打字 3600个用4小时，打字
4500 个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时
间”。
解：①“相同时间”是几小时？
4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）
②甲每小时打字多少个？
2450÷5=490（个）
③乙每小时打字多少个？
2050÷5=410（个）
答：甲每小时打字490个，乙每小时打字410个.

三、拓展提升
1. 花果山上桃树多，6只小猴分180棵.现有小猴72只，如数分后还余90
棵，请算出桃树有几棵？
2. 5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加
几箱蜜蜂？
3. 4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升.现有5辆汽车同时运货到相距
800千米 的地方，汽油只有1000公升，问是否够用？
5台拖拉机24天耕地12000公亩.要18天耕完 54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？

答案：
1.180÷6×72+90=2250（棵）
或：180×（72÷6）+90=2250（棵）
答：桃树共有2250棵。
2.300÷（75÷5）-5=15（箱）
或 5×[（300-75）÷75]=5×3=15（箱）
答：要增加 15箱蜜蜂。
3.提示：要想得知1000公升汽油是否够用，先算一算行800千米需要的汽油，
然后进行比较.如 果大于1000公升，说明不够用；小于或等于 1000公升，说明够用。

240÷4÷300×5×800=800（公升）
800公升＜1000公升，说明够用.
答：1000公升汽油够用。
4.提示： 先求出1台拖拉机1天耕地公亩数，然后求出18天耕54000公亩需要
拖拉机台数，再求增加台数。

答：需要增加 25台拖拉机.





第十讲 倒推法


师说：“这里有10张纸牌，依次写着1 -10，我闭上眼睛，你任意抽一张出来。”“好，
已抽好了。”乙回答道。“嗯，把你的那张纸牌上的 数乘上6再加9，然后除以3再加上2。
算好后告诉我得数是几。（可任意找学生抽卡片）
乙又说：“得数是23。”
那她抽的那一张是几呢？
这个数是9，我们怎么知道？同学们，你们都知道其中的奥秘吗？
让这节课来告诉大家吧，
利用倒推法，倒推法是根据加法与减法、乘法与除法互相逆运算的关系，从最后的得
数出发。因 为23是加上2后得到的，就要减去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上
3，得63；63是加 上9后得到的，就就要减去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以
6，得9。所以乙抽到的那一张 一定是9。一些游戏，只要你知道其中的奥秘后，你就不
会大惊小怪了。

一、例题与方法指导

例1. 喜迎奥运，猜年龄:刘翔的年龄除以4再减去2,乘25正好是100.你知道刘翔
今几岁吗 ？
思路导航：

① 100÷25+2×4 ② 100÷(25+2×4) ③ (100÷25+2)×4到底是哪个呢？
倒推法的方法：从结果出发，从后向前运算，并且每个运算变成它的逆运算。正确答
案③

例2. 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走 余下的一半多1个.小
军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨 多少个？
思路导航：

依题意，画图进行分析.

解：列综合算式：
｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.

例3. 菜站原有冬贮大白菜若干千克 .第一天卖出原有大白菜的一半.第二
天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果 剩余白菜的3倍是
1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？
思路导航：

解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量
关系清晰的展现出来.

解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）
②第二天运进200千克后的一半是多少千克？
600＋30＝630（千克）
③第二天运进200千克后有白菜多少千克？

630×2＝1260（千克）
④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）
⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）
答：菜站原来贮存大白菜2120千克.
综合算式：
［（1800÷3＋30）×2—200］×2
＝2120（千克）
答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.

通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号


二、
巩固训练


1. 一次数学考试后，李 军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数
减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56 .”小朋友，你知道于昆得多少分
吗？



2. 马小虎做一道 整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的
7看成1，结果得出差是111.问正确答案 应是几？



3. 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树 上飞走8只落到第二棵
树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：
原来每棵树上各落多少只鸟？

三、拓展提升
1. 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分
数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少
分吗？
分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推
法进行分析，就像剥 卷心菜一样层层深入，直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加 上10，再
除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？
把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：
｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推 回去.因为56是
乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除
以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88
是减8以 后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.
解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56
［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4
答：于昆这次数学考试成绩是96分.
通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号.
2. 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7 ，把减数十位上
的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？
分析 马小虎错 把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位
上的7看成1，使差增加70—10＝60.因 此这道题归结为某数减6，加60
得111，求某数是几的问题.
解：111－（70—10）＋（7—1）＝57

答：正确的答案是57.
3. 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第 二
棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.
问：原来每棵 树上各落多少只鸟？
分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每
棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵
树上飞来的6只后得到的 ，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同
理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）. 第一棵树上原落鸟16＋8＝
24（只），使问题得解.
解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）
②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）
③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）
④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）
答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.
4. 篮子里有一些梨.小刚取走总数 的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.
小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨 1个.问：篮子里原有
梨多少个？
分析 依题意，画图进行分析.

解：列综合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.

5. 甲乙两个油 桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩
下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油 增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲
桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售 货员从两个
桶里各卖了多少千克油？
分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多 少千克.已知“甲、
乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油
桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及
“这时甲桶油恰是乙桶 油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油
多少千克.
求出甲、乙两个油桶最后各 有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲
桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油 桶各卖出
多少千克.
解：①甲乙两桶油共剩多少千克？
15×2-14＝16（千克）
②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）
③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）
用倒推法画图如下：

④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克）
⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克）
答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.



第十一讲 列举法

解应用题时，为了解题 的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一
一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题 的目的。这种分析、解决问
题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要
画图。

一、例题与方法指导

例1. 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
思路导航：
解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
总共10+10=20（个）
答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

例2. 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到
C市有几种走法？（适于三年级程度 ）
思路导航：
解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法：A ① B ④ C
第二种走法：A ① B ⑤ C
第三种走法：A ② B ④ C
第四种走法：A ② B ⑤ C
第五种走法：A ③ B ④ C
第六种走法：A ③ B ⑤ C
答：从A市经过B市到C市共有6种走法。

例3. 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？
思路导航：

（1）数码一共有10个：0、1、2„„8、9。0不能用于表示页码，所 以页
码是一位数的页有9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因 为99-9=90，所以，页码是
两位数的页有90页，用数码：
2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是 三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，
而剩下的1701个数码 除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3
位数，不必考虑是4位数了。往下要看1 701个数码可以排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）


二、巩固训练
1. 如图 9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要
使这3张卡片上的数字之和为9 。问有多少种不同的取法？
解答：三数之和是9，不考虑顺序。1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9
答：有3种不同的取法。
2.从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和 大
于10，共有多少种不同的取法？
解答：两数之和大于10，不考虑顺序。8+7，8+6，8+5，8+4，8+3 7+6，7+5，
7+4 6+5
答：共有9种不同的取法。
3. 现在1分、 2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，
一共有多少种不同的支付方法？

解答：2角3分=23分 5×4+2×1+1×1=23，5×4+1×3 =23，5×3+2×4=23，
5×3+2×3+1×2=23，5×3+2×2+1×4=23
答：一共有5种不同的支付方法。
4. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？
需要考虑吃的顺序不同。7，5+2，4+3，3+4，3+2+2，2+5，2+3+2，2+2+3
答：有8种不同的吃法。
5.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少 订99份，最多101
份。问一共有多少种不同的订法？
解答：3个工厂各不相同，3 数之和是300份，要考虑顺序。99+100+101，
99+101+100，100+99+10 1，100+100+100，100+101+99，101+99+100，101+100+99
答：一共有7种不同的订法.

三、巩固训练

1. 甲、乙、 丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个
位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在 第三个位置上，丁不排在第四个位置
上，那么不同的排法共有多少种？
解答：不同的排法共有9种。

2. abcd代表 一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，
但彼此不同，例如2134。请写 出所有满足关系a＜b，b＞c，c＜d的四位数abcd
来。
解答：若a最小：1324，1423；若c最小：2314，2413，3412
答：有5个：1324，1423，2314，2413，3412。
3. 一个两位数乘以5，所 得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位
与百位数字的和恰好等于十位上的数字。问一共有多少 个这样的数？
解答：设两位数是AB，三位数是CDE，则AB*5＝CDE。CDE能被5整 除，个
位为0或5。若E=0，由于E+C＝D，所以C＝D；又因为CDE5的商为两位数，所
以百位小于5。当C=1，2，3，4时，D=1，2，3，4，CDE＝110，220，330，440。
若E=5，当C=1，2，3，4时，D=6，7，8，9，CDE＝165，275，385，495
答：一共有8个这样的数。
4. 3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3 人各穿一件。现在25
个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定3人从余下的球中各取< br>球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的
3倍，穿3号衣的 人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。那么，甲穿
的运动衣的号码是多少？
解答：3人自己取走的球数是25-（1+2+3）19-2=17（个），17=3*4+2*1+1*3，< br>所以，穿2号球衣的人取走手中球数1的3倍，这是甲。
答：甲穿的运动衣的号码是2。
5. 甲、乙两人打乒乓球，谁先胜两局谁赢；如果没有人连胜两局，则谁先
胜三局谁赢，打 到决出输赢为止。那么一共有多少种可能的情况？
解答：设甲胜为A，甲负为B，若最终甲赢，有 7种可能的情况。如图。同
理，乙赢也有7种可能的情况。7+7＝14
答：一共有14种可能的情况。

第十二讲 奇数与偶数


奇数和偶数的概念：整数可以分成 奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做
偶数（双数），不能被2整除的数叫做奇数（单数）。因为偶数 是2的倍数，所以
通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数），因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）。特别注意，因为0能
被2整除，所以 0是偶数.最小的奇数是１，最小的偶数是０．

奇数与偶数的运算性质：
（1）奇数个奇数相加减得奇数 （2）偶数个奇数相加减得偶数。
（3）奇数加减偶数得奇数。（加减一个奇数会改变结果的奇偶性）
（4）任意个偶数相加减得偶数。（加减一个偶数不会改变结果的奇偶性）
（5）任意个奇数相乘得奇数。（6）偶数乘以任何数得偶数。
（7） 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.知识点：
1、奇数和偶数的运算性质
加减
：
奇+奇=偶 奇—奇=偶
口诀：同性得偶
异性得奇
奇偶性相同的两个数
的和或差都是偶数
偶+偶=偶 偶—偶=偶 或：
奇+偶=奇 奇—偶=奇
偶+奇=奇 偶—奇=奇

乘法

奇×奇=奇
奇×偶=偶
偶×偶=偶

2、奇偶数加减法常见结论：
结论一：任意个偶数的和是偶数。
根据偶数的加法性质，把任意两个偶数俩 俩结合在一起相加之后再相
加，如果还多一个就接着加，即（偶+偶）+（偶+偶）+（偶+偶）+（偶 +偶）+„
+（偶+偶）=偶+偶+偶+„+偶=（偶+偶）+„+偶=偶+偶=偶。
结论二：奇数个奇数的和为奇数，偶数个奇数的和是偶数
有2n+1个奇数 ，把前2n个奇数俩俩结合在一起相加之后，得到的都是
偶数，再把偶数相加还是偶数，最后再加上剩下 的一个奇数，结果为奇数。
结论三：两个数的和加上这两个数的差，得到的和一定是偶数，即a+b与 +a—b
的奇偶性的相同。



一、例题与方法指导

例1. 用数字1、3、0可以组成多少个没有重复数字的奇数和偶数？
思路导航：
注意特殊数字“0”，因为偶数的个位数字为偶数，所以在0、1、3这三个数
中要想得到偶数，0必 须在个位上，有0、10、30、130、310 共5个；奇数的个
位数字为奇数，所以要有1或3在 个位，有1、3、13、31、103、301共6个。

例2. 3+5+7+9+11+13+15+17的和是奇数还是偶数？为什么？
思路导航：
运用结论二：偶数个奇数的和是偶数。
拓展：1×3×5×7×9×11×12×13的积是奇数还是偶数？
奇×奇=奇 ，所以1×3×5×7×9×11×13的积为奇，再×12,12是偶数，
奇×积=偶，所以积为偶数 。充分利用奇数偶数的运算性质。

例3. 有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码
之和能否使1999？
思路导航：
20张纸每张纸反正两面的两个页码之和是（奇+偶=奇），20个奇数的和是偶
数，不可能为奇数，所以这20张纸上的所有页码之和不可能为1999


二、巩固训练
1. 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的四只杯子，问能否< br>经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
【分析解答】杯子要反过来，要翻奇数次，6 个杯子共需要翻6×奇数=偶数
次，规定每次翻4个杯子，总翻的次数为4×翻动次数，因为4是偶数， 所以总
翻动次数为偶数，因此，有可能经过有限次翻动使6个杯子开口全都向下。

2. (1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？
(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？
(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×15。

解：根据奇偶数的运算性质：
(1)因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数 。又因为429是奇数，所以
(524+42-429)是奇数。
(2)数(42□+30- 147)能被2整除，则它一定是偶数。因为147是奇数，所以数(42
□+30)必是奇数。又因为 其中的30是偶数，所以，数42□必为奇数。于是，□
里只能填奇数1，3，5，7，9。
(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇
数„„ 推知
1×3×5×7×9×11×13×15
为奇数。因为14为偶数，所以
(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即
1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。
3. 能被5整除的数的特征
由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，„可以推想任何一个
偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。
由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，„可以推想，任何一
个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。
因此，能被5整除的数 的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位数是0
或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5 的整数一定不能被5整除。
例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264， 3588等都不能被5整除。


三、拓展提升
1.在20～200的整 数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之
和谁大？大多少？

2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
(1)1＋2＋3＋4＋5；
(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；
(3)1＋2＋3＋„＋9＋10；
(4)1＋3＋5＋„＋21＋23；
(5)13-12＋11-10＋„＋3-2＋1。
3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？
4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？
5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？
20×21×22ׄ×49×50
6.用0，1，2，3，4，5这六个 数码组成的没有重复数字的两位数中，能被
5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几 个？

答案与提示 练习18
1.解：偶数有(200-20)÷2＋1=91(个)，
奇数有(200-20)÷2＝90(个)，偶数之和比奇数之和大1×90＋20=110。
2.(1)奇数；(2)偶数；(3)奇数；
(4)偶数；(5)奇数。
3.6个。
提示：卡片6可以看成9，能被2整除的有
564，654，594，954，456，546。
4.22。
解：13为奇数，它 必是一奇一偶之和。因为质数中唯一的偶数是2，所以这两个质数中的偶
数是2，奇数是13-2＝11 ，乘积为2×11=22。
5.9个0。
6.有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10整除。





第十三讲 周期性问题

之前已经见过“找规律”这个题目， 学习了如何发现图形、数表和数列的变
化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是 周期性变化规
律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的
夏 季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了
春天。年复一年，总是按照 春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。
再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2 ，0，„是按照0，1，2三个数重复
出现的，这也是周期性变化问题。
下面，我们通过一些例题作进一步讲解。

一、例题与方法指导

例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3
盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、„„这样排下去。问：
（1）第100盏灯是什么颜色？
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
思路导航：

这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循
环出现。
（1）100÷12＝8„„4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。
（2）150÷12=12„„6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中
有蓝灯4×1 2＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49
（盏）。

例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6
个数是6，第1 1个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？
思路导航：

因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与
第5个数相同。进一步 可推知，第1，5，9，13，„个数都相同。
同理，第2，6，10，14，„个数都相同，第 3，7，11，15，„个数都相同，
第4，8，12，16„个数都相同。
也就是说， 这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数
等于第6个数，是6；第3个数等于第1 1个数，是7。前三个数依次是3，6，7，
第四个数是
25-（3+6+7）=9。
这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。
由77÷4＝ 9„„1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。

例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的
个位数。问：这串数中第88个数 是几？
628088640448„
思路导航：

这串数看起来没有 什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个
相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这 两个相邻数字后面的数字必然与
前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们 试着将
这串数再多写出几位：

当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就 会发现，它们与第1，2位数相
同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4„„ 8知，第88
个数与第8个数相同，所以第88个数是4。
从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。

例4 在下面 的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个
位数字。那么在这串数中，能否出现相邻 的四个数是“2000”？
7134„

思路导航：

无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周
期，因为这个周期很 长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，
这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都 是它前面四个数之和的个位数字”，
如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇„„
可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环 出现的，永远不会出
现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。


二、例题与方法指导


1. A，B，C，D四个盒子中依次放有8 ，6，3，1个球。第1个小朋友找到
放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第 2个小朋友也
找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子„„当100
位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？
分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如
下表：

可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从
第2 人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。
（100-1）÷4＝24„„3，
所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒
中依次 有4，6，3，5个球。
2. 有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿 珠
的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红
珠？



3. 将1，2，3，4，„除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个
数列前100个数的和。

4. 有一串数，前两个数是9和7，从 第三个数起，每个数是它前面两个数
乘积的个位数。这串数中第100个数是几？前100个数之和是多 少？




三、拓展提升

1. 有一列 数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个
位数。这列数中第88个数是几？
2. 小明按1～3报数，小红按1～4报数。两人以同样的速度同时开始报数，
当两人都报了 100个数时，有多少次两人报的数相同？
3.
，B，C，D四个盒子中依次放有9，6， 3，0个小球。第1个小朋友找到
放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小 朋友也找
到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球„„当100个小
朋友 放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？




第十四讲 有趣的几何图形

我们通常会碰到一些图形，它们在某一方面，比如颜 色，形状，大小，结构，
位置或繁难等有些共同的特征或变化规律，你能通过观察找规律，并根据规律推
断出结果吗？

一、例题与方法指导

例1. 下面哪个图形和其他几个不一样，你能找出来吗？
A
思路导航：

B
C
D

题中几个图形的共同特征是：先连接各边中点，组成一个复 合图形。所不同
的是，B图形是一个三角形，而其他几个图形都是四边形，这样，只有B与其他
几个不一样。


例2. 找出下组图形中不同的项。

A
思路导航：

B
C
D
E

题中 只有D图形不是由A翻转过来的，其他图形都是在同一个平面内通过把
A图形旋转而得到的。故不同的选 项应该为D

例3. 在下面图形中找出一个与众不同的.





(1) (2) (3) (4) (5)


思路导航：
很容易看出题目图中( 1)逆时针旋转
90
就是(4),但是这样一来,(2)、
(3)、(5)都与它们 不同了.题目上要求找出一个.所以放弃这种想法.
图(2)顺时针旋转
90
,且 大、小两个矩形颜色互换一下就得到(5).而图(1)
与(3)的变化规律也是这样:顺时针旋转90
,大小两部分颜色互换.因此(1)与(3)
配对,(2)与(5)配对.
解:与众不同的是题目图中的(4).


例4.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.












思路导航：
我们分花盆、花茎、花叶、花朵四个部分逐步观察.
(1)花盆:花盆的形状每一行都是由同样的三种形状组成,所以第三行所缺的形状