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第三讲 鸡兔同笼问题


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你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在 1500年前，《孙
子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三 十五头，下有九十四
足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数， 有35个头；从下面
数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？

解答 思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变
成了“双 脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，
则脚 的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12
（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。

这一思路新颖而奇特 ，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。古人常用的这种思维方法叫化归法。
化归法就是在解决问 题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，
直到最终把它归成某 个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路
“假设法”！



例题精讲



【例1】 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

分析：假设46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184- 128=56只脚，这
是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2 （只）脚，那么56只脚是我
们把56÷2=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是 46-28=18。
我们称这种解题的方法为“假设法”。它是一种重要的解题思路。
当然 ，这里我们也可以假设46只全是鸡，小朋友们，请你按此思路做做这道题目！鼓励学生从两个
方面假设 解题，更深一步理解假设法。


【例2】 某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6 人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，
那么其中有多少间大宿舍？
分析：如果30间都是小宿舍，那么只能住4×30=120人，而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每 间多
住6-4=2人，所以大宿舍有(168-120)÷2=24间。


【例3】 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少
人?

分析：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和 尚分别看作鸡和兔，馍看作
腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设 100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140=160(个)。现在以小和尚去换大和< br>尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1=2(个)，因为160÷2=80，故小和尚有80人， 大和尚有
100—80=20(人)。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。


【例4】 刘老 师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问
大船、小船 各租几条？

分析：假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。假设后的总人数比实际人数多了 60-
（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐 的4人都假设成坐6人。一条小船当成大船多出2人，多出的
18人是把18÷2=9（条）小船当成大 船。所以有9条小船，1条大船。


【例5】 松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采 20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，
平均每天采14个.问这几天中有几个 雨天？

分析：因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112÷1 4＝8（天）.假设这8天全
是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8＝160（个），比实际采的多了16 0－112＝48（个），因雨天比晴天少
采20－12＝8（个），所以共有雨天48÷8＝6（天） .


【例6】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只?

分析：这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差 .这又如何
解答呢？假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚 比兔脚多200只，
而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=1 80(只)。现在以兔换鸡，每
换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减 少4+2=6(只)，而180÷6=30，
因此有兔子30只，鸡100—30=70(只)。


【例7】 鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？

分析：设鸡与兔只数一样多：274-2×26=222（只），每一对鸡、兔共有足：2+ 4=6（只），
鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222÷6=37（对），则鸡有 37+26=63（只）。


【例8】 东湖路小学六年级举行数学竞赛，共20 道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要
倒扣3分.刘钢得了60分，问他做对了几道题？

分析：这道题也类似于“鸡兔同笼”问题.假设刘钢20道题全对，可得分5×20＝100 （分），但他实际
上只得60分，少了100－60＝40（分），因此他做错了一些题.由于做对一道 题得5分，做错一道题倒扣
3分，所以做错一道题比做对一道题要少5＋3＝8（分）.40分中含有多 少个8，就是刘钢做错多少道题.

所以，刘钢做错题为 40÷8＝5（道），做对题为 20－5＝15（道）.
【例9】 乐乐百货商店委托搬运站运送100只花瓶。双方商定每只运费1 元，但如果发生损坏，那么每
打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元。 问：搬运过程中共打破了几只
花瓶?

分析：假设100只花瓶在搬运过程中一只也 没有打破，那么应得运费1×100=100(元)。实际上只得到92
元，少得100-92=8(元 )。搬运站每打破一只花瓶要损失1+1=2(元)。因此共打破花瓶8÷2=4(只)。


【例10】 香山小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少
人？ < br>分析：法1：我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求
每班有多少人就很容易了.由 此得到启示，是否可以通过假设三个班
人数同样多来分析求解。结合右图可以想，假设二班、三班人数和 一
班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班
人数要比实际人数多7- 5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、
三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是：13 5-5+（7-5）=132（人），
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3=44（人），二班：44+5=49（人）， 三班：49-7=42（人）；
法2：假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要 多5人，而三班要比实际人数多7
人.这时的总人数又该是：135+ 5+ 7=147（人）。
二班：（135+ 5+ 7）÷3=147÷3=49（人），一班：49-5=44（人），三班：49-7=42（人）。


【例11】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条 腿；蜻蜓6条腿，
两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
分析：这是在鸡兔同 笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.
因此，可先从腿数入 手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），
所差 1 18-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6 ）=5
（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13 只都是蝉，则总
翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两 对翅膀，而我们只按一对翅膀
计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.

【例12】 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡 车多
装4吨，那么这批钢材有多少吨?

分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道 每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用36
辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车 比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144(吨)。根据条
件，要装完这144吨钢材还需要 45—36=9(辆)小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9=16(吨)。由此可求出
这批钢材有7 20吨。

附加题目


【附1】 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克 ，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装
20千克。问：大、小瓶各有多少个?

分析：小瓶有(4×50—20)÷(4+2)=30(个)。大瓶有50—30=20(个)。

【附2】 鸡兔同笼，共有头100个，足316只，求鸡兔各有多少只？

分析：法1：我们可以这样想，鸡兔共有头100个，意思是鸡和兔共有100只.它们一共有脚316 只，鸡
有2只脚，兔有4只脚.假定100只全部是鸡，那么应该只有200只脚，现有316只脚。因 为每只兔比鸡
多2只脚.而现在共多316－200＝116只脚，因此应有兔子为：（316－200 ）÷（4－2）＝116÷2＝58（只）.
当然鸡就有 100－58＝42（只）.

法2：我们也可假定100只全部是兔子，那么应当有400只脚，现有316只脚，少了400－31 6＝84只脚，
说明有一部分是鸡.每只鸡比兔少2只脚，所以应有鸡为：（400－316）÷（4－ 2）＝84÷2＝42（只）.
当然兔就有 100－42＝58（只）.
鼓励学生在课堂上把自己的思路讲解出来！

【附3】有两次自然测验，第一次24道题，答 对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次
15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣 2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比
第二次测验得分多10分，问小明两次测验各 得多少分？
分析：法1：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只 做对30-24=6（题）得
分是8×6-2×（15-6）=30（分）.两次相差120-30=9 0（分）.比题目中条件相差10分，多了80分.说明
假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答 对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题
不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8 +2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）
=5（题） .因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11< br>（题）.第一次得分5×19-1×（24- 9）=90.第二次得分8×11-2×（15-11）=80.
法2：答对30题，也就是两次共答 错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），
第二次答错一题 ，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.如果
答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分” ，
要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是（6×9+10）÷（6+10）=4（题）.第一次 答错 9-4=5（题）.第
一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.
【附4】 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只?

分析：假设60只都是鸡， 没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多120只，
而实际上只多60只， 这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120—60=60(只)。现在以兔换鸡，每换
一只，鸡脚 减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此
有兔子10只，鸡60—10=50(只)。

练习三

1．鸡兔同笼，上有35头，下有94足，求笼中鸡兔各几只？
解答：有兔(94-35×2)÷(4-2)=12(只)，有鸡35-12=23(只)。

2．小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？
解答：二元五角= 250分；1角=10分；2角=20分.
假设都是10分邮票：10× 17=170（分），比实际少了：250-170=80（分），每张邮票相差钱数：20-10=10（分） ，
有二角邮票：80÷10=8（张），有一角邮票张：17-8=9（张）。
3．体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问 老
师买上衣和裤子各多少件？
解答：裤子：（24×21-439）÷（24-19）=13（件），上衣：21-13=8（件）。

4．鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
解答：鸡与兔分别有80只和20只。

5．某次数学竞赛，共有20道题，每道题 做对得5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对
了多少道题？
解答：做错(5×20-60 ) ÷(5+3)=5(道)，因此，做对的20-5=15(道)。

6．24 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有这三种小 虫16只，共有
110条腿和14对翅膀。问：每种小虫各几只？
解答：7只蜘蛛，5只蜻蜓，4只蝉。



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模糊数学

数学不是需要精确吗？怎么会需要模糊呢？你先别着急，这里给大家讲几个例子。
第 一个例子：１粒种子肯定不能叫一堆，２粒也不是，３粒也不是……那么多少粒种子叫一堆呢？适
当的界 限在哪里呢？我们能否说１２３４５６粒种子不叫一堆，而１２３４５７粒种子叫一堆呢？再举一
个例子 ，我们现在要从一片西瓜地里找出一个最大的西瓜，那是件很麻烦的事。必须把西瓜地里所有的西
瓜都找 出来，再比较一下，才知道哪个西瓜最大。西瓜越多，工作量就越大。如果按通常说的，到西瓜地
里去找 一个较大的西瓜，这时精确的问题就转化成模糊的问题，反而容易多了。由此可见，适当的模糊能
使问题 得到简化。
确实，像上面的“一粒”与“一堆”，“最大的”与“较大的”都是有区别的两个 概念。但是它们的区别都是
逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限，换句话说，这些概念 带有某种程度的模糊性。类
的，我们说一个人很高或很胖，但是究竟多少厘米才算高，多少千克才算胖呢 ？像这里的高和胖都是很模
糊了。
饭什么时候才算熟了？衣服什么样才能算洗干净？ 这些都是需要一门新的数学分支——模糊数学来
帮助解决的问题。为此，１９６５年美国的祖德教授开创 了对“模糊数学”的研究。现在，模糊数学在各行
各业中得到了广泛的应用。