江西信息应用职业技术学院-团支部书记竞选稿

整数速算与巧算（二）
知识框架
一、整数四则运算定律
（1） 加法交换律：
abba
的等比数列求和

（2） 加法结合律：
(ab)ca(bc)

（3） 乘法交换律：
abba

（4） 乘法结合律：
(ab)ca(bc)

（5） 乘法分配律：
a (bc)abac
；
(bc)abaca

（6） 减法的性质：
abca(bc)

（7） 除法的性质：
a(bc)abc
；
（8） 除法的“左”分配律：
(ab)cacbc
；
(ab)cacbc
，这里尤其要 注意，除法
是没有“右”分配律的，即
c(ab)cacb
是不成立的！
备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、利用位值原理思想进行巧算
（1） 位值原理的定义：
同一个数字，由于它在 所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身
的一个值外，还有一个 “位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，
这种数字和数位结 合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

（2） 位值原理的表达形式：
以 六位数为例：
abcdefa100000b10000c1000d100e1 0f

以具体数字为例：
38976231000008100009 100071006102


三、提取公因数思想
1. 乘法运算中的提取公因数：
（1） 乘法分配律：
a(bc)abac
或
(bc)abaca

（2） 提取公因数即乘法分配律的逆用：abaca(bc)
或
baca(bc)a

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2. 除法运算中的提取公因数：
（1） 除法的 “左”分配律：
(ab)cacbc
；
(ab)cacbc

（2） 除法的“左”提取公因数：
acbc(ab)c




例题精讲
一、位值原理
【例 1】 计算：
123223423523723823
．
【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式

(
1 0023
)

(
20023
)

(
4 0023
)

(
50023
)

(
7 0023
)

(
80023
)

(
100200400500700800
)
2362700138283 8

【答案】
2838


【巩固】 计算：
8532531153953653453

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
(82119 64)10053640100506364000300184318

【答案】4318

【例 2】 计算：
(1234234134124123)5

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2008年，第8届，走美杯，3年级，决赛，第1题，8分
【解析】 原式中千 位数的和除以
5
为，同样百位、十位、个位都为
2
，所以结果为
22 22
。

(1234)52
，
【答案】
2222


【巩固】 计算：
(9876+7967+6688+8799)5

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】填空
【解析】
(987 6+7967+6688+8799)5(9876)111156666

【答案】6666

【例 3】 计算：
(123456234561 345612456123561234612345)3

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 仔细观察我们可以发现1、2、3、4、5、6分别在个、十、百、千、万、十万6个数位上各出现
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过一次，所以
原式

[(
123456
)
100000
(
123456< br>)
10000
(
123456
)
1000

(
123456
)
100
(
123456
)
10
(
123456
)]
3



[(
123456
)
111111
]
32111111137111111777777
．
【答案】
777777


【巩固】 计算：
(12345 67234567134567124567123567123467123457123456 )7

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 括号内的7个加数，都是由1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成， 换句话说，这7个数的每一
位也分别是1、2、3、4、5、6、7，它们的和是28，即如果不进位， 每一位的和都是28．所以
原式
(28100000028100000281 000028100028100281028)7

28111111 17
1111111(287)
4444444

【答案】
4444444


【例 4】 计算：
(1234234134124123)(1234)

【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】第五届，希望杯
【解析】 原式

(
1234< br>)
1111
(
1234
)
1111
．
【答案】
1111


【巩固】 计算：(
135735 7157137135
)

(
1357
)
【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式

(
1357
)
1111
(
1357
)
1111

【答案】
1111


【例 5】 计算：
(123456 234561345612456123561234612345)111111

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
(123456)11111111111121

【答案】
21


【巩固】 计算：
(1597153353375357971791199)55555

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
(1597153353375357971791199)555 552511111555555

【答案】5

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二、提取公因数
【例 6】 计算：
36196419

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式
（3664）191900

【答案】
1900


【巩固】 计算：
361964144

【解析】 原式
361964

（19125）
（3664）1964125

19008 8125190080009900
【答案】
9900


【例 7】 计算：
315325335345
．
【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】1星 【题型】计算
【关键词】第二届，希望杯，四年级，第二试
【解析】 原式
（31323334）5

1305
26

【答案】
26


【巩固】 计算：
2847285 728672877288728972907

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式=
(2842852 86287288289290)728777287

【答案】287

【例 8】
20082006200720052007200620082005

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2007年，希望杯，1试
【解析】 原式
2006(20082007)2005(20082007)

20061200511

【答案】
1


【巩固】 计算
2000199919991998199819971997 19961996199519951994

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 题目是六项乘积的和差运算 , 其中 , 每两项中都有公因数 , 于是 , 我们先分组简算 .
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原式 =1999 × (2000-1998)+1997 × (1998-1996)+1995 × (1996-1994)
=1999 × 2+1997 × 2+1995 × 2
=2 × (1999+1997+1995)
=2 × (2000+2000+2000-9)
=2 × (6000-9)
=2 × 6000-2 × 9
=12000-18
=11982
【答案】
11982


【例 9】
3520703578

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式
35203523 57835(20278)351003500

【答案】
3500


【巩固】 计算：
8019953990199522

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 把3990分解为
19952
，这样
801995
、
21995
、
221995
中都有相同的乘数1995，可以利用
乘法分配律进行巧算，原式
801995219951995221995(80 222)199500

【答案】
199500


【例 10】 计算：
11353715

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2 【题型】计算
【关键词】
2007
年，走美杯，初赛
【解析】 根据“一个因数扩大若干 倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再提
取公因数，进而凑整求和．
原式
11353735

11351115

(113111)5

10

【答案】
10


【巩固】 计算：
99666667818

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式
332236667818(33226678)18180000

【答案】
180000

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【例 11】
3496535277228

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式
(3500035)35(280028)28

100011001

900

【答案】
900


【巩固】 计算：
2772283496535

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式
(280028)28(3500035)35


100110001


1098

【答案】
1098


【例 12】 计算：
91791175174517

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 分配律的逆运算是个难点，建议教师先讲解铺垫中的题目
原式
91751791174517

（95）17（9145）17
41713617

688
76
【答案】
76


【巩固】
1719931910174019

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 看到算式中既有乘法，又有除法，可以考虑讲乘法与除法分开，这时又可以运用乘法中的提取 公
因数方法以及除法中的
(ab)cacbc
的逆运用，简便运算． < br>原式
1719101793194019
(1910)17( 9340)19

917133191537160

【答案】
160




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课堂检测
【随练1】
1234551234451233451223451

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 因为每个数位上都出现了1、2、3、4、5，所以
原式
(12345)(10 0001000100101)1511111166665

【答案】
166665


【随练2】 计算：
(5678967895789568956795678)7

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2004年，陈省身杯
【解析】 观察可知5、6、7、8、9在万、千、百、十、个位各出现过一次，所以，
原式
(56789)11111751111155555
．
【答案】
55555


【随练3】
2514(753251)2
。
【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2008年，第6届，走美杯，4年级，决赛
【解析】 原式
251 4(2513251)22514251425182008
。
【答案】
2008


【随练4】
98211967798

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式=
9821982779898(21277)9800

【答案】9800

家庭作业
【作业1】 计算：
(94567 8856789767894678945589456494567)111111

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
(456789)11111111111139

【答案】39


【作业2】 计算：
(3537595577939379)(3579)

【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】第五届，希望杯
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【解析】 原式

1111(3579)(3579)

【答案】
1111


【作业3】 计算：
20052 0042004200320032002200220013221=
___ _____。
【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛
【解析】 由原式得
(2005-2003)×2004+(2003-2001)×2002+… +(3-1)×2


2×(2004+2002+2000+…+2)


2×2×(1002+1001+1000+…+1)


2010012。
【答案】
2010012


【作业4】
861387772278

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式
(870087)87(780078)78

10001(1001)

900

【答案】
900


【作业5】 计算：
20122450296

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2 【题型】计算
【关键词】
2007
年，走美杯，初赛
【解析】 根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换， 再
提取公因数，进而凑整求和．
原式
201224200824(201 22008)2442496

【答案】96

【作业6】 计算：
2012778048541006

【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 原式
201277201242720122012(774 27)201200

【答案】201200

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